Numărul $$0{,}30400400040000\ldots$$ (după fiecare cifră $$4$$ apare tot mai multe zerouri) este:

Irațional, deoarece nu există un grup fix de cifre care să se repete identic

Rațional, pentru că pare să aibă un tipar clar

Care dintre următoarele afirmații despre numerele iraționale este ADEVĂRATĂ?

Dacă numărul natural $$n$$ nu este pătrat perfect, atunci $$\sqrt{n}$$ este irațional

Orice număr scris cu radical este irațional

$$\pi$$ este un număr rațional, aproximat prin $$3{,}14$$

Cum recunosc un număr irațional?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Recunoașterea numerelor iraționale

Un număr este irațional atunci când zecimalele lui curg la nesfârșit fără să se repete după o regulă, deci nu poate fi pus sub formă de fracție cu întregi. Testul rapid pentru radicali: $n$ iese număr întreg doar când $n$ apare în șirul $1, 4, 9, 16, 25$ ; în rest rămâne irațional. Astfel $9 = 3$ e rațional, iar $7 = 2, 6457 \dots$ nu este. Și $π$ intră aici, fiindcă $3, 14$ este doar o rotunjire.

Un număr este rațional dacă poate fi scris ca fracție $\frac{a}{b}$ cu $a, b$ numere întregi ( $b \neq = 0$ ) — adică scrierea lui zecimală este finită sau infinită periodică. Un număr este irațional dacă scrierea lui zecimală este infinită și neperiodică — nu apare niciun grup de cifre care să se repete identic.

Cel mai des îi întâlnești ca radicali: $n$ este rațional doar dacă $n$ este pătrat perfect ( $1, 4, 9, 16, \dots$ ), altfel este irațional. De exemplu $9 = 3$ e rațional, dar $7 \approx 2, 645 \dots$ e irațional, pentru că $7$ nu e pătrat perfect.

Atenție la capcane: o zecimală lungă nu înseamnă automat irațional (dacă are perioadă, e rațională), iar $π \approx 3, 14$ este doar o aproximare, numărul $π$ însuși fiind irațional.

De reținut

zecimale infinite și fără perioadă înseamnă irațional
$n$ e rațional doar când $n$ e pătrat perfect
$π$ , $2$ , $3$ , $5$ sunt iraționale

Greșeala tipică

Se declară irațional orice număr cu multe zecimale, deși $0, (3)$ are perioadă și se scrie $\frac{1}{3}$ . Verifică întâi dacă apare un grup de cifre care se repetă la nesfârșit.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele numere este irațional?
- a) $121$
- b) $11$
- c) $0, (45)$
- d) $\frac{3}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $11$

$11$ nu este pătrat perfect (e între $9 = 3^{2}$ și $16 = 4^{2}$ ), deci $11$ nu iese întreg și nici fracție — este irațional. Celelalte sunt raționale: $121 = 11$ (natural), $0, (45)$ e periodică, iar $\frac{3}{7}$ e deja o fracție de întregi.
Numărul $0, 30400400040000 \dots$ (după fiecare cifră $4$ apare tot mai multe zerouri) este:
- a) Rațional, pentru că pare să aibă un tipar clar
- b) Irațional, deoarece nu există un grup fix de cifre care să se repete identic
- c) Număr natural
- d) Nu se poate stabili niciodată
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Irațional, deoarece nu există un grup fix de cifre care să se repete identic

Deși pare să aibă o regulă, numărul de zerouri crește mereu, deci nu există o perioadă fixă care se repetă identic. Zecimala este infinită și neperiodică ⟹ numărul este irațional, exact ca în capcana din lecție cu $0, 1010010001 \dots$
Care dintre următoarele afirmații despre numerele iraționale este ADEVĂRATĂ?
- a) Orice număr scris cu radical este irațional
- b) $49$ este irațional
- c) $π$ este un număr rațional, aproximat prin $3, 14$
- d) Dacă numărul natural $n$ nu este pătrat perfect, atunci $n$ este irațional
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Dacă numărul natural $n$ nu este pătrat perfect, atunci $n$ este irațional

Afirmațiile a, b, c sunt false: $49 = 7$ e rațional, deci nu orice radical e irațional, iar $π$ însuși este irațional ( $3, 14$ e doar o aproximare). Regula corectă este (d): dacă $n$ este natural și nu e pătrat perfect, $n$ nu iese exact, deci e irațional (condiția „ $n$ natural" contează — de exemplu $0, 25 = 0, 5$ e rațional, dar $0, 25$ nu e număr natural).

Întrebări conexe

Suma a două numere iraționale este tot irațională?

Nu întotdeauna. $2 + 3$ rămâne irațional, dar $2 + (2 - 2) = 2$ , care e întreg. Când părțile iraționale se anulează una pe alta, rezultatul devine rațional. De aceea nu poți trage o concluzie fără să faci efectiv calculul și să vezi ce rămâne după reducere.

Cum rotunjesc radical din 3 la două zecimale?

Cauți două pătrate vecine: $1, 7 3^{2} = 2, 9929$ și $1, 7 4^{2} = 3, 0276$ . Fiindcă $3$ stă între ele, valoarea căutată se află între $1, 73$ și $1, 74$ . Prima este aproximarea prin lipsă, a doua prin adaos. Cum $3$ e mai aproape de $2, 9929$ , rotunjirea la două zecimale dă $1, 73$ .

Cum apar numerele iraționale la Evaluarea Națională?

Apar la exercițiile de tip grilă, unde ți se cere să alegi din patru variante pe cea irațională, și în subiectele de calcul, unde rezultatul rămâne scris cu radical. Mai apar la încadrarea între doi întregi consecutivi și la ordonarea crescătoare a unor numere scrise cu radicali.

Este 0,1010010001... un număr irațional?

Da. Zecimalele merg la nesfârșit, dar între unități se strecoară de fiecare dată un zero în plus, așa că niciun grup de cifre nu se reia identic. Fără perioadă, numărul nu se poate scrie ca fracție ordinară, deci este irațional. Prin contrast, $0, (12)$ are perioadă și este rațional.

Unde se află numerele iraționale pe axa numerelor?

Stau amestecate printre cele raționale, în golurile pe care fracțiile nu le acoperă. $2$ cade puțin după $1, 4$ , iar $π$ puțin după $3, 1$ . Împreună, raționalele și iraționalele umplu complet axa: fiecărui punct de pe ea îi corespunde exact un număr real.

Ce fel de număr este radical din 8?

Este irațional, fiindcă $8$ nu se obține ridicând la pătrat un număr întreg. Îl poți scrie mai simplu ca $22$ , scoțând factorul $4$ de sub radical, însă forma nouă rămâne tot irațională: $2$ nu dispare. Valoarea aproximativă este $2, 828 \dots$ , cu zecimale care nu se repetă.

Oamenii mai întreabă și: ce este un număr irațional · numere iraționale exemple · cum îmi dau seama că un număr e irațional · radical rațional sau irațional · de ce este radical din 2 irațional