Unghiul diedru. Unghiul a două plane

Deschide o carte pe masă și ridică ușor coperta din față: între copertă și pagina de dedesubt se formează o „deschidere" pe care o poți face mai mare sau mai mică. Exact această deschidere, măsurată corect, este ceea ce în geometria spațiului numim unghi diedru. Îl întâlnești peste tot: la acoperișul unei case față de tavan, la balamaua unei uși, la fața înclinată a unei piramide sprijinite pe pământ. În această lecție vei învăța cum recunoști un diedru, cum îi construiești unghiul care îl măsoară și cum afli măsura lui exactă în corpurile geometrice — o competență cerută frecvent la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un unghi diedru, identificând corect muchia și fețele lui.
• Vei ști să construiești unghiul plan corespunzător diedrului, ducând perpendiculare pe muchie.
• Vei ști să determini măsura unghiului a două plane secante, folosind unghiul plan.
• Vei ști să analizezi când un diedru este drept și când două plane sunt perpendiculare.
• Vei ști să calculezi măsura unui diedru în cub, prismă și piramidă, cu raționament îngrijit, tip examen.

Hai să descoperim împreună

1. De la unghiul din plan la diedru

În clasele trecute, un unghi era o figură din plan: două semidrepte cu aceeași origine. În spațiu apare o figură nouă, „ruptă" din două semiplane. Ca să înțelegem, plecăm de la ceva cunoscut.

Ia o foaie de hârtie dreptunghiulară și îndoaie-o o dată. Linia de îndoire este o dreaptă; cele două jumătăți ale foii sunt două semiplane care pornesc din acea dreaptă. Figura formată de cele două semiplane, împreună cu dreapta comună, este un diedru.

Definiție. Se numește unghi diedru figura geometrică formată din două semiplane care au aceeași dreaptă-frontieră.

• Dreapta comună celor două semiplane se numește muchia diedrului.
• Cele două semiplane se numesc fețele diedrului.

Notăm un diedru punând în evidență muchia și câte un punct din fiecare față. Dacă muchia este dreapta $AB$, iar $M$ este un punct în prima față și $N$ un punct în a doua față, scriem diedrul $M\text{–}AB\text{–}N$ sau, mai simplu, „diedrul de muchie $AB$".

Un diedru poate fi „strâns" (fețele aproape lipite) sau „larg deschis" (fețele aproape în același plan). Avem nevoie de o modalitate precisă de a măsura această deschidere. Nu putem măsura direct între două semiplane; trebuie să transformăm deschiderea într-un unghi obișnuit, din plan. Aici intervine unghiul plan corespunzător.

2. Unghiul plan corespunzător diedrului

Ideea-cheie: „tăiem" diedrul perpendicular pe muchie și privim unghiul care apare.

Construcție. Fie diedrul de muchie $d$, cu fețele $\alpha$ și $\beta$. Alegem un punct $O$ pe muchia $d$. În fața $\alpha$ ducem semidreapta $OA\perp d$, iar în fața $\beta$ ducem semidreapta $OB\perp d$ (ambele perpendiculare pornesc din același punct $O$).

Unghiul $\widehat{AOB}$ astfel obținut se numește unghiul plan corespunzător diedrului (sau, pe scurt, unghiul plan al diedrului).

Reține cele trei condiții pe care trebuie să le respecte unghiul plan (dacă lipsește una, unghiul nu este cel corect):

1. Vârful $O$ este pe muchie.
2. O latură este într-o față, cealaltă în cealaltă față.
3. Ambele laturi sunt perpendiculare pe muchie, în același punct $O$.

De ce nu contează punctul ales pe muchie? Dacă mai luăm un punct $O^{\prime }$ pe muchie și construim la fel semidreptele $O^{\prime }{A}^{\prime }\perp d$ (în $\alpha$) și $O^{\prime }{B}^{\prime }\perp d$ (în $\beta$), atunci $O^{\prime }{A}^{\prime }\parallel OA$ (două perpendiculare pe aceeași dreaptă $d$, în același plan $\alpha$) și, analog, $O^{\prime }{B}^{\prime }\parallel OB$. Semidreptele au și același sens, deci unghiurile $\widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}$ și $\widehat{AOB}$ au laturile respectiv paralele și la fel orientate: sunt congruente.

