Media aritmetică ponderată și media geometrică

De câte ori te-ai uitat la carnetul de note și te-ai întrebat cum iese exact media pe semestru? De ce contează teza mai mult decât o notă la oral? Ei bine, în spatele acestei întrebări stă o idee matematică foarte practică: media aritmetică ponderată. Iar dacă alături de ea așezăm și media geometrică — o medie mai puțin cunoscută, dar surprinzător de utilă în geometrie și în situații de creștere — vei avea în mână două unelte pe care le folosesc profesorii, economiștii și inginerii. În această lecție înveți să calculezi corect ambele medii, să înțelegi ce înseamnă ponderea și să le folosești pentru a modela situații reale.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi media aritmetică ponderată a mai multor numere reale, folosind ponderile.
• Vei ști ce rol joacă ponderile și cum se leagă ele de media notelor de la școală.
• Vei ști să calculezi media geometrică a două numere reale pozitive cu formula $\sqrt{a\cdot b}$.
• Vei ști să compari media aritmetică cu media geometrică a două numere.
• Vei ști să folosești mediile pentru a modela situații practice: note, prețuri, mărimi.

Hai să descoperim împreună

1. De la media simplă la media ponderată

Îți amintești din clasele anterioare media aritmetică a mai multor numere: aduni numerele și împarți la câte sunt. De exemplu, media aritmetică a numerelor $6$, $8$ și $10$ este:

$$\frac{6+8+10}{3}=\frac{24}{3}=8.$$

În această medie, toate cele trei numere „cântăresc" la fel: fiecare contribuie o singură dată. Dar în viața reală lucrurile nu sunt mereu așa. Uneori, un număr trebuie să conteze mai mult decât altul.

Gândește-te la o situație simplă. La un magazin cumperi:

• $2$ kg de mere, la $5$ lei kilogramul;
• $3$ kg de pere, la $10$ lei kilogramul.

Care este prețul mediu pe kilogram al fructelor cumpărate? Dacă faci naiv $\frac{5+10}{2}=7,5$ lei, greșești, pentru că ai cumpărat mai multe pere decât mere, iar perele sunt mai scumpe. Prețul mediu real trebuie să fie „tras" spre $10$.

Ca să calculezi corect, împarți cât ai plătit în total la câte kilograme ai cumpărat în total:

$$\text{preț mediu}=\frac{2\cdot 5+3\cdot 10}{2+3}=\frac{10+30}{5}=\frac{40}{5}=8\text{ lei/kg}.$$

Observă că $8$ este mai aproape de $10$ decât de $5$ — exact cum ne așteptam, pentru că perele au fost cumpărate în cantitate mai mare. Aici, numerele $5$ și $10$ (prețurile) au fost înmulțite cu niște „greutăți": $2$ și $3$ (cantitățile). Aceste greutăți se numesc ponderi.

2. Definiția și formula mediei aritmetice ponderate

Suntem gata pentru definiția riguroasă.

Definiție. Fie $n$ numere reale $x_1,x_2,\dots ,x_n$ (cu $n\ge 2$) și fie $p_1,p_2,\dots ,p_n$ niște numere pozitive numite ponderi. Media aritmetică ponderată a numerelor $x_1,x_2,\dots ,x_n$ cu ponderile $p_1,p_2,\dots ,p_n$ este numărul:

$$\bar{x}=\frac{p_1{x}_1+p_2{x}_2+\cdots +p_n{x}_n}{p_1+p_2+\cdots +p_n}.$$

În cuvinte: înmulțești fiecare număr cu ponderea lui, aduni toate produsele, apoi împarți la suma ponderilor.

Hai să înțelegem formula pe bucăți:

• Numărătorul $p_1{x}_1+p_2{x}_2+\cdots +p_n{x}_n$ este suma tuturor produselor „număr × pondere". Fiecare număr participă „de atâtea ori cât spune ponderea lui".
• Numitorul $p_1+p_2+\cdots +p_n$ este suma tuturor ponderilor, adică „de câte ori în total" contribuie numerele.

Un caz special te ajută să vezi legătura cu media simplă: dacă toate ponderile sunt egale (de exemplu toate egale cu $1$), atunci numitorul devine $n$ și obținem exact media aritmetică simplă. Deci media ponderată este o generalizare a mediei simple.

Un mic exemplu numeric. Calculăm media ponderată a numerelor $7$, $8$, $9$, $10$ cu ponderile $2$, $3$, $1$, $4$:

$$\bar{x}=\frac{2\cdot 7+3\cdot 8+1\cdot 9+4\cdot 10}{2+3+1+4}=\frac{14+24+9+40}{10}=\frac{87}{10}=8,7.$$

Numărul $10$ avea cea mai mare pondere ($4$), așa că media a fost „trasă" spre valorile mari.

