Recapitulare: elemente de statistică

Ești la un pas de Evaluarea Națională, iar statistica este una dintre temele cele mai „prietenoase” de pe foaia de examen: nu cere formule complicate, ci atenție, ordine și capacitatea de a citi corect un tabel sau o diagramă. Gândește-te la mediile tale de pe parcursul anului, la sondajul de opinie de la știri sau la graficul cu numărul de pași pe care ți-l arată telefonul — toate sunt statistică aplicată. În această lecție de recapitulare aducem la un loc tot ce ai învățat: cum colectăm și organizăm datele într-un tabel de frecvențe, cum le reprezentăm grafic prin diagrame cu bare și diagrame circulare, cum calculăm media aritmetică și media ponderată și, cel mai important pentru examen, cum interpretăm informația dintr-o reprezentare statistică pentru a răspunde la întrebări practice. Vei rezolva itemi în stilul celor de la Evaluarea Națională, cu accent pe redactarea care aduce punctaj.

Ce vei învăța

• Vei ști să organizezi un set de date brute într-un tabel de frecvențe clar și complet.
• Vei ști să citești și să construiești diagrame cu bare și diagrame circulare (inclusiv calculul unghiurilor la centru).
• Vei ști să calculezi media aritmetică și media ponderată a unui set de date și să faci diferența dintre ele.
• Vei ști să interpretezi o diagramă sau un tabel pentru a răspunde corect la întrebări din contexte reale.
• Vei ști să redactezi rezolvarea unui item de statistică astfel încât să obții tot punctajul la examen.

Hai să descoperim împreună

Statistica lucrează mereu cu date — valori pe care le obținem observând, măsurând sau întrebând. Drumul complet este mereu același: colectăm datele, le organizăm într-un tabel, le reprezentăm grafic și, în final, le interpretăm. Hai să reparcurgem fiecare etapă, legând între ele toate noțiunile din unitatea de statistică.

1. Colectarea și organizarea datelor: tabelul de frecvențe

Presupune că într-o clasă notele obținute la un test au fost:

$$7,9,8,7,10,9,7,8,9,7,8,10,9,8,7$$

Așa, „în grămadă”, datele sunt greu de citit. Le punem ordine într-un tabel de frecvențe. Reamintim doi termeni-cheie:

• Frecvența absolută a unei valori = de câte ori apare acea valoare în set. O notăm de obicei cu $f$ sau $n_i$.
• Frecvența relativă a unei valori = raportul dintre frecvența absolută și numărul total de date, $\frac{f}{N}$. O putem scrie ca fracție, ca număr zecimal sau ca procent.

Numărăm aparițiile fiecărei note și le trecem în tabel. Sunt în total $N=15$ note.

Observă două verificări pe care trebuie să le faci mereu:

1. Suma frecvențelor absolute este egală cu numărul total de date: $5+4+4+2=15$. Dacă nu dă $N$, ai greșit numărătoarea.
2. Suma frecvențelor relative este egală cu $1$ (adică $100\%$): $\frac{5}{15}+\frac{4}{15}+\frac{4}{15}+\frac{2}{15}=\frac{15}{15}=1$.

Aceste două „reguli de aur” sunt salvatoare la examen: îți spun instant dacă tabelul e corect. (Dacă vrei să reiei în detaliu noțiunile de frecvență, revezi lecția Frecvența absolută și relativă.)

2. Reprezentări grafice

Un tabel e clar, dar un grafic se citește dintr-o privire. La clasa a VIII-a folosim două tipuri principale.

a) Diagrama cu bare (coloane). Pe axa orizontală trecem valorile (notele), iar pe axa verticală frecvențele absolute. Fiecare valoare primește o bară a cărei înălțime este egală cu frecvența ei. Barele au aceeași lățime și sunt separate prin spații egale.