Concluzie importantă. Toate unghiurile plane ale unui diedru, construite în puncte diferite ale muchiei, au aceeași măsură. De aceea putem vorbi despre o singură măsură a diedrului.

3. Măsura unghiului diedru

Definiție. Măsura unui unghi diedru este, prin definiție, măsura unghiului plan corespunzător lui.

Astfel, dacă unghiul plan are $70^{\circ }$, spunem că diedrul are $70^{\circ }$. Măsura unui diedru este un număr între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$.

Clasificăm diedrele exact ca pe unghiurile din plan:

• diedru ascuțit: măsura mai mică de $90^{\circ }$;
• diedru drept: măsura egală cu $90^{\circ }$;
• diedru obtuz: măsura mai mare de $90^{\circ }$.

4. Unghiul a două plane secante

Când două plane se intersectează după o dreaptă, ele se numesc plane secante. Muchia comună împarte fiecare plan în două semiplane, așa că apar, de fapt, patru diedre. La fel ca la două drepte concurente în plan, aceste diedre formează două perechi de diedre opuse (congruente), iar diedrele alăturate sunt suplementare (au suma $180^{\circ }$).

Pentru a nu avea ambiguitate, se face următoarea convenție:

Definiție. Unghiul a două plane secante este măsura celui mai mic dintre diedrele formate; el este un unghi cu măsura cuprinsă în intervalul $(0^{\circ },90^{\circ }]$.

Cu alte cuvinte, dintre cele patru diedre alegem pe cel ascuțit (sau drept). Practic, construim unghiul plan într-un punct al muchiei și, dacă ne iese obtuz, luăm suplementul lui.

5. Diedrul drept și planele perpendiculare

Cazul $90^{\circ }$ este cel mai important, pentru că leagă lecția de față de planele perpendiculare (lecția Plane perpendiculare).

Definiție. Un diedru se numește drept dacă unghiul lui plan este drept, adică are $90^{\circ }$.

Legătura cu planele perpendiculare. Două plane secante sunt perpendiculare dacă și numai dacă unghiul diedru format de ele este drept.

$$\alpha \perp \beta ⟺\text{diedrul dintre }\alpha \text{ și }\beta \text{ are }90^{\circ }.$$

De aceea, ori de câte ori vrei să demonstrezi că două plane sunt perpendiculare, este suficient să construiești unghiul plan al diedrului dintre ele și să arăți că are $90^{\circ }$. Reciproc, dacă știi că două plane sunt perpendiculare, poți folosi faptul că unghiul lor plan măsoară $90^{\circ }$.

6. Metoda de calcul al diedrului în corpuri geometrice

La Evaluarea Națională, întrebarea sună de obicei așa: „Calculează măsura unghiului diedru dintre fața laterală și baza piramidei" sau „dintre planul secțiunii și baza cubului". Vom folosi mereu aceeași strategie în trei pași:

Pasul 1 — Identifică muchia. Este dreapta de intersecție a celor două plane (fețe). De exemplu, la o piramidă, muchia diedrului „față laterală–bază" este chiar latura bazei pe care se sprijină fața laterală.

Pasul 2 — Construiește unghiul plan. Alege un punct comod $O$ pe muchie și du din el, în fiecare plan, câte o perpendiculară pe muchie. Foarte des, punctul potrivit este mijlocul muchiei sau piciorul înălțimii.

Pasul 3 — Calculează. Lucrezi în triunghiul dreptunghic care apare, folosind teorema lui Pitagora și rapoartele trigonometrice din triunghiul dreptunghic ($\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$) învățate în clasa a VII-a.

Un rezultat foarte util pentru piramida regulată (bază pătrat sau triunghi echilateral, vârful deasupra centrului bazei):

Dacă $O$ este centrul bazei, $M$ mijlocul unei laturi a bazei și $V$ vârful, atunci $OM\perp BC$ (rază-apotemă a bazei) și $VM\perp BC$ (apotema piramidei, prin teorema celor trei perpendiculare, pe care o studiezi în lecția următoare). Deci $\widehat{VMO}$ este chiar unghiul plan al diedrului dintre fața laterală și bază, iar în triunghiul dreptunghic $VOM$ (drept în $O$):

$$\mathrm{tg}(\widehat{VMO})=\frac{VO}{OM}=\frac{\text{ıˆna˘lțimea piramidei}}{\text{apotema bazei}}.$$

Cu această idee simplă vom rezolva majoritatea problemelor. Hai să vedem exemple complete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea și construcția (cub)

Fie cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a$. Identifică muchia și fețele diedrului format de fața de jos $(ABCD)$ și fața laterală $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, apoi construiește unghiul plan și află-i măsura.

