Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Când un avion decolează, botul lui urcă pe o traiectorie dreaptă, iar pista rămâne întinsă, orizontală, sub el. Între direcția de urcare a avionului și planul pistei se formează un unghi — „unghiul de urcare" — pe care piloții îl controlează cu precizie. La fel, o rampă de skateboard, un panou solar înclinat spre soare sau o scară sprijinită de perete formează, toate, un unghi bine determinat cu solul. În această lecție vei învăța ce înseamnă exact unghiul dintre o dreaptă și un plan, cum îl construiești corect și, mai ales, cum îi calculezi măsura folosind trigonometria din triunghiul dreptunghic — o competență cerută des la Evaluarea Națională, mai ales în problemele cu cub, paralelipiped și prismă.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce este unghiul dintre o dreaptă și un plan, ca unghi dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.
• Vei ști să construiești corect acest unghi: să găsești piciorul perpendicularei și proiecția dreptei.
• Vei ști să calculezi măsura unghiului cu funcțiile trigonometrice ($\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$) într-un triunghi dreptunghic.
• Vei ști să recunoști cazurile limită: dreaptă paralelă cu planul ($0°$) și dreaptă perpendiculară pe plan ($90°$).
• Vei ști să aplici aceste idei în cub, paralelipiped și prismă, exact în stilul cerut la examen.

Hai să descoperim împreună

1. De ce avem nevoie de o definiție nouă

O dreaptă care „intră" într-un plan îl întâlnește într-un punct și apoi se ridică deasupra lui (sau coboară sub el). Intuitiv, simțim că unele drepte sunt „aproape culcate" pe plan, iar altele „aproape ridicate în picioare". Vrem un număr — o măsură în grade — care să exprime cât de înclinată este dreapta față de plan.

Problema este că o dreaptă înclinată face unghiuri diferite cu diferitele drepte din plan care pornesc din punctul ei de intrare. Dacă întrebi „ce unghi face dreapta cu planul?", răspunsul pare să depindă de care dreaptă din plan o alegem. Avem nevoie de o alegere unică și naturală. Aceasta este proiecția dreptei pe plan, noțiune pe care ai întâlnit-o în lecția Proiecții pe un plan.

2. Definiția unghiului dintre o dreaptă și un plan

Reamintim ideea de proiecție: proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe plan; proiecția unei drepte oblice pe plan este dreapta care unește proiecțiile punctelor ei.

Definiție. Fie $d$ o dreaptă oblică față de un plan $\alpha$ (adică $d$ nu este paralelă cu $\alpha$ și nici perpendiculară pe $\alpha$), care intersectează planul în punctul $B$. Se numește unghiul dintre dreapta $d$ și planul $\alpha$ unghiul ascuțit format de dreapta $d$ cu proiecția ei $d^{\prime }$ pe planul $\alpha$.

Cu alte cuvinte: dintre toate dreptele din plan care pornesc din $B$, cea „aleasă" este umbra (proiecția) dreptei noastre. Unghiul dintre dreaptă și această umbră este chiar unghiul căutat.

De ce este alegerea aceasta cea corectă și nu una arbitrară? Pentru că proiecția are o proprietate remarcabilă: unghiul dintre dreaptă și proiecția ei este cel mai mic dintre toate unghiurile pe care dreapta le face cu dreptele din plan ce trec prin $B$. Umbra este direcția „cea mai apropiată" din plan de dreapta noastră, deci unghiul cu ea măsoară cel mai fidel înclinarea. Reține această idee: unghiul dintre o dreaptă și un plan este cel mai mic unghi pe care dreapta îl poate face cu o dreaptă din plan.

3. Construcția pas cu pas a unghiului

Iată metoda sigură, pe care o vei folosi la fiecare problemă. Fie dreapta $d$ care taie planul $\alpha$ în punctul $B$ și fie $A$ un alt punct de pe dreapta $d$ (deci $A\notin \alpha$).

Pasul 1 — Găsește piciorul perpendicularei. Duci din punctul $A$ perpendiculara pe planul $\alpha$. Piciorul ei (proiecția lui $A$ pe plan) îl notăm $O$. Deci $AO\perp \alpha$, ceea ce înseamnă că $AO$ este perpendiculară pe orice dreaptă din plan, în particular pe $BO$.

