Plane perpendiculare

Gândește-te la un perete care se ridică din podea sau la o ușă deschisă lângă tocul ei: peretele „stă drept" pe podea, iar cele două suprafețe formează între ele un unghi de $90°$ . În limbaj matematic spunem că cele două plane sunt perpendiculare. Acest concept este esențial în construcții (un zid strâmb se prăbușește), în design și în orice problemă de geometrie în spațiu de la Evaluarea Națională. În lecția de față vei învăța ce înseamnă riguros că două plane sunt perpendiculare, cum recunoști rapid această situație pe un cub sau pe o prismă și, mai ales, ce criteriu folosești ca să justifici perpendicularitatea la examen, pas cu pas, pentru punctaj maxim.

Ce vei învăța

Vei ști să definești corect ce înseamnă că două plane sunt perpendiculare, folosind unghiul diedru drept.
Vei ști să aplici criteriul de perpendicularitate a două plane: dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, atunci planele sunt perpendiculare.
Vei ști să folosești proprietățile planelor perpendiculare și legătura lor cu dreapta perpendiculară pe un plan.
Vei ști să recunoști și să justifici perechile de plane perpendiculare pe cub, paralelipiped dreptunghic și prismă dreaptă.
Vei ști să analizezi pozițiile relative a două plane: paralele, secante sau perpendiculare.

Hai să descoperim împreună

1. De la ce știm deja pornim

În lecția anterioară, Drepte perpendiculare. Dreapta perpendiculară pe un plan, ai învățat un lucru foarte important: o dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $α$ dacă este perpendiculară pe toate dreptele din acel plan care trec prin piciorul ei. Scriem $d ⊥ α$ . Reține și criteriul: e suficient ca $d$ să fie perpendiculară pe două drepte concurente din plan.

Acum facem pasul următor: în loc să vorbim despre o dreaptă și un plan, vorbim despre două plane și ne întrebăm când sunt ele „așezate în unghi drept" unul față de celălalt.

2. Cum „măsurăm" unghiul dintre două plane

Două plane care se intersectează au în comun o dreaptă, numită muchie (dreapta de intersecție). Dar cum măsurăm unghiul dintre ele? Nu putem folosi orice unghi la întâmplare, pentru că am obține valori diferite. Avem nevoie de o măsură bine definită.

Procedăm așa. Fie planele $α$ și $β$ care se taie după dreapta $d$ (muchia). Alegem un punct $M$ pe muchia $d$ . Din $M$ ducem:

o semidreaptă în planul $α$ , perpendiculară pe muchia $d$ ;
o semidreaptă în planul $β$ , perpendiculară pe muchia $d$ .

Unghiul format de aceste două semidrepte se numește unghiul diedru (sau unghiul celor două plane). Figura formată de cele două semiplane care pornesc din muchie se numește diedru, iar acest unghi îi dă „deschiderea".

Vom studia detaliat unghiul diedru în lecția Unghiul diedru. Unghiul a două plane. Acum ne interesează doar un caz special, cel mai important: când acest unghi este drept.

3. Definiția planelor perpendiculare

Definiție. Două plane se numesc perpendiculare dacă unghiul diedru format de ele este drept (are măsura de $90°$ ).

Dacă planele $α$ și $β$ sunt perpendiculare, scriem: $α ⊥ β$

Cu alte cuvinte, planele sunt perpendiculare exact atunci când, ducând din același punct al muchiei câte o perpendiculară pe muchie în fiecare plan, cele două perpendiculare fac între ele un unghi de $90°$ .

Observă un lucru firesc: dacă $α ⊥ β$ , atunci și $β ⊥ α$ . Perpendicularitatea planelor este o relație simetrică — nu contează în ce ordine numim planele. La fel cum un perete e perpendicular pe podea, tot așa podeaua e perpendiculară pe perete.

4. Criteriul de perpendicularitate a două plane — instrumentul de bază

A verifica de fiecare dată unghiul diedru ar fi greoi. Din fericire, avem un criteriu foarte comod, care leagă perpendicularitatea planelor de ceea ce știi deja despre dreapta perpendiculară pe un plan. Acesta este cel mai important rezultat al lecției și îl vei folosi în aproape orice problemă.