Rezolvare.

• Cele două plane se intersectează după dreapta $AB$, deci muchia diedrului este $AB$, iar fețele sunt semiplanele determinate de $ABCD$ și $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$.
• Alegem punctul $O=A$ pe muchie. În baza $ABCD$, $AD\perp AB$ (laturi de pătrat). În fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $A{A}^{\prime }\perp AB$ (laturi de pătrat).
• Prin urmare $\widehat{DA{A}^{\prime }}$ este unghiul plan al diedrului. Deoarece $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$, avem $A{A}^{\prime }\perp AD$, deci $\widehat{DA{A}^{\prime }}=90^{\circ }$.

Răspuns: diedrul are $90^{\circ }$; el este un diedru drept, ceea ce confirmă că fețele alăturate ale cubului sunt plane perpendiculare.

Exemplul 2 — Diedrul față laterală–bază (piramidă patrulateră regulată)

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB=2\sqrt{3}$ cm și înălțimea $VO=3$ cm ($O$ este centrul bazei). Calculează măsura diedrului format de o față laterală cu baza.

Rezolvare.

• Muchia diedrului „față laterală $(VBC)$–bază" este latura $BC$.
• Fie $M$ mijlocul lui $BC$. Atunci $OM\perp BC$ și $VM\perp BC$, deci $\widehat{VMO}$ este unghiul plan al diedrului.
• Apotema bazei: $OM=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ cm.
• În triunghiul dreptunghic $VOM$ (drept în $O$): $$\mathrm{tg}(\widehat{VMO})=\frac{VO}{OM}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$
• Din tabelul valorilor, $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$.

Răspuns: diedrul dintre fața laterală și bază are $60^{\circ }$.

Exemplul 3 — Diedrul dintre două fețe laterale (prismă triunghiulară regulată)

O prismă triunghiulară regulată are baza un triunghi echilateral. Calculează măsura diedrului format de două fețe laterale (care au ca muchie comună o muchie laterală).

Rezolvare.

• Cele două fețe laterale care conțin muchia $A{A}^{\prime }$ sunt $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$; muchia diedrului este $A{A}^{\prime }$.
• Muchia laterală $A{A}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei (prismă dreaptă), deci $A{A}^{\prime }\perp AB$ și $A{A}^{\prime }\perp AC$.
• Așadar $\widehat{BAC}$ este unghiul plan al diedrului de muchie $A{A}^{\prime }$.
• Baza fiind triunghi echilateral, $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.

Răspuns: diedrul dintre cele două fețe laterale are $60^{\circ }$.

Exemplul 4 — Diedrul dintre un plan de secțiune și bază (cub)

În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a$, se consideră planul $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (care conține muchia de jos $AB$ și muchia de sus $C^{\prime }{D}^{\prime }$). Calculează măsura diedrului dintre acest plan și baza $(ABCD)$.

Rezolvare.

• Cele două plane se intersectează după $AB$, deci muchia diedrului este $AB$.
• Muchia $AB\perp BC$ (laturi de pătrat) și $AB\perp B{B}^{\prime }$ (muchie verticală). Deci $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, de unde $AB\perp B{C}^{\prime }$.
• Cum $BC\perp AB$ (în bază) și $B{C}^{\prime }\perp AB$ (în planul $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$), unghiul plan al diedrului este $\widehat{C^{\prime }BC}$.
• În triunghiul dreptunghic $BC{C}^{\prime }$ (drept în $C$): $C{C}^{\prime }=a$, $BC=a$, deci $$\mathrm{tg}(\widehat{C^{\prime }BC})=\frac{C{C}^{\prime }}{BC}=\frac{a}{a}=1\Rightarrow \widehat{C^{\prime }BC}=45^{\circ }.$$

Răspuns: diedrul dintre planul $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și bază are $45^{\circ }$.

