Ce este proiecția pe un plan?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Proiecția unui segment pe plan

Este urma pe care o lasă o figură atunci când din fiecare punct al ei cobori o perpendiculară până la suprafață. Un punct se proiectează în piciorul perpendicularei lui, un segment se proiectează proiectându-i capetele, iar o dreaptă înclinată dă tot o dreaptă. Segmentul oblic joacă rol de ipotenuză, deci proiecția lui iese mereu mai scurtă. Dacă $A B = 13$ cm, cu $A$ în plan și $B$ la $5$ cm de el, proiecția are $12$ cm.

Gândește-te la umbra unui obiect pe podea, atunci când lumina cade drept de sus — aceea este proiecția lui pe un plan. Din orice punct $A$ coboară o singură perpendiculară pe planul $α$ , iar locul unde aceasta atinge planul se numește piciorul perpendicularei, notat $A^{'}$ . Dacă punctul e deja în plan, proiecția lui este el însuși. Un segment $[A B]$ se proiectează proiectând capetele, obținând $[A^{'} B^{'}]$ . Sunt trei situații: segment paralel cu planul → proiecția are aceeași lungime; segment perpendicular pe plan → proiecția e un singur punct, de lungime $0$ ; segment înclinat → proiecția e mai scurtă și se află cu teorema lui Pitagora, unde segmentul oblic este mereu ipotenuza, iar proiecția și distanța la plan sunt catetele.

Exemplu: dacă $A B = 13$ cm, $A$ este în plan, iar $B$ este la $5$ cm de plan, atunci $A^{'} B^{'} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12$ cm.

De reținut

proiecția unui punct = piciorul perpendicularei coborâte din el
segmentul oblic este ipotenuză, deci proiecția lui este mai scurtă
segmentul perpendicular pe plan se proiectează într-un punct

Greșeala tipică

Se ia drept proiecție un segment oarecare dus din punct spre plan, nu perpendiculara. Proiecția cere unghi drept cu suprafața, altfel lungimea calculată iese mai mare decât cea adevărată.

Exerciții din această mini-lecție

Segmentul $[M N]$ este paralel cu planul $α$ și are lungimea $M N = 18$ cm. Cât măsoară proiecția $[M^{'} N^{'}]$ pe planul $α$ ?
- a) $0$ cm
- b) $9$ cm
- c) $18$ cm
- d) nu se poate determina
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $18$ cm

Când segmentul este paralel cu planul, capetele lui sunt la aceeași distanță de plan, deci $M N N^{'} M^{'}$ este un dreptunghi, iar laturile opuse sunt egale: $M^{'} N^{'} = M N = 18$ cm.
Segmentul $[P Q]$ este perpendicular pe planul $β$ și are lungimea $P Q = 20$ cm. Cât măsoară proiecția $[P^{'} Q^{'}]$ pe planul $β$ ?
- a) $0$ cm
- b) $10$ cm
- c) $20$ cm
- d) $40$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0$ cm

Când segmentul este perpendicular pe plan, ambele capete se proiectează în același punct (piciorul perpendicularei), deci proiecția este un singur punct: $P^{'} Q^{'} = 0$ cm.
Segmentul $[E F]$ are lungimea $E F = 17$ cm, iar capetele lui sunt de aceeași parte a planului $α$ : $E$ la $3$ cm de plan, iar $F$ la $11$ cm de plan. Ce lungime are proiecția $[E^{'} F^{'}]$ pe planul $α$ ?
- a) $15$ cm
- b) $25$ cm
- c) $5$ cm
- d) $20$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $15$ cm

Ducem prin $E$ o paralelă la $E^{'} F^{'}$ , care taie $F F^{'}$ în $G$ . Atunci $E^{'} E G F^{'}$ este dreptunghi, deci $E G = E^{'} F^{'}$ , iar $F G = 11 - 3 = 8$ cm (diferența distanțelor la plan). În triunghiul dreptunghic $E GF$ (drept în $G$ ), $E F$ este ipotenuza: $E^{'} F^{'} = E G = E F^{2} - F G^{2} = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15$ cm. Atenție: se scade diferența distanțelor ( $8$ cm), nu distanța mai mare.

Întrebări conexe

Care este proiecția unui punct aflat chiar în plan?

Punctul însuși, fiindcă perpendiculara coborâtă din el are lungimea zero. La probleme, capetele aflate în plan rămân neschimbate, iar munca se face doar cu celelalte. Este cazul cel mai simplu și apare foarte des.

Ce proiecție are o dreaptă oblică față de plan?

Tot o dreaptă, cuprinsă în plan, care trece prin punctul în care oblica înțeapă planul. Ea se numește proiecția dreptei și este cea față de care se măsoară unghiul dintre dreaptă și plan.

De ce se compară proiecția cu umbra unui obiect?

Fiindcă lumina care cade drept de sus lasă pe podea exact urma cerută de definiție. Comparația ajută la intuiție, dar are o limită: razele soarelui nu cad exact vertical, pe când proiecția cere unghi drept peste tot.

Cum aflu proiecția unei muchii laterale de piramidă pe planul bazei?

Este segmentul care unește piciorul înălțimii cu vârful bazei de care se leagă muchia. La o piramidă regulată, acest segment este raza cercului circumscris poligonului de jos. Din el și din înălțime iese muchia, prin teorema lui Pitagora.

Ce se întâmplă cu proiecția dacă înclin segmentul tot mai mult?

Se scurtează treptat, până devine un singur punct atunci când segmentul ajunge perpendicular pe plan. La celălalt capăt, când segmentul se culcă paralel cu planul, proiecția are lungimea lui întreagă. Între aceste extreme se află toate cazurile.

Ce figură obțin proiectând un triunghi pe un plan?

Tot un triunghi, dacă planul lui nu este perpendicular pe cel de proiecție; în cazul perpendicular iese un simplu segment. Când planele sunt paralele, figura se copiază nemodificată; la orice altă înclinare laturile se scurtează inegal, deci forma și unghiurile se schimbă.

Oamenii mai întreabă și: proiecția unui punct pe un plan · proiecția unui segment · lungimea proiecției · cum calculez proiecția pe un plan · proiecția unei drepte pe un plan