Criteriul de perpendicularitate a două plane. Dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe un al doilea plan, atunci cele două plane sunt perpendiculare.

În simboluri: dacă dreapta $d \subset β$ și $d ⊥ α$ , atunci $β ⊥ α$ .

Tradus în cuvinte simple: ca să arăți că două plane sunt perpendiculare, e suficient să găsești, într-unul din ele, o dreaptă care „intră perpendicular" în celălalt plan.

Să înțelegem de ce funcționează. Dacă $d ⊥ α$ , atunci $d$ este perpendiculară pe muchia de intersecție a planelor (care e o dreaptă din $α$ ). Dreapta $d$ joacă rolul unei perpendiculare pe muchie în planul $β$ . Ducem și în $α$ perpendiculara pe muchie prin același punct; deoarece $d ⊥ α$ , dreapta $d$ este perpendiculară și pe această perpendiculară din $α$ . Așadar unghiul diedru, format de aceste două perpendiculare pe muchie, este de $90°$ — deci planele sunt perpendiculare.

Foarte important pentru examen: criteriul se enunță cu o dreaptă perpendiculară pe întreg planul, nu doar pe muchie. O dreaptă perpendiculară doar pe muchia de intersecție NU garantează că planele sunt perpendiculare. Reține expresia-cheie de redactare: „planul $β$ conține dreapta $d$ , iar $d ⊥ α$ , deci $β ⊥ α$ (criteriul de perpendicularitate a planelor)."

5. O consecință utilă: cum construim un plan perpendicular

Din criteriu rezultă o idee practică de construcție. Dacă avem un plan $α$ și o dreaptă $d$ perpendiculară pe el, atunci orice plan care conține dreapta $d$ este perpendicular pe $α$ . Prin dreapta $d$ trec o infinitate de plane (imaginează-ți paginile unei cărți deschise, toate având ca „cotor" dreapta $d$ ) — și toate sunt perpendiculare pe $α$ .

Reține și legătura inversă, foarte folosită: dacă $α ⊥ β$ și dreapta lor comună (muchia) este $d$ , iar într-unul din plane ducem o dreaptă perpendiculară pe muchia $d$ , atunci acea dreaptă este perpendiculară pe celălalt plan. Această proprietate este utilă când vrei să „cobori" o perpendiculară dintr-un plan în altul.

6. Perpendicularitatea planelor pe corpurile geometrice

Aici geometria devine foarte concretă. Pe corpurile pe care le studiezi la clasa a VIII-a — cub, paralelipiped dreptunghic, prismă dreaptă — apar foarte multe perechi de plane perpendiculare, și trebuie să le recunoști rapid.

Ideea-cheie: la o prismă dreaptă (și deci și la paralelipiped sau cub), muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor. De aici, folosind criteriul, obținem instant o mulțime de plane perpendiculare.

Să lucrăm pe un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cu baza de jos $A B C D$ și baza de sus $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (vârfurile cu prim sunt deasupra celor fără prim).

a) Fețele laterale sunt perpendiculare pe baze. Muchia $A A^{'}$ este verticală, deci $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ (muchia laterală e perpendiculară pe planul bazei). Fața laterală $(A B B^{'} A^{'})$ conține dreapta $A A^{'}$ . Deci, conform criteriului: $A A^{'} \subset (A B B^{'} A^{'}), A A^{'} ⊥ (A B C D) \Rightarrow (A B B^{'} A^{'}) ⊥ (A B C D) .$ La fel se arată că fiecare dintre cele patru fețe laterale este perpendiculară pe planul bazei $(A B C D)$ și pe planul bazei de sus $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .

b) Fețe laterale perpendiculare între ele. Fețele laterale vecine (care au o muchie comună) sunt și ele perpendiculare. De exemplu, fața $(A B B^{'} A^{'})$ și fața $(B C C^{'} B^{'})$ au muchia comună $B B^{'}$ . În fața $(A B B^{'} A^{'})$ , dreapta $A B$ este perpendiculară pe $B B^{'}$ și, la un cub, $A B ⊥ (B C C^{'} B^{'})$ (pentru că $A B ⊥ B B^{'}$ și $A B ⊥ B C$ ). Cum $A B \subset (A B B^{'} A^{'})$ și $A B ⊥ (B C C^{'} B^{'})$ , rezultă $(A B B^{'} A^{'}) ⊥ (B C C^{'} B^{'})$ .