3. Rolul ponderilor: media notelor la școală

Cea mai familiară aplicație a mediei ponderate este chiar media notelor. La multe discipline din gimnaziu, media semestrială nu este o simplă medie a tuturor notelor: teza contează mai mult.

Regula folosită de obicei este:

$$\text{media semestriala˘}=\frac{3\cdot (\text{media notelor din timpul semestrului})+1\cdot (\text{teza})}{3+1}=\frac{3\cdot M+T}{4},$$

unde media notelor din timpul semestrului ($M$) primește ponderea $3$, iar teza ($T$) primește ponderea $1$. Cu alte cuvinte, teza „cântărește" cât un sfert din media semestrială.

Exemplu concret. Un elev are la matematică notele $8$, $9$ și $10$ în timpul semestrului, iar la teză a luat $7$.

Pasul 1. Calculăm media notelor din timpul semestrului (aici simplă, pentru că notele au aceeași importanță): $$M=\frac{8+9+10}{3}=\frac{27}{3}=9.$$

Pasul 2. Aplicăm formula ponderată cu ponderea $3$ pentru $M$ și $1$ pentru teză: $$\text{media semestriala˘}=\frac{3\cdot 9+1\cdot 7}{4}=\frac{27+7}{4}=\frac{34}{4}=8,5.$$

Observă cât de mult a contat teza: chiar dacă elevul avea media $9$ în timpul semestrului, o teză de $7$ a coborât media semestrială la $8,5$. Asta e puterea ponderii — o singură notă, dar cu greutate mare.

De ce ponderi și nu doar mai multe note? Pentru că ponderile ne permit să spunem „această evaluare este mai importantă" fără să repetăm notele. În loc să scriem teza de trei ori, îi dăm o pondere mai mare. E mai elegant și mai flexibil.

Ponderi date prin procente. Uneori ponderile nu sunt numere „rotunde" ca $2$ sau $3$, ci procente. La un concurs, de exemplu, proba scrisă poate conta $60\%$, iar proba orală $40\%$. Regula rămâne exact aceeași: fiecare notă se înmulțește cu ponderea ei, iar suma se împarte la suma ponderilor. Dacă un concurent are $8$ la scris (pondere $60$) și $10$ la oral (pondere $40$), nota lui finală este:

$$\frac{60\cdot 8+40\cdot 10}{60+40}=\frac{480+400}{100}=\frac{880}{100}=8,8.$$

Observă că suma ponderilor este $100$, adică $100\%$, iar rezultatul este „tras" mai mult spre $8$, pentru că proba scrisă a avut ponderea mai mare. Procentele sunt doar o altă haină pentru aceeași idee de pondere; nu trebuie să te sperie când le vezi într-o problemă.

Această observație e importantă: oricum ai exprima ponderile — prin numere naturale, prin cantități sau prin procente — algoritmul este identic. Înmulțești, aduni, împarți la suma ponderilor. De aceea media aritmetică ponderată este una dintre cele mai versatile unelte pe care le înveți în acest capitol.

4. Media geometrică a două numere pozitive

Trecem acum la o medie diferită, mai puțin obișnuită, dar foarte utilă. Ea folosește radicalii pe care i-ai studiat în lecțiile anterioare (vezi Pătrate perfecte și rădăcina pătrată și Scoaterea factorilor de sub radical).

Definiție. Fie $a$ și $b$ două numere reale strict pozitive ($a>0$, $b>0$). Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este numărul:

$$m_g=\sqrt{a\cdot b}.$$

Cu alte cuvinte, înmulțești cele două numere și extragi rădăcina pătrată a produsului.

De ce cerem ca numerele să fie pozitive? Pentru că sub radical avem produsul $a\cdot b$, iar rădăcina pătrată se definește doar pentru numere nenegative. Dacă ambele numere sunt pozitive, produsul lor este pozitiv, iar $\sqrt{a\cdot b}$ are sens și este el însuși un număr pozitiv.

De ce se numește „geometrică"? Există o legătură frumoasă cu geometria. Dacă ai un dreptunghi cu laturile $a$ și $b$, aria lui este $a\cdot b$. Media geometrică $\sqrt{a\cdot b}$ este exact latura pătratului care are aceeași arie ca dreptunghiul. Media geometrică transformă un dreptunghi într-un pătrat „de aceeași mărime".