Exemplul 5 — Problemă „inversă": afli o dimensiune din diedru

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB=4\sqrt{3}$ cm. Diedrul dintre o față laterală și bază are $60^{\circ }$. Află înălțimea piramidei.

Rezolvare.

• Ca la Exemplul 2, cu $M$ mijlocul laturii $BC$ și $O$ centrul bazei, unghiul plan al diedrului este $\widehat{VMO}=60^{\circ }$.
• Apotema bazei: $OM=\frac{AB}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm.
• În triunghiul dreptunghic $VOM$: $$\mathrm{tg}60^{\circ }=\frac{VO}{OM}\Rightarrow VO=OM\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 3=6.$$

Răspuns: înălțimea piramidei este $VO=6$ cm.

Exemplul 6 — Demonstrarea perpendicularității a două plane

Fie paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Demonstrează că planul $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ este perpendicular pe planul $(ABCD)$.

Rezolvare.

• Cele două plane se intersectează după dreapta $AB$ (muchia diedrului).
• În $A$: $AD\perp AB$ (unghi de dreptunghi, în bază) și $A{A}^{\prime }\perp AB$ (unghi de dreptunghi, în fața laterală).
• Deci $\widehat{DA{A}^{\prime }}$ este unghiul plan al diedrului. Cum $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$, rezultă $A{A}^{\prime }\perp AD$, adică $\widehat{DA{A}^{\prime }}=90^{\circ }$.
• Diedrul fiind drept, concluzionăm: $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$. $■$

Să exersăm

1. Completează: Muchia unui diedru este dreapta comună celor două ..., iar cele două semiplane se numesc ... ale diedrului.

2. Completează: Unghiul plan corespunzător diedrului se obține ducând, din același punct al muchiei, în fiecare față, câte o ... pe muchie.

3. Adevărat sau fals, cu justificare: „Măsura unui diedru depinde de punctul ales pe muchie."

4. Adevărat sau fals, cu justificare: „Două plane secante sunt perpendiculare dacă și numai dacă unul dintre diedrele formate are $90^{\circ }$."

5. Un diedru are unghiul plan de $130^{\circ }$. Care este măsura diedrului alăturat (suplementar)? Care este unghiul celor două plane secante?

6. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, precizează măsura diedrului format de fețele $(ABCD)$ și $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Justifică.

7. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $6$ cm și înălțimea $VO=4$ cm. Află valoarea lui $\mathrm{tg}$ pentru unghiul diedru dintre o față laterală și bază, apoi $\cos$ al aceluiași unghi.

8. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $6$ cm și apotema piramidei (apotema laturii) $VM=6$ cm. Calculează măsura diedrului dintre o față laterală și bază.

9. Într-o prismă triunghiulară regulată, cât este măsura diedrului dintre o față laterală și planul bazei? (Indicație: baza este perpendiculară pe fețele laterale.)

10. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a$, se consideră planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$, care conține muchia de jos $DC$ și muchia de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Calculează măsura diedrului dintre acest plan și baza $(ABCD)$. (Indicație: procedează exact ca la Exemplul 4, cu muchia comună $DC$.)

11. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei $4\sqrt{3}$ cm, iar diedrul dintre o față laterală și bază este de $30^{\circ }$. Află înălțimea piramidei.

12. Un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Justifică faptul că planul $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ este perpendicular pe baza $(ABCD)$.

13. Item tip Evaluare Națională. Se dă piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $AB=8$ cm și $VO=3$ cm, $O$ fiind centrul bazei. Fie $M$ mijlocul laturii $BC$. a) Arată că $\widehat{VMO}$ este unghiul plan al diedrului dintre fața $(VBC)$ și bază. b) Calculează $\cos (\widehat{VMO})$.

14. Item tip Evaluare Națională. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a=4$ cm, calculează măsura diedrului de muchie $AC$ format de planul diagonal $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ cu baza $(ABCD)$. Justifică răspunsul.

15. Într-o piramidă patrulateră regulată, diedrul dintre o față laterală și bază are $45^{\circ }$. Ce relație există între înălțimea piramidei și apotema bazei? Justifică pe scurt.

16. Problemă aplicată. Acoperișul unei magazii are forma unei suprafețe care coboară de la o coamă orizontală spre pereți. Într-o secțiune verticală, panta acoperișului urcă $2,5$ m pe o distanță orizontală de $2,5$ m. Ce măsură are diedrul dintre planul acoperișului și planul orizontal (tavanul)?

