Recapitulare: calcul algebric, formule de calcul prescurtat și descompuneri în factori

Ai parcurs, lecție cu lecție, tot capitolul de calcul algebric: ai învățat să aduni și să înmulțești expresii cu litere, ai memorat cele trei formule de calcul prescurtat și ai descoperit cum se descompune o expresie în factori. Acum, în plină pregătire pentru Evaluarea Națională, e momentul să strângem totul într-o singură lecție de recapitulare activă. Nu vom re-preda de la zero, ci vom face ceea ce contează la examen: să recunoști dintr-o privire ce formulă se potrivește, să lucrezi în ambele sensuri (dezvoltare și restrângere) și să descompui rapid, corect și îngrijit. La subiectul de matematică, calculul algebric apare aproape peste tot — în ecuații, în fracții algebrice, în probleme de geometrie când dai numere. Cine stăpânește aceste automatisme câștigă timp prețios și puncte sigure. Hai să le fixăm definitiv!

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici corect formulele $(a\pm b{)}^2$ și $(a-b)(a+b)$ în ambele sensuri: să dezvolți și să restrângi.
• Vei ști să descompui expresii în factori prin scoaterea factorului comun și prin gruparea termenilor.
• Vei ști să combini metodele de descompunere și să folosești formulele de calcul prescurtat la descompunere.
• Vei ști să restrângi și să simplifici expresii algebrice complicate, alegând rapid tehnica potrivită.
• Vei ști să demonstrezi identități și să rezolvi probleme practice folosind calculul algebric, redactând corect pentru punctaj.

Hai să descoperim împreună

Harta capitolului: două direcții, aceleași formule

Tot calculul algebric din clasa a VIII-a se sprijină pe o idee simplă: o egalitate se poate citi în ambele sensuri. Aceleași trei formule le folosim o dată ca să desfacem o paranteză (dezvoltare) și altă dată ca să strângem mai mulți termeni într-un produs (restrângere sau descompunere).

Iată tabloul complet, valabil pentru orice numere reale $a$ și $b$:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Citite de la stânga la dreapta, ele dezvoltă un produs. Citite de la dreapta la stânga, ele descompun o sumă algebrică într-un produs. La Evaluarea Națională ai nevoie de amândouă direcțiile, uneori chiar în aceeași problemă.

Direcția 1 — dezvoltarea: desfacem parantezele

A dezvolta înseamnă a scăpa de paranteze aplicând formula. Trei repere de care să nu uiți niciodată:

• La $(a+b{)}^2$ și $(a-b{)}^2$ apare dublul produs $2ab$. Este greșeala numărul unu la examen să scrii $(a+b{)}^2=a^2+b^2$. Termenul din mijloc $2ab$ există întotdeauna.
• Semnul termenului din mijloc copiază semnul din paranteză: la sumă e $+2ab$, la diferență e $-2ab$. Ultimul termen, $b^2$, apare mereu cu plus, pentru că pătratul oricărui număr real nu este niciodată negativ.
• La $(a-b)(a+b)$ termenii din mijloc se reduc și rămâne doar diferența de pătrate $a^2-b^2$. Verifică rapid: $(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$.

Un exemplu de reîncălzire, pas cu pas:

$$(2x-3{)}^2=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2=4x^2-12x+9.$$

Am ridicat la pătrat fiecare „bucată" ($2x$ dă $4x^2$, nu $2x^2$!), am scris dublul produs cu semnul minus și am adăugat pătratul lui $3$. Dacă ai nevoie să revezi mecanismul detaliat, revenim la lecțiile Pătratul unei sume: (a + b)² și Produsul sumei cu diferența.

Pătratul unui trinom: $(a+b+c{)}^2$

O formulă utilă, care extinde ce știi deja, este pătratul unui trinom (o sumă de trei termeni):

$$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca.$$

Regula de reținut, în cuvinte: pătratul fiecărui termen, plus dublul fiecărei perechi de termeni. Cum ai trei termeni, ai trei perechi: $(a,b)$, $(b,c)$ și $(c,a)$ — deci trei duble-produse.

