Proiecții pe un plan. Lungimea proiecției unui segment

Într-o zi însorită, orice obiect vertical își aruncă o umbră pe pământ: un stâlp, un copac, tu însuți. Dacă razele soarelui ar cădea perfect vertical (Soarele exact deasupra capului), umbra ta pe sol ar fi tocmai proiecția ta pe planul pământului. Aceeași idee o folosesc inginerii când calculează cât „orizontal" acoperă o rampă sau un cablu întins între doi stâlpi, sau arhitecții când desenează vederea de sus a unei clădiri. În geometria clasei a VIII-a, această idee devine un instrument precis: proiecția pe un plan. În lecția de față învățăm să proiectăm puncte, segmente și drepte pe un plan și, mai ales, să calculăm lungimea proiecției unui segment folosind triunghiul dreptunghic și teorema lui Pitagora — exact tipul de raționament cerut la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești proiecția unui punct pe un plan și să recunoști piciorul perpendicularei.
• Vei ști să construiești proiecția unui segment și a unei drepte pe un plan.
• Vei ști să calculezi lungimea proiecției unui segment folosind teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic potrivit.
• Vei ști să deosebești cele trei situații: segment paralel cu planul, segment perpendicular pe plan și segment înclinat.
• Vei ști să alegi reprezentarea geometrică potrivită și să aplici proiecțiile în configurații spațiale simple (cub, paralelipiped, situații din viața reală).

Hai să descoperim împreună

1. Proiecția unui punct pe un plan

Reamintim din lecția Drepte perpendiculare. Dreapta perpendiculară pe un plan că, dintr-un punct din spațiu, se poate duce o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat. Această unicitate stă la baza întregii lecții.

Definiție. Fie $\alpha$ un plan și $A$ un punct din spațiu. Se numește proiecția punctului $A$ pe planul $\alpha$ punctul $A^{\prime }$ în care perpendiculara dusă din $A$ pe planul $\alpha$ înțeapă planul. Punctul $A^{\prime }$ se numește piciorul perpendicularei din $A$ pe $\alpha$.

Cu alte cuvinte: din $A$ „cobori" perpendicular pe plan, iar locul unde ajungi este proiecția $A^{\prime }$. Notăm adesea $A^{\prime }={\mathrm{pr}}_{\alpha }A$ (se citește „proiecția lui $A$ pe $\alpha$").

Sunt două observații importante, pe care le vei folosi mereu:

• Dacă punctul se află chiar în plan, adică $A\in \alpha$, atunci proiecția lui este el însuși: $A^{\prime }=A$. (Perpendiculara din $A$ pe plan îl întâlnește pe $A$ chiar în $A$.)
• Distanța de la $A$ la planul $\alpha$ este lungimea segmentului $[A{A}^{\prime }]$, adică $A{A}^{\prime }$. Este cea mai scurtă distanță de la punct la plan, pentru că orice alt drum de la $A$ la un punct din plan este oblic, deci mai lung.

Analogie: dacă ții un creion deasupra unei mese și lași o picătură să cadă vertical din vârful lui, urma picăturii pe masă este proiecția vârfului creionului. Înălțimea la care ții creionul este distanța de la vârf la planul mesei.

2. Proiecția unui segment pe un plan

Un segment $[AB]$ are două capete. Este natural să proiectăm fiecare capăt:

Definiție. Proiecția segmentului $[AB]$ pe planul $\alpha$ este segmentul $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$, unde $A^{\prime }$ este proiecția lui $A$, iar $B^{\prime }$ este proiecția lui $B$ pe planul $\alpha$.

Așadar proiectăm capetele, apoi unim proiecțiile. De reținut: proiecția unui segment pe un plan este tot un segment (sau, în cazuri speciale, un singur punct — vom vedea imediat).

De ce este proiecția un segment, și nu o linie strâmbă? Pentru că perpendicularele $A{A}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$ sunt amândouă perpendiculare pe același plan, deci sunt paralele între ele (două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele). Ele „țin" segmentul $[AB]$ pe o singură parte, iar punctele intermediare ale lui $[AB]$ se proiectează exact între $A^{\prime }$ și $B^{\prime }$, umplând segmentul $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$.

3. Proiecția unei drepte pe un plan

La fel ca segmentul, o dreaptă se proiectează proiectându-i punctele.