Ce citim dintr-o diagramă cu bare? Imediat vedem valoarea cea mai frecventă (bara cea mai înaltă — nota 7, care este modul setului), valoarea cea mai rară (bara cea mai scundă — nota 10) și putem compara vizual grupurile.

b) Diagrama circulară (de tip „plăcintă”). Aici întregul cerc ($360°$) reprezintă totalul datelor ($100\%$), iar fiecare valoare primește un sector proporțional cu frecvența ei. Formula-cheie pentru unghiul la centru al unui sector este:

$$\text{unghiul sectorului}=\frac{f}{N}\cdot 360°$$

sau, echivalent, $\text{procentul}\cdot 360°$. Să calculăm unghiurile pentru notele noastre:

• Nota 7: $\frac{5}{15}\cdot 360°=\frac{1}{3}\cdot 360°=120°$
• Nota 8: $\frac{4}{15}\cdot 360°=96°$
• Nota 9: $\frac{4}{15}\cdot 360°=96°$
• Nota 10: $\frac{2}{15}\cdot 360°=48°$

Verificarea obligatorie: suma unghiurilor trebuie să dea $360°$. Într-adevăr, $120°+96°+96°+48°=360°$.

Când folosim fiecare? Diagrama cu bare e potrivită când vrem să comparăm cantități (câți elevi au fiecare notă). Diagrama circulară e potrivită când vrem să arătăm ce parte din întreg reprezintă fiecare categorie (ce fracție din clasă a luat nota 7).

3. Media aritmetică

Media aritmetică a unui set de $N$ date este suma tuturor valorilor împărțită la numărul lor:

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$$

Pentru cele 15 note, am putea aduna toate cele 15 valori. Dar, dacă avem deja tabelul de frecvențe, e mult mai rapid să folosim frecvențele: în loc să scriem nota 7 de cinci ori, o înmulțim direct cu 5.

$$\bar{x}=\frac{7\cdot 5+8\cdot 4+9\cdot 4+10\cdot 2}{15}$$

Calculăm numărătorul pas cu pas: $7\cdot 5=35$; $8\cdot 4=32$; $9\cdot 4=36$; $10\cdot 2=20$. Suma este $35+32+36+20=123$. Așadar:

$$\bar{x}=\frac{123}{15}=8,2$$

Media clasei este $8,2$. Reține ideea esențială: atunci când valorile se repetă, media aritmetică se calculează firesc folosind frecvențele — fiecare valoare „cântărește” cât frecvența ei. Aceasta ne conduce direct la noțiunea de medie ponderată. (Pentru media aritmetică simplă, poți recapitula lecția Media aritmetică a unui set de date.)

4. Media ponderată

Uneori valorile nu contează la fel de mult. Fiecare valoare are o „greutate” (o pondere) care spune cât de importantă este. Media care ține cont de ponderi se numește media ponderată.

Dacă avem valorile $x_1,x_2,\dots ,x_k$ cu ponderile (frecvențele) $p_1,p_2,\dots ,p_k$, atunci:

$${\bar{x}}_p=\frac{x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_k{p}_k}{p_1+p_2+\cdots +p_k}$$

Observă legătura frumoasă: media ponderată cu ponderi egale cu frecvențele este exact media aritmetică a setului de date. De aceea calculul mediei celor 15 note de mai sus este, de fapt, o medie ponderată în care ponderile sunt frecvențele $5,4,4,2$.

Ponderile nu sunt însă mereu frecvențe. Exemplul clasic din viața de elev: media pe semestru, unde teza „cântărește” mai mult decât o notă din oral. Să zicem că un elev are la matematică notele din oral $8$ și $9$, iar la teză nota $10$, și profesorul stabilește că teza are ponderea 2, iar fiecare notă din oral ponderea 1. Atunci:

$${\bar{x}}_p=\frac{8\cdot 1+9\cdot 1+10\cdot 2}{1+1+2}=\frac{8+9+20}{4}=\frac{37}{4}=9,25$$

Compară cu media aritmetică simplă a celor trei note: $\frac{8+9+10}{3}=9$. Fiindcă nota mare (10) a fost „cântărită” dublu, media ponderată a ieșit mai sus, $9,25$. Aceasta este toată ideea ponderilor: ele deplasează media spre valorile mai importante.