De ce e adevărat? Grupăm primii doi termeni și tratăm $a+b$ ca un singur bloc:

$$(a+b+c{)}^2=((a+b)+c{)}^2=(a+b{)}^2+2(a+b)c+c^2.$$

Dezvoltăm $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ și distribuim $2(a+b)c=2ac+2bc$. Adunând totul, obținem exact formula de mai sus. Frumos, nu? Nu memorezi o formulă „venită din cer", ci o construiești din ce știi.

Un exemplu numeric:

$$(x+2y-1{)}^2=x^2+(2y{)}^2+(-1{)}^2+2\cdot x\cdot 2y+2\cdot 2y\cdot (-1)+2\cdot (-1)\cdot x.$$

$$=x^2+4y^2+1+4xy-4y-2x.$$

Atenție la semne: al treilea termen este $-1$, așa că duble-produsele care îl conțin ies negative.

Direcția 2 — descompunerea în factori: strângem într-un produs

A descompune în factori înseamnă a scrie o sumă algebrică sub forma unui produs. E operația inversă dezvoltării și este esențială la clasa a VIII-a: fără ea nu poți simplifica fracții algebrice și nu poți rezolva ecuații de forma $a{x}^2+bx+c=0$ prin produs nul. Avem trei metode de bază; le recapitulăm pe rând.

Metoda 1 — factorul comun. Cauți ce se repetă în toți termenii (un număr, o literă sau amândouă) și îl „scoți" în față:

$$6x^2-9x=3x(2x-3).$$

Aici $3x$ este factorul comun: $3$ este cel mai mare divizor comun al lui $6$ și $9$, iar $x$ apare în ambii termeni. Verificarea e imediată: dai cu $3x$ înapoi în paranteză și trebuie să obții expresia inițială. Detalii complete în lecția Descompunerea prin factor comun.

Metoda 2 — gruparea termenilor. Când ai patru termeni și nu există un factor comun în toți, îi grupezi câte doi, scoți factor comun din fiecare grupă, iar apoi scoți paranteza comună:

$$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).$$

Cheia e ca, după prima scoatere, cele două paranteze să fie identice. Dacă nu sunt, încearci altă grupare. Recapitulare în Descompunerea prin gruparea termenilor.

Metoda 3 — cu formule de calcul prescurtat. Recunoști tiparul unei formule și o citești invers:

• Diferență de pătrate: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Exemplu: $x^2-25=(x-5)(x+5)$.
• Pătrat perfect: $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ și $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$. Exemplu: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$.

Cum recunoști un pătrat perfect? Primul și ultimul termen trebuie să fie pătrate, iar termenul din mijloc trebuie să fie exact dublul produsului rădăcinilor lor. La $x^2-6x+9$: primul e $x^2$, ultimul e $3^2$, iar $2\cdot x\cdot 3=6x$ — se potrivește, deci este $(x-3{)}^2$. Revezi la nevoie Descompunerea cu formulele (a±b)² și Descompunerea cu diferența de pătrate.

Ordinea corectă a pașilor la descompunere

La examen, mulți elevi „sar" direct la o formulă și ratează factori. Folosește mereu aceeași ordine — devine un reflex sigur:

1. Întâi factorul comun. Verifică dacă toți termenii au ceva în comun și scoate-l. Simplifică totul de la început.
2. Apoi privește ce a rămas în paranteză. Dacă e o diferență de pătrate sau un pătrat perfect, aplică formula. Dacă are patru termeni, încearcă gruparea.
3. Descompune până la capăt. O descompunere e completă doar când niciun factor nu se mai poate descompune.

