Ce înseamnă cel puțin și cel mult?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Probleme rezolvate cu inecuații

Amândouă includ valoarea de care se leagă. Cel puțin înseamnă acea valoare sau mai mult, deci semnul mai mare sau egal; cel mult înseamnă acea valoare sau mai puțin, deci semnul mai mic sau egal. Expresiile mai mare decât și mai mic decât, în schimb, lasă valoarea pe dinafară și cer semne stricte. Astfel cel puțin $5$ lei se scrie ca o sumă mai mare sau egală cu $5$ , iar mai mult de $5$ lei exclude chiar cei cinci lei.

Când un enunț conține cuvinte ca „cel puțin”, „cel mult”, „mai mare decât” sau „nu depășește”, nu cauți o singură valoare, ci o mulțime de soluții. Rezolvi în patru pași: alegi necunoscuta (de obicei $x$ ), transpui enunțul într-o inecuație, o rezolvi prin transformări echivalente, apoi interpretezi soluția în context (păstrezi doar valorile cu sens: naturale, întregi, pozitive).

Cheia e traducerea corectă: „cel puțin” → $\geq$ (include valoarea), „cel mult” → $\leq$ (include valoarea), „mai mare decât” → $>$ (nu include), „mai mic decât” → $<$ (nu include).

Exemplu: Ai 30 de lei, cumperi un caiet de 12 lei, iar restul îl dai pe creioane de 3 lei bucata. Fie $x$ numărul de creioane, $x \in N$ : $12 + 3 x \leq 30 \Rightarrow 3 x \leq 18 \Rightarrow x \leq 6$ . Poți cumpăra cel mult 6 creioane.

De reținut

cel puțin → mai mare sau egal; cel mult → mai mic sau egal
mai mare decât și mai mic decât cer semne stricte
soluția se filtrează după sensul din enunț: naturale, întregi, pozitive

Greșeala tipică

Se traduce cel puțin printr-un semn strict, ca și cum valoarea ar fi exclusă. Cel puțin cinci înseamnă că și cinci este acceptat, deci semnul trebuie să fie unul cu egalitate.

Exerciții din această mini-lecție

Scrie sub formă de inecuație și rezolvă: „un număr $x$ mărit cu 9 este cel puțin 15”. Care este mulțimea soluțiilor?
- a) $x \geq 6$
- b) $x > 6$
- c) $x \leq 6$
- d) $x \geq 24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x \geq 6$

„Mărit cu 9” înseamnă $x + 9$ , iar „cel puțin 15” înseamnă $\geq 15$ : $x + 9 \geq 15 \Rightarrow x \geq 6$ . Fiind „cel puțin”, valoarea 6 este inclusă, deci semnul este $\geq$ , nu $>$ .
Scrie sub formă de inecuație și rezolvă: „dacă din triplul unui număr $x$ scădem 5, obținem un rezultat mai mic decât 19”. Care este mulțimea soluțiilor?
- a) $x < 8$
- b) $x \leq 8$
- c) $x > 8$
- d) $x < 24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x < 8$

„Triplul lui $x$ , din care scădem 5” înseamnă $3 x - 5$ , iar „mai mic decât 19” înseamnă $< 19$ (fără egal): $3 x - 5 < 19 \Rightarrow 3 x < 24 \Rightarrow x < 8$ . Nu te opri la $3 x < 24$ — mai trebuie împărțit la 3. Fiind „mai mic decât” (strict), semnul rămâne $<$ , nu $\leq$ .
Un dreptunghi are lungimea de $15$ cm, iar lățimea notată $x$ . Pentru ca perimetrul dreptunghiului să nu depășească $50$ cm, ce condiție trebuie să îndeplinească $x$ ?
- a) $x \leq 10$
- b) $x \geq 10$
- c) $x < 10$
- d) $x \leq 20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x \leq 10$

„Nu depășește” înseamnă $\leq$ . Perimetrul este $2 (15 + x) \leq 50 \Rightarrow 15 + x \leq 25 \Rightarrow x \leq 10$ (cm).

Întrebări conexe

Cum aleg necunoscuta într-o problemă cu inecuații?

Alegi mărimea despre care se întreabă și scrii clar ce reprezintă, cu tot cu unitate. Dacă se cere câte creioane poți cumpăra, notezi cu literă numărul de creioane, precizând că este număr natural. Alegerea bună scurtează tot restul rezolvării.

Cum traduc expresia nu depășește într-o inegalitate?

Prin semnul mai mic sau egal, fiindcă valoarea poate fi atinsă, dar nu întrecută. O sumă care nu depășește $200$ de lei se scrie ca fiind cel mult $200$ . Expresia nu ajunge la, în schimb, cere semn strict.

Ce inecuație scriu pentru o problemă cu bani de buzunar?

Aduni cheltuielile și le compari cu suma disponibilă. Cu $30$ de lei, un caiet de $12$ lei și creioane de $3$ lei bucata, scrii că $12 + 3 x$ este cel mult $30$ , deci $x$ este cel mult $6$ .

De ce trebuie să spun clar ce reprezintă litera aleasă?

Fiindcă de asta depinde ce valori păstrezi la final. Dacă litera este un număr de obiecte, soluțiile trebuie să fie naturale; dacă este o lungime, trebuie să fie pozitive. Fără precizare, răspunsul rămâne un interval fără sens practic.

Cum aflu cel mai mare număr de obiecte pe care le pot cumpăra?

Rezolvi inecuația, apoi iei cea mai mare valoare întreagă din intervalul obținut. Din rezultatul cel mult $6, 4$ răspunsul este $6$ , fiindcă $7$ ar depăși bugetul. Rotunjirea se face mereu în jos la astfel de întrebări.

Cum scriu răspunsul final la o problemă cu inecuații?

Într-o propoziție, nu doar ca interval: spui câte obiecte se pot cumpăra sau ce valori poate lua mărimea cerută. Intervalul rămâne pe rândul de calcul, iar concluzia se scrie în cuvinte, legată de enunț.

Oamenii mai întreabă și: cel puțin și cel mult · ce semn folosesc la cel puțin · cum traduc o problemă în inecuație · probleme rezolvate cu inecuații · nu depășește ce semn are