Pasul 2 — Trasează proiecția dreptei. Punctul $B$ este deja în plan (este propria lui proiecție, fiindcă $B\in \alpha$). Proiecția lui $A$ este $O$. Prin urmare, proiecția dreptei $d$ pe planul $\alpha$ este dreapta $BO$.

Pasul 3 — Identifică unghiul. Unghiul dintre $d$ și $\alpha$ este unghiul dintre $d$ (adică dreapta $AB$) și proiecția ei ($BO$), adică $\widehat{ABO}$. Îl notăm de obicei cu $\phi$.

Observă acum triunghiul $ABO$: el este dreptunghic în $O$, deoarece $AO\perp BO$. Aceasta este cheia întregii lecții. Toată problema de spațiu se reduce la un triunghi dreptunghic pe care îl „vedem" pe o foaie plană, iar acolo ai deja toate instrumentele din clasa a VII-a.

Cele trei laturi ale triunghiului au fiecare un nume geometric:

• $AO$ = perpendiculara din $A$ pe plan (distanța de la $A$ la plan) — cateta opusă unghiului $\phi$;
• $BO$ = proiecția segmentului $AB$ pe plan — cateta alăturată unghiului $\phi$;
• $AB$ = segmentul oblic de pe dreapta $d$ — ipotenuza.

4. Calculul măsurii cu trigonometrie

În triunghiul dreptunghic $ABO$, cu unghiul drept în $O$ și unghiul $\phi =\widehat{ABO}$, aplicăm definițiile funcțiilor trigonometrice învățate în clasa a VII-a:

$$\sin \phi =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}}=\frac{AO}{AB},\cos \phi =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}=\frac{BO}{AB},$$

$$\mathrm{tg}\phi =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}=\frac{AO}{BO}.$$

Tradus în cuvinte, ca să ții minte:

$$\sin (\text{unghiului})=\frac{\text{perpendiculara pe plan}}{\text{oblica}},\mathrm{tg}(\text{unghiului})=\frac{\text{perpendiculara pe plan}}{\text{proiecție}}.$$

De cele mai multe ori, tangenta este cea mai comodă, pentru că perpendiculara pe plan (înălțimea) și proiecția se citesc direct în figură, fără să mai calculezi ipotenuza.

Reține tabelul valorilor speciale, singurele de care ai nevoie la gimnaziu:

Dacă, după calcul, obții una dintre aceste valori, unghiul este $30°$, $45°$ sau $60°$. Dacă obții altă valoare (de exemplu $\mathrm{tg}\phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$), la clasa a VIII-a lași răspunsul sub forma valorii trigonometrice — nu ești obligat să dai măsura exactă în grade, iar cerințele de examen sunt formulate atunci ca „aflați tangenta unghiului".

5. Cazurile limită: paralelă și perpendiculară

Definiția de mai sus a cerut ca dreapta să fie oblică. Ce facem la extreme? Le tratăm prin convenție, iar ele se potrivesc perfect cu intuiția:

• Dreaptă paralelă cu planul (sau conținută în plan). Proiecția dreptei este chiar o dreaptă paralelă cu ea, iar dreapta „nu se ridică" deloc. Unghiul dintre dreaptă și plan este $\boxed{0°}$. (Vezi și lecția Dreaptă paralelă cu un plan.)
• Dreaptă perpendiculară pe plan. Dreapta „stă în picioare", iar proiecția ei pe plan se reduce la un singur punct. Unghiul dintre dreaptă și plan este $\boxed{90°}$. (Vezi lecția Dreapta perpendiculară pe un plan.)

Așadar, unghiul dintre o dreaptă și un plan ia mereu valori în intervalul $[0°,90°]$:

$$0°\le \phi \le 90°.$$

Nu poate fi obtuz și nu poate depăși niciodată $90°$ — dacă îți iese un unghi mai mare, ai identificat greșit triunghiul.

6. Cum recunoști perpendiculara în corpurile geometrice

Marele avantaj în probleme cu cub, paralelipiped și prismă dreaptă este că perpendiculara pe planul bazei este deja „construită" pentru tine: muchiile laterale sunt perpendiculare pe planul bazei. Deci, dacă un capăt al dreptei tale este un vârf de sus, proiecția lui pe bază este chiar vârful de dedesubt.

Reguli practice de identificare a proiecției pe planul bazei:

1. Un punct care este deja în bază rămâne pe loc (este propria proiecție).
2. Un vârf de „sus" se proiectează în vârful corespunzător de „jos" (coborâm pe muchia laterală verticală).
3. Proiecția unei drepte se obține unind proiecțiile a două puncte ale ei.