Exemplu care combină pașii:

$$2x^3-18x=2x(x^2-9)=2x(x-3)(x+3).$$

Am scos întâi factorul comun $2x$, apoi am recunoscut în paranteză diferența de pătrate $x^2-9$. Dacă te-ai oprit la $2x(x^2-9)$, descompunerea era incompletă și pierdeai puncte. Mai multe combinații în Descompuneri combinate și aplicații.

Restrângerea expresiilor: mai puțin înseamnă mai bine

A restrânge o expresie înseamnă a o aduce la o formă cât mai simplă și mai scurtă. De multe ori, mai mulți termeni se transformă, prin formule, într-un singur pătrat sau într-un singur produs. Priceperea aici este să recunoști în „harababura" de termeni tiparul unei formule.

Exemplu clasic de restrângere:

$$x^2+2x+1=(x+1{)}^2.$$

Sau, invers față de dezvoltare, plecând de la o sumă de mai multe pătrate și produse. Un caz care apare des la examen — o expresie ce pare complicată, dar se strânge frumos:

$$(x+3{)}^2-(x-3{)}^2.$$

Nu dezvolta pe brute! Recunoaște diferența de pătrate, cu $a=x+3$ și $b=x-3$:

$$=((x+3)-(x-3))((x+3)+(x-3))=(6)(2x)=12x.$$

Un rezultat scurt și elegant dintr-o expresie care intimidează la prima vedere. Acesta este exact tipul de item care separă elevii care „văd structura" de cei care doar calculează orbește.

Cum alegi metoda: o strategie sigură în trei întrebări

La examen, sub presiunea timpului, cel mai des se pierde nu din nepricepere, ci din ezitare: „ce metodă folosesc aici?". Ca să elimini ezitarea, pune-ți mereu, în ordine, trei întrebări simple în fața oricărei expresii de descompus:

1. „Au toți termenii ceva în comun?" Dacă da, scoate factorul comun. Este întotdeauna primul pas și îți simplifică tot ce urmează.
2. „Câți termeni am rămas?" Doi termeni care sunt pătrate și se scad → diferență de pătrate. Trei termeni → posibil pătrat perfect (verifică dublul produs). Patru termeni → grupare.
3. „Am dus până la capăt?" Reia fiecare factor și verifică dacă se mai poate descompune.

Să vedem strategia la lucru pe o expresie care conține toate cele trei metode:

$$M=2x^3+4x^2-2x-4.$$

Întrebarea 1: toți cei patru termeni se împart la $2$, deci scoatem factorul comun $2$: $$M=2(x^3+2x^2-x-2).$$

Întrebarea 2: în paranteză avem patru termeni, deci grupăm câte doi: $$x^3+2x^2-x-2=x^2(x+2)-1(x+2)=(x+2)(x^2-1).$$

Întrebarea 3: mai putem descompune? Da — $x^2-1$ este o diferență de pătrate: $$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Punem totul la un loc: $$M=2(x+2)(x-1)(x+1).$$

O expresie cu patru termeni și un aspect intimidant s-a transformat, prin trei întrebări clare, într-un produs elegant de patru factori. Aceasta este exact rutina pe care ți-o dorești automată la examen.

La ce folosește descompunerea mai departe

Poate te întrebi: de ce insistăm atât pe descompunere? Pentru că este cheia care deschide capitolele următoare. Când vei simplifica o fracție algebrică, va trebui să descompui numărătorul și numitorul ca să tai factorii comuni: $$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3{)}^2}=\frac{x-3}{x+3}.$$ Iar când vei rezolva o ecuație de tipul $x^2-5x+6=0$, o vei aduce la un produs nul prin descompunere. Cu alte cuvinte, ceea ce recapitulăm acum este „motorul" pe care se sprijină lecțiile Simplificarea fracțiilor algebrice și Ecuația completă $a{x}^2+bx+c$ prin descompunere. Investiția de acum se întoarce în puncte la fiecare subiect.