c) Plane diagonale perpendiculare pe baze. Planul diagonal $(A C C^{'} A^{'})$ conține muchia verticală $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ , deci $(A C C^{'} A^{'}) ⊥ (A B C D)$ . La fel, orice plan care „taie" corpul de sus în jos și conține o muchie verticală (sau, mai general, o dreaptă perpendiculară pe bază) este perpendicular pe planul bazei.

Aceleași raționamente funcționează identic pe paralelipipedul dreptunghic și pe orice prismă dreaptă: cheia este mereu o muchie laterală (verticală) perpendiculară pe bază, conținută într-o față sau într-un plan diagonal.

7. Pozițiile relative a două plane — tabloul complet

Ca să încheiem, să sistematizăm toate pozițiile în care se pot afla două plane distincte în spațiu. Există exact două situații mari, iar în interiorul uneia dintre ele apare cazul special al perpendicularității.

Cazul 1: Plane paralele. Cele două plane nu au niciun punct comun. Distanța dintre ele este constantă. Exemplu: cele două baze ale unui cub, $(A B C D)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ . Ai studiat această situație în Plane paralele.

Cazul 2: Plane secante (concurente). Cele două plane au în comun o dreaptă (muchia). Aici distingem după unghiul diedru:

oblic, dacă unghiul diedru NU este drept;
perpendicular, dacă unghiul diedru este drept — cazul studiat azi.

Nu există „plane care se ating într-un singur punct" sau „plane necoplanare" — două plane distincte din spațiu ori sunt paralele, ori se taie exact după o dreaptă. Acesta e un contrast important față de drepte, care pot fi și necoplanare (nici paralele, nici concurente).

Reține deci: perpendicularitatea este un caz particular al secanței. Două plane perpendiculare sunt, în primul rând, secante (se taie după o dreaptă), iar în plus unghiul lor este de $90°$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea directă a criteriului

Enunț. Fie planul $α$ și un punct $O \in α$ . Ridicăm din $O$ dreapta $V O ⊥ α$ . Fie $β$ un plan oarecare care conține dreapta $V O$ . Arată că $β ⊥ α$ .

Rezolvare. Datele problemei ne spun două lucruri:

$V O ⊥ α$ (ipoteză);
$V O \subset β$ (dreapta $V O$ este conținută în planul $β$ ).

Aplicăm criteriul de perpendicularitate a două plane: planul $β$ conține o dreaptă (anume $V O$ ) perpendiculară pe planul $α$ . Prin urmare: $β ⊥ α .$

Observație de redactare. La examen scrii exact acești pași: identifici dreapta perpendiculară pe un plan, arăți că este conținută în celălalt plan, apoi invoci criteriul. Trei rânduri, punctaj complet.

Exemplul 2 — Perpendicularitate pe cub

Enunț. Se dă cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Arată că planul $(D C C^{'} D^{'})$ este perpendicular pe planul bazei $(A B C D)$ .

Rezolvare.

Muchia laterală $D D^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei, deoarece la cub muchiile verticale sunt perpendiculare pe baze: $D D^{'} ⊥ (A B C D) .$ Pe de altă parte, dreapta $D D^{'}$ este conținută în fața laterală: $D D^{'} \subset (D C C^{'} D^{'}) .$ Planul $(D C C^{'} D^{'})$ conține o dreaptă perpendiculară pe planul $(A B C D)$ , deci, conform criteriului: $(D C C^{'} D^{'}) ⊥ (A B C D) .$

Exemplul 3 — Adevărat sau fals, cu justificare

Enunț. Spune dacă afirmația este adevărată sau falsă, motivând: „Dacă o dreaptă $d$ dintr-un plan $β$ este perpendiculară pe muchia de intersecție a planelor $α$ și $β$ , atunci $α ⊥ β$ ."