Exemplu. Media geometrică a numerelor $2$ și $8$ este: $$m_g=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4.$$

Alt exemplu. Media geometrică a numerelor $3$ și $12$: $$m_g=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6.$$

Uneori rezultatul nu este un număr întreg și trebuie să lăsăm radicalul (eventual după ce scoatem factorii de sub el). De exemplu, media geometrică a lui $6$ și $8$: $$m_g=\sqrt{6\cdot 8}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}.$$

Aici am folosit exact tehnica de la lecția Scoaterea factorilor de sub radical. Rezultatul $4\sqrt{3}$ este forma corectă, iar aproximativ $4\sqrt{3}\approx 6,93$.

Un obicei bun de calcul. Când calculezi o medie geometrică, ai două drumuri: fie înmulțești mai întâi cele două numere și apoi extragi radicalul (ca mai sus), fie observi de la început dacă unul dintre numere este pătrat perfect și îl scoți separat. De exemplu, pentru $\sqrt{9\cdot 5}$ poți scrie direct $\sqrt{9}\cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}$, fără să mai calculezi $9\cdot 5=45$. Cele două drumuri duc la același rezultat; alege-l pe cel care îți dă numere mai mici de mânuit. Este exact proprietatea $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ pe care ai învățat-o la radicali, doar că acum o folosești într-un context nou.

Unde întâlnești media geometrică în viața reală? Media geometrică este media „potrivită" ori de câte ori mărimile se înmulțesc între ele, nu se adună. Un exemplu simplu: un preț se dublează într-un an (se înmulțește cu $2$), iar în anul următor se înmulțește cu $8$. „Factorul mediu de creștere pe an" nu este media aritmetică $\frac{2+8}{2}=5$, ci media geometrică $\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$. Motivul: dacă prețul s-ar înmulți cu $4$ în fiecare an, la capătul a doi ani ar fi înmulțit cu $4\cdot 4=16$, exact cât dă $2\cdot 8$. Media geometrică este numărul care, repetat prin înmulțire, dă același rezultat total. Nu trebuie să reții acum toate detaliile acestei aplicații; reține doar ideea că, atunci când lucrezi cu înmulțiri repetate, media geometrică este cea care „prinde" corect mijlocul.

5. Compararea mediei aritmetice cu media geometrică

Iată o întrebare naturală: pentru două numere pozitive $a$ și $b$, care e mai mare — media lor aritmetică $\frac{a+b}{2}$ sau media lor geometrică $\sqrt{a\cdot b}$?

Hai să experimentăm cu câteva perechi de numere și să notăm rezultatele într-un tabel.

Observi tiparul? În fiecare rând, media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică. Iar egalitatea apare exact atunci când cele două numere sunt egale (ultimul rând, $a=b=7$).

Aceasta este o proprietate importantă, valabilă pentru orice două numere reale pozitive:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{a\cdot b},\text{cu egalitate daca˘ și numai daca˘ }a=b.$$

Cum reținem ordinea? O analogie utilă: media geometrică e „mai modestă". Ori de câte ori cele două numere sunt diferite, media geometrică rămâne strict sub media aritmetică. Cu cât numerele sunt mai depărtate unul de altul, cu atât diferența dintre cele două medii este mai mare. Când numerele coincid, cele două medii devin egale.

Îți poți verifica singur această proprietate cu orice pereche de numere pozitive — nu vei găsi niciodată una la care media geometrică să depășească media aritmetică. Este un rezultat pe care matematicienii îl folosesc foarte des; noi la clasa a VII-a îl vom folosi și îl vom ilustra numeric, urmând să-l demonstrăm riguros mai târziu.

6. Cum alegem ce medie folosim

• Folosești media aritmetică ponderată când numerele au importanțe diferite: note cu teze, prețuri cu cantități, evaluări cu procente. Ponderea spune „cât de mult contează" fiecare valoare.
• Folosești media geometrică când vrei o valoare „de mijloc" pentru mărimi care se înmulțesc, sau când cauți latura pătratului cu aria egală cu a unui dreptunghi dat. Ea apare des în probleme de raport, de creștere și, mai târziu, în relațiile metrice din triunghiul dreptunghic.

Reține că media aritmetică simplă este doar un caz particular al mediei ponderate (toate ponderile egale), deci de fapt lucrezi cu două idei mari: media aritmetică (cu sau fără ponderi) și media geometrică.