Un instrument puternic: calculul mental cu formule

Formulele de calcul prescurtat nu sunt doar pentru litere — te ajută să calculezi rapid și cu numere, fără calculator, exact ce ai nevoie la un test cronometrat. Ideea: transformi numărul „urât" într-o sumă sau o diferență comodă.

$$103^2=(100+3{)}^2=100^2+2\cdot 100\cdot 3+3^2=10000+600+9=10609.$$

$$97^2=(100-3{)}^2=10000-600+9=9409.$$

$$52\cdot 48=(50+2)(50-2)=50^2-2^2=2500-4=2496.$$

Acestea sunt automatisme care impresionează și economisesc minute la examen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — dezvoltare cu formulele de calcul prescurtat

Cerință: Dezvoltă și reduce termenii asemenea: $E=(2x-5{)}^2+(x+4)(x-4)$.

Rezolvare. Lucrăm pe rând fiecare bucată.

Pătratul diferenței: $$(2x-5{)}^2=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 5+5^2=4x^2-20x+25.$$

Produsul sumei cu diferența: $$(x+4)(x-4)=x^2-16.$$

Adunăm și reducem termenii asemenea: $$E=4x^2-20x+25+x^2-16=5x^2-20x+9.$$

Răspuns: $E=5x^2-20x+9$.

Exemplul 2 — descompunere prin factor comun urmat de formulă

Cerință: Descompune complet în factori: $P=3a^3-12a$.

Rezolvare. Pasul 1, factorul comun. Coeficienții $3$ și $12$ au divizorul comun $3$, iar $a$ apare în ambii termeni: $$P=3a(a^2-4).$$

Pasul 2, ce a rămas în paranteză. $a^2-4=a^2-2^2$ este o diferență de pătrate: $$a^2-4=(a-2)(a+2).$$

Pasul 3, scriem forma completă: $$P=3a(a-2)(a+2).$$

Răspuns: $P=3a(a-2)(a+2)$. Niciun factor nu se mai poate descompune, deci e complet.

Exemplul 3 — descompunere prin gruparea termenilor

Cerință: Descompune în factori: $Q=x^3+2x^2+5x+10$.

Rezolvare. Sunt patru termeni și nu există factor comun în toți patru. Grupăm câte doi: $$Q=(x^3+2x^2)+(5x+10).$$

Din prima grupă scoatem $x^2$, din a doua scoatem $5$: $$Q=x^2(x+2)+5(x+2).$$

Cele două paranteze sunt identice, $(x+2)$ — semn că gruparea a fost bine aleasă. Scoatem paranteza comună: $$Q=(x+2)(x^2+5).$$

Răspuns: $Q=(x+2)(x^2+5)$. Factorul $x^2+5$ este o sumă de pătrate și nu se descompune cu instrumentele clasei a VIII-a, deci ne oprim aici.

Exemplul 4 — restrângerea unei expresii

Cerință: Arată că expresia $R=(x+5{)}^2-10x$ este pătrat perfect, pentru orice $x$ natural.

Rezolvare. Dezvoltăm pătratul: $$(x+5{)}^2=x^2+10x+25.$$

Scădem $10x$: $$R=x^2+10x+25-10x=x^2+25.$$

Hmm — pare că nu iese un pătrat. Verificăm cerința pe un caz: pentru $x=0$, $R=25=5^2$, dar pentru $x=1$, $R=26$, care nu este pătrat perfect. Concluzia corectă: expresia se restrânge la $x^2+25$, dar nu este pătrat perfect pentru orice $x$ natural. (Acesta e un exercițiu-capcană: uneori cerința e falsă și trebuie să o demontezi prin contraexemplu — exact abilitatea de „adevărat/fals cu motivare" cerută la examen.)

Răspuns: $R=x^2+25$; afirmația din enunț este falsă, cu contraexemplul $x=1$, unde $R=26$.