5. Interpretarea informațiilor dintr-o reprezentare statistică

Aici se dau, de fapt, cele mai multe puncte la examen. Nu e suficient să calculezi — trebuie să citești corect graficul și să răspunzi la întrebarea pusă. Câteva reflexe utile:

• Când vezi o diagramă, citește întâi legenda și axele: ce reprezintă fiecare bară, ce unitate e pe axa verticală (elevi? lei? grade?).
• „Cel mai mare / cel mai mic” înseamnă bara cea mai înaltă / cea mai scundă (sau sectorul cel mai mare / cel mai mic).
• „Cu cât mai mult” înseamnă o scădere; „de câte ori mai mult” înseamnă o împărțire.
• „Ce procent din total” cere raportul $\frac{f}{N}$ transformat în procent.
• La diagrama circulară, un sector cunoscut ca unghi îți dă imediat procentul prin $\frac{\text{unghi}}{360°}$, iar dacă știi totalul, poți afla câte date sunt în acel sector.

Aceste patru etape — colectare, organizare, reprezentare, interpretare — formează un circuit complet. Le vei folosi împreună în exemplele și exercițiile de mai jos, exact cum apar la Evaluarea Națională.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la date brute la tabel, medie și mod

La antrenamente, un baschetbalist a înscris, meci de meci, următoarele numere de coșuri:

$$12,15,12,18,12,15,20,18,12,15$$

a) Organizează datele într-un tabel de frecvențe. b) Câte meciuri sunt în total? c) Calculează media numărului de coșuri pe meci. d) Care este valoarea cea mai frecventă (modul)?

Rezolvare. Numărăm aparițiile fiecărei valori:

b) Numărul total de meciuri este $N=4+3+2+1=10$.

c) Folosim frecvențele: $$\bar{x}=\frac{12\cdot 4+15\cdot 3+18\cdot 2+20\cdot 1}{10}=\frac{48+45+36+20}{10}=\frac{149}{10}=14,9$$ În medie, a înscris $14,9$ coșuri pe meci.

d) Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare: $12$ coșuri (apare de 4 ori).

Exemplul 2 — Media ponderată la calculul mediei generale

Un elev vrea să afle media sa la o materie, unde profesorul folosește ponderi: temele au ponderea $1$, testele ponderea $2$, iar teza ponderea $3$. Notele lui au fost: la teme $9$, la un test $8$, la un alt test $10$ și la teză $9$.

Rezolvare. Atenție: sunt două teste, fiecare cu ponderea $2$. Aplicăm formula mediei ponderate:

$${\bar{x}}_p=\frac{9\cdot 1+8\cdot 2+10\cdot 2+9\cdot 3}{1+2+2+3}$$

Numărătorul: $9+16+20+27=72$. Numitorul (suma ponderilor): $1+2+2+3=8$. Așadar:

$${\bar{x}}_p=\frac{72}{8}=9$$

Media ponderată este $9$. Observație de examen: numitorul mediei ponderate este suma ponderilor, nu numărul de note. Aici sunt 4 note, dar împărțim la 8.

Exemplul 3 — Calculul unghiurilor pentru o diagramă circulară

Într-un sondaj, 40 de elevi au ales sportul preferat: 16 au ales fotbal, 12 baschet, 8 tenis și 4 înot. Ce unghi la centru are fiecare sector într-o diagramă circulară?