O analogie te ajută să nu le confunzi. Imaginează-ți că fiecare număr „trage" de rezultatul mediei ca într-un joc de tras funia. La media aritmetică ponderată, ponderea unui număr este ca puterea cu care trage acel jucător: un număr cu pondere mare trage rezultatul mai puternic spre el, iar un număr cu pondere mică abia contribuie. La media geometrică, în schimb, nu mai e vorba de tras funia, ci de o „scară de înmulțiri": rezultatul este numărul care, pus în locul ambelor, dă același produs. De aceea media aritmetică ține de adunare (cât de sus, în total, ridic numerele), iar media geometrică ține de înmulțire (ce factor unic înlocuiește produsul). Dacă îți amintești această deosebire — adunare pentru aritmetică, înmulțire pentru geometrică — nu vei mai amesteca niciodată cele două formule.

Merită să observi și că cele două medii răspund la întrebări diferite. Media aritmetică ponderată răspunde la „care este valoarea medie când unele date contează mai mult decât altele?" — de aici note cu teze, prețuri cu cantități, evaluări cu procente. Media geometrică răspunde la „ce valoare unică, pusă în locul ambelor, păstrează același produs (sau aceeași arie)?" — de aici legătura cu dreptunghiul și pătratul. Nu există o medie „mai bună"; există o medie potrivită pentru fiecare tip de situație, iar priceperea ta constă tocmai în a recunoaște care se cere.

Un ultim sfat de organizare a calculului: la orice medie, lucrează pe pași și scrie clar numărătorul și numitorul înainte să împarți. Multe greșeli nu vin din formule grele, ci din adunări făcute în grabă sau din confundarea sumei ponderilor cu numărul de valori. Așază calculul pe două linii — o linie pentru numărător, una pentru numitor — și abia apoi efectuează împărțirea. Vei vedea că mediile devin, cu exercițiu, printre cele mai simple și mai utile calcule din tot capitolul despre numere reale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Media ponderată a patru note

Enunț. Un elev are la o disciplină notele $6$, $8$, $9$ și $10$, cu ponderile $1$, $2$, $2$ și $5$. Calculează media aritmetică ponderată.

Rezolvare.

Pasul 1. Înmulțim fiecare notă cu ponderea ei: $$1\cdot 6=6,2\cdot 8=16,2\cdot 9=18,5\cdot 10=50.$$

Pasul 2. Adunăm produsele (numărătorul): $$6+16+18+50=90.$$

Pasul 3. Adunăm ponderile (numitorul): $$1+2+2+5=10.$$

Pasul 4. Împărțim: $$\bar{x}=\frac{90}{10}=9.$$

Răspuns. Media ponderată este $\boxed{9}$. Nota $10$ a avut ponderea cea mai mare, așa că media a urcat spre valorile mari.

Exemplul 2 — Media semestrială cu teză

Enunț. La istorie, un elev are în timpul semestrului notele $10$, $9$ și $8$, iar la teză a luat $6$. Teza are pondere $1$, iar media notelor din timpul semestrului are pondere $3$. Care este media semestrială?

Rezolvare.

Pasul 1. Media notelor din timpul semestrului: $$M=\frac{10+9+8}{3}=\frac{27}{3}=9.$$

Pasul 2. Aplicăm formula ponderată: $$\text{media semestriala˘}=\frac{3\cdot 9+1\cdot 6}{3+1}=\frac{27+6}{4}=\frac{33}{4}=8,25.$$

Răspuns. Media semestrială este $8,25$. Observă cum teza de $6$ a coborât media de la $9$ la $8,25$.

Exemplul 3 — Media geometrică cu rezultat întreg

Enunț. Calculează media geometrică a numerelor $5$ și $45$.

Rezolvare. $$m_g=\sqrt{5\cdot 45}=\sqrt{225}=15.$$

Răspuns. Media geometrică este $15$. (Verificare: $15^2=225=5\cdot 45$. Corect.)

Exemplul 4 — Media geometrică cu radical scos de sub radical

Enunț. Calculează media geometrică a numerelor $8$ și $6$.

Rezolvare. $$m_g=\sqrt{8\cdot 6}=\sqrt{48}.$$

Scoatem factorii de sub radical: $48=16\cdot 3$, iar $16$ este pătrat perfect. $$\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$

Răspuns. Media geometrică este $4\sqrt{3}\approx 6,93$. Forma exactă $4\sqrt{3}$ este cea corectă; aproximarea zecimală o dăm doar dacă se cere.

Exemplul 5 — Aflarea unui număr necunoscut din media geometrică

Enunț. Media geometrică a numerelor $4$ și $x$ este egală cu $10$. Află $x$ (știind că $x>0$).

Rezolvare.

Pasul 1. Scriem condiția din enunț: $$\sqrt{4\cdot x}=10.$$

Pasul 2. Ridicăm ambii membri la pătrat, ca să scăpăm de radical (rădăcina și pătratul sunt operații „inverse" pe numerele pozitive): $$4\cdot x=100.$$

Pasul 3. Rezolvăm ecuația simplă: $$x=\frac{100}{4}=25.$$

Verificare. $\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{100}=10$. Corect.

