Cât face o putere cu exponent negativ?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Puteri cu exponent întreg

Un exponent negativ cere să răstorni baza, nu să schimbi semnul rezultatului: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , cu $a \neq = 0$ . Astfel $2^{- 3}$ înseamnă $\frac{1}{8}$ , un număr pozitiv, nu $- 8$ . Când baza este ea însăși o fracție, întorci fracția și treci exponentul la pozitiv: $(\frac{2}{5})^{- 2} = \frac{25}{4}$ . Tot de aici vine și $a^{0} = 1$ .

Ideea-cheie: definițiile pentru exponent $0$ și exponent negativ nu sunt inventate la întâmplare, ci rezultă din regula împărțirii puterilor cu aceeași bază.

$a^{0} = 1$ , pentru orice $a \neq = 0$ (vine din $\frac{a ^{n}}{a ^{n}} = 1 = a^{n - n}$ ).
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , pentru $a \neq = 0$ (un exponent negativ nu dă un număr negativ, ci inversul bazei).
Dacă baza e fracție: $(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$ — pur și simplu răstorni fracția.

Toate regulile vechi (înmulțire = aduni exponenții, împărțire = scazi exponenții, putere de putere = înmulțești exponenții) rămân valabile și cu exponenți negativi.

Exemplu: $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ , iar $(\frac{2}{5})^{- 2} = (\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ .

De reținut

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ și $a^{0} = 1$ , pentru $a \neq = 0$
$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , $(a^{m})^{n} = a^{mn}$

Greșeala tipică

Se crede că $2^{- 3}$ ar fi $- 8$ , adică un număr negativ. Minusul de la exponent cere inversul bazei, deci rezultatul rămâne pozitiv.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $4^{- 2}$ ?
- a) $16$
- b) $- 16$
- c) $\frac{1}{16}$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{16}$

Aplic definiția: $4^{- 2} = \frac{1}{4 ^{2}} = \frac{1}{16}$ . Exponentul negativ dă inversul lui $4^{2}$ , nu un număr negativ.
Cât este $(\frac{3}{4})^{- 2}$ ?
- a) $\frac{9}{16}$
- b) $\frac{16}{9}$
- c) $- \frac{16}{9}$
- d) $\frac{3}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{16}{9}$

Răstorn fracția și schimb semnul exponentului: $(\frac{3}{4})^{- 2} = (\frac{4}{3})^{2} = \frac{16}{9}$ .
Cât este $5^{- 2}$ ?
- a) $\frac{1}{25}$
- b) $25$
- c) $- 25$
- d) $- \frac{1}{25}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{25}$

Aplic definiția: $5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}$ . Exponentul negativ dă inversul lui $5^{2}$ , nu un număr negativ.

Întrebări conexe

Cum scriu numerele mici cu puteri ale lui 10?

Muți virgula spre dreapta și numeri câte poziții ai făcut, apoi pui numărul acela ca exponent negativ. Astfel $0, 001$ devine $1 0^{- 3}$ , iar $0, 25$ devine $25 \cdot 1 0^{- 2}$ . Scrierea aceasta ușurează calculele cu mărimi foarte mici, cum sunt grosimile sau masele.

Ce semn are rezultatul lui minus doi la puterea minus trei?

Iese negativ. Ai $(- 2)^{- 3} = \frac{1}{( - 2 ) ^{3}} = - \frac{1}{8}$ . Semnul vine din exponentul impar al bazei negative, nu din minusul de la exponent. Cu exponent par, precum $(- 2)^{- 2}$ , rezultatul urcă la $\frac{1}{4}$ , deci pozitiv.

Cum înmulțesc două puteri cu exponenți de semne diferite?

Aduni exponenții, ținând cont de semne, exact ca la numere întregi. Din $5^{- 4} \cdot 5^{6}$ obții $5^{2} = 25$ . Dacă suma exponenților iese negativă, treci rezultatul sub linie de fracție, cum se vede la $3^{2} \cdot 3^{- 5} = 3^{- 3} = \frac{1}{27}$ .

Cum simplific o fracție care are puteri sus și jos?

Scazi exponentul de jos din cel de sus, dacă baza este aceeași. Din $\frac{7 ^{3}}{7 ^{5}}$ rămâne $7^{- 2}$ , adică $\frac{1}{49}$ . Când bazele diferă, le descompui întâi în factori primi, ca să ajungi la aceeași bază și abia apoi să scazi.

Unde apar exponenții negativi în afara matematicii?

Apar la unitățile de măsură foarte mici din fizică și chimie, unde un micrometru înseamnă o milionime de metru. Calculatoarele afișează astfel numerele apropiate de zero, iar informatica folosește puteri negative ale lui doi pentru fracțiile binare.

Cum compar 2 la minus 3 cu 3 la minus 2?

Le aduci la fracții și compari. Ai $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ și $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ . Cum $\frac{1}{8}$ e mai mare decât $\frac{1}{9}$ , prima putere câștigă. Regula generală la fracții cu numărătorul $1$ : cu cât numitorul crește, cu atât valoarea scade.

Oamenii mai întreabă și: putere cu exponent negativ · a la puterea minus n · de ce a la puterea 0 este 1 · puteri cu exponent întreg · cât face 2 la minus 3