Regulă. Proiecția unei drepte $d$ pe un plan $\alpha$ (dacă $d$ nu este perpendiculară pe $\alpha$) este o dreaptă $d^{\prime }$ conținută în $\alpha$. Dacă dreapta $d$ este perpendiculară pe planul $\alpha$, atunci toate punctele ei se proiectează în același punct, deci proiecția este un singur punct (piciorul perpendicularei).

Această dreaptă $d^{\prime }$ este „urma de sus" a lui $d$ pe podea: dacă ai lumina dreapta $d$ vertical de deasupra, umbra ei pe planul $\alpha$ ar fi tocmai $d^{\prime }$.

4. Cele trei situații pentru un segment

Acum ajungem la miezul lecției: cât de lungă este proiecția? Răspunsul depinde de poziția segmentului față de plan. Sunt trei cazuri.

Cazul 1 — segmentul este paralel cu planul. Dacă $[AB]\parallel \alpha$, atunci cele două capete se află la aceeași distanță de plan, deci $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }$. Perpendicularele $A{A}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$ sunt egale și paralele, așa că $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ este un dreptunghi. Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, deci: $$A^{\prime }{B}^{\prime }=AB.$$ Proiecția are aceeași lungime cu segmentul. Are sens: umbra unei bare orizontale ținute la o înălțime constantă este la fel de lungă ca bara.

Cazul 2 — segmentul este perpendicular pe plan. Dacă $[AB]\perp \alpha$, atunci segmentul „coboară" chiar pe direcția perpendicularei. Ambele capete se proiectează în același punct (piciorul perpendicularei). Deci: $$A^{\prime }=B^{\prime }\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }=0.$$ Proiecția este un singur punct, de lungime $0$. Analogie: dacă ții o bară verticală (un stâlp drept) și Soarele e fix deasupra, umbra este doar un punct.

Cazul 3 — segmentul este înclinat (oblic) față de plan. Aceasta este situația cea mai des întâlnită la probleme. Segmentul nu e nici paralel, nici perpendicular pe plan. Atunci proiecția $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ este mai scurtă decât segmentul $[AB]$, iar lungimea ei se calculează cu teorema lui Pitagora.

Să lămurim cel mai simplu subcaz și cel mai frecvent la examen: un capăt se află în plan. Presupunem $A\in \alpha$, deci $A^{\prime }=A$, iar celălalt capăt $B$ este deasupra planului, la distanța $B{B}^{\prime }$. Privește triunghiul $A^{\prime }{B}^{\prime }B$:

• unghiul din $B^{\prime }$ este drept, pentru că $B{B}^{\prime }\perp \alpha$, deci $B{B}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$;
• $[AB]$ (adică $[A^{\prime }B]$) este ipotenuza;
• $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ (proiecția) și $[B^{\prime }B]$ (distanța de la $B$ la plan) sunt catetele.

Din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $A^{\prime }{B}^{\prime }B$: $$A{B}^2=A^{\prime }{B}^{\prime 2}+B{B}^{\prime 2}\Rightarrow \boxed{A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-B{B}^{\prime 2}}}.$$

Reține imaginea de bază: segmentul oblic, proiecția lui și distanța la plan formează un triunghi dreptunghic, în care segmentul este ipotenuza. De aici, orice necunoscută (proiecția, segmentul sau înălțimea) se află imediat cu Pitagora.

5. Cazul general al segmentului înclinat: capete la înălțimi diferite

Uneori niciunul dintre capete nu se află în plan: $A$ este la distanța $A{A}^{\prime }=h_1$, iar $B$ la distanța $B{B}^{\prime }=h_2$, ambele de aceeași parte a planului. Cum perpendicularele $A{A}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$ sunt paralele, patrulaterul $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ este un trapez dreptunghic (are două unghiuri drepte, la $A^{\prime }$ și la $B^{\prime }$).

Coborâm din $B$ o paralelă la $A^{\prime }{B}^{\prime }$ până întâlnește dreapta $A{A}^{\prime }$ (sau prelungirea ei) într-un punct $P$. Se formează un triunghi dreptunghic în care:

• cateta orizontală este egală cu proiecția: $PB=A^{\prime }{B}^{\prime }$;
• cateta verticală este diferența înălțimilor: $AP=|h_1-h_2|$;
• ipotenuza este chiar segmentul $AB$.