17. Adevărat sau fals, cu justificare: „Orice unghi cu vârful pe muchia unui diedru și cu câte o latură în fiecare față măsoară diedrul, chiar dacă laturile nu sunt perpendiculare pe muchie."

18. Sinteză. Explică, în 3–4 rânduri, diferența dintre unghiul a două drepte în spațiu, unghiul dintre o dreaptă și un plan și unghiul a două plane. (Poți compara cu lecțiile Unghiul a două drepte în spațiu și Unghiul dintre o dreaptă și un plan.)

Răspunsuri și explicații

1. semiplane (fețe); cele două semiplane se numesc fețele diedrului. Dreapta comună este muchia.

2. perpendiculară pe muchie, câte una în fiecare față, pornind din același punct al muchiei.

3. Fals. Toate unghiurile plane construite în puncte diferite ale muchiei sunt congruente (au laturile respectiv paralele și la fel orientate), deci măsura diedrului este unică și nu depinde de punctul ales.

4. Adevărat. Prin definiție, două plane secante sunt perpendiculare exact atunci când diedrul dintre ele este drept, adică unghiul plan are $90^{\circ }$.

5. Diedrul alăturat are $180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$. Unghiul celor două plane secante este cel mai mic dintre diedre, deci $50^{\circ }$.

6. $90^{\circ }$. Muchia comună este $BC$; în $B$, $BA\perp BC$ (în bază) și $B{B}^{\prime }\perp BC$ (muchie verticală), iar $B{B}^{\prime }\perp BA$, deci unghiul plan $\widehat{AB{B}^{\prime }}=90^{\circ }$. Fețele alăturate ale cubului sunt perpendiculare.

7. $OM=\frac{6}{2}=3$; $\mathrm{tg}(\widehat{VMO})=\frac{VO}{OM}=\frac{4}{3}$. Ipotenuza $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{16+9}=5$, deci $\cos (\widehat{VMO})=\frac{OM}{VM}=\frac{3}{5}=0,6$. (Unghiul este aproximativ $53^{\circ }$.)

8. $OM=\frac{6}{2}=3$; în triunghiul dreptunghic $VOM$, $\cos (\widehat{VMO})=\frac{OM}{VM}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, deci $\widehat{VMO}=60^{\circ }$.

9. $90^{\circ }$. Într-o prismă dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază, deci fiecare față laterală este perpendiculară pe planul bazei; diedrul dintre o față laterală și bază este drept.

10. Muchia comună este $DC$. În $D$: $DA\perp DC$ (în bază). Cum $DC\perp DA$ și $DC\perp D{D}^{\prime }$, avem $DC\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$, deci $DC\perp D{A}^{\prime }$; astfel $\widehat{A^{\prime }DA}$ este unghiul plan al diedrului. În triunghiul dreptunghic $AD{A}^{\prime }$ (drept în $A$): $\mathrm{tg}(\widehat{A^{\prime }DA})=\frac{A{A}^{\prime }}{DA}=\frac{a}{a}=1$, deci diedrul are $45^{\circ }$.

11. $OM=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$; $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{VO}{OM}$, deci $VO=OM\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\cdot 3}{3}=2$ cm.

12. Muchia comună este $AD$. În $A$: $AB\perp AD$ (dreptunghi, în bază) și $A{A}^{\prime }\perp AD$ (dreptunghi, în față). Unghiul plan $\widehat{BA{A}^{\prime }}$ are $90^{\circ }$ (deoarece $A{A}^{\prime }\perp$ bază $\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp AB$). Diedrul fiind drept, $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$.

13. a) $M$ mijlocul lui $BC$: în bază $OM\perp BC$ (raza-apotemă), iar $VM\perp BC$ (apotema piramidei); ambele perpendiculare pe muchia $BC$ în același punct $M$, cu $O$ în bază și $V$ în față. Deci $\widehat{VMO}$ este unghiul plan al diedrului. b) $OM=\frac{8}{2}=4$; $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{9+16}=5$; $\cos (\widehat{VMO})=\frac{OM}{VM}=\frac{4}{5}=0,8$. (Unghiul $\approx 37^{\circ }$.)

