Recapitulare: funcția liniară f(x)=ax+b și graficul ei

De fiecare dată când plătești un abonament cu un cost fix plus o sumă pentru fiecare gigabyte consumat, când urci pe o pârtie al cărei cablu de telescaun este perfect drept sau când urmărești cum crește uniform temperatura unei ape puse la fiert, în spatele scenei lucrează aceeași regulă matematică: funcția liniară $f(x)=ax+b$. Este cea mai importantă funcție din întregul gimnaziu și una dintre vedetele sigure ale Evaluării Naționale: apare an de an, fie într-un item scurt, fie într-o problemă lungă cu grafic. Vestea bună este că, dacă stăpânești câteva idei-cheie — cum trasezi dreapta din două puncte, cum afli intersecțiile cu axele, cum determini funcția din condiții date și cum verifici dacă un punct este pe grafic — poți lua rapid toate punctele. În această lecție de recapitulare strângem totul la un loc, ordonat și cu multe exemple rezolvate, exact în forma cerută la examen.

Ce vei învăța

• Vei ști să recapitulezi noțiunile de funcție, domeniu, codomeniu, tabel de valori și să le aplici la funcția liniară.
• Vei ști să reprezinți grafic funcția liniară $f(x)=ax+b$ folosind intersecțiile cu axele $Ox$ și $Oy$.
• Vei ști să determini o funcție liniară din condiții date: un punct și panta, două puncte sau tabel de valori.
• Vei ști să verifici dacă un punct aparține graficului unei funcții.
• Vei ști să citești monotonia (creștere/descreștere) din semnul pantei și să redactezi îngrijit, pentru punctaj la Evaluarea Națională.

Hai să descoperim împreună

Această lecție nu predă lucruri noi, ci le adună pe cele mai importante despre funcția liniară și ți le pune în ordine, ca înainte de examen. Dacă simți nevoia să reiei o idee în detaliu, ai la îndemână lecțiile din unitatea „Funcția liniară": definiția și forma generală, graficul care este o dreaptă, intersecția cu axele, panta și ordonata la origine și lecturi grafice.

1. Reamintim ce este o funcție

O funcție definită pe o mulțime $A$ (numită domeniu) cu valori în mulțimea $B$ (numită codomeniu) este o regulă care asociază fiecărui element $x\in A$ un singur element $y\in B$. Scriem $f:A\to B$, iar regula (legea de corespondență) se dă de obicei printr-o formulă, de exemplu $f(x)=2x+1$.

Reține cele două condiții care fac dintr-o corespondență o funcție:

• fiecărui element din domeniu îi corespunde o valoare (niciunul nu rămâne „fără pereche");
• un singur element din codomeniu (niciun $x$ nu are două valori).

La clasa a VIII-a, când scriem doar $f(x)=ax+b$ fără să precizăm domeniul, se subînțelege că domeniul și codomeniul sunt $\mathbb{R}$, adică $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

2. Ce este funcția liniară

Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dată prin $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale fixe, se numește funcție liniară. Numerele $a$ și $b$ sunt coeficienții funcției:

• $a$ se numește panta (sau coeficientul unghiular) — arată cât de „înclinată" este dreapta;
• $b$ se numește ordonata la origine (sau termenul liber) — arată unde taie dreapta axa $Oy$.

Câteva cazuri particulare utile:

• dacă $b=0$, funcția este $f(x)=ax$ și graficul trece prin origine;
• dacă $a=0$, funcția este $f(x)=b$ (funcție constantă), iar graficul este o dreaptă orizontală, paralelă cu $Ox$;
• dacă $a\ne 0$, funcția este strict crescătoare sau strict descrescătoare.

3. Tabelul de valori

Un tabel de valori este o listă ordonată de perechi $(x,f(x))$. Îl folosim ca să „citim" repede câteva puncte de pe grafic. De exemplu, pentru $f(x)=2x-1$:

Fiecare coloană îți dă un punct din plan: $(-2,-5)$, $(-1,-3)$, $(0,-1)$, $(1,1)$, $(2,3)$. Dacă le desenezi, vei observa că toate stau pe aceeași dreaptă — exact ceea ce ne așteptăm de la o funcție liniară.

4. Graficul este o dreaptă — cum îl trasăm rapid

Graficul funcției $f$ este mulțimea tuturor punctelor $(x,f(x))$ din plan. Pentru funcția liniară, graficul este o dreaptă. Iar o dreaptă este perfect determinată de două puncte. Deci, ca s-o desenăm, avem nevoie de doar două perechi bune — și cele mai comode sunt tocmai intersecțiile cu axele:

• Intersecția cu axa $Oy$: pui $x=0$ și obții punctul $(0,b)$. (Pe $Oy$, abscisa este mereu $0$.)
• Intersecția cu axa $Ox$: pui $y=0$, adică rezolvi ecuația $ax+b=0$, de unde $x=-\frac{b}{a}$ (când $a\ne 0$). Obții punctul $\left(-\frac{b}{a},0\right)$. (Pe $Ox$, ordonata este mereu $0$.)

