Cum scap de radical de la numitor?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Raționalizarea numitorului cu radical

Amplifici fracția cu radicalul de jos, adică înmulțești și sus, și jos cu el. Merge fiindcă un radical înmulțit cu el însuși dă numărul de sub semn, deci numitorul devine întreg. Amplifici doar cu radicalul, nu cu tot numitorul. Din $\frac{9}{2 3}$ obții $\frac{9 3}{6}$ , apoi simplifici prin $3$ și ajungi la $\frac{3 3}{2}$ .

Când o fracție are un radical la numitor, de exemplu $\frac{m}{a b}$ , o raționalizezi ca s-o scrii cu numitor întreg, fără să-i schimbi valoarea. Trucul: amplifici (înmulțești sus și jos) cu $b$ , folosind proprietatea $b \cdot b = b$ — radicalul înmulțit cu el însuși dispare. Formula de aur: $\frac{m}{a b} = \frac{m b}{a b} .$ Amplifici doar cu $b$ , nu cu tot numitorul $a b$ — numărul $a$ e deja rațional, nu deranjează. Exemplu: $\frac{9}{2 3} = \frac{9 3}{2 \cdot 3} = \frac{9 3}{6} = \frac{3 3}{2}$ (am simplificat prin $3$ la final). Nu uita ultimul pas: dacă numărătorul și numitorul au un divizor comun, simplifici — altfel răspunsul e considerat incomplet.

De reținut

$\frac{m}{a b} = \frac{m b}{ab}$
$b \cdot b = b$
la final se simplifică fracția obținută

Greșeala tipică

Se amplifică cu tot numitorul, adică și cu $a$ , iar calculul se încurcă. Amplificarea se face doar cu radicalul, fiindcă partea întreagă nu deranjează.

Exerciții din această mini-lecție

Care este cel mai simplu factor cu care se amplifică fracția $\frac{5}{3 2}$ pentru a raționaliza numitorul?
- a) cu $2$
- b) cu $32$
- c) cu $3$
- d) cu $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cu $2$

Numărul $3$ este deja rațional și nu deranjează; doar radicalul $2$ trebuie „curățat", deci amplificăm cu $2$ (cea mai economică variantă, deși și cu $32$ s-ar ajunge la același rezultat, cu mai multă muncă).
Raționalizează fracția $\frac{4}{5}$ .
- a) $\frac{4 5}{5}$
- b) $\frac{4}{5}$
- c) $\frac{5}{5}$
- d) $\frac{20}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{4 5}{5}$

Amplificăm cu $5$ : $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{4 5}{5}$ . La numitor $5 \cdot 5 = 5$ , iar $4$ și $5$ nu au divizori comuni, deci nu se mai simplifică.
Care este cel mai simplu factor cu care se amplifică fracția $\frac{7}{4 3}$ pentru a raționaliza numitorul?
- a) cu $3$
- b) cu $43$
- c) cu $4$
- d) cu $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cu $3$

Numărul $4$ este deja rațional și nu deranjează; doar radicalul $3$ trebuie „curățat", deci amplificăm cu $3$ (cea mai economică variantă, deși și cu $43$ s-ar ajunge la același rezultat, cu mai multă muncă).

Întrebări conexe

Cât face radical din 3 supra radical din 5, raționalizat?

Amplifici cu $5$ și obții $\frac{3 \cdot 5}{5}$ , adică $\frac{15}{5}$ . Radicalii de sus se strâng într-unul singur, fiindcă produsul lor este radicalul produsului. Numitorul rămâne un întreg, exact cum se cere la răspunsul final.

Cum raționalizez o fracție cu numitorul radical din 12?

Simplifici întâi numitorul: $12 = 23$ , fiindcă $12 = 4 \cdot 3$ . Amplifici apoi cu $3$ , nu cu $12$ , și numitorul devine $2 \cdot 3 = 6$ . Din $\frac{6}{12}$ ajungi astfel la $\frac{6 3}{6} = 3$ . Simplificarea de la început scurtează mult calculul.

De ce valoarea fracției nu se schimbă la amplificare?

Fiindcă înmulțești atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr, ceea ce înseamnă înmulțire cu $1$ scris sub altă formă. Fracția arată diferit, dar valoarea rămâne aceeași: $\frac{1}{2}$ și $\frac{2}{2}$ dau amândouă cam $0, 707$ .

Cum compar două fracții cu radical fără calculator?

Le raționalizezi pe amândouă, apoi le aduci chiar la același numitor. Din $\frac{1}{3}$ iese $\frac{3}{3}$ , iar din $\frac{1}{5}$ iese $\frac{5}{5}$ ; cu numitorul comun 15 ele devin $\frac{5 3}{15}$ și $\frac{3 5}{15}$ . Introduci factorul sub radical, $75$ față de $45$ , și compari radicandele: prima fracție este mai mare.

Cum aproximez radical din 2 supra 2 cu două zecimale?

Pornești de la valoarea aproximativă a radicalului: $2 \approx 1, 41$ . Împărțind la $2$ , obții aproximativ $0, 71$ . Dacă lucrai cu forma neraționalizată, ar fi trebuit să împarți $1$ la $1, 41$ , o operație mult mai grea de făcut în minte.

Ce fel de fracții nu au nevoie de raționalizare?

Cele care au deja numitor întreg, chiar dacă la numărător apare un radical. Formele $\frac{7}{4}$ sau $\frac{2 + 3}{5}$ sunt gata scrise corect. Radicalul deranjează numai jos, fiindcă acolo îngreunează împărțirea și compararea rezultatelor.

Oamenii mai întreabă și: raționalizarea numitorului · cum scot radicalul de la numitor · fracție cu radical la numitor · amplificarea cu radical · raționalizare exemple