Prin teorema lui Pitagora: $$A{B}^2=A^{\prime }{B}^{\prime 2}+(h_1-h_2{)}^2\Rightarrow \boxed{A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-(h_1-h_2{)}^2}}.$$

Observă că formula din cazul „un capăt în plan" este un caz particular al acesteia, cu $h_2=0$: atunci $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-h_1^2}$. Iar dacă înălțimile sunt egale, $h_1=h_2$, obținem $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ — regăsim cazul segmentului paralel cu planul. Frumusețea matematicii: o singură formulă le cuprinde pe toate.

6. De ce proiecția este cea mai scurtă „variantă"

Din formula $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-(h_1-h_2{)}^2}$ vedem imediat că, atâta timp cât capetele nu sunt la aceeași înălțime, avem $A^{\prime }{B}^{\prime }<AB$. Cu cât segmentul e mai „vertical" (diferența de înălțime mai mare), cu atât proiecția este mai scurtă. Aceasta explică de ce umbra unui obiect vertical se scurtează când Soarele urcă spre zenit.

7. Proiecții în corpuri geometrice

Cel mai des vei întâlni proiecțiile în interiorul unui cub sau al unui paralelipiped dreptunghic, unde muchiile verticale sunt gata perpendiculare pe baza orizontală. Regula practică pentru baza de jos $(ABCD)$ a unui astfel de corp:

• proiecția unui vârf de sus este vârful de jos corespunzător (de exemplu, proiecția lui $B^{\prime }$ pe baza $(ABCD)$ este $B$, pentru că muchia $[B{B}^{\prime }]$ este perpendiculară pe bază);
• proiecția unei muchii verticale este un punct (muchia e perpendiculară pe bază);
• proiecția unei muchii sau diagonale de sus, paralelă cu baza, este segmentul corespunzător de jos, de aceeași lungime;
• proiecția unei diagonale înclinate (de exemplu diagonala corpului) se obține proiectând capetele și se calculează cu Pitagora.

Vom folosi aceste reguli în exemple. Ele îți vor fi utile și mai departe, la Unghiul dintre o dreaptă și un plan și la Teorema celor trei perpendiculare, unde proiecția este piesa centrală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Proiecția unor puncte și a unui segment într-un cub

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $5$ cm și baza $(ABCD)$ așezată orizontal. a) Care este proiecția vârfului $C^{\prime }$ pe planul $(ABCD)$? b) Care este proiecția muchiei $[D{D}^{\prime }]$ pe planul $(ABCD)$? c) Care este proiecția segmentului $[A^{\prime }{C}^{\prime }]$ (diagonala feței de sus) pe planul $(ABCD)$ și cât măsoară?

Rezolvare. a) Muchia $[C{C}^{\prime }]$ este perpendiculară pe baza $(ABCD)$ (muchie verticală a cubului). Deci perpendiculara din $C^{\prime }$ pe bază înțeapă planul chiar în $C$. Proiecția lui $C^{\prime }$ este $C$.

b) Muchia $[D{D}^{\prime }]$ este perpendiculară pe bază. Ambele capete se proiectează în $D$: $D^{\prime }\to D$ și $D\to D$ (fiind în plan). Proiecția este punctul $D$ (segment de lungime $0$).

c) Diagonala $[A^{\prime }{C}^{\prime }]$ este paralelă cu baza (se află în fața de sus, care e paralelă cu baza). Proiecțiile capetelor: $A^{\prime }\to A$ și $C^{\prime }\to C$. Deci proiecția este diagonala bazei $[AC]$. Fiind $[A^{\prime }{C}^{\prime }]\parallel (ABCD)$, avem $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }$. Calculăm diagonala pătratului de latură $5$: $$AC=5\sqrt{2}\text{cm}\approx 7,07\text{cm}.$$ Proiecția este segmentul $[AC]$, de lungime $5\sqrt{2}$ cm.

Exemplul 2 — Lungimea proiecției (un capăt în plan)

Un segment $[AB]$ are lungimea $AB=13$ cm. Punctul $A$ se află în planul $\alpha$, iar punctul $B$ este la distanța de $5$ cm de plan. Cât măsoară proiecția $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ a segmentului pe $\alpha$?