Trasezi cele două puncte, tragi rigla prin ele și ai graficul. Atât. Această metodă este cea mai rapidă și cea mai apreciată la examen.

Sfat de siguranță: dacă $b=0$, dreapta trece prin origine, deci ambele intersecții „se suprapun" în $O(0,0)$. Atunci ai nevoie de încă un punct: alege un $x$ comod (de exemplu $x=1$) și calculează $f(1)$.

5. Cum verificăm dacă un punct aparține graficului

Un punct $M(x_0,y_0)$ aparține graficului funcției $f$ dacă și numai dacă coordonatele lui verifică formula, adică: $$y_0=f(x_0).$$

Practic: înlocuiești $x_0$ în formulă, calculezi $f(x_0)$ și compari cu $y_0$. Dacă ies egale, punctul este pe grafic; dacă nu, nu este.

De exemplu, pentru $f(x)=3x-2$:

• $A(2,4)$: $f(2)=3\cdot 2-2=4$. Cum $4=4$, punctul $A$ aparține graficului.
• $B(-1,0)$: $f(-1)=3\cdot (-1)-2=-5$. Cum $-5\ne 0$, punctul $B$ nu aparține graficului.

6. Cum determinăm funcția din condiții date

Aceasta este partea care aduce cele mai multe puncte la examen. „A determina funcția" înseamnă a afla $a$ și $b$. Ai trei situații tipice:

a) Se dau panta $a$ și un punct. Scrii $f(x)=ax+b$ cu $a$ cunoscut, apoi impui condiția ca punctul să fie pe grafic; obții o ecuație în $b$.

Exemplu: $a=2$ și graficul trece prin $A(1,5)$. Atunci $f(x)=2x+b$, iar $f(1)=5$ dă $2\cdot 1+b=5$, deci $b=3$. Așadar $f(x)=2x+3$.

b) Se dau două puncte $A(x_1,y_1)$ și $B(x_2,y_2)$. Panta se calculează cu formula: $$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},$$ apoi afli $b$ punând un punct în formulă.

Exemplu: $A(1,3)$ și $B(3,7)$. Panta este $a=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2$. Din $f(1)=3$: $2\cdot 1+b=3$, deci $b=1$. Rezultă $f(x)=2x+1$.

c) Se dau două valori ale funcției, de tip „$f(1)=5$ și $f(3)=11$". Este exact cazul (b), doar scris altfel: punctele sunt $(1,5)$ și $(3,11)$. Alternativ, scrii sistemul: $$\{\begin{array}{l}a\cdot 1+b=5\\ a\cdot 3+b=11\end{array}$$ Scazi prima ecuație din a doua: $2a=6$, deci $a=3$; apoi $b=5-3=2$. Deci $f(x)=3x+2$.

7. Monotonia — creștere sau descreștere din semnul lui $a$

Semnul pantei îți spune imediat cum se comportă funcția liniară:

• dacă $a>0$, funcția este strict crescătoare (dreapta „urcă" de la stânga la dreapta);
• dacă $a<0$, funcția este strict descrescătoare (dreapta „coboară");
• dacă $a=0$, funcția este constantă (dreapta este orizontală).

Nu trebuie tabel de variație complicat: la funcția liniară, semnul lui $a$ decide totul. De exemplu, $f(x)=-4x+1$ este descrescătoare (fiindcă $a=-4<0$), iar $g(x)=\frac{1}{2}x-3$ este crescătoare (fiindcă $a=\frac{1}{2}>0$).

8. Alte întrebări-tip pe care le poți primi

• Intersecția a două grafice. Dacă vrei punctul comun al graficelor lui $f$ și $g$, rezolvi ecuația $f(x)=g(x)$; valoarea $x$ găsită, împreună cu $y=f(x)$, dă punctul de intersecție.
• Aria triunghiului format de grafic cu axele. Catetele triunghiului dreptunghic sunt tocmai distanțele de la origine la cele două intersecții cu axele, adică $|b|$ pe verticală și $\left|-\frac{b}{a}\right|$ pe orizontală; aria este $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot \left|-\frac{b}{a}\right|\cdot |b|$.
• Semnul funcției (când $f(x)>0$ sau $f(x)<0$). Rezolvi inecuația corespunzătoare — exact ca la inecuațiile de gradul I.

9. O metodă sigură de redactare la examen

La Evaluarea Națională nu contează doar rezultatul, ci și modul în care îl scrii. Baremul acordă punctaj pe pași, așa că merită să respecți mereu aceeași structură ordonată:

1. Scrie ce ai de aflat. De exemplu: „Determin $a$ și $b$ din condițiile date."
2. Transformă fiecare condiție într-o egalitate. „Graficul trece prin $(2,7)$" devine imediat $f(2)=7$, adică $2a+b=7$. Aceasta este mișcarea-cheie: condiția geometrică devine ecuație.
3. Rezolvă ordonat. Dacă ai un sistem, scrie-l cu acolada, apoi rezolvă-l pas cu pas (de obicei prin scădere).
4. Scrie explicit răspunsul final. La „determină funcția", încheie cu formula completă $f(x)=\dots$; la „intersecții", scrie perechile de coordonate; la „arie", scrie valoarea cu unitatea de măsură.
5. Verifică. Înlocuiește rezultatul în condiția inițială și vezi dacă iese egalitatea. O verificare de trei secunde te scapă de multe greșeli de calcul.