Răspuns. $x=25$.

Exemplul 6 — Compararea celor două medii

Enunț. Pentru numerele $3$ și $12$, calculează media aritmetică și media geometrică, apoi compară-le.

Rezolvare.

Media aritmetică: $$\frac{3+12}{2}=\frac{15}{2}=7,5.$$

Media geometrică: $$\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6.$$

Comparăm: $6<7,5$, deci media geometrică este mai mică decât media aritmetică. Numerele fiind diferite ($3\ne 12$), inegalitatea este strictă, exact cum ne așteptam din proprietatea $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{a\cdot b}$.

Răspuns. Media geometrică ($6$) $<$ media aritmetică ($7,5$).

Exemplul 7 — Notă finală cu ponderi date în procente

Enunț. La un examen, proba scrisă contează $70\%$, iar proba practică $30\%$. Un candidat are $9$ la scris și $6$ la practică. Ce notă finală obține?

Rezolvare.

Pasul 1. Ponderile sunt procentele: $70$ pentru scris și $30$ pentru practică. Înmulțim fiecare notă cu ponderea ei: $$70\cdot 9=630,30\cdot 6=180.$$

Pasul 2. Adunăm produsele și împărțim la suma ponderilor (care este $70+30=100$): $$\frac{630+180}{100}=\frac{810}{100}=8,1.$$

Răspuns. Nota finală este $8,1$. Observă că rezultatul este mult mai aproape de $9$ (nota de la scris) decât de $6$, tocmai pentru că proba scrisă a avut ponderea mai mare. Când ponderile sunt date în procente și însumează $100$, împărțirea la $100$ se face automat — de aceea calculul cu procente este de multe ori chiar mai comod.

Exemplul 8 — Aflarea unei note necunoscute dintr-o medie ponderată

Enunț. Un elev are media $8$ în timpul semestrului (pondere $3$). Ce notă trebuie să ia la teză (pondere $1$) pentru ca media semestrială să fie exact $8,5$?

Rezolvare.

Pasul 1. Notăm cu $T$ nota de la teză. Scriem formula mediei semestriale și o egalăm cu $8,5$: $$\frac{3\cdot 8+1\cdot T}{3+1}=8,5.$$

Pasul 2. Calculăm ce putem și scăpăm de numitor înmulțind ambii membri cu $4$: $$\frac{24+T}{4}=8,5\Rightarrow 24+T=8,5\cdot 4=34.$$

Pasul 3. Rezolvăm ecuația liniară: $$T=34-24=10.$$

Verificare. $\frac{3\cdot 8+1\cdot 10}{4}=\frac{24+10}{4}=\frac{34}{4}=8,5$. Corect.

Răspuns. Elevul trebuie să ia $10$ la teză. Acest tip de problemă — „ce valoare îmi lipsește ca să obțin o medie dorită?" — apare des în viața de zi cu zi și se rezolvă mereu la fel: scrii formula mediei, o egalezi cu valoarea cerută și rezolvi ecuația.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea de răspunsuri. Notează-ți nu doar rezultatul, ci și pașii.