Rezolvare. Cum $A\in \alpha$, avem $A^{\prime }=A$. Distanța de la $B$ la plan este cateta $B{B}^{\prime }=5$ cm, iar $AB=13$ cm este ipotenuza triunghiului dreptunghic $A^{\prime }{B}^{\prime }B$ (drept în $B^{\prime }$). Cu Pitagora: $$A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-B{B}^{\prime 2}}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{cm}.$$ Proiecția segmentului măsoară $12$ cm. (Recunoști tripleta pitagoreică $5$–$12$–$13$.)

Exemplul 3 — Aflarea distanței la plan, cunoscând proiecția

Se știe că un segment $[MN]$ are lungimea $MN=10$ cm, iar proiecția lui pe un plan $\alpha$ are lungimea $M^{\prime }{N}^{\prime }=8$ cm. Capătul $M$ se află în planul $\alpha$. La ce distanță de plan se află punctul $N$?

Rezolvare. $M\in \alpha$, deci $M^{\prime }=M$. În triunghiul dreptunghic $M^{\prime }{N}^{\prime }N$ (drept în $N^{\prime }$), ipotenuza este $MN=10$, o catetă este proiecția $M^{\prime }{N}^{\prime }=8$, iar cealaltă catetă $N{N}^{\prime }$ este chiar distanța căutată. Cu Pitagora: $$N{N}^{\prime }=\sqrt{M{N}^2-M^{\prime }{N}^{\prime 2}}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{cm}.$$ Punctul $N$ se află la $6$ cm de plan.

Exemplul 4 — Cablul dintre doi stâlpi (înălțimi diferite)

Doi stâlpi verticali au înălțimile de $12$ m și, respectiv, $5$ m. Între vârfurile lor este întins un cablu drept lung de $25$ m. Care este distanța dintre bazele stâlpilor (adică lungimea proiecției cablului pe sol)?

Rezolvare. Notăm $A$ = vârful stâlpului înalt ($h_1=12$ m) și $B$ = vârful celui scund ($h_2=5$ m). Planul solului este orizontal, iar proiecțiile vârfurilor sunt chiar bazele stâlpilor. Cablul $AB=25$ m este ipotenuza, diferența de înălțime este $h_1-h_2=12-5=7$ m. Cu formula generală: $$A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-(h_1-h_2{)}^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24\text{m}.$$ Bazele stâlpilor se află la $24$ m una de cealaltă.

Exemplul 5 — Diagonala corpului unui cub

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a=6$ cm. Se cere proiecția diagonalei corpului $[A{C}^{\prime }]$ pe baza $(ABCD)$ și lungimea acestei proiecții. Verifică rezultatul prin teorema lui Pitagora în triunghiul $AC{C}^{\prime }$.

Rezolvare. Proiecția lui $A$ pe bază este $A$ (e în plan), iar proiecția lui $C^{\prime }$ pe bază este $C$ (muchia $[C{C}^{\prime }]$ e perpendiculară pe bază). Deci proiecția diagonalei corpului este diagonala bazei $[AC]$. $$AC=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{cm}\approx 8,49\text{cm}.$$ Verificare: în triunghiul dreptunghic $AC{C}^{\prime }$ (drept în $C$, căci $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow C{C}^{\prime }\perp AC$), ipotenuza este diagonala corpului $A{C}^{\prime }$, iar catetele sunt $AC=6\sqrt{2}$ și $C{C}^{\prime }=6$: $$A{C}^{\prime 2}=A{C}^2+C{C}^{\prime 2}=(6\sqrt{2}{)}^2+6^2=72+36=108,$$ deci $A{C}^{\prime }=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ cm. Reciproc, proiecția se regăsește: $AC=\sqrt{A{C}^{\prime 2}-C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{108-36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm. ✓

Exemplul 6 — Item tip Evaluarea Națională (paralelipiped dreptunghic)

Se dă paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ cm, $BC=6$ cm și înălțimea $A{A}^{\prime }=15$ cm, baza $(ABCD)$ orizontală. a) Determină proiecția muchiei $[A^{\prime }{D}^{\prime }]$ pe planul $(ABCD)$. b) Determină lungimea proiecției diagonalei $[A^{\prime }C]$ pe planul $(ABCD)$.