Această disciplină de redactare face diferența dintre un punctaj bun și unul maxim, mai ales la subiectele lungi cu funcția liniară.

10. Legătura cu inecuațiile și cu semnul funcției

Un tip de cerință care apare tot mai des combină funcția liniară cu inecuațiile de gradul I studiate la începutul clasei a VIII-a. „Pentru ce valori ale lui $x$ este $f(x)>0$?" înseamnă, de fapt, „unde este graficul deasupra axei $Ox$?". Rezolvi inecuația $ax+b>0$ exact ca la rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente, fiind atent la schimbarea sensului când împarți la un număr negativ. Punctul în care $f(x)=0$ (adică intersecția cu $Ox$) este exact granița dintre zona în care funcția este pozitivă și cea în care este negativă.

11. De la un enunț la o funcție liniară (modelarea)

Multe probleme de la Evaluarea Națională și din viața reală se traduc, de fapt, într-o funcție liniară. Ca să scrii repede formula, învață să recunoști în enunț cele două numere care contează:

• partea fixă, care nu depinde de $x$, devine $b$ (ordonata la origine): taxa de pornire a taxiului, abonamentul lunar, cantitatea inițială dintr-un rezervor;
• rata, adică cât se adaugă sau se scade pentru fiecare unitate de $x$, devine $a$ (panta): prețul pe kilometru, consumul pe minut, sporul pe oră.

Semnul pantei vine direct din poveste: dacă mărimea crește cu fiecare unitate (se adună un cost, urcă o temperatură), atunci $a>0$; dacă scade (rezervorul se golește, un stoc se consumă), atunci $a<0$.

Câteva traduceri rapide:

Odată identificați $a$ și $b$, scrii direct $f(x)=ax+b$ și poți răspunde la orice întrebare: o valoare (înlocuiești $x$), un moment-țintă (rezolvi o ecuație $f(x)=$ dat) sau un interval (rezolvi o inecuație, de exemplu „când costul depășește $30$ lei?").

Acum că avem harta completă, hai să lucrăm împreună câteva probleme exact cum le-ai întâlni la examen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabel de valori și trasarea graficului

Cerință: Se dă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. Completează un tabel de valori pentru $x\in \{-1,0,1,2\}$ și precizează două puncte prin care poți trasa graficul.

Rezolvare. Calculăm pe rând: $$f(-1)=2\cdot (-1)-3=-5,f(0)=-3,f(1)=-1,f(2)=1.$$

Pentru trasare aleg cele mai comode două puncte: intersecția cu $Oy$, adică $(0,-3)$, și un al doilea punct, de exemplu $(2,1)$. Trag dreapta prin ele. Răspuns: graficul trece, printre altele, prin $(0,-3)$ și $(2,1)$.

Exemplul 2 — Intersecțiile cu axele

Cerință: Determină punctele de intersecție ale graficului funcției $f(x)=-3x+6$ cu axele de coordonate.

Rezolvare.

• Cu $Oy$: pun $x=0$ și obțin $f(0)=6$, deci punctul $(0,6)$.
• Cu $Ox$: pun $y=0$, adică $-3x+6=0$, de unde $3x=6$, deci $x=2$. Obțin punctul $(2,0)$.

Răspuns: graficul taie axa $Oy$ în $(0,6)$ și axa $Ox$ în $(2,0)$.

Exemplul 3 — Apartenența unui punct la grafic

Cerință: Se dă $f(x)=-2x+3$. Verifică dacă punctele $A(-1,5)$ și $B(2,-2)$ aparțin graficului lui $f$.

Rezolvare. Punem, pe rând, abscisa în formulă:

• $f(-1)=-2\cdot (-1)+3=2+3=5$. Cum $5=5$, punctul $A(-1,5)$ aparține graficului.
• $f(2)=-2\cdot 2+3=-4+3=-1$. Cum $-1\ne -2$, punctul $B(2,-2)$ nu aparține graficului.

Răspuns: $A\in G_f$, iar $B\notin G_f$.

Exemplul 4 — Determinarea funcției din pantă și un punct

Cerință: Determină funcția liniară $f(x)=ax+b$ știind că panta este $a=-\frac{1}{2}$ și că graficul trece prin punctul $C(4,1)$.

Rezolvare. Cum $a=-\frac{1}{2}$, avem $f(x)=-\frac{1}{2}x+b$. Impunem ca $C$ să fie pe grafic, adică $f(4)=1$: $$-\frac{1}{2}\cdot 4+b=1\Rightarrow -2+b=1\Rightarrow b=3.$$ Răspuns: $f(x)=-\frac{1}{2}x+3$.

Verificare: $f(4)=-\frac{1}{2}\cdot 4+3=-2+3=1$. Corect.