Rezolvare. Afirmația este falsă. Criteriul cere ca dreapta $d$ să fie perpendiculară pe întreg planul $α$ , nu doar pe muchia de intersecție. O dreaptă poate fi perpendiculară pe muchie și, totuși, să fie „oblică" față de plan.

Contraexemplu intuitiv: deschide o carte pe masă, dar nu la $90°$ , ci înclinat, la $60°$ . Cotorul cărții este muchia. Pe pagina ridicată poți trasa o linie perpendiculară pe cotor (linia „de sus în jos" a paginii). Această linie este perpendiculară pe muchie, dar planul paginii NU este perpendicular pe planul mesei — unghiul diedru este de $60°$ , nu de $90°$ . Deci perpendicularitatea pe muchie nu e suficientă.

Exemplul 4 — Numărarea planelor perpendiculare pe o față

Enunț. În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , câte dintre cele șase fețe ale cubului sunt perpendiculare pe fața $(A B C D)$ ? Justifică.

Rezolvare. Fața $(A B C D)$ este baza de jos. Analizăm celelalte cinci fețe:

$(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ — baza de sus: este paralelă cu $(A B C D)$ , deci NU perpendiculară.
$(A B B^{'} A^{'})$ , $(B C C^{'} B^{'})$ , $(C D D^{'} C^{'})$ , $(D A A^{'} D^{'})$ — cele patru fețe laterale: fiecare conține o muchie verticală ( $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ , respectiv $D D^{'}$ ), care este perpendiculară pe $(A B C D)$ . Conform criteriului, fiecare este perpendiculară pe $(A B C D)$ .

Răspuns: exact $4$ fețe (cele patru fețe laterale) sunt perpendiculare pe $(A B C D)$ .

Exemplul 5 — Perpendicularitate și înălțime într-o problemă aplicată

Enunț. Un stâlp vertical $V O$ este fixat în punctul $O$ pe o platformă orizontală $α$ . Un panou publicitar plan $β$ este montat astfel încât să conțină stâlpul $V O$ . Ce poziție relativă au planul panoului $β$ și platforma $α$ ? Justifică.

Rezolvare. Stâlpul fiind vertical pe platforma orizontală, avem $V O ⊥ α$ . Panoul $β$ conține stâlpul, deci $V O \subset β$ . Prin criteriul de perpendicularitate a planelor: $V O ⊥ α, V O \subset β \Rightarrow β ⊥ α .$ Concluzie: planul panoului este perpendicular pe planul platformei, oricum ar fi rotit panoul în jurul stâlpului. Acesta e și motivul practic pentru care panourile montate pe stâlpi verticali „stau drept" față de sol.

Exemplul 6 — Plan diagonal perpendicular pe bază (paralelipiped)

Enunț. Se dă paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Arată că planul diagonal $(B D D^{'} B^{'})$ este perpendicular pe planul bazei $(A B C D)$ .

Rezolvare.

Muchia laterală $B B^{'}$ este perpendiculară pe baza $(A B C D)$ : $B B^{'} ⊥ (A B C D) .$ Dreapta $B B^{'}$ aparține planului diagonal: $B B^{'} \subset (B D D^{'} B^{'}) .$ Planul $(B D D^{'} B^{'})$ conține o dreaptă perpendiculară pe $(A B C D)$ , deci, prin criteriu: $(B D D^{'} B^{'}) ⊥ (A B C D) .$ Așadar, orice secțiune diagonală verticală a paralelipipedului este perpendiculară pe planul bazei — util când calculezi arii de secțiuni diagonale în lecțiile despre corpuri.

Să exersăm

1. Completează: Două plane se numesc perpendiculare dacă unghiul ................ format de ele are măsura de ............ .

2. Adevărat sau fals (fără justificare, deocamdată): a) Dacă $α ⊥ β$ , atunci $β ⊥ α$ . b) Două plane perpendiculare sunt paralele. c) Două plane perpendiculare sunt secante.