Rezolvare. a) Muchia $[A^{\prime }{D}^{\prime }]$ este paralelă cu baza (se află în fața de sus). Proiecțiile capetelor: $A^{\prime }\to A$, $D^{\prime }\to D$. Proiecția este muchia $[AD]$, iar $AD=BC=6$ cm (laturi opuse ale dreptunghiului bazei). Deci proiecția este $[AD]$, de lungime $6$ cm.

b) Diagonala $[A^{\prime }C]$ merge din $A^{\prime }$ (vârf de sus) în $C$ (vârf de jos). Proiectăm capetele pe bază: $A^{\prime }\to A$ și $C\to C$ (e deja în plan). Deci proiecția lui $[A^{\prime }C]$ pe bază este diagonala bazei $[AC]$. Cu Pitagora în triunghiul $ABC$ (drept în $B$): $$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$ Lungimea proiecției este $10$ cm.

(Bonus de verificare a coerenței: diagonala reală $A^{\prime }C=\sqrt{A{C}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{10^2+15^2}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}$ cm, evident mai lungă decât proiecția ei de $10$ cm — proiecția este întotdeauna mai scurtă decât segmentul înclinat.)

Să exersăm

1. Completează: proiecția unui punct pe un plan se numește ______ perpendicularei, iar dacă punctul se află chiar în plan, proiecția lui este ______.

2. Adevărat sau fals, cu justificare: „Proiecția unui segment pe un plan este întotdeauna un segment mai scurt decât segmentul dat."

3. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $7$ cm, precizează proiecția pe baza $(ABCD)$ a: a) vârfului $B^{\prime }$; b) muchiei $[C{C}^{\prime }]$; c) muchiei $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ și lungimea ei.

4. Un segment $[AB]$ de lungime $9$ cm este paralel cu planul $\alpha$. Cât măsoară proiecția lui pe $\alpha$?

5. Un segment $[EF]$ este perpendicular pe planul $\alpha$. Cât măsoară proiecția lui pe $\alpha$? Justifică.

6. Segmentul $[AB]$ are $AB=15$ cm, capătul $A\in \alpha$, iar $B$ este la $9$ cm de plan. Află lungimea proiecției $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$.

7. Segmentul $[MN]$ are $MN=20$ cm, iar proiecția lui pe un plan măsoară $16$ cm. Capătul $M$ se află în plan. La ce distanță de plan se află $N$?

8. Un segment oblic are lungimea $17$ cm, iar proiecția lui pe un plan are $8$ cm. Un capăt este în plan. Află distanța de la celălalt capăt la plan.

9. Doi stâlpi verticali au înălțimile $9$ m și $3$ m; între vârfuri este întins un fir drept, iar bazele lor sunt la $8$ m distanță. Ce lungime are firul? (Indicație: aici proiecția este $8$ m, iar diferența de înălțime este $9-3$.)

10. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a=10$ cm, află lungimea proiecției diagonalei corpului $[B{D}^{\prime }]$ pe baza $(ABCD)$.

11. În paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, $BC=5$ cm, $A{A}^{\prime }=8$ cm, află lungimea proiecției diagonalei $[A^{\prime }C]$ pe baza $(ABCD)$.

12. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă proiecția unui segment pe un plan are aceeași lungime cu segmentul, atunci segmentul este paralel cu planul sau este conținut în plan."

13. Un cablu de teleferic coboară drept de la o stație aflată la $60$ m înălțime până la o stație de la baza muntelui, situată în plan orizontal. Lungimea cablului este $61$ m. Cât de mare este distanța pe orizontală (proiecția cablului) între cele două stații?

14. Segmentul $[PQ]$ are lungimea $26$ cm. Capătul $P$ este la $10$ cm de planul $\alpha$, iar $Q$ la $0$ cm (adică $Q\in \alpha$). Află lungimea proiecției $[P^{\prime }{Q}^{\prime }]$.

15. Item tip Evaluare Națională. Se dă paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=9$ cm, $BC=12$ cm și $A{A}^{\prime }=8$ cm, baza $(ABCD)$ orizontală. a) Determină proiecția segmentului $[B^{\prime }D]$ pe planul $(ABCD)$ și lungimea ei. b) Arată prin calcul că lungimea proiecției este mai mică decât lungimea segmentului $[B^{\prime }D]$.