Exemplul 5 — Determinarea funcției din două valori (item tip Evaluare Națională)

Cerință: Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$. Se știe că $f(1)=5$ și $f(3)=11$. a) Determină numerele $a$ și $b$. b) Calculează $f(10)$.

Rezolvare. a) Scriem sistemul: $$\{\begin{array}{l}a+b=5\\ 3a+b=11\end{array}$$ Scădem prima ecuație din a doua: $(3a+b)-(a+b)=11-5$, adică $2a=6$, deci $a=3$. Din $a+b=5$ obținem $b=5-3=2$. Prin urmare $f(x)=3x+2$.

b) $f(10)=3\cdot 10+2=32$.

Răspuns: $a=3$, $b=2$, iar $f(10)=32$.

Exemplul 6 — Monotonie, intersecția a două grafice și aria triunghiului

Cerință: Se dau funcțiile $f(x)=2x-4$ și $g(x)=-x+5$. a) Precizează monotonia fiecărei funcții. b) Află coordonatele punctului de intersecție al celor două grafice. c) Calculează aria triunghiului format de graficul lui $f$ cu axele de coordonate.

Rezolvare. a) La $f$ panta este $2>0$, deci $f$ este strict crescătoare. La $g$ panta este $-1<0$, deci $g$ este strict descrescătoare.

b) Punctul comun verifică $f(x)=g(x)$: $$2x-4=-x+5\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3.$$ Atunci $y=f(3)=2\cdot 3-4=2$. Punctul de intersecție este $(3,2)$.

c) Intersecțiile lui $f$ cu axele: cu $Oy$ este $(0,-4)$, iar cu $Ox$ rezolvăm $2x-4=0\Rightarrow x=2$, deci $(2,0)$. Triunghiul are vârfurile $O(0,0)$, $(2,0)$ și $(0,-4)$; catetele au lungimile $2$ și $4$. Aria este: $$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4\text{ (unita˘ți pa˘trate)}.$$

Răspuns: $f$ crescătoare, $g$ descrescătoare; intersecția graficelor este $(3,2)$; aria triunghiului este $4$.

Exemplul 7 — Determinarea funcției dintr-un tabel și studiul semnului

Cerință: Despre funcția liniară $f(x)=ax+b$ se cunosc valorile din tabel:

a) Determină funcția $f$. b) Verifică dacă punctul $N(1,2)$ aparține graficului. c) Determină valorile lui $x$ pentru care $f(x)\ge 0$.

Rezolvare. a) Din tabel citim două condiții: $f(-1)=8$ și $f(2)=-1$. Panta este: $$a=\frac{-1-8}{2-(-1)}=\frac{-9}{3}=-3.$$ Din $f(2)=-1$: $-3\cdot 2+b=-1\Rightarrow -6+b=-1\Rightarrow b=5$. Deci $f(x)=-3x+5$.

b) $f(1)=-3\cdot 1+5=2$. Cum $2=2$, punctul $N(1,2)$ aparține graficului.

c) $f(x)\ge 0\Rightarrow -3x+5\ge 0\Rightarrow -3x\ge -5\Rightarrow x\le \frac{5}{3}$ (am împărțit la $-3$, negativ, deci sensul s-a schimbat). Soluția: $x\in \left(-\infty ,\frac{5}{3}\right]$.

Răspuns: $f(x)=-3x+5$; $N\in G_f$; $f(x)\ge 0$ pentru $x\le \frac{5}{3}$.

Exemplul 8 — Compararea a două oferte (intersecție și inecuație în context)

Cerință: O firmă de curierat propune două tarife pentru livrările dintr-o lună, în funcție de numărul $x$ de colete:

• Tariful A: abonament de $30$ lei plus $2$ lei pentru fiecare colet, adică $f(x)=2x+30$;
• Tariful B: fără abonament, dar $5$ lei pentru fiecare colet, adică $g(x)=5x$.

a) Pentru câte colete cele două tarife costă la fel? b) Începând de la câte colete tariful A devine mai avantajos?

Rezolvare. a) Punem $f(x)=g(x)$: $$2x+30=5x\Rightarrow 30=3x\Rightarrow x=10.$$ Costul comun este $g(10)=5\cdot 10=50$ lei. Deci la $10$ colete ambele tarife costă $50$ lei.

b) Tariful A este mai avantajos când $f(x)<g(x)$: $$2x+30<5x\Rightarrow 30<3x\Rightarrow x>10.$$ Așadar, pentru mai mult de $10$ colete (adică începând de la $11$ colete pe lună) tariful A costă mai puțin.

Verificare: la $x=12$ avem $f(12)=54$ lei și $g(12)=60$ lei, deci într-adevăr A este mai ieftin. Răspuns: egalitate la $10$ colete ($50$ lei); A mai avantajos pentru $x>10$.

Exemplul 9 — Model liniar din date experimentale

Cerință: Un lichid este încălzit uniform. La momentul de start ($x=0$ minute) are temperatura de $20^{\circ }\text{C}$, iar după $3$ minute are $32^{\circ }\text{C}$. Presupunem că temperatura $T(x)$ după $x$ minute este o funcție liniară $T(x)=ax+b$.

a) Determină $T(x)$. b) Ce temperatură are lichidul după $5$ minute? c) După câte minute atinge $60^{\circ }\text{C}$?