Exemplu de citire rapidă: în cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, proiecția muchiei laterale $A^{\prime }A$ pe baza $ABCD$ este punctul $A$; proiecția diagonalei $A^{\prime }C$ pe baza $ABCD$ este diagonala $AC$, pentru că $A^{\prime }\to A$ și $C\to C$.

Acum ai tot ce îți trebuie. Strategia completă pentru orice problemă este:

(1) identifici dreapta și planul; (2) găsești unde dreapta atinge planul ($B$) și proiecția celuilalt capăt ($O$); (3) desenezi triunghiul dreptunghic; (4) afli laturile cunoscute; (5) aplici $\sin$, $\cos$ sau $\mathrm{tg}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Structura de bază, cu un triunghi dat

Un punct $A$ se află la distanța $AO=6$ cm față de un plan $\alpha$, unde $O$ este proiecția lui $A$ pe plan. O dreaptă dusă din $A$ atinge planul în punctul $B$, iar proiecția $BO=6$ cm. Aflați unghiul dintre dreapta $AB$ și planul $\alpha$.

Rezolvare. Deoarece $AO\perp \alpha$, avem $AO\perp BO$, deci triunghiul $ABO$ este dreptunghic în $O$. Unghiul dintre dreaptă și plan este $\phi =\widehat{ABO}$. Folosim tangenta, pentru că știm ambele catete: $$\mathrm{tg}\phi =\frac{AO}{BO}=\frac{6}{6}=1.$$ Din tabelul valorilor speciale, $\mathrm{tg}\phi =1\Rightarrow \phi =45°$.

Răspuns: unghiul este de $45°$.

Exemplul 2 — Cu sinusul, pornind de la oblică

O dreaptă pornește dintr-un punct $A$ și atinge un plan în $B$, cu $AB=10$ cm. Distanța de la $A$ la plan este $AO=5$ cm. Ce unghi face dreapta $AB$ cu planul?

Rezolvare. În triunghiul dreptunghic $ABO$ (drept în $O$), $AO$ este cateta opusă unghiului $\phi$, iar $AB$ este ipotenuza. Deci folosim sinusul: $$\sin \phi =\frac{AO}{AB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$$ Din tabel, $\sin \phi =\frac{1}{2}\Rightarrow \phi =30°$.

Răspuns: dreapta face un unghi de $30°$ cu planul.

Exemplul 3 — Diagonala unei fețe laterale a cubului

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $5$ cm. Aflați măsura unghiului dintre dreapta $A^{\prime }B$ și planul bazei $(ABC)$.

Rezolvare. Dreapta $A^{\prime }B$ atinge planul bazei în $B$ (punct din bază). Celălalt capăt, $A^{\prime }$, se proiectează pe bază în $A$, pentru că muchia $A^{\prime }A\perp (ABC)$. Deci proiecția lui $A^{\prime }B$ pe bază este $AB$, iar unghiul căutat este $\phi =\widehat{A^{\prime }BA}$.

Triunghiul $A^{\prime }AB$ este dreptunghic în $A$ (deoarece $A^{\prime }A\perp (ABC)\Rightarrow A^{\prime }A\perp AB$). Laturile:

• cateta $A^{\prime }A=5$ cm (muchia cubului, perpendiculara pe bază);
• cateta $AB=5$ cm (muchia cubului, proiecția).

$$\mathrm{tg}\phi =\frac{A^{\prime }A}{AB}=\frac{5}{5}=1\Rightarrow \phi =45°.$$

Răspuns: unghiul este de $45°$. Reține concluzia generală, foarte utilă la examen: diagonala unei fețe laterale a unui cub face mereu $45°$ cu planul bazei, indiferent de mărimea muchiei.

Exemplul 4 — Diagonala paralelipipedului cu baza. Un frumos exemplu cu Pitagora

Se dă paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=4$ cm, $AD=3$ cm și înălțimea $A{A}^{\prime }=5$ cm. Aflați unghiul dintre diagonala $A{C}^{\prime }$ și planul bazei $(ABC)$.