Rezolvare. Totalul este $N=40$. Folosim $\frac{f}{N}\cdot 360°$:

• Fotbal: $\frac{16}{40}\cdot 360°=\frac{2}{5}\cdot 360°=144°$
• Baschet: $\frac{12}{40}\cdot 360°=\frac{3}{10}\cdot 360°=108°$
• Tenis: $\frac{8}{40}\cdot 360°=\frac{1}{5}\cdot 360°=72°$
• Înot: $\frac{4}{40}\cdot 360°=\frac{1}{10}\cdot 360°=36°$

Verificare: $144°+108°+72°+36°=360°$. Corect.

Exemplul 4 — Interpretarea unei diagrame cu bare (item tip Evaluare Națională)

Diagrama de mai jos arată numărul de cărți citite de elevii unei clase într-o lună.

Din diagramă citim tabelul:

a) Câți elevi are clasa? b) Câți elevi au citit cel puțin 3 cărți? c) Ce procent dintre elevi nu au citit nicio carte? d) Care este numărul mediu de cărți citite pe elev?

Rezolvare.

a) $N=3+8+7+5+2=25$ elevi.

b) „Cel puțin 3” înseamnă 3 sau 4 cărți: $5+2=7$ elevi.

c) Elevi cu 0 cărți: 3. Procentul: $\frac{3}{25}=\frac{12}{100}=12\%$.

d) Media: $$\bar{x}=\frac{0\cdot 3+1\cdot 8+2\cdot 7+3\cdot 5+4\cdot 2}{25}=\frac{0+8+14+15+8}{25}=\frac{45}{25}=1,8$$ În medie, fiecare elev a citit $1,8$ cărți.

Exemplul 5 — Aflarea unei valori necunoscute dintr-o medie dată

Media a cinci numere este $14$. Patru dintre ele sunt $10,12,15$ și $18$. Care este al cincilea număr?

Rezolvare. Dacă media a cinci numere este $14$, atunci suma lor este $14\cdot 5=70$. Suma celor patru numere cunoscute este $10+12+15+18=55$. Al cincilea număr este diferența: $$70-55=15$$ Al cincilea număr este $15$. Ideea-cheie, foarte des cerută la examen: din medie și numărul de date afli suma, prin $\text{suma}=\bar{x}\cdot N$.

Exemplul 6 — De la procent (unghi) înapoi la număr de date

Într-o diagramă circulară care reprezintă cheltuielile lunare ale unei familii, sectorul „mâncare” are unghiul la centru de $126°$. Dacă bugetul total este de $4000$ de lei, cât se cheltuiește pe mâncare?

Rezolvare. Aflăm mai întâi ce fracție din total reprezintă sectorul: $\frac{126°}{360°}=\frac{126}{360}=\frac{7}{20}=0,35=35\%$. Apoi calculăm suma: $$0,35\cdot 4000=1400\text{ lei}$$ Familia cheltuiește $1400$ de lei pe mâncare. Reține drumul invers: unghi → fracție (împărțind la 360°) → valoare (înmulțind cu totalul).

Exemplul 7 — Media a două grupe reunite

La un test, o grupă de $12$ elevi a obținut media $8$, iar o altă grupă de $8$ elevi a obținut media $7$. Care este media întregii clase (cele $20$ de elevi la un loc)?

Rezolvare. O greșeală frecventă este să faci media celor două medii: $\frac{8+7}{2}=7,5$. Este greșit, pentru că grupele nu au același număr de elevi — cea cu media $8$ este mai numeroasă și „trage” media comună spre $8$. Corect este să lucrăm cu sumele. Din $\text{suma}=\bar{x}\cdot N$:

• suma notelor primei grupe: $8\cdot 12=96$;
• suma notelor celei de-a doua grupe: $7\cdot 8=56$.