Exemplul 5 — demonstrarea unei identități

Cerință: Demonstrează că, pentru orice numere reale $a$ și $b$, are loc identitatea: $$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab.$$

Rezolvare. Pornim de la membrul stâng și îl dezvoltăm. Recunoaștem o diferență de pătrate, cu primul „pătrat" $(a+b{)}^2$ și al doilea $(a-b{)}^2$: $$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b)).$$

Calculăm fiecare paranteză: $$(a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b,(a+b)+(a-b)=2a.$$

Deci: $$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=2b\cdot 2a=4ab.$$

Am ajuns la membrul drept, deci identitatea este demonstrată. Q.E.D. (Ca verificare încrucișată: dezvoltând clasic, $(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$ — același rezultat.)

Exemplul 6 — problemă practică (aplicație geometrică)

Cerință: Latura unui pătrat crește cu $3$ cm. Aria noului pătrat este cu $39{\text{cm}}^2$ mai mare decât aria pătratului inițial. Află latura inițială.

Rezolvare. Notăm cu $x$ (în cm, $x>0$) latura inițială. Aria inițială este $x^2$. Latura nouă este $x+3$, deci aria nouă este $(x+3{)}^2$. Condiția din problemă: $$(x+3{)}^2-x^2=39.$$

Aici folosim descompunerea ca diferență de pătrate (mai rapid decât să dezvoltăm): $$(x+3{)}^2-x^2=((x+3)-x\left)\right((x+3)+x)=3\cdot (2x+3).$$

Deci $3(2x+3)=39$, adică $2x+3=13$, de unde $2x=10$ și $x=5$.

Verificare: aria inițială $5^2=25$, aria nouă $8^2=64$, diferența $64-25=39$. ✓

Răspuns: latura inițială este de $5$ cm.

Să exersăm

1. Dezvoltă: $(x+7{)}^2$.
2. Dezvoltă: $(3a-2{)}^2$.
3. Calculează folosind formula produsului sumei cu diferența: $(2y-5)(2y+5)$.
4. Calculează rapid, prin calcul mental: $98^2$.
5. Calculează rapid: $61\cdot 59$.
6. Descompune în factori prin factor comun: $8x^2-20x$.
7. Descompune în factori: $x^2-49$.
8. Descompune în factori: $x^2+12x+36$.
9. Descompune în factori prin grupare: $ax-ay+3x-3y$.
10. Descompune complet în factori: $5x^3-45x$.
11. Restrânge la o formă cât mai simplă: $(x+4{)}^2-(x-4{)}^2$.
12. Restrânge și reduce termenii asemenea: $(a-3{)}^2+6a$.
13. Adevărat sau fals, cu justificare: „$(a+b{)}^2=a^2+b^2$ pentru orice $a,b$ reale."
14. Dezvoltă folosind pătratul trinomului: $(x+y-2{)}^2$.
15. Descompune complet în factori: $x^3+x^2-4x-4$ (grupare + formulă).
16. Demonstrează identitatea: $(x+1{)}^2-(x-1{)}^2=4x$, pentru orice $x$ real.
17. Item tip Evaluare Națională. Se dă expresia $E(x)=(x-2{)}^2+(x+2)(x-2)$. Arată că $E(x)=2x^2-4x$, apoi rezolvă ecuația $E(x)=0$ folosind descompunerea în factori.
18. Problemă aplicată. Un teren pătrat are latura de $x$ metri. Se mărește o latură cu $4$ m și cealaltă se micșorează cu $4$ m, obținând un dreptunghi. Cu cât este mai mică aria dreptunghiului decât aria pătratului inițial? (Exprimă răspunsul în funcție de $x$ și interpretează.)
19. Descompune complet, folosind strategia celor trei întrebări: $3x^3+6x^2-3x-6$.
20. Calculează valoarea expresiei $A=(x+5)(x-5)-(x-1{)}^2$ pentru $x=10$, restrângând mai întâi expresia.
21. Item tip Evaluare Națională. Se consideră numerele $a=2^{2026}+1$ și $b=2^{2026}-1$. Arată, fără a calcula puterile, că $a\cdot b=2^{4052}-1$.