Rezolvare. Diagonala $A{C}^{\prime }$ atinge baza în $A$. Capătul $C^{\prime }$ se proiectează în $C$ (muchia $C{C}^{\prime }\perp$ bază). Deci proiecția diagonalei $A{C}^{\prime }$ pe bază este diagonala $AC$, iar unghiul căutat este $\phi =\widehat{C^{\prime }AC}$.

Mai întâi aflăm proiecția $AC$, care este diagonala dreptunghiului de bază $ABCD$. Cu teorema lui Pitagora în triunghiul $ABC$ (drept în $B$): $$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{ cm}.$$ (Am folosit $BC=AD=3$ cm.)

Triunghiul $AC{C}^{\prime }$ este dreptunghic în $C$ (căci $C{C}^{\prime }\perp$ bază $\Rightarrow C{C}^{\prime }\perp AC$). Avem cateta perpendiculară $C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=5$ cm și cateta-proiecție $AC=5$ cm: $$\mathrm{tg}\phi =\frac{C{C}^{\prime }}{AC}=\frac{5}{5}=1\Rightarrow \phi =45°.$$

Răspuns: diagonala $A{C}^{\prime }$ face un unghi de $45°$ cu baza.

Exemplul 5 — Un unghi de $60°$ și lucrul „invers"

Un panou drept $AB$ este fixat cu un capăt $B$ pe podea (planul $\alpha$) și face cu podeaua un unghi de $60°$. Distanța de la capătul de sus $A$ până la podea este $AO=9$ cm. Aflați lungimea panoului $AB$ și lungimea proiecției $BO$.

Rezolvare. În triunghiul dreptunghic $ABO$ (drept în $O$), $\phi =60°$, $AO=9$ cm (cateta opusă).

Pentru ipotenuză $AB$ folosim sinusul: $$\sin 60°=\frac{AO}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{AB}\Rightarrow AB=\frac{9\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}\text{ cm}.$$

Pentru proiecția $BO$ folosim tangenta: $$\mathrm{tg}60°=\frac{AO}{BO}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{9}{BO}\Rightarrow BO=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\text{ cm}.$$

Verificare (Pitagora): $A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2\Rightarrow (6\sqrt{3}{)}^2=9^2+(3\sqrt{3}{)}^2\Rightarrow 108=81+27=108$. ✓

Răspuns: $AB=6\sqrt{3}$ cm și $BO=3\sqrt{3}$ cm.

Exemplul 6 — Prismă triunghiulară regulată

Se dă prisma triunghiulară regulată $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (baze triunghiuri echilaterale, muchii laterale perpendiculare pe baze) cu muchia bazei $AB=4$ cm și înălțimea $A{A}^{\prime }=4$ cm. Aflați unghiul dintre dreapta $A^{\prime }B$ și planul bazei $(ABC)$.

Rezolvare. Dreapta $A^{\prime }B$ atinge baza în $B$. Capătul $A^{\prime }$ se proiectează în $A$ (muchia $A^{\prime }A\perp$ bază). Proiecția lui $A^{\prime }B$ pe bază este $AB$, deci unghiul este $\phi =\widehat{A^{\prime }BA}$.

Triunghiul $A^{\prime }AB$ este dreptunghic în $A$, cu $A^{\prime }A=4$ cm (perpendiculara) și $AB=4$ cm (proiecția): $$\mathrm{tg}\phi =\frac{A^{\prime }A}{AB}=\frac{4}{4}=1\Rightarrow \phi =45°.$$

Răspuns: unghiul este de $45°$. Observă că, deși baza este un triunghi (nu un pătrat ca la cub), metoda este identică: contează doar perpendiculara și proiecția.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu figură acolo unde este cazul. Răspunsurile și explicațiile sunt mai jos.

1. Completează: Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și ............... ei pe plan.

2. Adevărat sau fals, cu justificare: „Unghiul dintre o dreaptă și un plan poate măsura $110°$."

3. Adevărat sau fals, cu justificare: „O dreaptă paralelă cu un plan face cu planul un unghi de $0°$."

4. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci unghiul dintre ele este de $45°$."

5. Un punct $A$ este la distanța $AO=7$ cm de un plan ($O$ = proiecția lui $A$). O dreaptă din $A$ atinge planul în $B$, cu proiecția $BO=7\sqrt{3}$ cm. Aflați unghiul dintre dreapta $AB$ și plan.

6. O dreaptă oblică $AB$ atinge un plan în $B$; $AB=12$ cm, iar distanța de la $A$ la plan este $AO=6\sqrt{2}$ cm. Aflați unghiul dintre dreaptă și plan.

7. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $6$ cm, aflați unghiul dintre dreapta $D^{\prime }C$ și planul bazei $(ABC)$.

8. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a$, se consideră diagonala $A^{\prime }C$ și planul bazei $(ABC)$. Arătați că proiecția lui $A^{\prime }C$ pe bază este $AC$ și aflați tangenta unghiului dintre $A^{\prime }C$ și planul bazei.

9. Paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $AB=6$ cm, $AD=8$ cm și înălțimea $A{A}^{\prime }=10\sqrt{3}$ cm. Aflați unghiul dintre diagonala $A{C}^{\prime }$ și planul bazei.

10. O dreaptă face cu un plan un unghi de $30°$. Un segment $AB$ de pe această dreaptă are lungimea $AB=14$ cm ($B$ = punctul de contact cu planul). Aflați distanța de la $A$ la plan și lungimea proiecției lui $AB$ pe plan.

11. În paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ cm și $A{A}^{\prime }=8\sqrt{3}$ cm, aflați unghiul dintre diagonala feței laterale $A{B}^{\prime }$ și planul bazei $(ABC)$.

12. O dronă zboară în linie dreaptă. Pornind din punctul $B$ de pe sol, ea ajunge în punctul $A$ aflat la $15$ m înălțime, iar proiecția traiectoriei pe sol are lungimea $15\sqrt{3}$ m. Sub ce unghi față de sol urcă drona?

13. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $6$ cm, fie $O$ centrul feței de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Aflați tangenta unghiului dintre dreapta $AO$ și planul bazei $(ABC)$.

14. Justifică pe scurt: de ce triunghiul folosit la calculul unghiului dintre o dreaptă și un plan este întotdeauna dreptunghic și în ce vârf se află unghiul drept?

15. Într-un paralelipiped dreptunghic, diagonala $A{C}^{\prime }$ face cu planul bazei un unghi de $60°$, iar diagonala bazei este $AC=5$ cm. Aflați înălțimea $C{C}^{\prime }$ a paralelipipedului și lungimea diagonalei $A{C}^{\prime }$.

16. Item tip Evaluarea Națională. Se dă prisma triunghiulară regulată $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu latura bazei de $10$ cm și înălțimea de $5\sqrt{3}$ cm. a) Aflați unghiul dintre muchia laterală $A{A}^{\prime }$ și planul bazei $(ABC)$. b) Aflați unghiul dintre dreapta $A^{\prime }B$ și planul bazei $(ABC)$.

Răspunsuri și explicații

1. proiecția. Prin definiție, unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe acel plan.

2. Fals. Unghiul dintre o dreaptă și un plan este întotdeauna în intervalul $[0°,90°]$, deci nu poate fi obtuz. Un unghi de $110°$ este imposibil.

3. Adevărat. O dreaptă paralelă cu planul „nu se ridică" față de el; proiecția ei este o dreaptă paralelă cu ea, iar unghiul dintre ele este $0°$ (prin convenție și în acord cu intuiția).

4. Fals. Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, unghiul dintre ele este de $90°$, nu $45°$.

5. Triunghi dreptunghic $ABO$, drept în $O$. $\mathrm{tg}\phi =\frac{AO}{BO}=\frac{7}{7\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Deci $\phi =30°$.

6. $\sin \phi =\frac{AO}{AB}=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Deci $\phi =45°$.

7. Dreapta $D^{\prime }C$ atinge baza în $C$; capătul $D^{\prime }$ se proiectează în $D$ (muchia $D^{\prime }D\perp$ bază). Proiecția este $DC$, iar unghiul este $\widehat{D^{\prime }CD}$. Triunghiul $D^{\prime }DC$ este dreptunghic în $D$, cu $D^{\prime }D=6$ cm și $DC=6$ cm: $\mathrm{tg}\phi =\frac{6}{6}=1\Rightarrow \phi =45°$. (Din nou, diagonala unei fețe laterale a cubului face $45°$ cu baza.)