Suma tuturor celor $20$ de note este $96+56=152$, iar media comună este:

$$\bar{x}=\frac{152}{20}=7,6$$

Media întregii clase este $7,6$ — mai aproape de $8$ decât de $7$, exact cum ne așteptam, fiindcă grupa cu media $8$ are mai mulți elevi. De fapt, această medie comună este chiar o medie ponderată a mediilor pe grupe, cu ponderi egale cu numărul de elevi din fiecare grupă:

$$\bar{x}=\frac{8\cdot 12+7\cdot 8}{12+8}=\frac{152}{20}=7,6$$

Reține reflexul: când reunești două grupe, nu media mediilor, ci suma tuturor valorilor împărțită la numărul total.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile în ordine, de la ușor la greu. Scrie calculele complet, așa cum ai face la examen.

1. Ordonează crescător și scrie într-un tabel de frecvențe setul de date: $5,6,5,7,6,5,8,7,5,6$. Câte date sunt în total?

2. Pentru setul de la exercițiul 1, care este frecvența absolută a valorii $5$? Dar frecvența ei relativă, exprimată în procente?

3. Calculează media aritmetică a numerelor $4,7,7,10,12$.

4. Media a patru numere este $9$. Trei dintre ele sunt $6,8$ și $11$. Află al patrulea număr.

5. Într-o diagramă circulară, un sector reprezintă $25\%$ din total. Ce unghi la centru are acel sector?

6. Un sector al unei diagrame circulare are unghiul la centru de $90°$. Ce fracție din total reprezintă?

7. Notele unui elev la o materie sunt: la oral $8$ și $10$ (pondere $1$ fiecare), iar la teză $9$ (pondere $2$). Calculează media ponderată.

8. Adevărat sau fals, cu justificare: „La o diagramă circulară, suma unghiurilor tuturor sectoarelor este întotdeauna $360°$.”

9. Adevărat sau fals, cu justificare: „Media ponderată se împarte întotdeauna la numărul de note.”

10. Într-o clasă de $30$ de elevi, $40\%$ merg la școală pe jos. Câți elevi merg pe jos? Ce unghi la centru ar avea acest grup într-o diagramă circulară?

11. Temperaturile (în °C) măsurate la prânz timp de o săptămână au fost: $18,20,19,21,22,20,19$. Calculează temperatura medie a săptămânii.

12. Un magazin a vândut într-o zi tricouri de mărimile: S — $6$ bucăți, M — $10$ bucăți, L — $8$ bucăți, XL — $4$ bucăți. Construiește tabelul de frecvențe și calculează procentul vânzărilor pentru mărimea M.

13. Pentru datele de la exercițiul 12, calculează unghiurile la centru ale celor patru sectoare pentru o diagramă circulară și verifică suma lor.

14. (tip Evaluare Națională) Diagrama cu bare arată numărul de puncte obținute de o echipă în $5$ etape: $3,1,3,0,1$. a) Câte puncte a strâns echipa în total? b) Câte puncte a obținut în medie pe etapă? c) În câte etape a obținut cel puțin $3$ puncte?

15. Media a $6$ numere este $10$. Dacă se adaugă un al șaptelea număr egal cu $17$, care devine noua medie a celor $7$ numere?

16. (raționament) Într-un test cu note de la $1$ la $10$, media clasei de $20$ de elevi este $7$. Suma tuturor notelor s-a pierdut. Poți s-o reconstitui? Cât este?

17. (aplicat) La un concurs, punctajul final se calculează astfel: proba teoretică are ponderea $3$, proba practică ponderea $2$. Un candidat a obținut $80$ de puncte la teorie și $95$ la practică. Care este punctajul final ponderat?

18. (tip Evaluare Națională, interpretare) O diagramă circulară arată modul de petrecere a timpului liber al elevilor: „sport” — $108°$, „lectură” — $54°$, „jocuri video” — $126°$, „altele” — restul. a) Ce unghi are sectorul „altele”? b) Ce procent din elevi au ales sportul? c) Dacă la sondaj au participat $200$ de elevi, câți au ales jocuri video?

19. (medii reunite) O clasă are $18$ fete cu media $9$ la un test și $12$ băieți cu media $8$. Care este media întregii clase?