Rezolvare. a) Din $T(0)=20$ obținem direct $b=20$ (partea fixă = temperatura de start). Din $T(3)=32$: $$3a+20=32\Rightarrow 3a=12\Rightarrow a=4.$$ Deci $T(x)=4x+20$ (temperatura crește cu $4^{\circ }\text{C}$ pe minut).

b) $T(5)=4\cdot 5+20=40^{\circ }\text{C}$.

c) $4x+20=60\Rightarrow 4x=40\Rightarrow x=10$ minute.

Răspuns: $T(x)=4x+20$; după $5$ minute sunt $40^{\circ }\text{C}$; atinge $60^{\circ }\text{C}$ după $10$ minute.

Exemplul 10 — Determinarea funcției din intersecții și aria triunghiului

Cerință: Graficul unei funcții liniare $f(x)=ax+b$ taie axa $Oy$ în punctul $(0,6)$ și axa $Ox$ în punctul $(3,0)$. a) Determină funcția $f$. b) Calculează aria triunghiului format de grafic cu axele de coordonate.

Rezolvare. a) Intersecția cu $Oy$ ne dă imediat $b=6$. Panta o aflăm din cele două puncte $(0,6)$ și $(3,0)$: $$a=\frac{0-6}{3-0}=\frac{-6}{3}=-2.$$ Deci $f(x)=-2x+6$.

b) Triunghiul are vârfurile $O(0,0)$, $(3,0)$ și $(0,6)$; catetele au lungimile $3$ (pe $Ox$) și $6$ (pe $Oy$). Aria este: $$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9\text{ (unita˘ți pa˘trate)}.$$

Verificare: $f(3)=-2\cdot 3+6=0$, deci punctul $(3,0)$ chiar este pe grafic. Răspuns: $f(x)=-2x+6$; aria triunghiului este $9$ unități pătrate.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, redactând îngrijit, ca la examen. Răspunsurile complete sunt mai jos.

1. Se dă $f(x)=3x-5$. Calculează $f(-2)$, $f(0)$ și $f(2)$.

2. Completează tabelul de valori pentru $g(x)=-2x+1$ și $x\in \{-1,0,1,2\}$.

3. Determină punctele de intersecție cu axele pentru $f(x)=4x-8$.

4. Verifică dacă punctul $A(3,-1)$ aparține graficului funcției $f(x)=-x+2$.

5. Verifică dacă punctul $B(-2,7)$ aparține graficului funcției $g(x)=-3x+1$.

6. Precizează monotonia funcțiilor: $f(x)=5x-2$; $g(x)=-\frac{2}{3}x+4$; $h(x)=7$.

7. Determină funcția liniară $f(x)=ax+b$ știind că $a=3$ și că graficul trece prin punctul $P(-1,1)$.

8. Determină funcția liniară care trece prin punctele $A(2,1)$ și $B(4,7)$.

9. Fie $f(x)=ax+b$ cu $f(2)=1$ și $f(5)=10$. Determină $a$ și $b$, apoi calculează $f(0)$.

10. Se dă $f(x)=3x-4$. Se știe că punctul $M(2,m)$ aparține graficului. Află $m$.

11. Adevărat sau fals (cu justificare): „Graficul funcției $f(x)=-2x+6$ intersectează axa $Ox$ în punctul $(3,0)$."

12. Află valoarea parametrului real $m$ pentru care graficul funcției $f(x)=(2m-1)x+(m-3)$ trece prin origine.

13. Se dau $f(x)=2x+1$ și $g(x)=-x+7$. Determină coordonatele punctului de intersecție al graficelor.

14. Un serviciu de taxi percepe o taxă de pornire de $5$ lei și $2$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Notează cu $f(x)$ costul unei curse de $x$ kilometri. a) Scrie formula funcției. b) Cât costă o cursă de $12$ km? c) Câți kilometri s-au parcurs dacă o cursă a costat $29$ lei?

15. Se dă $f(x)=-2x+8$. Rezolvă inecuația $f(x)>0$ și interpretează: pentru ce valori ale lui $x$ graficul este deasupra axei $Ox$?

16. Lectură grafică. În desenul de mai jos, graficul unei funcții liniare trece prin punctele $(0,-2)$ și $(1,1)$. Determină funcția $f(x)=ax+b$.

o dreaptă într-un sistem de axe xOy, care taie axa Oy în (0,−2) și trece prin punctul (1,1); ambele puncte sunt marcate cu bulină.

17. Item tip Evaluare Națională. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+3$. a) Determină intersecțiile graficului cu axele. b) Reprezintă grafic funcția. c) Calculează aria triunghiului format de grafic cu axele de coordonate.

18. Determină numărul real $a$ pentru care graficul funcției $f(x)=ax-6$ trece prin punctul $A(2,0)$. Este funcția crescătoare sau descrescătoare?

19. Despre funcția liniară $f(x)=ax+b$ se știe că $f(0)=4$ și $f(2)=0$. a) Determină $f$. b) Precizează intersecțiile graficului cu axele. c) Calculează aria triunghiului format de grafic cu axele.

