Ce semn are rezultatul puterii $$\left(-\dfrac{4}{7}\right)^{5}$$?

Nu se poate determina fără calcul

Ce este o putere cu exponent negativ?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Puterea cu exponent întreg

Este inversul puterii cu exponent pozitiv: $a^{- n}$ înseamnă $\frac{1}{a ^{n}}$ , pentru orice bază diferită de zero. La o fracție, semnul din exponent te trimite să răstorni fracția și să lucrezi cu exponentul pozitiv: $(\frac{2}{5})^{- 2} = (\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ . Minusul din exponent nu face rezultatul negativ, ci doar inversează, așa că valoarea obținută aici rămâne pozitivă.

Pentru un număr rațional nenul $a = \frac{p}{q}$ , puterea cu exponent natural se calculează ridicând separat numărătorul și numitorul: $(\frac{p}{q})^{n} = \frac{p ^{n}}{q ^{n}}$ . Dacă baza este negativă, semnul rezultatului depinde de paritatea exponentului: exponent par → rezultat pozitiv, exponent impar → rezultat negativ. Două cazuri speciale: $a^{1} = a$ și $a^{0} = 1$ (pentru orice $a \neq = 0$ ). Noutatea este exponentul întreg negativ: el înseamnă „inversul puterii pozitive”, $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , iar pentru fracții răstorni fracția și schimbi semnul exponentului: $(\frac{p}{q})^{- n} = (\frac{q}{p})^{n}$ .

Exemplu rezolvat: $(\frac{2}{5})^{- 2} = (\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ . Capcana tipică: minusul din exponent nu schimbă semnul rezultatului — înseamnă doar „inversează”; rezultatul de mai sus e pozitiv. Toate regulile de calcul cu puteri (produs, cât, putere a puterii) rămân valabile și cu exponenți negativi.

De reținut

$(\frac{p}{q})^{n} = \frac{p ^{n}}{q ^{n}}$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ și $(\frac{p}{q})^{- n} = (\frac{q}{p})^{n}$
$a^{0} = 1$ pentru orice $a \neq = 0$

Greșeala tipică

Se crede că semnul minus din exponent face rezultatul negativ, așa că apar răspunsuri ca $- \frac{25}{4}$ ; exponentul negativ cere doar răsturnarea bazei, iar semnul valorii îl dă numai baza.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $(\frac{3}{5})^{- 2}$ .
- a) $\frac{25}{9}$
- b) $\frac{9}{25}$
- c) $- \frac{25}{9}$
- d) $\frac{6}{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{25}{9}$

Exponentul negativ înseamnă „răstoarnă fracția și fă exponentul pozitiv”: $(\frac{3}{5})^{- 2} = (\frac{5}{3})^{2} = \frac{5 ^{2}}{3 ^{2}} = \frac{25}{9}$ . Varianta b este greșeala clasică de a nu răsturna fracția, iar varianta c pune un semn minus care nu are ce căuta la un exponent par al numărătorului răsturnat.
Ce semn are rezultatul puterii $(- \frac{4}{7})^{5}$ ?
- a) Pozitiv
- b) Negativ
- c) Zero
- d) Nu se poate determina fără calcul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Negativ

Baza este negativă, iar exponentul $5$ este impar. La exponent impar, un minus rămâne fără pereche, deci rezultatul este negativ: $(- \frac{4}{7})^{5} = - \frac{4 ^{5}}{7 ^{5}}$ , un număr negativ. Nu este nevoie să calculăm valoarea exactă pentru a stabili semnul — regula de paritate este suficientă.
Calculează $(\frac{2}{7})^{- 3}$ .
- a) $\frac{343}{8}$
- b) $\frac{8}{343}$
- c) $- \frac{343}{8}$
- d) $\frac{49}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{343}{8}$

Exponentul negativ înseamnă „răstoarnă fracția și fă exponentul pozitiv”: $(\frac{2}{7})^{- 3} = (\frac{7}{2})^{3} = \frac{7 ^{3}}{2 ^{3}} = \frac{343}{8}$ . Varianta b este greșeala clasică de a nu răsturna fracția, varianta c pune un semn minus nejustificat (baza $\frac{2}{7}$ e pozitivă, deci rezultatul rămâne pozitiv), iar d provine dintr-un calcul greșit al puterilor.

Întrebări conexe

Cum ridic o fracție la o putere cu exponent natural?

Ridici separat numărătorul și numitorul la acel exponent. Din $(\frac{3}{4})^{2}$ obții $\frac{9}{16}$ . Regula vine din înmulțirea repetată a fracției cu ea însăși, unde numărătorii se înmulțesc între ei, la fel și numitorii.

Cât face o fracție ridicată la puterea minus unu?

Dă chiar fracția răsturnată, adică inversul ei: $(\frac{2}{3})^{- 1} = \frac{3}{2}$ . Este cazul cel mai simplu de exponent negativ și explică de ce ridicarea la o putere negativă începe întotdeauna cu răsturnarea bazei.

De ce orice număr rațional nenul ridicat la puterea zero dă 1?

Din regula împărțirii puterilor cu aceeași bază: $a^{n} : a^{n} = a^{n - n} = a^{0}$ , iar un număr împărțit la el însuși dă $1$ . Baza trebuie să fie diferită de zero, altfel împărțirea nu ar avea sens și egalitatea s-ar strica.

Cum compar două puteri ale aceleiași fracții subunitare?

Puterea scade pe măsură ce exponentul crește, fiindcă înmulțești de fiecare dată cu un număr mai mic decât unu. Astfel $(\frac{1}{2})^{3}$ iese sub $(\frac{1}{2})^{2}$ , fără să faci vreun calcul. La baze supraunitare lucrurile stau invers.

Cum calculez puterea unui număr mixt?

Îl transformi întâi în fracție, înmulțind întregul cu numitorul și adunând numărătorul, apoi ridici la putere numărătorul și numitorul. Din $1 \frac{1}{2}$ obții $\frac{3}{2}$ , iar pătratul este $\frac{9}{4}$ . Ridicarea separată a întregului și a fracției ar da un rezultat greșit.

Rămân valabile regulile de calcul și pentru exponenți negativi?

Da. La produsul puterilor cu aceeași bază aduni exponenții, la cât îi scazi, iar la puterea unei puteri îi înmulțești, chiar dacă unii sunt negativi. Astfel $a^{3} \cdot a^{- 5} = a^{- 2}$ , adică inversul lui $a^{2}$ .

Oamenii mai întreabă și: putere cu exponent negativ · exponent întreg negativ · cum se calculează o putere de fracție · răsturnarea fracției la exponent negativ