Răspunsuri și explicații

1. $(x+7{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 7+49=x^2+14x+49$. Nu uita termenul din mijloc!

2. $(3a-2{)}^2=(3a{)}^2-2\cdot 3a\cdot 2+4=9a^2-12a+4$. Atenție: $(3a{)}^2=9a^2$, nu $3a^2$.

3. $(2y-5)(2y+5)=(2y{)}^2-5^2=4y^2-25$.

4. $98^2=(100-2{)}^2=10000-400+4=9604$.

5. $61\cdot 59=(60+1)(60-1)=3600-1=3599$.

6. $8x^2-20x=4x(2x-5)$. Factorul comun este $4x$ ($4$ e cmmdc al lui $8$ și $20$, iar $x$ e comun). Verificare: $4x\cdot 2x=8x^2$, $4x\cdot (-5)=-20x$. ✓

7. $x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)$.

8. $x^2+12x+36=(x+6{)}^2$. Este pătrat perfect: $2\cdot x\cdot 6=12x$ se potrivește cu termenul din mijloc.

9. $ax-ay+3x-3y=a(x-y)+3(x-y)=(x-y)(a+3)$. Ambele paranteze sunt $(x-y)$.

10. $5x^3-45x=5x(x^2-9)=5x(x-3)(x+3)$. Întâi factor comun $5x$, apoi diferență de pătrate. Descompunere completă.

11. $(x+4{)}^2-(x-4{)}^2$: diferență de pătrate cu $a=x+4$, $b=x-4$. Rezultat: $((x+4)-(x-4))((x+4)+(x-4))=8\cdot 2x=16x$.

12. $(a-3{)}^2+6a=a^2-6a+9+6a=a^2+9$. Termenii $-6a$ și $+6a$ se anulează.

13. Fals. Formula corectă este $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$; lipsește dublul produs. Contraexemplu: pentru $a=b=1$, $(1+1{)}^2=4$, dar $1^2+1^2=2$, iar $4\ne 2$.

14. $(x+y-2{)}^2=x^2+y^2+4+2xy-4y-4x$. (Pătratele: $x^2$, $y^2$, $(-2{)}^2=4$; duble-produse: $2\cdot x\cdot y=2xy$, $2\cdot y\cdot (-2)=-4y$, $2\cdot (-2)\cdot x=-4x$.)

15. $x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2)$. Grupare, apoi diferență de pătrate. Descompunere completă în trei factori.

16. Membrul stâng, ca diferență de pătrate: $(x+1{)}^2-(x-1{)}^2=((x+1)-(x-1))((x+1)+(x-1))=2\cdot 2x=4x$ = membrul drept. Identitatea este demonstrată.

17. Dezvoltăm: $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$ și $(x+2)(x-2)=x^2-4$. Adunăm: $E(x)=x^2-4x+4+x^2-4=2x^2-4x$. ✓ Pentru ecuație, descompunem cu factor comun: $2x^2-4x=2x(x-2)=0$. Un produs este nul când unul dintre factori este nul: $2x=0\Rightarrow x=0$ sau $x-2=0\Rightarrow x=2$. Soluții: $x\in \{0,2\}$.

18. Aria pătratului: $x^2$. Aria dreptunghiului: $(x+4)(x-4)=x^2-16$. Diferența: $x^2-(x^2-16)=16$. Aria dreptunghiului este cu $16{\text{m}}^2$ mai mică, indiferent de valoarea lui $x$. Interpretare: când păstrezi suma dimensiunilor dar „dezechilibrezi" un pătrat într-un dreptunghi, aria scade mereu — aici cu o valoare constantă, $16$.