8. Capătul $A^{\prime }$ se proiectează în $A$ (muchia $A^{\prime }A\perp$ bază), iar $C$ este deja în bază, deci proiecția lui $A^{\prime }C$ este $AC$. Unghiul este $\widehat{A^{\prime }CA}$, într-un triunghi $A^{\prime }AC$ dreptunghic în $A$. Latura verticală $A^{\prime }A=a$, iar proiecția $AC=a\sqrt{2}$ (diagonala pătratului de bază). Atunci $$\mathrm{tg}\phi =\frac{A^{\prime }A}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Aceasta nu este o valoare din tabelul unghiurilor speciale, așa că răspunsul se lasă sub formă de tangentă: $\mathrm{tg}\phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$. (Este celebrul unghi al diagonalei cubului, de aproximativ $35°$ — o valoare pe care nu ți se cere să o memorezi.)

9. Proiecția lui $A{C}^{\prime }$ pe bază este diagonala $AC$. Calculăm $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm. În triunghiul $AC{C}^{\prime }$ (drept în $C$): $\mathrm{tg}\phi =\frac{C{C}^{\prime }}{AC}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}\Rightarrow \phi =60°$.

10. În triunghiul dreptunghic $ABO$ (drept în $O$), $\phi =30°$, ipotenuza $AB=14$ cm. Distanța de la $A$ la plan: $AO=AB\cdot \sin 30°=14\cdot \frac{1}{2}=7$ cm. Proiecția: $BO=AB\cdot \cos 30°=14\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3}$ cm. (Verificare: $7^2+(7\sqrt{3}{)}^2=49+147=196=14^2$. ✓)

11. Diagonala feței laterale $A{B}^{\prime }$ atinge baza în $A$; capătul $B^{\prime }$ se proiectează în $B$. Proiecția este $AB$, iar unghiul este $\widehat{B^{\prime }AB}$, în triunghiul $AB{B}^{\prime }$ dreptunghic în $B$. $B{B}^{\prime }=A{A}^{\prime }=8\sqrt{3}$ cm, $AB=8$ cm: $\mathrm{tg}\phi =\frac{B{B}^{\prime }}{AB}=\frac{8\sqrt{3}}{8}=\sqrt{3}\Rightarrow \phi =60°$.

12. Modelăm cu triunghiul dreptunghic $ABO$ (drept în $O$), unde $AO=15$ m (înălțimea) este cateta opusă, iar $BO=15\sqrt{3}$ m (proiecția) este cateta alăturată: $\mathrm{tg}\phi =\frac{15}{15\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \phi =30°$.

13. $O$ este centrul feței de sus. Proiecția lui $O$ pe baza $(ABC)$ este centrul $O_1$ al bazei (coborâm vertical, pe distanța egală cu muchia). Deci proiecția dreptei $AO$ pe bază este $A{O}_1$, iar unghiul este $\widehat{OA{O}_1}$, în triunghiul $AO{O}_1$ dreptunghic în $O_1$. Avem:

• $O{O}_1=6$ cm (înălțimea cubului, perpendiculara pe bază);
• $A{O}_1=\frac{AC}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ cm (jumătate din diagonala bazei, pentru că $O_1$ este centrul bazei).

$$\mathrm{tg}\phi =\frac{O{O}_1}{A{O}_1}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$$ Răspunsul se lasă sub formă de tangentă: $\mathrm{tg}\phi =\sqrt{2}$.

14. Din punctul „de sus" al dreptei ducem perpendiculara pe plan; piciorul ei este proiecția acelui punct. Segmentul perpendicular este, prin definiția perpendicularei pe plan, perpendicular pe orice dreaptă din plan — în particular pe proiecția dreptei. De aceea triunghiul format (oblica, perpendiculara, proiecția) este dreptunghic, iar unghiul drept se află în piciorul perpendicularei (proiecția punctului de sus). Unghiul dintre dreaptă și plan este unghiul din vârful aflat în plan (punctul de contact).

15. În triunghiul dreptunghic $AC{C}^{\prime }$ (drept în $C$), $\phi =60°$, cateta alăturată $AC=5$ cm. Înălțimea: $C{C}^{\prime }=AC\cdot \mathrm{tg}60°=5\sqrt{3}$ cm. Diagonala: $A{C}^{\prime }=\frac{AC}{\cos 60°}=\frac{5}{1/2}=10$ cm. (Verificare: $A{C}^{\prime 2}=A{C}^2+C{C}^{\prime 2}=25+75=100=10^2$. ✓)