20. (raționament) Media a $10$ numere este $6$. Dacă adăugăm un al unsprezecelea număr și media rămâne tot $6$, ce număr am adăugat?

Răspunsuri și explicații

1. Ordonat: $5,5,5,5,6,6,6,7,7,8$. Tabel: $5\to 4$; $6\to 3$; $7\to 2$; $8\to 1$. Total: $4+3+2+1=10$ date.

2. Frecvența absolută a lui $5$ este $4$. Frecvența relativă: $\frac{4}{10}=0,4=40\%$.

3. $\bar{x}=\frac{4+7+7+10+12}{5}=\frac{40}{5}=8$.

4. Suma celor patru numere este $9\cdot 4=36$. Cele trei cunoscute dau $6+8+11=25$. Al patrulea: $36-25=11$.

5. $25\%=\frac{1}{4}$, deci unghiul este $\frac{1}{4}\cdot 360°=90°$.

6. $\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$, adică un sfert din total ($25\%$).

7. ${\bar{x}}_p=\frac{8\cdot 1+10\cdot 1+9\cdot 2}{1+1+2}=\frac{8+10+18}{4}=\frac{36}{4}=9$.

8. Adevărat. Cercul întreg măsoară $360°$ și reprezintă totalul datelor ($100\%$). Fiecare sector primește o parte din acest unghi, proporțională cu frecvența, deci suma tuturor sectoarelor reface cercul întreg, adică $360°$.

9. Fals. Media ponderată se împarte la suma ponderilor, nu la numărul de note. Doar când toate ponderile sunt egale cu $1$ suma ponderilor coincide cu numărul de note.

10. $40\%$ din $30$: $\frac{40}{100}\cdot 30=12$ elevi. Unghiul: $\frac{12}{30}\cdot 360°=0,4\cdot 360°=144°$ (sau direct $40\%\cdot 360°=144°$).

11. Suma: $18+20+19+21+22+20+19=139$. Media: $\frac{139}{7}\approx 19,86°C$ (aproximativ $19,9°C$).

12. Total: $6+10+8+4=28$ tricouri. Tabel: S $\to 6$; M $\to 10$; L $\to 8$; XL $\to 4$. Procentul pentru M: $\frac{10}{28}\approx 0,357=35,7\%$.

13. Unghiuri (din $\frac{f}{28}\cdot 360°$): S: $\frac{6}{28}\cdot 360°\approx 77,1°$; M: $\frac{10}{28}\cdot 360°\approx 128,6°$; L: $\frac{8}{28}\cdot 360°\approx 102,9°$; XL: $\frac{4}{28}\cdot 360°\approx 51,4°$. Suma: $77,1+128,6+102,9+51,4=360°$ (rotunjirile dau exact $360°$).

14. a) $3+1+3+0+1=8$ puncte. b) $\frac{8}{5}=1,6$ puncte pe etapă. c) „Cel puțin 3” = etapele cu $3$ puncte: sunt $2$ etape.

15. Suma celor $6$ numere: $10\cdot 6=60$. Adăugând $17$: suma nouă $=77$, împărțită la $7$ numere: $\frac{77}{7}=11$. Noua medie este $11$.

16. Da: suma $=\bar{x}\cdot N=7\cdot 20=140$. Suma tuturor notelor este $140$.

17. ${\bar{x}}_p=\frac{80\cdot 3+95\cdot 2}{3+2}=\frac{240+190}{5}=\frac{430}{5}=86$ puncte.

18. a) „Altele” $=360°-(108°+54°+126°)=360°-288°=72°$. b) Sport: $\frac{108°}{360°}=0,3=30\%$. c) Jocuri video: $\frac{126°}{360°}=0,35$, deci $0,35\cdot 200=70$ elevi.