19. Factor comun $3$: $3(x^3+2x^2-x-2)$. Grupăm: $x^2(x+2)-1(x+2)=(x+2)(x^2-1)$. Diferență de pătrate: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Rezultat complet: $3(x+2)(x-1)(x+1)$.

20. Restrângem: $(x+5)(x-5)=x^2-25$ și $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$. Deci $A=x^2-25-(x^2-2x+1)=x^2-25-x^2+2x-1=2x-26$. Pentru $x=10$: $A=2\cdot 10-26=20-26=-6$.

21. Recunoaștem produsul sumei cu diferența, cu termenii $2^{2026}$ și $1$: $a\cdot b=(2^{2026}+1)(2^{2026}-1)=(2^{2026}{)}^2-1^2$. Cum $(2^{2026}{)}^2=2^{2026\cdot 2}=2^{4052}$, obținem $a\cdot b=2^{4052}-1$, fără a calcula efectiv puterile. Exact tipul de raționament care aduce puncte la examen.

De reținut

• Cele trei formule, în ambele sensuri: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$; $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$; $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Termenul din mijloc $2ab$ există întotdeauna la pătrate.
• Pătratul trinomului: $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ — pătratele plus dublul fiecărei perechi.
• Trei metode de descompunere: factor comun, gruparea termenilor, formule de calcul prescurtat (diferență de pătrate și pătrat perfect).
• Ordinea la descompunere: întâi factorul comun, apoi formulă sau grupare, și mereu până la capăt.
• A restrânge = a strânge mai mulți termeni într-un pătrat sau produs; caută structura unei formule înainte de a dezvolta pe brute.

Greșeli frecvente

• Uiți dublul produs: scrii $(a+b{)}^2=a^2+b^2$. Fals — lipsește $2ab$. Verifică pe numere: $(1+1{)}^2=4\ne 2$.
• Ridici greșit la pătrat coeficientul: scrii $(3x{)}^2=3x^2$ în loc de $9x^2$. Ridici la pătrat tot termenul, coeficient și literă.
• Descompunere incompletă: te oprești la $2x(x^2-9)$ fără să aplici diferența de pătrate. La examen, o descompunere neterminată pierde puncte.
• Grupare prost aleasă: grupezi termenii astfel încât parantezele nu ies identice. Dacă nu obții aceeași paranteză, schimbă gruparea — nu forța.

Aplică acasă

• Provocarea calculului mental. Timp de o săptămână, calculează în minte pătratul „numerelor rotunde ± câțiva": $21^2$, $19^2$, $102^2$, $995^2$. Verifică apoi cu telefonul. Vei fi surprins cât de repede devine un reflex și cât te ajută la orice test cronometrat.
• Detectivul de formule. Ia orice manual sau culegere și, la fiecare expresie algebrică pe care o vezi, întreabă-te înainte de a calcula: „Ce formulă se ascunde aici? Pot restrânge? Pot descompune?" Antrenezi exact privirea de care ai nevoie la Evaluarea Națională.
• Grădina și aria. Măsoară o suprafață pătrată din curte sau din cameră (o dală, un covor). Imaginează că mărești o latură cu $x$ și micșorezi cealaltă cu $x$; calculează cu formula $(L+x)(L-x)=L^2-x^2$ cu cât scade aria și verifică prin desen. Vezi matematica „la lucru" în viața reală.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este un hub de recapitulare pentru tot calculul algebric din clasa a VIII-a — piatra de temelie a algebrei la Evaluarea Națională. Elevul nu are nevoie să memoreze mecanic, ci să recunoască rapid structura unei expresii și să aleagă unealta potrivită. Pentru a verifica înțelegerea reală, puneți întrebări de tipul: „De ce apare termenul din mijloc la pătrat?", „Cum știi că o descompunere e completă?", „Poți citi formula și în sens invers?". Un elev care stăpânește subiectul explică de ce, nu doar cum.