16. Un segment $[AB]$ are capetele la distanțe diferite de plan: $A$ la $11$ cm, $B$ la $2$ cm, ambele de aceeași parte a planului. Proiecția $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ măsoară $12$ cm. Cât este lungimea segmentului $[AB]$?

17. Adevărat sau fals, cu justificare: „Proiecția unei drepte pe un plan poate fi un punct."

18. Sinteză. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a=4$ cm, se consideră segmentul $[A{C}^{\prime }]$ (diagonala corpului). a) Care este proiecția lui $[A{C}^{\prime }]$ pe baza $(ABCD)$? b) Cât măsoară această proiecție? c) Folosind lungimea proiecției și distanța de la $C^{\prime }$ la bază, recalculează lungimea diagonalei corpului $A{C}^{\prime }$ și verifică formula $a\sqrt{3}$.

Răspunsuri și explicații

1. piciorul perpendicularei; proiecția lui este el însuși (punctul coincide cu proiecția sa, căci $A\in \alpha \Rightarrow A^{\prime }=A$).

2. Fals. Nu întotdeauna: dacă segmentul este paralel cu planul (sau conținut în el), proiecția are aceeași lungime cu segmentul. Proiecția este strict mai scurtă doar când segmentul este oblic sau perpendicular pe plan (caz în care nici nu mai este segment, ci un punct, de lungime $0$). Formularea corectă: proiecția are lungimea cel mult egală cu a segmentului.

3. a) $B$; b) punctul $C$ (segment de lungime $0$, muchia fiind perpendiculară pe bază); c) proiecția lui $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ este $[AB]$, de lungime $7$ cm (muchie de sus paralelă cu baza).

4. $9$ cm. Segment paralel cu planul $\Rightarrow$ proiecția are aceeași lungime.

5. $0$ cm (proiecția este un singur punct). Ambele capete se proiectează în piciorul perpendicularei, deci $E^{\prime }=F^{\prime }$.

6. $A^{\prime }=A$; $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$ cm. (Tripleta $9$–$12$–$15$.)

7. $N{N}^{\prime }=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$ cm.

8. distanța $=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ cm. (Tripleta $8$–$15$–$17$.)

9. Diferența de înălțime $=9-3=6$ m; firul (ipotenuza) $=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ m.

10. Proiecția lui $[B{D}^{\prime }]$ pe bază: $B\to B$, $D^{\prime }\to D$, deci proiecția este diagonala bazei $[BD]$. $BD=a\sqrt{2}=10\sqrt{2}\approx 14,14$ cm (exact $10\sqrt{2}$ cm).

11. Proiecția lui $[A^{\prime }C]$ pe bază este diagonala $[AC]$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm.

12. Adevărat. Egalitatea $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ apare doar când capetele sunt la aceeași distanță de plan (din formula $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-(h_1-h_2{)}^2}$ egalitatea cere $h_1=h_2$). Atunci fie segmentul este paralel cu planul ($h_1=h_2\ne 0$), fie ambele capete sunt în plan ($h_1=h_2=0$, adică segmentul e conținut în plan).

13. proiecția $=\sqrt{61^2-60^2}=\sqrt{3721-3600}=\sqrt{121}=11$ m. (Tripleta $11$–$60$–$61$.)

14. $Q\in \alpha \Rightarrow Q^{\prime }=Q$; $P^{\prime }{Q}^{\prime }=\sqrt{P{Q}^2-P{P}^{\prime 2}}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$ cm.

15. a) $B^{\prime }\to B$, $D\to D$, deci proiecția lui $[B^{\prime }D]$ este diagonala bazei $[BD]$. $BD=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm. b) Segmentul real $B^{\prime }D=\sqrt{B{D}^2+B{B}^{\prime 2}}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm. Cum $15<17$, proiecția ($15$ cm) este mai scurtă decât segmentul ($17$ cm). ✓

16. Diferența de înălțime $=11-2=9$ cm; $AB=\sqrt{A^{\prime }{B}^{\prime 2}+(h_1-h_2{)}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm.

17. Adevărat. Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, toate punctele ei se proiectează în același punct (piciorul perpendicularei), deci proiecția este un singur punct.