19. Lucrăm cu sumele, nu cu media mediilor. Suma notelor fetelor: $9\cdot 18=162$; suma notelor băieților: $8\cdot 12=96$. Suma tuturor: $162+96=258$, împărțită la $18+12=30$ elevi: $\frac{258}{30}=8,6$. Media clasei este $8,6$.

20. Suma primelor $10$ numere: $6\cdot 10=60$. Ca media celor $11$ numere să rămână $6$, noua sumă trebuie să fie $6\cdot 11=66$. Numărul adăugat este $66-60=6$, adică fix media veche. (O valoare egală cu media nu schimbă media.)

De reținut

• Tabelul de frecvențe organizează datele: suma frecvențelor absolute $=N$, iar suma frecvențelor relative $=1$ ($100\%$).
• Diagrama cu bare compară cantități (înălțime $=$ frecvență); diagrama circulară arată părți din întreg, cu unghiul unui sector $=\frac{f}{N}\cdot 360°$, iar suma tuturor unghiurilor $=360°$.
• Media aritmetică: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$. De aici, $\text{suma}=\bar{x}\cdot N$ — foarte util pentru a afla valori necunoscute.
• Media ponderată: ${\bar{x}}_p=\frac{x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_k{p}_k}{p_1+p_2+\cdots +p_k}$ — se împarte la suma ponderilor, nu la numărul de valori.
• La interpretare: „cu cât” $=$ scădere, „de câte ori” $=$ împărțire, „ce procent” $=\frac{f}{N}$ în procente.

Greșeli frecvente

• Împarți media ponderată la numărul de note, nu la suma ponderilor. Numitorul corect este mereu $p_1+p_2+\cdots +p_k$. Verifică: dacă toate ponderile sunt $1$, suma lor este chiar numărul de note.
• Uiți frecvențele când calculezi media dintr-un tabel. O valoare care apare de $5$ ori trebuie înmulțită cu $5$, nu adunată o singură dată. Refolosește formula cu frecvențe.
• Confuzi unghiul cu procentul la diagrama circulară. Procentul se transformă în unghi înmulțind cu $360°$; invers, un unghi devine procent împărțindu-l la $360°$. Nu sunt același număr.
• Nu verifici sumele de control. Frecvențele absolute trebuie să adune $N$, frecvențele relative $1$, iar unghiurile sectoarelor $360°$. Aceste verificări prind majoritatea greșelilor de calcul.
• Faci media mediilor la două grupe de mărimi diferite. Când reunești două grupe cu numere diferite de elevi, media comună nu este $\frac{{\bar{x}}_1+{\bar{x}}_2}{2}$. Adună toate valorile (folosind $\text{suma}=\bar{x}\cdot N$ pentru fiecare grupă) și împarte la numărul total de date.

Aplică acasă

• Bugetul de buzunar. Notează o săptămână cum îți cheltuiești banii pe categorii (mâncare, transport, distracție, economii). Fă un tabel de frecvențe cu sumele, calculează procentul fiecărei categorii și transformă-l în unghi ($\text{procent}\cdot 360°$). Desenează diagrama circulară a cheltuielilor tale.
• Media reală vs. media ponderată. Ia notele tale la o materie și calculează media aritmetică simplă. Apoi întreabă profesorul ce ponderi folosește (teză, teste, oral) și recalculează ca medie ponderată. Compară cele două rezultate și explică de ce diferă.
• Sondaj în familie. Întreabă $10$ persoane cunoscute care e anotimpul preferat. Organizează răspunsurile într-un tabel de frecvențe, calculează procentele și reprezintă-le atât printr-o diagramă cu bare, cât și printr-una circulară. Care reprezentare se citește mai ușor?
• Media pe două grupe. Ia notele a doi colegi sau ale celor două rânduri din bancă, calculează media fiecărei grupe și apoi media reunită a tuturor, lucrând cu sumele (nu cu media mediilor). Verifică apoi rezultatul adunând direct toate notele și împărțind la numărul lor — trebuie să obții exact aceeași valoare.

