Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?

$$\sqrt{a^2} = a$$, pentru orice număr natural $$a$$

$$\sqrt{a^2} = 2a$$, pentru orice număr natural $$a$$

$$\sqrt{a^2} = a^2$$, pentru orice număr natural $$a$$

$$\sqrt{a^2}$$ nu poate fi calculat dacă $$a$$ este mare

Cât face rădăcina din pătratul unui număr?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Rădăcina din pătratul unui număr

Pentru un număr natural, rezultatul este chiar numărul de la care ai pornit, fiindcă pătratul și radicalul se desfac unul pe altul. Scrii direct $1 2^{2} = 12$ , fără să treci prin $144$ . Într-o expresie mai lungă, simplifici mai întâi fiecare radical, apoi respecți prioritățile: $6^{2} + 4^{2} \cdot 2$ dă $6 + 8 = 14$ .

Ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii pătrate sunt operații inverse pentru numerele naturale: dacă pornești de la $a$ , ridici la pătrat ( $a^{2}$ ) și apoi extragi rădăcina, te întorci exact la $a$ . De aici vine regula-cheie:

$a^{2} = a, pentru orice num \overset{a}{˘} r natural a .$

Asta înseamnă că nu mai calculezi puterea: la $9^{2}$ scrii direct $9$ , fără să treci prin $9^{2} = 81$ și $81 = 9$ .

Exemplu minimal: $1 2^{2} = 12$ .

În expresii mai lungi, simplifici întâi fiecare rădăcină, apoi respecți ordinea operațiilor: $6^{2} + 4^{2} \cdot 2 = 6 + 8 = 14$ .

Atenție la capcană: $a^{2}$ nu este $2 a$ ! Rezultatul e numărul însuși, nu dublul lui. Orice calcul cu rădăcini se poate verifica ridicând rezultatul la pătrat.

De reținut

$a^{2} = a$ pentru orice număr natural $a$
$(a)^{2} = a$ , pentru $a \geq 0$
pentru numere oarecare: $a^{2} = ∣ a ∣$

Greșeala tipică

Se calculează întâi puterea și abia apoi radicalul, ceea ce lungește degeaba socoteala la numere mari. Radicalul dintr-un pătrat se scrie direct, fără drumul ocolit.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $1 6^{2}$ ?
- a) $8$
- b) $16$
- c) $32$
- d) $256$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $16$

Aplicăm direct proprietatea $a^{2} = a$ : numărul de sub radical este $16$ la pătrat, deci rezultatul este chiar $16$ , fără a mai calcula puterea.
Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?
- a) $a^{2} = 2 a$ , pentru orice număr natural $a$
- b) $a^{2} = a^{2}$ , pentru orice număr natural $a$
- c) $a^{2} = a$ , pentru orice număr natural $a$
- d) $a^{2}$ nu poate fi calculat dacă $a$ este mare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a^{2} = a$ , pentru orice număr natural $a$

Ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii sunt operații inverse pentru numerele naturale, deci rezultatul este chiar numărul de start $a$ , nu dublul lui și nu pătratul lui.
Cât este $2 1^{2}$ ?
- a) $11$
- b) $21$
- c) $41$
- d) $42$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $21$

Aplicăm direct proprietatea $a^{2} = a$ : numărul de sub radical este $21$ la pătrat, deci rezultatul este chiar $21$ , fără a mai calcula puterea.

Întrebări conexe

Cât face radical din 5 ridicat la pătrat?

Iese $5$ , dar atenție la ordinea semnelor. Expresia $(5)^{2}$ dă tot $5$ , fiindcă pătratul desface radicalul. La fel și $5^{2} = 5$ . Cele două drumuri duc în același loc atunci când numărul de sub semn nu este negativ.

Cum scriu radical din 200 folosind un pătrat?

Cauți cel mai mare pătrat care intră în $200$ , adică $100$ . Scrii $200 = 1 0^{2} \cdot 2$ , deci $200 = 102$ . Rămâne un radical, fiindcă $2$ nu este pătratul unui întreg, dar forma este mult mai scurtă și mai ușor de folosit.

Cum aflu numărul dacă știu că pătratul lui e 169?

Extragi radicalul din $169$ și obții $13$ . Dacă vorbim despre o lungime sau despre un număr natural, acesta este singurul răspuns. Dacă însă rezolvi ecuația $x^{2} = 169$ pe mulțimea numerelor întregi, apar două valori, $13$ și $- 13$ .

La ce ajută regula asta în teorema lui Pitagora?

Îți scurtează pasul final. După ce afli că pătratul ipotenuzei este $625$ , scrii direct $25$ , fiindcă $625 = 2 5^{2}$ . La fel merge și invers: dacă ai catetele scrise ca puteri, le aduni pătratele fără să calculezi numere mari degeaba.

Cum calculez radicalul dintr-o putere cu exponent par?

Împarți exponentul la doi. Din $3^{8}$ obții $3^{4} = 81$ , fiindcă $3^{8} = (3^{4})^{2}$ . Regula merge pentru orice exponent par, iar la exponent impar scoți întâi partea pară și rămâi cu un radical, ca la $3^{5} = 3^{2} 3$ .

Cum grupez radicalii dintr-o expresie ca să scurtez calculul?

Simplifici fiecare radical în parte înainte de a aduna sau înmulți, ca să vezi care sunt de același fel. Doar cei care rămân cu aceeași expresie sub semn se pot aduna, adunându-le coeficienții. Ceilalți rămân separați, iar rezultatul final poate conține mai mulți termeni cu radical.

Oamenii mai întreabă și: rădăcina din a la pătrat · radical din pătratul unui număr · operații inverse pătrat și radical · cât face radical din 15 la pătrat · simplificarea radicalului dintr-un pătrat