18. a) $A\to A$, $C^{\prime }\to C$; proiecția este diagonala bazei $[AC]$. b) $AC=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\approx 5,66$ cm (exact $4\sqrt{2}$ cm). c) $C{C}^{\prime }=4$ cm (perpendiculară pe bază). În triunghiul dreptunghic $AC{C}^{\prime }$: $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2+4^2}=\sqrt{32+16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm. Coincide cu formula $a\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ cm. ✓

De reținut

• Proiecția unui punct $A$ pe un plan $\alpha$ este piciorul perpendicularei $A^{\prime }$ din $A$ pe $\alpha$; dacă $A\in \alpha$, atunci $A^{\prime }=A$. Distanța de la punct la plan este $A{A}^{\prime }$.
• Proiecția unui segment $[AB]$ este segmentul $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$; proiecția unei drepte neperpendiculare pe plan este o dreaptă, iar a unei drepte perpendiculare pe plan este un punct.
• Segment paralel cu planul $\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$; segment perpendicular pe plan $\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }=0$; segment oblic $\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }<AB$.
• Formula de calcul (segment oblic): în triunghiul dreptunghic potrivit, $A{B}^2=A^{\prime }{B}^{\prime 2}+(h_1-h_2{)}^2$, unde $h_1,h_2$ sunt distanțele capetelor la plan. Când un capăt e în plan: $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-B{B}^{\prime 2}}$.
• Într-un cub sau paralelipiped dreptunghic, proiecția unei diagonale care leagă un vârf de sus cu un vârf de jos este diagonala bazei, calculată cu $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$ (la cub: $a\sqrt{2}$).

Greșeli frecvente

• Confundarea segmentului cu proiecția lui. Segmentul oblic este ipotenuza, iar proiecția este o catetă. Nu pune niciodată segmentul oblic drept catetă și proiecția drept ipotenuză — proiecția e mereu mai scurtă. Verifică mereu: dacă rezultatul „proiecției" iese mai mare decât segmentul, ai greșit rolurile.
• Uitarea cazului „capăt în plan". Când $A\in \alpha$, distanța $A{A}^{\prime }$ este $0$, nu se mai adaugă nimic din partea lui $A$. Formula devine $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-B{B}^{\prime 2}}$, cu o singură înălțime.
• Adunarea în loc de scădere. La aflarea proiecției (o catetă) se scade: $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-B{B}^{\prime 2}}$. Suma $A{B}^2+B{B}^{\prime 2}$ ar da (greșit) ceva mai mare decât ipotenuza. Reține: catetă $=\sqrt{{\text{ipotenuza˘}}^2-{\text{cealalta˘ cateta˘}}^2}$.
• Diferența de înălțime scrisă greșit. Când ambele capete sunt deasupra planului, la formulă intră $(h_1-h_2)$, nu $(h_1+h_2)$. Suma înălțimilor ar apărea doar dacă punctele ar fi de o parte și de alta a planului — situație pe care la clasa a VIII-a nu o întâlnești la aceste probleme.

Aplică acasă

1. Umbra de la prânz. Într-o zi însorită, așază un băț vertical (o riglă, un creion înfipt în plastilină) pe o suprafață plană și orizontală. Măsoară lungimea bățului deasupra suprafeței și lungimea umbrei lui pe sol; apoi măsoară distanța de la vârful bățului până la capătul umbrei (întinzând o ață dreaptă). Verifică relația ${\text{umbra˘}}^2+{\text{ıˆna˘lțime}}^2={\text{ața˘}}^2$. Umbra este chiar proiecția vârfului... doar când razele cad vertical; observă cum umbra se scurtează spre prânz.

2. Cablul dintre două cărți. Pune două cărți (sau două cutii) de înălțimi diferite pe masă, la o distanță măsurată una de alta. Întinde o ață dreaptă între colțurile lor de sus. Calculează cât ar trebui să fie lungimea aței cu formula $\sqrt{d^2+(h_1-h_2{)}^2}$, apoi verific-o măsurând ața. Ai reprodus problema stâlpilor cu cablu.

3. Vederea de sus a camerei. Alege un obiect înclinat din cameră (o scară sprijinită de perete, o riglă rezemată). Imaginează-ți „umbra" lui pe podea dacă lumina ar veni drept de sus: aceea este proiecția pe planul podelei. Desenează pe o foaie vederea de sus (proiecția) și estimează, apoi măsoară, lungimea proiecției față de lungimea reală a obiectului.

