Care e diferența dintre opus și modul?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Opusul și modulul numărului rațional

Opusul schimbă semnul și păstrează valoarea, iar modulul șterge semnul și lasă numai depărtarea față de zero. Pentru $- \frac{3}{5}$ opusul este $\frac{3}{5}$ , iar modulul tot $\frac{3}{5}$ ; pentru $\frac{3}{5}$ însă opusul este $- \frac{3}{5}$ , în timp ce modulul rămâne $\frac{3}{5}$ . Așadar opusul poate ieși negativ, modulul niciodată. Un număr și opusul lui se află de o parte și de alta a originii, la aceeași depărtare.

Pentru un număr rațional $x$ , opusul este numărul $- x$ , aflat de partea cealaltă a originii $0$ , la aceeași distanță pe axă: opusul schimbă doar semnul, nu valoarea. Modulul $∣ x ∣$ este distanța de la $x$ până la origine, deci este mereu pozitiv sau zero: dacă $x \geq 0$ atunci $∣ x ∣ = x$ , iar dacă $x < 0$ atunci $∣ x ∣ = - x$ (îi ștergem minusul).

Exemplu rezolvat: pentru $x = - \frac{3}{5}$ , opusul este $\frac{3}{5}$ , iar modulul este $- \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$ .

Un număr și opusul lui au întotdeauna același modul, fiindcă sunt simetrice față de $0$ . Ecuația $∣ x ∣ = a$ are două soluții ( $x = a$ și $x = - a$ ) dacă $a > 0$ , o singură soluție ( $x = 0$ ) dacă $a = 0$ , și nicio soluție dacă $a < 0$ , pentru că un modul nu poate fi negativ.

De reținut

opusul lui $x$ este $- x$ ; modulul lui $x$ este $∣ x ∣ \geq 0$
numerele opuse sunt simetrice față de origine și au același modul
$∣ x ∣ = a$ are două soluții dacă $a > 0$ , una dacă $a = 0$ , niciuna dacă $a < 0$

Greșeala tipică

Se confundă opusul cu inversul unei fracții: opusul schimbă semnul, iar inversul răstoarnă fracția; pentru $\frac{2}{3}$ opusul este $- \frac{2}{3}$ , în timp ce inversul este $\frac{3}{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este opusul numărului rațional $- \frac{5}{9}$ ?
- a) $\frac{9}{5}$
- b) $- \frac{5}{9}$
- c) $\frac{5}{9}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{5}{9}$

Opusul se obține schimbând doar semnul numărului, nu răsturnând fracția (asta ar fi inversul). Opusul lui $- \frac{5}{9}$ este $\frac{5}{9}$ .
Câte numere raționale $x$ verifică egalitatea $∣ x ∣ = \frac{4}{15}$ ?
- a) Niciunul
- b) Exact unul
- c) Exact două
- d) O infinitate
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Exact două

Cum $\frac{4}{15}$ este un număr pozitiv, ecuația $∣ x ∣ = \frac{4}{15}$ are exact două soluții: $x = \frac{4}{15}$ și $x = - \frac{4}{15}$ , cele două numere aflate la distanța $\frac{4}{15}$ de origine, de o parte și de alta.
Care este opusul numărului rațional $\frac{7}{12}$ ?
- a) $- \frac{7}{12}$
- b) $\frac{7}{12}$
- c) $\frac{12}{7}$
- d) $- \frac{12}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- \frac{7}{12}$

Opusul se obține schimbând doar semnul numărului, nu răsturnând fracția (asta ar fi inversul). Opusul lui $\frac{7}{12}$ este $- \frac{7}{12}$ .

Întrebări conexe

Care este opusul fracției minus trei cincimi?

Este $\frac{3}{5}$ , adică aceeași fracție cu semnul schimbat. Pe axă, cele două puncte stau simetric față de origine, la câte trei cincimi distanță de ea. Adunându-le, obții zero, ceea ce este chiar definiția perechii de numere opuse.

Cum calculez modulul unui număr zecimal negativ?

Îi ștergi semnul și păstrezi cifrele neschimbate, deci modulul lui $- 2, 75$ este $2, 75$ . Regula este aceeași ca la fracții, fiindcă zecimalele sunt tot numere raționale. Rezultatul rămâne pozitiv, oricât de mic ar fi numărul de plecare.

Ce numere raționale sunt egale cu propriul opus?

Doar zero, fiindcă el se află chiar în origine și nu are o parte simetrică diferită. Pentru orice altă valoare, semnul schimbat duce punctul în cealaltă jumătate a axei, deci numărul obținut este diferit de cel de la care ai pornit.

Cum compar două fracții negative folosind modulul?

Calculezi modulele și compari mărimile, apoi întorci concluzia: dintre două numere negative, cel cu modulul mai mare este mai mic. Între $- \frac{3}{4}$ și $- \frac{1}{2}$ modulele sunt $\frac{3}{4}$ și $\frac{1}{2}$ , deci primul este mai mic.

Ce se întâmplă când aduni o fracție cu opusul ei?

Obții zero, fiindcă cele două se anulează. Proprietatea se folosește la rezolvarea ecuațiilor, unde adaugi opusul unui termen ca să scapi de el, și la calculele lungi, unde grupezi perechile opuse ca să scurtezi drumul.

Cum folosesc modulul la calculul distanței dintre două fracții?

Faci diferența lor și îi iei modulul, astfel încât ordinea scăderii să nu conteze. Între $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{4}$ obții $\frac{1}{2}$ , indiferent care număr este scris primul. Rezultatul reprezintă lungimea segmentului dintre cele două puncte de pe axă.

Oamenii mai întreabă și: opusul unui număr rațional · modulul unei fracții · diferența dintre opus și modul · valoarea absolută a unei fracții