3. Enunță, în cuvintele tale, criteriul de perpendicularitate a două plane.

4. Fie dreapta $d ⊥ α$ și $d \subset γ$ . Ce relație există între planele $γ$ și $α$ ? Justifică pe scurt.

5. În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , precizează care este muchia laterală conținută în fața $(B C C^{'} B^{'})$ care justifică perpendicularitatea acestei fețe pe baza $(A B C D)$ .

6. În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , arată că $(A B B^{'} A^{'}) ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ (fața laterală este perpendiculară pe baza de sus).

7. Câte perechi diferite de fețe perpendiculare există la un cub? (Indicație: numără perechile de fețe care au o muchie comună.)

8. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă un plan $β$ conține o dreaptă perpendiculară pe muchia de intersecție a lui $α$ și $β$ , atunci $α ⊥ β$ ."

9. Se dă prisma dreaptă triunghiulară $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ . Arată că fața laterală $(B C C^{'} B^{'})$ este perpendiculară pe baza $(A B C)$ .

10. Fie planul $α$ și punctul $M \in α$ . Din $M$ ridicăm $M N ⊥ α$ . Câte plane care conțin dreapta $M N$ sunt perpendiculare pe $α$ ? Alege: (A) unul singur; (B) exact două; (C) o infinitate; (D) niciunul.

11. Item tip Evaluare Națională. În paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , planul $(A C C^{'} A^{'})$ este: (A) paralel cu $(A B C D)$ ; (B) perpendicular pe $(A B C D)$ ; (C) secant oblic pe $(A B C D)$ ; (D) confundat cu $(A B C D)$ . Justifică alegerea.

12. Precizează, pentru fiecare pereche de plane de mai jos dintr-un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , dacă sunt paralele, perpendiculare sau secante oblice: a) $(A B C D)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ ; b) $(A B C D)$ și $(D C C^{'} D^{'})$ ; c) $(A D D^{'} A^{'})$ și $(B C C^{'} B^{'})$ .

13. Fie $α ⊥ β$ cu muchia comună $d$ . În planul $β$ se duce dreapta $g ⊥ d$ , cu $g \cap d = {P}$ . Ce relație are dreapta $g$ cu planul $α$ ? Justifică folosind proprietatea planelor perpendiculare.

14. Problemă de raționament. Fie planele $α$ , $β$ , $γ$ astfel încât $γ ⊥ α$ și $γ ⊥ β$ . Rezultă obligatoriu că $α ∥ β$ ? Dă un exemplu concret dintr-un cub care lămurește răspunsul.

15. Item tip Evaluare Națională. Se consideră cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia de $6$ cm. a) Arată că $(B D D^{'} B^{'}) ⊥ (A B C D)$ . b) Cât este aria secțiunii diagonale $B D D^{'} B^{'}$ ? (Amintește-ți: diagonala unei baze pătrate de latură $a$ este $a 2$ .)

16. Problemă aplicată. O ușă dreptunghiulară este prinsă în balamale de tocul vertical al peretelui. Peretele este plan vertical, deci perpendicular pe podea. Explică, folosind noțiunile din lecție, de ce, oricât ai deschide ușa, planul ușii rămâne perpendicular pe podea.

17. Adevărat sau fals, cu motivare: „Există două plane care se intersectează într-un singur punct."

18. Sinteză. Enumeră cele trei poziții relative posibile a două plane distincte în spațiu și dă câte un exemplu pentru fiecare, luat de pe un cub.

Răspunsuri și explicații

1. Unghiul diedru; măsura de $90°$ (unghi diedru drept).

2. a) Adevărat — perpendicularitatea planelor este simetrică. b) Fals — plane perpendiculare se intersectează, deci nu pot fi paralele. c) Adevărat — plane perpendiculare au o dreaptă comună (muchia), deci sunt secante.

3. Dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe un al doilea plan, atunci cele două plane sunt perpendiculare. (Acceptabilă orice formulare echivalentă corectă.)

4. $γ ⊥ α$ . Justificare: planul $γ$ conține dreapta $d$ , iar $d ⊥ α$ ; prin criteriul de perpendicularitate a planelor, $γ ⊥ α$ .