1. Calculează media aritmetică ponderată a numerelor $6$ și $8$ cu ponderile $3$ și $2$.
2. Calculează media ponderată a notelor $9$, $10$ și $7$ cu ponderile $1$, $1$ și $2$.
3. Calculează media geometrică a numerelor $4$ și $25$.
4. Calculează media geometrică a numerelor $3$ și $27$.
5. Calculează media geometrică a numerelor $2$ și $18$.
6. Calculează media geometrică a numerelor $1$ și $100$.
7. Pentru numerele $9$ și $16$, calculează media aritmetică și media geometrică și compară-le.
8. La biologie, un elev are în timpul semestrului media $9$ (pondere $3$) și la teză nota $8$ (pondere $1$). Care este media semestrială?
9. Adevărat sau fals (motivează): media geometrică a numerelor $2$ și $8$ este $5$.
10. Media geometrică a numerelor $4$ și $x$ este $10$. Află $x$ ($x>0$).
11. Media geometrică a numerelor $x$ și $16$ este $8$. Află $x$ ($x>0$).
12. La un magazin cumperi $3$ kg de mere la $5$ lei/kg, $2$ kg de banane la $8$ lei/kg și $5$ kg de portocale la $10$ lei/kg. Care este prețul mediu pe kilogram al fructelor cumpărate?
13. Calculează media geometrică a numerelor $12$ și $3$, apoi verifică proprietatea de comparare cu media aritmetică.
14. Găsește două numere pozitive diferite pentru care media aritmetică este $5$. Calculează apoi media lor geometrică și verifică dacă este mai mică decât $5$.
15. Un dreptunghi are laturile de $4$ cm și $9$ cm. Care este latura pătratului care are aceeași arie ca dreptunghiul? (Indiciu: e media geometrică a laturilor.)
16. Într-o clasă, la un test notele au fost: $6$ (luată de $2$ elevi), $7$ (de $3$ elevi), $8$ (de $4$ elevi), $9$ (de $1$ elev), $10$ (de $2$ elevi). Calculează media clasei folosind media ponderată (ponderile sunt numărul de elevi).
17. Numerele $6$ și $10$ au ponderile $2$, respectiv $p$. Media lor ponderată este $9$. Află ponderea $p$.
18. Calculează media geometrică a numerelor $10$ și $6$, lăsând rezultatul sub formă de radical (scoate factorii de sub radical).
19. La un concurs, proba scrisă contează $80\%$ și proba orală $20\%$. Un elev are $7$ la scris și $10$ la oral. Ce notă finală obține?
20. Un elev are media $7$ în timpul semestrului (pondere $3$). Ce notă trebuie să ia la teză (pondere $1$) pentru ca media semestrială să fie $7,5$?
21. Calculează media geometrică a numerelor $9$ și $5$, lăsând rezultatul sub formă de radical.
22. Adevărat sau fals (motivează): pentru numerele $5$ și $5$, media aritmetică și media geometrică sunt egale.
23. Un dreptunghi are laturile de $3$ cm și $27$ cm. Care este latura pătratului cu aceeași arie? Compară această latură cu media aritmetică a laturilor dreptunghiului.
24. Numerele $4$ și $12$ au ponderile $p$, respectiv $1$. Media lor ponderată este $6$. Află ponderea $p$.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{3\cdot 6+2\cdot 8}{3+2}=\frac{18+16}{5}=\frac{34}{5}=6,8.$
2. $\frac{1\cdot 9+1\cdot 10+2\cdot 7}{1+1+2}=\frac{9+10+14}{4}=\frac{33}{4}=8,25.$
3. $\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{100}=10.$
4. $\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9.$
5. $\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6.$
6. $\sqrt{1\cdot 100}=\sqrt{100}=10.$
7. Media aritmetică: $\frac{9+16}{2}=12,5$; media geometrică: $\sqrt{144}=12$. Cum $12<12,5$, media geometrică este mai mică (numerele fiind diferite).
8. $\frac{3\cdot 9+1\cdot 8}{4}=\frac{27+8}{4}=\frac{35}{4}=8,75.$
9. Fals. Media geometrică este $\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$, nu $5$. (Valoarea $5$ este media aritmetică: $\frac{2+8}{2}=5$. E o confuzie tipică între cele două medii.)
10. $\sqrt{4x}=10\Rightarrow 4x=100\Rightarrow x=25.$ Verificare: $\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{100}=10$. Corect.
11. $\sqrt{16x}=8\Rightarrow 16x=64\Rightarrow x=4.$ Verificare: $\sqrt{16\cdot 4}=\sqrt{64}=8$. Corect.
12. $\frac{3\cdot 5+2\cdot 8+5\cdot 10}{3+2+5}=\frac{15+16+50}{10}=\frac{81}{10}=8,1$ lei/kg.
13. Media geometrică: $\sqrt{12\cdot 3}=\sqrt{36}=6$; media aritmetică: $\frac{12+3}{2}=7,5$. Cum $6<7,5$, proprietatea $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ se verifică.
14. Un exemplu: $2$ și $8$ (media aritmetică $\frac{2+8}{2}=5$). Media geometrică: $\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$, iar $4<5$. Proprietatea se verifică. (Orice pereche cu suma $10$ și numere diferite merge, de exemplu $1$ și $9$: media geometrică $\sqrt{9}=3<5$.)
15. Latura pătratului $=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ cm. (Aria dreptunghiului $4\cdot 9=36$ cm², aria pătratului $6^2=36$ cm² — coincid.)
16. Numărător: $2\cdot 6+3\cdot 7+4\cdot 8+1\cdot 9+2\cdot 10=12+21+32+9+20=94$. Suma ponderilor: $2+3+4+1+2=12$. Media $=\frac{94}{12}=\frac{47}{6}\approx 7,83.$
17. $\frac{2\cdot 6+p\cdot 10}{2+p}=9\Rightarrow 12+10p=9(2+p)\Rightarrow 12+10p=18+9p\Rightarrow p=6.$ Verificare: $\frac{12+60}{8}=\frac{72}{8}=9$. Corect.
18. $\sqrt{10\cdot 6}=\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}\approx 7,75.$
19. $\frac{80\cdot 7+20\cdot 10}{80+20}=\frac{560+200}{100}=\frac{760}{100}=7,6.$
20. $\frac{3\cdot 7+T}{4}=7,5\Rightarrow 21+T=30\Rightarrow T=9.$ Verificare: $\frac{21+9}{4}=\frac{30}{4}=7,5$. Corect.
21. $\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}\approx 6,71.$
22. Adevărat. Media geometrică este $\sqrt{5\cdot 5}=\sqrt{25}=5$, iar media aritmetică este $\frac{5+5}{2}=5$. Cele două sunt egale, exact cum spune proprietatea $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$: egalitatea apare când $a=b$.
23. Latura pătratului $=\sqrt{3\cdot 27}=\sqrt{81}=9$ cm. Media aritmetică a laturilor: $\frac{3+27}{2}=15$. Cum $9<15$, media geometrică (latura pătratului) este mai mică decât media aritmetică, numerele fiind diferite.
24. $\frac{p\cdot 4+1\cdot 12}{p+1}=6\Rightarrow 4p+12=6(p+1)\Rightarrow 4p+12=6p+6\Rightarrow 2p=6\Rightarrow p=3.$ Verificare: $\frac{4\cdot 3+12}{3+1}=\frac{24}{4}=6$. Corect.

