Un patrulater are toate laturile congruente și un unghi drept. Ce fel de figură este?

romb oarecare (fără unghi drept)

Un dreptunghi are două laturi consecutive congruente. Ce fel de patrulater este?

romb oarecare (fără unghiuri drepte)

Ce proprietăți are pătratul?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Pătratul: dreptunghi și romb

Pătratul are cele patru laturi de aceeași lungime și cele patru unghiuri drepte, deci este în același timp dreptunghi și romb, moștenind însușirile amândurora. Diagonalele lui sunt egale, se taie perpendicular la mijloc și împart fiecare unghi în două părți de $4 5^{\circ}$ . Cu latura $ℓ$ obții $P = 4 ℓ$ și $A = ℓ^{2}$ ; pentru $ℓ = 6$ cm ies $24$ cm și $36$ cm².

Pătratul este patrulaterul cu toate cele patru laturi congruente și toate cele patru unghiuri drepte ( $90°$ ). Are două definiții echivalente: un dreptunghi cu două laturi consecutive congruente, sau un romb cu un unghi drept. De aceea pătratul este simultan dreptunghi și romb și moștenește toate proprietățile amândurora.

Diagonalele pătratului sunt: congruente (ca la dreptunghi), perpendiculare (ca la romb), se înjumătățesc și sunt bisectoare, deci fiecare formează cu o latură un unghi de $\frac{90°}{2} = 45°$ .

Perimetrul este $P = 4 ℓ$ , iar aria $A = ℓ^{2}$ .

Exemplu: un pătrat cu latura $ℓ = 6$ cm are $P = 4 \cdot 6 = 24$ cm și $A = 6^{2} = 36$ cm².

Capcana tipică: reciproca nu merge automat — un romb nu e pătrat fără un unghi drept, iar un dreptunghi nu e pătrat fără două laturi consecutive congruente.

De reținut

pătratul este dreptunghi cu laturi vecine egale și romb cu un unghi drept
diagonale egale, perpendiculare, bisectoare, care se înjumătățesc
$P = 4 ℓ$ , $A = ℓ^{2}$ , $d = ℓ 2$

Greșeala tipică

Se trage concluzia că un romb cu laturile egale este pătrat, deși orice romb are laturile egale. Lipsește tocmai condiția unghiului drept.

Exerciții din această mini-lecție

Un patrulater are toate laturile congruente și un unghi drept. Ce fel de figură este?
- a) dreptunghi oarecare
- b) romb oarecare (fără unghi drept)
- c) pătrat
- d) paralelogram oarecare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pătrat

Un romb (toate laturile congruente) cu un unghi drept este, prin definiție, un pătrat.
În pătratul $A B C D$ se trasează diagonala $A C$ . Cât măsoară unghiul $B A C$ , format de diagonală cu latura $A B$ ?
- a) $30°$
- b) $45°$
- c) $60°$
- d) $90°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $45°$

Diagonala pătratului este bisectoarea unghiului din vârf ( $90°$ ), deci îl împarte în două unghiuri de $\frac{90°}{2} = 45°$ .
Un dreptunghi are două laturi consecutive congruente. Ce fel de patrulater este?
- a) romb oarecare (fără unghiuri drepte)
- b) pătrat
- c) dreptunghi oarecare
- d) paralelogram oarecare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) pătrat

Un dreptunghi (toate unghiurile drepte) cu două laturi consecutive congruente este, prin a doua definiție, un pătrat.

Întrebări conexe

Cât este latura unui pătrat cu aria de 81 cm²?

Extragi radicalul din arie, fiindcă aria este latura înmulțită cu ea însăși. Din $ℓ^{2} = 81$ rezultă $ℓ = 9$ cm. Verifici imediat: $9 \cdot 9 = 81$ . Perimetrul aceluiași pătrat iese $4 \cdot 9 = 36$ cm, dacă problema îl cere mai departe.

Cum aflu aria pătratului dacă știu doar diagonala?

Diagonalele pătratului sunt perpendiculare, așa că poți folosi formula rombului: aria egalează jumătate din produsul lor. Cum ambele au aceeași lungime $d$ , obții $A = \frac{d ^{2}}{2}$ . Pentru $d = 10$ cm rezultă $50$ cm², fără să mai calculezi latura.

Ce se întâmplă cu aria când dublez latura pătratului?

Aria se face de patru ori mai mare, nu de două. Dacă latura trece de la $ℓ$ la $2 ℓ$ , aria trece de la $ℓ^{2}$ la $4 ℓ^{2}$ . Perimetrul, în schimb, doar se dublează. De la $5$ cm la $10$ cm aria sare de la $25$ la $100$ cm².

Cum apare pătratul în problemele cu teren și gard?

Gardul se leagă de perimetru, deci de $4 ℓ$ , iar semănatul sau pavarea se leagă de arie, deci de $ℓ^{2}$ . Dacă ți se dă lungimea gardului, împarți la patru ca să afli latura, apoi ridici la pătrat pentru suprafață. Un gard de $80$ m înconjoară $400$ m².

Ce fel de triunghiuri se formează tăind pătratul pe diagonală?

Două triunghiuri dreptunghice isoscele, cu unghiurile de $9 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ și $4 5^{\circ}$ . Catetele lor sunt chiar laturile pătratului, iar ipotenuza este diagonala. De aici iese și relația dintre diagonală și latură, prin teorema lui Pitagora aplicată într-unul dintre ele.

Poate un romb cu diagonale egale să nu fie pătrat?

Nu poate. Într-un romb diagonalele se taie perpendicular la mijloc; dacă mai sunt și egale, cele patru sferturi de diagonală devin toate egale, iar triunghiurile formate ies dreptunghice isoscele. Unghiurile rombului ajung astfel de $9 0^{\circ}$ , deci figura este pătrat.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile pătratului · diagonalele pătratului · ce este un pătrat în geometrie · perimetrul și aria pătratului · pătratul este romb și dreptunghi