Pentru părinți și profesori

Statistica este o temă în care elevii pot lua punctaj sigur la Evaluarea Națională, pentru că cerințele sunt clare și repetitive: citirea unui tabel/diagramă, calculul unei medii, transformarea procent–unghi. Sprijiniți elevul cerându-i să verbalizeze ce citește într-un grafic („ce arată bara cea mai înaltă?”, „ce parte din total e sectorul acesta?”), nu doar să calculeze mecanic.

Întrebări bune de control: „Care e diferența dintre media aritmetică și media ponderată și când se împart la lucruri diferite?”, „Dacă știi media și câte date sunt, cum afli suma?”, „Cum transformi un procent într-un unghi la centru și invers?”. Dacă elevul răspunde corect la aceste trei întrebări, a înțeles esența temei.

La examen, statistica apare tipic în Subiectul I (itemi cu răspuns scurt: citirea unei diagrame, o medie simplă) și uneori integrat într-o problemă din Subiectul al II-lea, unde interpretarea corectă a datelor și redactarea îngrijită (cu unități de măsură și verificări) aduc punctaj complet. Încurajați elevul să scrie mereu formula folosită și să facă verificarea sumelor.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre media aritmetică și media ponderată? La media aritmetică toate valorile contează la fel și împărțim la numărul lor. La media ponderată fiecare valoare are o pondere (o „greutate”) și împărțim la suma ponderilor. Când toate ponderile sunt egale, media ponderată devine chiar media aritmetică.

Cum calculez unghiul unui sector la o diagramă circulară? Înmulțești fracția reprezentată de acea categorie cu $360°$: $\text{unghi}=\frac{f}{N}\cdot 360°$. De exemplu, o categorie care reprezintă un sfert din total primește $\frac{1}{4}\cdot 360°=90°$. Suma tuturor unghiurilor trebuie să dea $360°$.

Cum aflu suma datelor dacă știu media? Înmulțești media cu numărul de date: $\text{suma}=\bar{x}\cdot N$. De pildă, dacă media a $5$ numere este $14$, suma lor este $14\cdot 5=70$. Este cheia problemelor în care trebuie să găsești o valoare lipsă.

La media ponderată împart la numărul de note sau la altceva? Împarți la suma ponderilor, nu la numărul de note. Dacă ai note cu ponderile $1,2$ și $2$, împărți la $1+2+2=5$, chiar dacă notele sunt doar trei.

Când folosesc diagrama cu bare și când cea circulară? Diagrama cu bare este potrivită pentru a compara valori (câți elevi au fiecare notă). Diagrama circulară este potrivită pentru a arăta ce parte din întreg reprezintă fiecare categorie (ce procent din clasă). Ambele pornesc de la același tabel de frecvențe.

Ce verificări fac ca să fiu sigur că am rezolvat corect? Verifică trei sume: frecvențele absolute trebuie să adune numărul total de date, frecvențele relative trebuie să adune $1$ ($100\%$), iar unghiurile sectoarelor trebuie să adune $360°$. Dacă vreo sumă nu iese, ai o greșeală de numărat sau de calcul.

Cum transform un unghi înapoi în procent sau în număr de date? Împarți unghiul la $360°$ ca să obții fracția (procentul). Dacă vrei numărul de date, înmulțești apoi acea fracție cu totalul. Exemplu: un sector de $90°$ înseamnă $\frac{90}{360}=25\%$, iar din $200$ de persoane sunt $0,25\cdot 200=50$.

Statistica e grea la Evaluarea Națională? Nu — este printre cele mai accesibile teme, pentru că cerințele sunt clare și se rezolvă cu calcule simple. Cheia este să citești atent diagrama, să scrii formulele și să faci verificările. Cu puțin exercițiu, itemii de statistică devin puncte aproape sigure.