16. a) Muchia laterală $A{A}^{\prime }$ este, prin definiția prismei drepte, perpendiculară pe planul bazei. Deci unghiul dintre $A{A}^{\prime }$ și $(ABC)$ este de $90°$. b) Dreapta $A^{\prime }B$ atinge baza în $B$, iar $A^{\prime }$ se proiectează în $A$; proiecția este $AB$, unghiul este $\widehat{A^{\prime }BA}$ în triunghiul $A^{\prime }AB$ dreptunghic în $A$. Cu $A^{\prime }A=5\sqrt{3}$ cm și $AB=10$ cm: $\mathrm{tg}\phi =\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Această valoare nu este din tabelul unghiurilor speciale (atenție: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ este $\sin 60°$, nu $\mathrm{tg}$ a vreunui unghi special!), deci răspunsul se lasă sub forma $\mathrm{tg}\phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$.

De reținut

• Definiție: unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul (ascuțit) dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Este cel mai mic unghi pe care dreapta îl face cu o dreaptă din plan.
• Construcție: din capătul de sus $A$ cobori perpendiculara pe plan (picior $O$); dacă dreapta atinge planul în $B$, atunci proiecția este $BO$, iar unghiul este $\widehat{ABO}$. Triunghiul $ABO$ este dreptunghic în $O$.
• Calcul: $\sin \phi =\frac{AO}{AB}$ (perpendiculara / oblica), $\cos \phi =\frac{BO}{AB}$ (proiecția / oblica), $\mathrm{tg}\phi =\frac{AO}{BO}$ (perpendiculara / proiecția). De obicei tangenta este cea mai rapidă.
• Cazuri limită: dreaptă paralelă cu planul $\Rightarrow \phi =0°$; dreaptă perpendiculară pe plan $\Rightarrow \phi =90°$. Mereu $0°\le \phi \le 90°$.
• În corpuri: muchiile laterale ale prismei/cubului/paralelipipedului sunt perpendiculare pe bază, deci vârful de sus se proiectează în vârful de jos. Diagonala unei fețe laterale a cubului face mereu $45°$ cu baza.

Greșeli frecvente

• Confunzi proiecția (unghiul potrivit) cu o dreaptă oarecare din plan. Unghiul dintre o dreaptă și un plan se măsoară numai față de proiecția dreptei, nu față de orice muchie din plan care „pare" apropiată. Desenează întâi proiecția, apoi unghiul.
• Pui greșit unghiul drept în triunghi. Unghiul de $90°$ este în piciorul perpendicularei ($O$), acolo unde perpendiculara pe plan întâlnește planul. Unghiul căutat este în celălalt vârf din plan (punctul de contact $B$). Dacă îți iese un unghi peste $90°$, ai greșit vârful.
• Nu identifici corect piciorul perpendicularei. În cub, paralelipiped și prismă dreaptă, perpendiculara pe bază este muchia laterală. Vârful de sus se proiectează exact în vârful de jos, nu în alt punct. La punctele „din interior" (centre de fețe), coboară vertical în centrul bazei.
• Forțezi un răspuns în grade când tangenta nu este specială. Dacă obții $\mathrm{tg}\phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$ sau $\sqrt{2}$, acestea nu corespund unghiurilor $30°,45°,60°$. La clasa a VIII-a lași răspunsul ca valoare a funcției trigonometrice; nu inventa o măsură în grade.

Aplică acasă

• Rampa de acasă. Găsește o scândură sau o riglă lungă și sprijin-o de o treaptă, formând o rampă. Măsoară cu ruleta înălțimea capătului de sus față de podea ($AO$) și lungimea rampei ($AB$). Calculează $\sin \phi =\frac{AO}{AB}$ și estimează unghiul rampei cu podeaua. Repetă cu rampa mai înclinată și vezi cum crește unghiul.
• Cubul din carton. Construiește (sau ia) un cub și trasează pe o față diagonala unei fețe laterale. Verifică practic, cu un raportor improvizat, că această diagonală face aproximativ $45°$ cu masa (planul bazei). Apoi trasează o diagonală spațială și observă că unghiul ei cu masa este vizibil mai mic decât $45°$ — exact ca la Exercițiul 8.
• Umbra ca proiecție. Într-o zi însorită, ține un creion înclinat deasupra unei mese. Umbra lui pe masă este chiar proiecția dreptei-creion pe planul-masă. Modifică înclinarea și observă: cu cât creionul este mai „culcat", cu atât unghiul cu masa e mai mic (spre $0°$); cu cât e mai „ridicat", cu atât se apropie de $90°$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție face legătura dintre geometria în spațiu și trigonometria din triunghiul dreptunghic (clasa a VII-a). Cheia înțelegerii nu este formula, ci construcția corectă a figurii: elevul trebuie să știe să reducă o configurație spațială la un singur triunghi dreptunghic bine ales. Dacă elevul desenează corect triunghiul și marchează unghiul drept în piciorul perpendicularei, restul este calcul de rutină.