De reținut

• Media aritmetică ponderată a numerelor $x_1,\dots ,x_n$ cu ponderile $p_1,\dots ,p_n$ este $\bar{x}=\frac{p_1{x}_1+\cdots +p_n{x}_n}{p_1+\cdots +p_n}$: sumă de „număr × pondere" împărțită la suma ponderilor.
• Media aritmetică simplă este cazul particular în care toate ponderile sunt egale.
• Media geometrică a două numere pozitive $a$ și $b$ este $\sqrt{a\cdot b}$ — se cere ca numerele să fie strict pozitive.
• Pentru orice numere pozitive: $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{a\cdot b}$, cu egalitate doar când $a=b$. Media geometrică nu depășește niciodată media aritmetică.
• Geometric, $\sqrt{a\cdot b}$ este latura pătratului cu aceeași arie ca dreptunghiul de laturi $a$ și $b$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre cele două medii. Media aritmetică a lui $2$ și $8$ este $5$, dar media geometrică este $4$. Nu le amesteca: una se bazează pe adunare și împărțire, cealaltă pe înmulțire și radical.
• Uiți să împarți la suma ponderilor. La media ponderată, numitorul NU este $n$ (numărul de valori), ci suma ponderilor. Dacă împarți greșit la numărul de note, obții un rezultat fals.
• Aplici media geometrică la numere negative. Formula $\sqrt{a\cdot b}$ cere $a>0$ și $b>0$. La clasa a VII-a, media geometrică se definește doar pentru numere pozitive.
• Nu scoți factorii de sub radical. Dacă media geometrică iese $\sqrt{48}$, forma finală corectă este $4\sqrt{3}$. Lasă radicalul „nescos" doar dacă se cere explicit valoarea sub radical.
• Confunzi ponderea cu valoarea. La media notelor cu teză, ponderea $3$ nu înseamnă „nota $3$", ci „media din timpul semestrului cântărește de trei ori". Ponderile sunt „greutăți", nu note; ele stau la înmulțire, nu se adună printre valori.
• Ridici greșit la pătrat. Când rezolvi o ecuație de tipul $\sqrt{4x}=10$, ridici la pătrat ambii membri întregi: $4x=100$, nu $4x=10$. O greșeală frecventă este să ridici la pătrat doar partea stângă și să uiți dreapta.

Aplică acasă

1. Media ta reală. Ia carnetul de note la o disciplină cu teză. Calculează întâi media notelor din timpul semestrului, apoi aplică formula ponderată $\frac{3M+T}{4}$ pentru media semestrială. Compară cu media trecută în catalog — ar trebui să coincidă.
2. Prețul mediu al cumpărăturilor. La următoarea vizită la magazin, notează cantitățile și prețurile a trei produse de același fel (de exemplu trei sortimente de fructe). Calculează prețul mediu pe kilogram folosind media ponderată și verifică dacă totalul plătit împărțit la totalul kilogramelor dă același rezultat.
3. Dreptunghi și pătrat. Desenează pe o foaie un dreptunghi cu laturile de $2$ cm și $8$ cm. Calculează media geometrică a laturilor ($\sqrt{2\cdot 8}=4$) și desenează alături un pătrat cu latura de $4$ cm. Măsoară și convinge-te că cele două figuri au aceeași arie ($16$ cm²).
4. Ce notă îmi trebuie? Alege o disciplină la care încă nu ai teză. Calculează-ți media notelor din timpul semestrului, apoi întreabă-te: „ce notă la teză îmi asigură o medie semestrială de cel puțin $9$?" Rezolvă folosind formula $\frac{3M+T}{4}$, punând-o egală cu $9$ și aflând $T$, ca în Exemplul 8. Vei vedea imediat dacă ținta este realistă sau nu.