La examen, calculul algebric apare atât ca item de sine stătător (dezvoltare, descompunere, restrângere — Subiectul I și partea de început a Subiectului al II-lea), cât și ca unealtă în rezolvarea ecuațiilor $a{x}^2+bx+c=0$ prin descompunere, în simplificarea fracțiilor algebrice și în probleme de geometrie când se lucrează cu formule. Un semn bun că elevul e pregătit: rezolvă corect și redactează îngrijit, cu pași justificați, pentru că baremul punctează raționamentul, nu doar rezultatul final. Încurajați scrisul complet, cu egalități aliniate și verificare, exact ca la lucrare.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele de calcul prescurtat din clasa a 8-a? Sunt trei formule de bază: pătratul unei sume $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, pătratul unei diferențe $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ și produsul sumei cu diferența $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. La acestea se adaugă, ca extindere utilă, pătratul unui trinom $(a+b+c{)}^2$. Toate se folosesc și pentru dezvoltare, și pentru descompunere.

Cum descompun o expresie în factori la clasa a 8-a? Folosești trei metode, în această ordine: întâi scoți factorul comun (ce se repetă în toți termenii), apoi verifici dacă se aplică o formulă de calcul prescurtat (diferență de pătrate sau pătrat perfect), iar dacă ai patru termeni fără factor comun, încerci gruparea termenilor câte doi. Descompunerea trebuie dusă mereu până la capăt.

Ce înseamnă să descompui „complet" în factori? Înseamnă că niciunul dintre factorii obținuți nu mai poate fi descompus. De exemplu, $2x^3-18x$ nu se oprește la $2x(x^2-9)$, ci continuă la $2x(x-3)(x+3)$, pentru că $x^2-9$ este încă o diferență de pătrate. O descompunere incompletă pierde puncte la Evaluarea Națională.

De ce apare termenul $2ab$ la pătratul unei sume? Pentru că $(a+b{)}^2$ înseamnă $(a+b)(a+b)$, iar la înmulțire fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare din a doua: obții $a\cdot a$, $a\cdot b$, $b\cdot a$, $b\cdot b$. Cele două produse din mijloc, $ab$ și $ba$, se adună și dau $2ab$. De aceea $(a+b{)}^2\ne a^2+b^2$.

Cum recunosc un pătrat perfect ca să-l descompun? Verifică trei condiții: primul termen este pătratul unei expresii, ultimul termen este și el un pătrat (pozitiv), iar termenul din mijloc este exact dublul produsului rădăcinilor lor. Dacă toate se potrivesc, expresia este $(a+b{)}^2$ sau $(a-b{)}^2$, după semnul termenului din mijloc. Exemplu: $x^2-10x+25=(x-5{)}^2$.

Care e diferența dintre a dezvolta și a restrânge o expresie? A dezvolta înseamnă a desface parantezele și a obține o sumă de termeni (de la produs la sumă). A restrânge este operația inversă: aduci mai mulți termeni la o formă cât mai scurtă, adesea un singur pătrat sau produs (de la sumă la produs). Aceleași formule se folosesc în ambele direcții, doar că le citești invers.

Cât de des apare calculul algebric la Evaluarea Națională? Foarte des — practic în fiecare an. Îl întâlnești direct ca cerință de dezvoltare, descompunere sau restrângere, dar și indirect, ca instrument în rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea prin descompunere, în simplificarea fracțiilor algebrice și în calcule din problemele de geometrie. Este printre cele mai „rentabile" subiecte de exersat, pentru că punctele se iau sigur cu automatisme corecte.

Se pot rezolva ecuațiile $a{x}^2+bx+c=0$ cu formula discriminantului la clasa a 8-a? Nu. La gimnaziu, în programa clasei a VIII-a, aceste ecuații se rezolvă doar prin descompunere în factori și principiul produsului nul (un produs este zero când cel puțin un factor este zero). Formula cu discriminantul $\Delta$ și relațiile lui Viète se studiază abia în clasa a IX-a, la liceu.