20. Item tip Evaluare Națională. Un rezervor conține la începutul observației $60$ de litri de apă și se golește uniform cu $4$ litri pe minut. Notează cu $V(x)$ volumul de apă (în litri) rămas după $x$ minute. a) Scrie formula funcției $V$. b) Ce volum rămâne după $5$ minute? c) După câte minute se golește complet rezervorul? d) Este funcția crescătoare sau descrescătoare? Explică ce înseamnă acest lucru în context.

21. Se dă $f(x)=4x-10$. Determină valorile lui $x$ pentru care $f(x)\le 0$ și interpretează: pentru ce valori ale lui $x$ graficul este sub axa $Ox$ (sau pe ea)?

22. Determină numărul real $m$ pentru care funcția liniară $f(x)=(m+2)x-1$ este strict descrescătoare.

23. Item tip Evaluare Națională. Graficul unei funcții liniare $f(x)=ax+b$ taie axa $Oy$ în $(0,-3)$ și axa $Ox$ în $(4,0)$. a) Determină funcția $f$. b) Calculează aria triunghiului format de grafic cu axele de coordonate.

24. Compararea a două abonamente. Un serviciu de streaming are două variante: Varianta 1 costă $25$ de lei pe lună (nelimitat), iar Varianta 2 costă $10$ lei plus $3$ lei pentru fiecare film cumpărat, adică $g(x)=3x+10$. a) Pentru câte filme pe lună cele două variante costă la fel? b) Începând de la câte filme Varianta 1 este mai avantajoasă?

25. Fie $f(x)=ax+b$. Se știe că graficul trece prin $A(-2,0)$ și că $f(0)=4$. a) Determină $f$. b) Precizează monotonia funcției. c) Rezolvă inecuația $f(x)\ge 0$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(-2)=3\cdot (-2)-5=-11$; $f(0)=-5$; $f(2)=3\cdot 2-5=1$.

2. $g(-1)=3$; $g(0)=1$; $g(1)=-1$; $g(2)=-3$.

3. Cu $Oy$: $x=0\Rightarrow f(0)=-8$, punct $(0,-8)$. Cu $Ox$: $4x-8=0\Rightarrow x=2$, punct $(2,0)$.

4. $f(3)=-3+2=-1$. Cum $-1=-1$, punctul $A(3,-1)$ aparține graficului.

5. $g(-2)=-3\cdot (-2)+1=6+1=7$. Cum $7=7$, punctul $B(-2,7)$ aparține graficului.

6. $f$ crescătoare ($a=5>0$); $g$ descrescătoare ($a=-\frac{2}{3}<0$); $h$ constantă ($a=0$).

7. $f(x)=3x+b$; din $f(-1)=1$: $3\cdot (-1)+b=1\Rightarrow -3+b=1\Rightarrow b=4$. Deci $f(x)=3x+4$.

8. Panta: $a=\frac{7-1}{4-2}=\frac{6}{2}=3$. Din $f(2)=1$: $3\cdot 2+b=1\Rightarrow b=1-6=-5$. Deci $f(x)=3x-5$. (Verificare: $f(4)=12-5=7$. Corect.)

9. Sistem: $\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ 5a+b=10\end{array}$. Scădem: $3a=9\Rightarrow a=3$; apoi $b=1-6=-5$. Deci $f(x)=3x-5$ și $f(0)=-5$.

10. $M$ pe grafic $\Rightarrow m=f(2)=3\cdot 2-4=2$. Deci $m=2$.

11. Adevărat. Cu $Ox$: $-2x+6=0\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$, deci intersecția este chiar $(3,0)$.

12. Graficul trece prin origine $\iff b=0$, adică $m-3=0\Rightarrow m=3$. (Atunci panta este $2\cdot 3-1=5\ne 0$, deci este într-adevăr o funcție liniară cu grafic prin origine.)

13. $f(x)=g(x)$: $2x+1=-x+7\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$; $y=f(2)=2\cdot 2+1=5$. Punctul de intersecție este $(2,5)$.

14. a) $f(x)=2x+5$. b) $f(12)=2\cdot 12+5=29$ lei. c) $2x+5=29\Rightarrow 2x=24\Rightarrow x=12$ km. (Coincidența dintre b) și c) este intenționată: o cursă de $12$ km costă $29$ lei.)

15. $-2x+8>0\Rightarrow -2x>-8\Rightarrow x<4$ (împărțim la $-2$, negativ, deci sensul se schimbă). Soluția: $x\in (-\infty ,4)$. Interpretare: pentru $x<4$ graficul este deasupra axei $Ox$.

16. Din grafic: $b=-2$ (intersecția cu $Oy$). Panta din cele două puncte: $a=\frac{1-(-2)}{1-0}=\frac{3}{1}=3$. Deci $f(x)=3x-2$. (Verificare: $f(1)=3-2=1$. Corect.)

