Care dintre următoarele afirmații despre diagonalele unui paralelogram este ADEVĂRATĂ?

Diagonalele se înjumătățesc reciproc în punctul lor de intersecție

Diagonalele sunt întotdeauna egale între ele

Diagonalele sunt întotdeauna perpendiculare

Diagonalele nu se intersectează în interiorul figurii

Cum se taie diagonalele paralelogramului?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Diagonalele paralelogramului se înjumătățesc

Ele se intersectează într-un punct care taie fiecare diagonală exact la mijloc. Dacă notezi cu $O$ locul întâlnirii, atunci $A O = O C$ și $B O = O D$ . Nu înseamnă că cele două diagonale ar avea aceeași lungime, fiindcă asta se întâmplă doar la dreptunghi și la pătrat. Exemplu: dacă o diagonală măsoară $20$ cm, fiecare bucată a ei are $10$ cm.

Într-un paralelogram $A B C D$ , diagonalele $A C$ și $B D$ se taie într-un punct $O$ care este mijlocul fiecăreia dintre ele: $A O = O C$ și $B O = O D$ . Atenție, nu diagonalele sunt egale între ele (asta se întâmplă doar la dreptunghi și pătrat), ci fiecare diagonală este tăiată exact la jumătate de cealaltă. Proprietatea se demonstrează arătând că triunghiurile $A O B$ și $C O D$ sunt congruente (cazul ULU, folosind laturile opuse egale și unghiurile alterne interne date de paralelism). O consecință importantă: punctul $O$ este centrul de simetrie al paralelogramului — o rotație de $180°$ în jurul lui $O$ suprapune figura peste ea însăși, ducând $A$ în $C$ și $B$ în $D$ .

Exemplu: dacă $A O = 6$ cm, atunci $A C = 2 \cdot A O = 12$ cm. Dacă $B D = 20$ cm, atunci $B O = O D = 10$ cm.

De reținut

$A O = O C$ și $B O = O D$ : fiecare diagonală se înjumătățește
punctul $O$ este centrul de simetrie al figurii
diagonale egale doar la dreptunghi și la pătrat

Greșeala tipică

Se scrie $A C = B D$ , ca și cum diagonalele ar fi egale între ele. Egale sunt doar bucățile aceleiași diagonale, nu diagonalele una față de alta.

Exerciții din această mini-lecție

În paralelogramul $M N P Q$ , diagonalele $M P$ și $N Q$ se taie în $O$ . Se dau $M P = 22$ cm și $N Q = 16$ cm. Cât este $M O$ ?
- a) $11$ cm
- b) $8$ cm
- c) $22$ cm
- d) $16$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $11$ cm

$O$ înjumătățește fiecare diagonală, deci $M O = \frac{M P}{2} = \frac{22}{2} = 11$ cm.
Care dintre următoarele afirmații despre diagonalele unui paralelogram este ADEVĂRATĂ?
- a) Diagonalele sunt întotdeauna egale între ele
- b) Diagonalele se înjumătățesc reciproc în punctul lor de intersecție
- c) Diagonalele sunt întotdeauna perpendiculare
- d) Diagonalele nu se intersectează în interiorul figurii
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Diagonalele se înjumătățesc reciproc în punctul lor de intersecție

Proprietatea de bază a paralelogramului spune că punctul de intersecție al diagonalelor este mijlocul fiecăreia dintre ele; diagonalele nu sunt neapărat egale (asta se întâmplă doar la dreptunghi și pătrat).
În paralelogramul $A B C D$ , diagonalele $A C$ și $B D$ se taie în $O$ . Se dau $A C = 60$ cm și $B D = 40$ cm. Cât este $O D$ ?
- a) $20$ cm
- b) $40$ cm
- c) $30$ cm
- d) $60$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $20$ cm

$O$ este mijlocul diagonalei $B D$ , deci $O D = \frac{B D}{2} = \frac{40}{2} = 20$ cm. Greșeli tipice: să nu împarți la $2$ ( $40$ cm), să înjumătățești cealaltă diagonală $A C$ în loc de $B D$ ( $30$ cm), sau să iei $A C$ întreagă ( $60$ cm).

Întrebări conexe

În câte triunghiuri împart diagonalele un paralelogram?

În patru. Fiecare diagonală taie figura în două triunghiuri, iar împreună formează patru triunghiuri mici cu vârful comun în punctul de intersecție. Cele așezate față în față sunt congruente, fiindcă au laturile jumătăți de diagonală egale și unghiurile opuse la vârf egale.

Ce arie au cele patru triunghiuri făcute de diagonale?

Toate patru au aceeași arie, adică un sfert din aria întregii figuri. Motivul: fiecare are drept bază o jumătate de diagonală, iar înălțimile duse din vârful comun coincid două câte două. Dacă paralelogramul are $48$ cm², fiecare triunghi mic are $12$ cm².

Cum aflu diagonalele dacă știu laturile paralelogramului?

Doar din laturi nu se poate: două paralelograme cu aceleași laturi pot fi turtite diferit și au diagonale diferite. Îți mai trebuie un unghi sau lungimea celeilalte diagonale. La dreptunghi însă merge direct, cu teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul format de două laturi vecine.

Cum apare proprietatea diagonalelor într-o problemă de test?

Cel mai des ți se dă o bucată de diagonală și ți se cere cealaltă bucată sau diagonala întreagă. Alteori punctul de intersecție joacă rol de mijloc într-o linie mijlocie sau într-o simetrie. Formulările tipice conțin cuvintele mijloc, jumătate ori se înjumătățesc.

Ce se schimbă la diagonale când paralelogramul devine romb?

Se păstrează înjumătățirea și se adaugă două însușiri în plus: diagonalele devin perpendiculare și fiecare taie în două unghiurile din vârfurile prin care trece. Lungimile lor rămân, în general, diferite. Din perpendicularitate iese și formula ariei rombului, jumătate din produsul diagonalelor.

Diagonala împarte paralelogramul în două figuri identice?

Da, o diagonală dă două triunghiuri congruente, care se suprapun printr-o rotație de $18 0^{\circ}$ în jurul mijlocului ei. Rezultă că ariile lor sunt egale, fiecare cât jumătate din aria totală. Congruența se justifică prin cazul latură-unghi-latură sau prin cele trei laturi egale.

Oamenii mai întreabă și: diagonalele paralelogramului · diagonala paralelogramului · diagonalele se înjumătățesc · punctul de intersecție al diagonalelor · sunt diagonalele paralelogramului egale