Pentru părinți și profesori

Această lecție leagă matematica de o experiență pe care copilul o trăiește direct: media notelor. Pentru a-l sprijini, plecați de la carnet și cereți-i să reconstituie o medie semestrială reală — este cel mai puternic exemplu de medie ponderată. Insistați pe întrebarea „de ce contează teza mai mult?", pentru a fixa ideea de pondere.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Care e diferența dintre media aritmetică și cea geometrică a numerelor $2$ și $8$?" (Răspuns: $5$ față de $4$.)
• „Dacă toate ponderile sunt egale, ce medie obții?" (Media aritmetică simplă.)
• „Care medie este mai mare, întotdeauna?" (Media aritmetică, cu egalitate doar când numerele sunt egale.)

Veți ști că elevul a înțeles dacă poate: (1) să identifice singur ce împarte la ce în media ponderată (la suma ponderilor, nu la numărul de valori); (2) să calculeze o medie geometrică scoțând corect factorii de sub radical; și (3) să explice cu cuvintele lui de ce media geometrică nu depășește media aritmetică. Dacă apar confuzii, reveniți la lecțiile despre rădăcina pătrată și scoaterea factorilor de sub radical.

Întrebări frecvente

Cum se calculează media aritmetică ponderată la clasa a 7-a? Înmulțești fiecare număr cu ponderea lui, aduni toate produsele și împarți suma obținută la suma ponderilor. Formula este $\bar{x}=\frac{p_1{x}_1+\cdots +p_n{x}_n}{p_1+\cdots +p_n}$. Atenție: împarți la suma ponderilor, nu la numărul de valori.

Care este formula mediei geometrice a două numere? Pentru două numere pozitive $a$ și $b$, media geometrică este $\sqrt{a\cdot b}$: înmulțești numerele și extragi rădăcina pătrată a produsului. Numerele trebuie să fie strict pozitive pentru ca radicalul să aibă sens.

Ce înseamnă „ponderea" unei note? Ponderea arată cât de mult contează o valoare în medie. La media semestrială, media notelor din timpul semestrului are ponderea $3$, iar teza ponderea $1$, ceea ce înseamnă că teza „cântărește" cât un sfert din medie.

Care medie este mai mare, cea aritmetică sau cea geometrică? Pentru orice două numere pozitive, media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică: $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{a\cdot b}$. Cele două medii sunt egale doar când numerele sunt egale între ele.

Cum se calculează media notelor cu teză? Calculezi întâi media notelor din timpul semestrului, apoi aplici $\frac{3M+T}{4}$, unde $M$ este media notelor din semestru (pondere $3$) și $T$ este teza (pondere $1$). De exemplu, cu $M=9$ și $T=7$ obții $\frac{27+7}{4}=8,5$.

De ce media geometrică se folosește numai pentru numere pozitive? Pentru că sub radical apare produsul $a\cdot b$, iar rădăcina pătrată se definește doar pentru numere nenegative. Dacă ambele numere sunt pozitive, produsul este pozitiv și $\sqrt{a\cdot b}$ este bine definit.

Media aritmetică simplă este tot o medie ponderată? Da. Media aritmetică simplă este cazul particular în care toate ponderile sunt egale (de exemplu toate egale cu $1$). Atunci numitorul devine numărul de valori și formula se reduce la media obișnuită.

Ce legătură are media geometrică cu geometria? Media geometrică $\sqrt{a\cdot b}$ este latura pătratului care are aceeași arie ca un dreptunghi cu laturile $a$ și $b$. De aceea se numește „geometrică" și apare mai târziu în relațiile metrice din triunghiul dreptunghic.

Cum aflu ce notă îmi trebuie la teză pentru o anumită medie? Notezi teza necunoscută cu $T$, scrii formula mediei semestriale $\frac{3M+T}{4}$ (unde $M$ este media din timpul semestrului), o pui egală cu media dorită și rezolvi ecuația. De exemplu, dacă $M=8$ și vrei media $8,5$, obții $24+T=34$, deci $T=10$. Dacă rezultatul depășește $10$, înseamnă că ținta nu poate fi atinsă doar din teză.