17. a) Cu $Oy$: $f(0)=3$, punct $(0,3)$. Cu $Ox$: $-x+3=0\Rightarrow x=3$, punct $(3,0)$. b) Trasezi dreapta prin $(0,3)$ și $(3,0)$. c) Triunghi cu vârfurile $O(0,0)$, $(3,0)$, $(0,3)$; catetele $3$ și $3$; aria $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3=\frac{9}{2}=4,5$ unități pătrate.

dreapta f(x)=−x+3 care taie Oy în (0,3) și Ox în (3,0), cu triunghiul dreptunghic hașurat între dreaptă și axe.

18. $A$ pe grafic: $f(2)=0\Rightarrow 2a-6=0\Rightarrow 2a=6\Rightarrow a=3$. Cum $a=3>0$, funcția este crescătoare.

19. a) $f(0)=4\Rightarrow b=4$; $f(2)=0\Rightarrow 2a+4=0\Rightarrow a=-2$. Deci $f(x)=-2x+4$. b) Cu $Oy$: $(0,4)$; cu $Ox$: $(2,0)$. c) Triunghi cu vârfurile $O(0,0)$, $(2,0)$, $(0,4)$; catetele $2$ și $4$; aria $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$ unități pătrate.

20. a) $V(x)=60-4x$ (adică $-4x+60$). b) $V(5)=60-4\cdot 5=40$ litri. c) $V(x)=0\Rightarrow 60-4x=0\Rightarrow 4x=60\Rightarrow x=15$ minute. d) Panta este $-4<0$, deci funcția este descrescătoare: volumul de apă scade pe măsură ce trece timpul, ceea ce este firesc, fiindcă rezervorul se golește.

21. $4x-10\le 0\Rightarrow 4x\le 10\Rightarrow x\le \frac{10}{4}=\frac{5}{2}$. Soluția: $x\in \left(-\infty ,\frac{5}{2}\right]$. Interpretare: pentru $x<\frac{5}{2}$ graficul este sub axa $Ox$, iar în $x=\frac{5}{2}$ chiar pe axă (acolo $f(x)=0$).

22. Funcția este strict descrescătoare $\iff$ panta este negativă: $m+2<0\Rightarrow m<-2$. Deci $m\in (-\infty ,-2)$.

23. a) Intersecția cu $Oy$ dă $b=-3$. Panta din $(0,-3)$ și $(4,0)$: $a=\frac{0-(-3)}{4-0}=\frac{3}{4}$. Deci $f(x)=\frac{3}{4}x-3$. (Verificare: $f(4)=3-3=0$. Corect.) b) Catetele triunghiului sunt $|b|=3$ și $4$; aria $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6$ unități pătrate.

24. a) Cost egal: $25=3x+10\Rightarrow 3x=15\Rightarrow x=5$ filme (ambele costă $25$ de lei). b) Varianta 1 mai avantajoasă când $25<3x+10\Rightarrow 15<3x\Rightarrow x>5$, deci începând de la $6$ filme pe lună.

25. a) $f(0)=4\Rightarrow b=4$; $A(-2,0)$ pe grafic $\Rightarrow f(-2)=0\Rightarrow -2a+4=0\Rightarrow a=2$. Deci $f(x)=2x+4$. b) $a=2>0$, deci funcția este strict crescătoare. c) $2x+4\ge 0\Rightarrow 2x\ge -4\Rightarrow x\ge -2$, adică $x\in [-2,+\infty )$.

De reținut

• Funcția liniară este $f(x)=ax+b$, cu $a$ = panta și $b$ = ordonata la origine; graficul ei este o dreaptă.
• Intersecțiile cu axele: cu $Oy$ pui $x=0\Rightarrow (0,b)$; cu $Ox$ pui $y=0$, rezolvi $ax+b=0\Rightarrow \left(-\frac{b}{a},0\right)$. Două puncte îți dau dreapta.
• Apartenența la grafic: $M(x_0,y_0)\in G_f\iff y_0=f(x_0)$. Înlocuiești și compari.
• Determinarea funcției: din pantă + un punct, din două puncte (panta $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$) sau din două valori (sistem de două ecuații).
• Monotonia: $a>0$ ⇒ crescătoare; $a<0$ ⇒ descrescătoare; $a=0$ ⇒ constantă.

Greșeli frecvente

• Confuzia axelor la intersecții. Mulți pun greșit $y=0$ pentru $Oy$. Corect: pentru $Oy$ pui $x=0$, pentru $Ox$ pui $y=0$. Ține minte: „$O$-i-grec ⇒ $x=0$".
• Uitarea schimbării de sens la împărțirea cu număr negativ în inecuații de tipul $f(x)>0$. Când împarți sau înmulțești cu un număr negativ, semnul inecuației se inversează ($>$ devine $<$).
• Panta cu semnul sau ordinea greșită. În formula $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, respectă aceeași ordine sus și jos (același punct „al doilea" la ambii termeni). Nu inversa numai numărătorul.
• A confunda „a determina funcția" cu „a calcula o valoare". A determina funcția = a găsi $a$ și $b$ (formula întreagă), nu doar un $f(3)$. Scrie la final formula completă $f(x)=\dots$.