14. Muchia diedrului este diagonala $AC$ a bazei. Planul diagonal $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ conține dreapta $A{A}^{\prime }$, iar $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ (muchie verticală a cubului). Un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe acel plan, deci $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$. Prin urmare, diedrul de muchie $AC$ dintre planul diagonal și bază este drept, $90^{\circ }$ (indiferent de valoarea muchiei $a=4$ cm).

15. $\mathrm{tg}45^{\circ }=1=\frac{VO}{OM}$, deci $VO=OM$: înălțimea piramidei este egală cu apotema bazei. În triunghiul dreptunghic $VOM$ cele două catete sunt egale, deci triunghiul este dreptunghic isoscel, iar unghiul de la $M$ (unghiul plan al diedrului) are $45^{\circ }$.

16. Panta urcă $2,5$ m pe o distanță orizontală de $2,5$ m, deci $\mathrm{tg}(\text{diedru})=\frac{2,5}{2,5}=1$, de unde diedrul are $45^{\circ }$.

17. Fals. Definiția cere ca ambele laturi să fie perpendiculare pe muchie. Dacă laturile nu sunt perpendiculare pe muchie, unghiul obținut nu mai măsoară, în general, diedrul (poate ieși mai mare sau mai mic decât unghiul plan). Perpendicularitatea pe muchie este esențială.

18. Unghiul a două drepte se măsoară aducând dreptele într-un punct comun (prin paralele) și luând unghiul ascuțit dintre ele. Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Unghiul a două plane este măsura diedrului ascuțit dintre ele, obținut cu unghiul plan (perpendiculare pe muchia comună). Toate trei se reduc, în final, la un unghi „obișnuit" din plan.

De reținut

• Diedru = două semiplane cu aceeași muchie (dreapta-frontieră); semiplanele sunt fețele.
• Unghiul plan al diedrului: din același punct al muchiei, câte o perpendiculară pe muchie în fiecare față. Măsura diedrului = măsura unghiului plan.
• Unghiul plan nu depinde de punctul ales pe muchie (unghiurile obținute sunt congruente).
• Unghiul a două plane secante = cel mai mic dintre diedre, cu măsura în $(0^{\circ },90^{\circ }]$.
• Diedru drept ($90^{\circ }$) $⟺$ plane perpendiculare. Un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe acel plan.
• În piramida regulată: $\mathrm{tg}(\text{diedru fața˘–baza˘})=\frac{\text{ıˆna˘lțime}}{\text{apotema bazei}}$, iar $\cos =\frac{\text{apotema bazei}}{\text{apotema piramidei}}$.

Greșeli frecvente

• Laturi neperpendiculare pe muchie. Elevii duc două semidrepte „la întâmplare" în fețe și cred că au unghiul plan. Corect: ambele laturi trebuie perpendiculare pe muchie, în același punct. Fără această condiție, măsura este greșită.
• Confuzia diedru–unghiul a două drepte. Unghiul a două plane nu este unghiul dintre două muchii oarecare, ci se citește pe unghiul plan al diedrului. Desenează întotdeauna perpendicularele pe muchie.
• Alegerea diedrului obtuz în loc de cel ascuțit. La „unghiul a două plane" răspunsul trebuie să fie în $(0^{\circ },90^{\circ }]$. Dacă unghiul plan iese obtuz, ia suplementul lui.
• Greșirea catetei în piramidă. La diedrul față–bază folosești apotema bazei ($OM=\frac{a}{2}$ la baza pătrat), nu jumătate de diagonală și nici latura întreagă. Verifică mereu ce catete apar în triunghiul $VOM$.

Aplică acasă

1. Cutia de carton. Ia o cutie paralelipipedică (de pantofi) și, cu un raportor mare sau cu un echer, verifică practic că diedrele dintre fețe vecine au $90^{\circ }$. Notează care perechi de fețe sunt plane perpendiculare.

2. Cortul sau acoperișul. Găsește un cort sau uită-te la un acoperiș în două ape. Măsoară pe o secțiune verticală înălțimea la care urcă panta și distanța orizontală până la coamă; calculează $\mathrm{tg}$ diedrului dintre planul înclinat și orizontală. Compară cu o valoare din tabel ($30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$) și estimează unghiul.