5. Muchia $B B^{'}$ (sau, echivalent, $C C^{'}$ ): este verticală, deci $B B^{'} ⊥ (A B C D)$ , iar $B B^{'} \subset (B C C^{'} B^{'})$ , de unde $(B C C^{'} B^{'}) ⊥ (A B C D)$ .

6. Muchia $A A^{'}$ este perpendiculară pe baza de sus: $A A^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ . Cum $A A^{'} \subset (A B B^{'} A^{'})$ , prin criteriu rezultă $(A B B^{'} A^{'}) ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .

7. La un cub, două fețe sunt perpendiculare exact când au o muchie comună. Cubul are $12$ muchii, iar fiecare muchie este comună la exact două fețe, determinând o pereche de fețe perpendiculare. Deci există $12$ perechi de fețe perpendiculare. (Verificare: cubul are în total $(2 6) = 15$ perechi de fețe; dintre ele $3$ perechi sunt de fețe opuse, deci paralele; rămân $15 - 3 = 12$ perechi perpendiculare. Se confirmă.)

8. Fals. Criteriul cere ca dreapta să fie perpendiculară pe întreg planul $α$ , nu doar pe muchie. Contraexemplu: o carte deschisă înclinat la $60°$ — linia de pe pagină perpendiculară pe cotor (muchie) există, dar planele fac $60°$ , nu $90°$ .

9. În baza $A B C$ , latura $B C$ este muchie a bazei. Muchia laterală $B B^{'} ⊥ (A B C)$ (prismă dreaptă), iar $B B^{'} \subset (B C C^{'} B^{'})$ . Prin criteriul de perpendicularitate a planelor, $(B C C^{'} B^{'}) ⊥ (A B C)$ .

10. (C) o infinitate. Prin dreapta $M N$ trec o infinitate de plane și, fiecare conținând dreapta $M N ⊥ α$ , este perpendicular pe $α$ (criteriul).

11. (B). Planul $(A C C^{'} A^{'})$ conține muchia verticală $A A^{'}$ (și $C C^{'}$ ), iar $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ ; cum $A A^{'} \subset (A C C^{'} A^{'})$ , prin criteriu $(A C C^{'} A^{'}) ⊥ (A B C D)$ .

12. a) Paralele (cele două baze ale cubului nu au puncte comune). b) Perpendiculare ( $D D^{'} ⊥ (A B C D)$ și $D D^{'} \subset (D C C^{'} D^{'})$ ). c) Paralele — fețele $(A D D^{'} A^{'})$ și $(B C C^{'} B^{'})$ sunt fețe opuse ale cubului, deci nu au puncte comune. (Atenție: nu sunt perpendiculare, deși ambele sunt verticale!)

13. $g ⊥ α$ . Justificare: când $α ⊥ β$ cu muchia $d$ , o dreaptă din $β$ perpendiculară pe muchia $d$ este perpendiculară pe celălalt plan $α$ . Aceasta este proprietatea „inversă" a criteriului, valabilă tocmai pentru că unghiul diedru este drept.

14. Nu rezultă obligatoriu $α ∥ β$ . Exemplu din cub: fie $γ = (A B C D)$ (baza). Fețele laterale $α = (A B B^{'} A^{'})$ și $β = (B C C^{'} B^{'})$ sunt amândouă perpendiculare pe baza $γ$ , dar ele nu sunt paralele — se intersectează după muchia $B B^{'}$ (sunt chiar perpendiculare între ele). Deci două plane perpendiculare pe un al treilea pot fi secante.

15. a) $B B^{'} ⊥ (A B C D)$ și $B B^{'} \subset (B D D^{'} B^{'})$ , deci prin criteriu $(B D D^{'} B^{'}) ⊥ (A B C D)$ . b) Secțiunea $B D D^{'} B^{'}$ este un dreptunghi cu o latură = diagonala bazei $B D = 62$ cm și cealaltă latură = muchia laterală $B B^{'} = 6$ cm. Aria: $A = B D \cdot B B^{'} = 62 \cdot 6 = 362 cm^{2} .$ (Aproximativ $36 \cdot 1, 414 \approx 50, 9$ cm².)