Pentru părinți și profesori

Această lecție face trecerea de la perpendicularitate (lecțiile anterioare) la instrumentele de calcul din geometria în spațiu: proiecția și, în lecțiile următoare, unghiul dintre o dreaptă și un plan și teorema celor trei perpendiculare. Ideea-cheie pe care elevul trebuie să o interiorizeze este că segmentul oblic, proiecția lui și distanța la plan formează mereu un triunghi dreptunghic, în care segmentul este ipotenuza.

Întrebări de verificare utile:

• „Care este proiecția acestui punct/segment și de ce?" (verifică înțelegerea noțiunii de picior al perpendicularei, nu doar formula).
• „Care segment este ipotenuza în triunghiul tău? Dar catetele?" (cel mai important reflex; previne cea mai frecventă greșeală).
• „Poate proiecția să fie mai lungă decât segmentul? De ce nu?" (verifică înțelegerea profundă).

Cum vezi că a înțeles: elevul construiește corect proiecția înainte de a calcula, desenează triunghiul dreptunghic potrivit și obține răspunsuri în care proiecția este mai scurtă decât segmentul oblic. La Evaluarea Națională, proiecțiile apar aproape mereu în problema de geometrie în spațiu (subiectul III): la calculul unghiului dintre o dreaptă și un plan, la aflarea unor distanțe și la aplicarea teoremei celor trei perpendiculare în prisme, paralelipipede, cuburi și piramide. Redactarea îngrijită (justificarea perpendicularității, identificarea triunghiului dreptunghic, aplicarea corectă a lui Pitagora) aduce puncte inclusiv atunci când rezultatul numeric final scapă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă proiecția unui punct pe un plan? Este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan, adică punctul în care perpendiculara „coborâtă" din punct înțeapă planul. Dacă punctul se află deja în plan, proiecția lui este chiar el.

Cum calculez lungimea proiecției unui segment pe un plan la clasa a 8-a? Formezi un triunghi dreptunghic în care segmentul dat este ipotenuza, iar catetele sunt proiecția și diferența distanțelor capetelor la plan. Apoi aplici teorema lui Pitagora: $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-(h_1-h_2{)}^2}$. Când un capăt este în plan, formula devine $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2-B{B}^{\prime 2}}$.

Proiecția unui segment este mai scurtă sau mai lungă decât segmentul? Niciodată mai lungă. Este mai scurtă când segmentul este oblic față de plan și egală cu segmentul când acesta este paralel cu planul (sau conținut în el). Pentru un segment perpendicular pe plan, proiecția are lungimea zero (este un punct).

Care este proiecția unei drepte pe un plan? De regulă este tot o dreaptă, conținută în plan. Excepția este dreapta perpendiculară pe plan: proiecția ei este un singur punct (piciorul perpendicularei).

Ce se întâmplă cu proiecția unui segment perpendicular pe plan? Ambele capete se proiectează în același punct, deci proiecția este un punct, iar lungimea ei este $0$. Este cazul unei muchii verticale a cubului proiectate pe baza orizontală.

Cum aflu proiecția diagonalei unui cub pe baza lui? Proiectezi capetele diagonalei pe bază. Diagonala corpului $[A{C}^{\prime }]$ are $A$ pe bază și $C^{\prime }$ deasupra lui $C$, deci proiecția ei este diagonala bazei $[AC]$, de lungime $a\sqrt{2}$, unde $a$ este muchia cubului.

De ce proiecția face parte din pregătirea pentru Evaluarea Națională? Pentru că este baza pentru unghiul dintre o dreaptă și un plan și pentru teorema celor trei perpendiculare, teme prezente în problema de geometrie în spațiu de la subiectul III. Fără a construi corect proiecția, nu poți identifica unghiurile și distanțele cerute în examen.

Ce legătură are proiecția cu teorema lui Pitagora? Segmentul oblic, proiecția lui pe plan și distanța la plan formează un triunghi dreptunghic în care segmentul este ipotenuza. Astfel, orice necunoscută dintre cele trei se află imediat cu teorema lui Pitagora, exact ca în triunghiul dreptunghic studiat în clasa a VII-a.