Întrebări bune de verificare:

• „Care este proiecția dreptei pe plan și de ce tocmai ea?" (răspuns: umbra dreptei; dă cel mai mic unghi).
• „În ce vârf al triunghiului se află unghiul drept? Dar unghiul căutat?" (răspuns: unghiul drept în piciorul perpendicularei; unghiul căutat în punctul unde dreapta atinge planul).
• „Ce unghi face o dreaptă paralelă cu planul? Dar una perpendiculară?" ($0°$, respectiv $90°$).
• „De ce diagonala unei fețe laterale a cubului face $45°$ cu baza?" (perpendiculara și proiecția sunt egale, ambele egale cu muchia).

Semne că elevul a înțeles: alege singur triunghiul potrivit, folosește tangenta când cunoaște ambele catete, recunoaște când răspunsul rămâne sub formă de valoare trigonometrică și nu forțează grade. La Evaluarea Națională, acest tip de cerință apare aproape mereu în Subiectul al III-lea (problema de geometrie în spațiu), unde se cere „unghiul dintre o dreaptă și un plan" într-un cub, paralelipiped, prismă sau piramidă, punctat pe pași: identificarea proiecției, justificarea triunghiului dreptunghic și calculul trigonometric.

Întrebări frecvente

Ce este, mai exact, unghiul dintre o dreaptă și un plan? Este unghiul ascuțit dintre dreaptă și proiecția ei pe plan (umbra dreptei pe plan). Se măsoară într-un triunghi dreptunghic format din dreaptă, perpendiculara pe plan și proiecția dreptei.

Cum construiesc unghiul dintre o dreaptă și un plan? Iei un punct de pe dreaptă (în afara planului), cobori din el perpendiculara pe plan și notezi piciorul ei. Unești acest picior cu punctul în care dreapta atinge planul: aceasta este proiecția. Unghiul dintre dreaptă și proiecție este cel căutat.

Ce funcție trigonometrică folosesc pentru a calcula unghiul? Depinde de ce laturi cunoști. Dacă știi perpendiculara și proiecția (ambele catete), folosești tangenta: $\mathrm{tg}\phi =\frac{\text{perpendiculara}}{\text{proiecția}}$. Dacă știi oblica (ipotenuza), folosești sinusul sau cosinusul. Tangenta este de obicei cea mai rapidă.

Ce unghi face o dreaptă paralelă cu un plan? Face un unghi de $0°$ cu planul, pentru că nu se ridică deloc față de el. Același lucru este valabil și pentru o dreaptă conținută în plan.

Poate unghiul dintre o dreaptă și un plan să fie mai mare de $90°$? Nu. Unghiul dintre o dreaptă și un plan este întotdeauna cuprins între $0°$ și $90°$. Valoarea maximă, $90°$, se obține când dreapta este perpendiculară pe plan.

De ce diagonala unei fețe laterale a cubului face $45°$ cu baza? Pentru că proiecția ei pe bază este o muchie a bazei, iar perpendiculara pe bază este o muchie laterală — ambele egale cu muchia cubului. Într-un triunghi dreptunghic cu catete egale, unghiul ascuțit este de $45°$ ($\mathrm{tg}\phi =1$).

Ce fac dacă tangenta unghiului nu este o valoare din tabel (de exemplu $\sqrt{2}$)? La clasa a VIII-a lași răspunsul sub forma valorii trigonometrice: $\mathrm{tg}\phi =\sqrt{2}$. Nu ești obligat să dai o măsură exactă în grade, iar cerințele de examen sunt formulate în acest caz ca „aflați tangenta unghiului".

Cum recunosc piciorul perpendicularei într-un cub sau paralelipiped? Muchiile laterale sunt perpendiculare pe planul bazei, deci fiecare vârf de sus se proiectează exact în vârful corespunzător de jos. Pentru puncte din interior (de exemplu centrul unei fețe), cobori vertical în centrul bazei.