16. Balamalele definesc o dreaptă verticală $b$ (axa balamalelor), fixată în perete. Peretele fiind vertical, această dreaptă este perpendiculară pe podea: $b ⊥ (podea)$ . Planul ușii conține dreapta $b$ (ușa se rotește în jurul ei), deci $b \subset (u ș \overset{a}{˘})$ . Prin criteriul de perpendicularitate a planelor, planul ușii este perpendicular pe podea, indiferent de unghiul de deschidere — pentru că dreapta perpendiculară comună $b$ rămâne aceeași.

17. Fals. Două plane distincte din spațiu ori sunt paralele (fără puncte comune), ori se taie după o dreaptă întreagă. Nu pot avea în comun un singur punct.

18. Cele trei poziții: paralele — ex. $(A B C D)$ și $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ ; secante perpendiculare — ex. $(A B C D)$ și $(A B B^{'} A^{'})$ ; secante oblice — pe cub nu apar între fețe, dar apar între un plan diagonal „înclinat" ca $(A B C^{'} D^{'})$ (planul care conține $A B$ și $C^{'} D^{'}$ ) și baza $(A B C D)$ , care fac un unghi diedru diferit de $90°$ . (Se acceptă orice exemplu corect de secante oblice; important e ca elevul să distingă cele trei cazuri.)

De reținut

Definiție: două plane sunt perpendiculare ( $α ⊥ β$ ) dacă unghiul diedru dintre ele este drept ( $90°$ ).
Criteriul-cheie: dacă $d \subset β$ și $d ⊥ α$ , atunci $β ⊥ α$ . Un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe acel plan.
Proprietatea inversă: dacă $α ⊥ β$ cu muchia $d$ , atunci o dreaptă din $β$ perpendiculară pe muchia $d$ este perpendiculară pe planul $α$ .
Pe corpuri: la prismă dreaptă, paralelipiped și cub, muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze; de aceea fețele laterale și planele diagonale (care conțin o muchie verticală) sunt perpendiculare pe planele bazelor.
Poziții relative a două plane distincte: paralele (fără puncte comune) sau secante; secantele pot fi oblice sau perpendiculare (unghi diedru drept). Perpendicularitatea este un caz particular al secanței.

Greșeli frecvente

Confuzi „perpendicular pe muchie" cu „perpendicular pe plan". Criteriul cere o dreaptă perpendiculară pe întreg planul, nu doar pe muchia de intersecție. O dreaptă perpendiculară doar pe muchie NU garantează planele perpendiculare (vezi contraexemplul cu cartea înclinată).
Crezi că două plane perpendiculare pe același plan sunt paralele. Fals: două fețe laterale vecine ale unui cub sunt amândouă perpendiculare pe bază, dar se intersectează. La drepte în plan regula funcționa, dar în spațiu la plane NU.
Numeri greșit fețele/perechile perpendiculare pe cub. Fața opusă este paralelă, nu perpendiculară. Perpendiculare pe o față dată sunt cele patru fețe vecine (cu muchie comună), nu toate cinci.
Uiți să justifici cu criteriul la examen. Nu e suficient să spui „se vede că sunt perpendiculare". Scrie mereu: dreapta perpendiculară pe plan → conținută în celălalt plan → criteriul → concluzia $α ⊥ β$ .

Aplică acasă

Detectivul din cameră. Ia o cutie de carton (paralelipiped dreptunghic) sau un zar (cub). Alege o față și numără câte fețe îi sunt perpendiculare (cu muchie comună) și câte îi sunt paralele. Verifică pe toate cele șase fețe că mereu găsești $4$ perpendiculare și $1$ paralelă. Notează perechile folosind litere, ca la lecție.
Colțul camerei. Un colț de cameră este locul unde se întâlnesc doi pereți și podeaua. Identifică cele trei plane și scrie toate perechile perpendiculare dintre ele. Câte sunt? (Răspuns de verificat: cei doi pereți sunt perpendiculari între ei și fiecare este perpendicular pe podea — trei perechi perpendiculare.)
Micul constructor. Construiește din bețișoare/paie și plastilină o prismă dreaptă triunghiulară. Arată cu degetul o muchie laterală, spune de ce este perpendiculară pe bază și apoi indică fața laterală care, din acest motiv, este perpendiculară pe planul bazei. Formulează justificarea cu voce tare, ca la examen.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează perpendicularitatea în spațiu, subiect prezent constant la Evaluarea Națională în problema de geometrie în spațiu (partea a III-a a subiectului), unde elevul trebuie să justifice riguros perpendicularitatea unor plane înainte de a calcula distanțe, unghiuri sau arii de secțiuni.