Aplică acasă

1. Abonamentul tău. Ia un abonament real cu cost fix plus tarif pe unitate (de exemplu, internet mobil cu $x$ GB extra la un preț fix pe GB, sau un abonament de streaming plus un cost per film cumpărat). Scrie funcția liniară $f(x)$ a costului total, apoi calculează costul pentru trei valori diferite ale lui $x$ și verifică pe factură.

2. Graficul cursei. Alege un tarif de taxi din orașul tău (taxă de pornire + preț/km), scrie funcția, apoi trasează graficul pe hârtie milimetrică folosind intersecțiile cu axele și încă un punct. Estimează de pe grafic cât ar costa o cursă de $7$ km și verifică prin calcul.

3. Determină funcția din date reale. Notează temperatura apei puse la fiert la două momente diferite (de exemplu, la minutul $2$ și la minutul $5$). Presupunând o creștere aproximativ liniară, determină funcția $f(x)=ax+b$ care leagă temperatura de minut și prezice temperatura la minutul $8$. Discută dacă modelul rămâne valabil după ce apa dă în clocot.

Pentru părinți și profesori

Funcția liniară este o temă „de bază" la Evaluarea Națională: apare aproape sigur, atât în itemi scurți (o singură valoare, o intersecție, o verificare de apartenență), cât și în subiecte lungi cu grafic și arie de triunghi. Cel mai bun mod de a verifica înțelegerea nu este să cereți definiții pe de rost, ci sarcini concrete.

Întrebări de control utile:

• „Cum afli unde taie graficul axa $Oy$? Dar axa $Ox$?" (răspuns corect: $x=0$, respectiv $y=0$).
• „Ce înseamnă că punctul $(2,7)$ este pe grafic?" (că $f(2)=7$).
• „Dacă știi doar $f(1)=4$ și $f(3)=10$, poți afla funcția? Cum?" (da, prin sistem sau prin pantă).
• „Funcția $f(x)=-3x+1$ crește sau scade? De unde știi?" (scade, fiindcă $a=-3<0$).

Semne că elevul a înțeles: trece firesc de la formulă la grafic și invers, nu confundă axele la intersecții, își verifică singur rezultatul înlocuind în formulă și, la o problemă de tip „determină funcția", scrie la final formula completă $f(x)=ax+b$, nu doar valoarea unui $f$. Dacă apar ezitări, recomandați reluarea lecțiilor din unitatea „Funcția liniară", în special intersecția cu axele și lecturile grafice.

Întrebări frecvente

Cum aflu intersecțiile graficului cu axele la o funcție liniară? Pentru axa $Oy$ pui $x=0$ și obții punctul $(0,b)$. Pentru axa $Ox$ pui $y=0$, adică rezolvi ecuația $ax+b=0$, de unde $x=-\frac{b}{a}$; obții punctul $\left(-\frac{b}{a},0\right)$. Cu cele două puncte trasezi dreapta.

Câte puncte îmi trebuie ca să desenez graficul funcției liniare? Doar două, pentru că graficul este o dreaptă, iar o dreaptă este determinată de două puncte. Cel mai comod alegi intersecțiile cu axele. Dacă graficul trece prin origine ($b=0$), cele două intersecții coincid, așa că mai alegi un punct oarecare (de exemplu $x=1$).

Cum verific dacă un punct aparține graficului? Înlocuiești abscisa punctului în formula funcției și compari rezultatul cu ordonata. Punctul $M(x_0,y_0)$ aparține graficului dacă și numai dacă $y_0=f(x_0)$. Dacă egalitatea nu este adevărată, punctul nu este pe grafic.

Cum determin funcția liniară dacă știu două puncte? Calculezi panta cu formula $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, apoi afli $b$ înlocuind coordonatele unuia dintre puncte în $f(x)=ax+b$. La final scrii formula completă a funcției.

De unde știu dacă funcția liniară este crescătoare sau descrescătoare? Te uiți la semnul pantei $a$. Dacă $a>0$, funcția este strict crescătoare (graficul urcă); dacă $a<0$, este strict descrescătoare (graficul coboară); dacă $a=0$, funcția este constantă.

Ce înseamnă coeficienții $a$ și $b$ din $f(x)=ax+b$? $a$ este panta: arată cât de înclinată este dreapta și dacă funcția crește sau scade. $b$ este ordonata la origine: este exact valoarea $f(0)$ și punctul în care graficul taie axa $Oy$, adică $(0,b)$.

Cât de des apare funcția liniară la Evaluarea Națională? Foarte des — practic în fiecare an, fie ca item scurt de calcul, fie ca problemă amplă cu reprezentare grafică și arie. De aceea merită exersată până când pașii (intersecții, apartenență, determinarea funcției) devin automați.

Ce e diferența dintre „a calcula $f(3)$" și „a determina funcția $f$"? A calcula $f(3)$ înseamnă să afli o singură valoare, înlocuind $x=3$ în formulă. A determina funcția înseamnă să găsești coeficienții $a$ și $b$, adică formula întreagă $f(x)=ax+b$, pornind de la condiții date (puncte, pantă sau valori).