3. Piramida din carton. Construiește o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei aleasă de tine (de exemplu $8$ cm) și o înălțime la alegere. Măsoară cu rigla apotema bazei și apotema piramidei, apoi calculează diedrul față–bază folosind $\cos =\frac{OM}{VM}$. Verifică-ți rezultatul cu raportorul pe secțiunea reală.

Pentru părinți și profesori

Această lecție face trecerea de la unghiuri din plan la unghiuri din spațiu și este pilonul pe care se sprijină, imediat, teorema celor trei perpendiculare și calculul unghiurilor în corpuri (piramidă, prismă, cub) — subiecte prezente an de an la Evaluarea Națională, atât la subiectul II (probleme de geometrie în spațiu cu punctaj pe pași), cât și la itemi cu răspuns scurt.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune elevului:

• „Care sunt cele trei condiții pe care le respectă unghiul plan al unui diedru?" (vârf pe muchie; câte o latură în fiecare față; ambele perpendiculare pe muchie).
• „De ce nu contează punctul ales pe muchie?" (unghiurile plane sunt congruente).
• „Cum demonstrezi că două plane sunt perpendiculare?" (arăți că diedrul dintre ele are $90^{\circ }$).
• „La piramida regulată, cu ce raport calculezi diedrul față–bază?" ($\mathrm{tg}=\frac{\text{ıˆna˘lțime}}{\text{apotema bazei}}$).

Semnul că elevul a înțeles: nu memorează formule, ci desenează triunghiul dreptunghic potrivit (de obicei $VOM$) și explică de ce laturile sunt perpendiculare pe muchie. La examen, punctajul se acordă tocmai pe justificarea că unghiul construit este unghiul plan al diedrului, apoi pe calcul. Încurajați redactarea în pași: identific muchia → construiesc unghiul plan → calculez.

Întrebări frecvente

Ce este unghiul diedru, pe scurt? Este figura formată de două semiplane care pornesc din aceeași dreaptă (muchia). Practic, măsoară „deschiderea" dintre două fețe, ca deschiderea unei cărți sau a unei uși față de perete.

Cum construiesc unghiul plan al diedrului la clasa a 8-a? Alegi un punct pe muchie și duci din el, în fiecare față, câte o semidreaptă perpendiculară pe muchie. Unghiul dintre aceste două semidrepte este unghiul plan, iar măsura lui este chiar măsura diedrului.

Care este diferența dintre unghiul diedru și unghiul a două plane? Două plane secante formează patru diedre. „Unghiul a două plane" este, prin convenție, cel mai mic dintre ele (măsură între $0^{\circ }$ și $90^{\circ }$), în timp ce un diedru concret poate fi și obtuz.

Când sunt două plane perpendiculare? Exact atunci când unghiul diedru dintre ele este drept, adică unghiul plan are $90^{\circ }$. Echivalent: dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, cele două plane sunt perpendiculare.

Cum calculez măsura unghiului diedru dintre fața laterală și baza unei piramide regulate? Iei mijlocul $M$ al unei laturi a bazei, centrul bazei $O$ și vârful $V$. În triunghiul dreptunghic $VOM$ ai $\mathrm{tg}(\widehat{VMO})=\frac{VO}{OM}$, unde $VO$ este înălțimea, iar $OM$ apotema bazei.

De ce toate unghiurile plane ale unui diedru sunt egale? Pentru că, în puncte diferite ale muchiei, laturile construite sunt respectiv paralele și au același sens (două perpendiculare pe aceeași dreaptă, în același plan, sunt paralele). Unghiuri cu laturi paralele și la fel orientate sunt congruente.

Ce catetă folosesc la piramida cu baza pătrat: latura, apotema sau diagonala? Folosești apotema bazei, adică $OM=\frac{a}{2}$ (jumătate din latura pătratului), pentru că $OM$ este perpendiculara din centru pe latura pe care se sprijină fața laterală. Nu folosești latura întreagă și nici jumătate de diagonală.

Unde apare unghiul diedru la Evaluarea Națională? Apare în problemele de geometrie în spațiu, la calculul unghiului dintre o față laterală și bază, dintre un plan de secțiune și bază, sau la justificarea perpendicularității a două plane. Se punctează pe pași: identificarea muchiei, construcția unghiului plan și calculul final.