Cum sprijiniți elevul:

Cereți justificarea completă, nu doar răspunsul. Întrebarea-cheie este: „Ce dreaptă folosești și de ce este perpendiculară pe planul celălalt?" Dacă elevul poate numi dreapta (de obicei o muchie laterală verticală) și spune „este conținută în acest plan și perpendiculară pe celălalt, deci criteriul", a înțeles esența.
Verificați confuzia clasică. Întrebați: „Dacă o dreaptă e perpendiculară doar pe muchia dintre plane, sunt planele perpendiculare?" Răspunsul corect este NU, cu exemplul cărții înclinate. Este cea mai frecventă capcană.
Folosiți obiecte reale. Un colț de cameră, o cutie, o ușă deschisă. Vederea în spațiu se antrenează manipulând corpuri, nu doar privind desene.

Semne că elevul stăpânește materia: recunoaște instant pe cub cele patru fețe perpendiculare pe o bază, justifică folosind o muchie laterală și criteriul, și nu confundă „perpendicular" cu „paralel" la fețele opuse.

Întrebări frecvente

Când sunt două plane perpendiculare? Două plane sunt perpendiculare atunci când unghiul diedru dintre ele (unghiul format de două semidrepte perpendiculare pe muchia comună, câte una în fiecare plan) este drept, adică are măsura de $90°$ . Practic, verifici perpendicularitatea cel mai ușor cu criteriul: găsești într-un plan o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.

Ce spune criteriul de perpendicularitate a două plane la clasa a 8-a? Criteriul afirmă că, dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe al doilea plan, atunci cele două plane sunt perpendiculare. Este instrumentul principal de justificare la examen: dreaptă $⊥$ plan, conținută în celălalt plan $\Rightarrow$ plane perpendiculare.

E suficient ca o dreaptă să fie perpendiculară pe muchia dintre plane? Nu. O dreaptă perpendiculară doar pe muchia de intersecție NU garantează că planele sunt perpendiculare. Dreapta trebuie să fie perpendiculară pe întreg planul celălalt. Exemplul cărții deschise înclinat arată clar diferența.

Câte fețe ale unui cub sunt perpendiculare pe o față dată? Exact patru. Fața dată are o față opusă, care îi este paralelă, și patru fețe vecine (cu care are câte o muchie comună), fiecare fiind perpendiculară pe ea. În total, cubul are $12$ perechi de fețe perpendiculare.

Două plane perpendiculare sunt și paralele? Nu, este imposibil. Plane perpendiculare se intersectează după o dreaptă (muchia), deci au puncte comune, în timp ce plane paralele nu au niciun punct comun. Perpendicularitatea este de fapt un caz particular al planelor secante.

Dacă două plane sunt perpendiculare pe același al treilea plan, sunt ele paralele între ele? Nu neapărat. În spațiu, două plane perpendiculare pe același plan se pot intersecta. De exemplu, două fețe laterale vecine ale unui cub sunt amândouă perpendiculare pe bază, dar se taie după o muchie verticală.

Care sunt pozițiile relative a două plane în spațiu? Două plane distincte pot fi paralele (nu au puncte comune) sau secante (au în comun o dreaptă). Planele secante pot fi oblice (unghi diedru diferit de $90°$ ) sau perpendiculare (unghi diedru drept). Nu există plane care se ating într-un singur punct.

De ce fețele laterale ale unei prisme drepte sunt perpendiculare pe baze? Pentru că la o prismă dreaptă muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor. Fiecare față laterală conține o astfel de muchie perpendiculară pe bază, așa că, prin criteriul de perpendicularitate a planelor, fața laterală este perpendiculară pe planul bazei.