Recapitulare: fracții ordinare și fracții zecimale

Ai ajuns la una dintre cele mai importante recapitulări din clasa a V-a! Fracțiile sunt peste tot în jurul tău: când împarți o pizza, când citești prețul de la magazin scris cu virgulă, când cronometrezi o cursă sau când calculezi cât la sută ai economisit. În această lecție de recapitulare fracții clasa 5 vom aduna la un loc tot ce ai învățat despre fracții ordinare și fracții zecimale, le vom lega între ele și vom rezolva probleme practice de sinteză. Respiră adânc — nu învățăm lucruri noi, ci ne facem ordine în minte și ne pregătim temeinic pentru evaluare și pentru clasa a VI-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să amplifici, să simplifici, să compari și să faci operații cu fracții ordinare corect și rapid.
• Vei ști să scrii, să compari și să operezi cu fracții zecimale, cu atenție la virgulă.
• Vei ști să treci de la o fracție ordinară la o fracție zecimală și invers, alegând drumul cel mai scurt.
• Vei ști să rezolvi probleme practice cu bani, măsuri, sport și procente folosind fracții.
• Vei ști să-ți verifici rezultatele și să eviți greșelile tipice care apar la teze.

Hai să descoperim împreună

Această lecție este o hartă a întregului ținut al fracțiilor. O vom parcurge pe regiuni, ca într-o expediție, recapitulând fiecare instrument de care ai nevoie. Ține caietul deschis și verifică în paralel.

1. Ce este o fracție ordinară și cum o citim

O fracție ordinară arată în câte părți egale am împărțit un întreg și câte astfel de părți luăm. Ea are trei elemente:

• numărătorul (numărul de sus) — câte părți luăm;
• linia de fracție — care înseamnă „împărțit la";
• numitorul (numărul de jos) — în câte părți egale am împărțit întregul.

De exemplu, în fracția $\frac{3}{4}$ citim „trei pătrimi": întregul e împărțit în 4 părți egale și luăm 3 dintre ele. Reține: numitorul nu poate fi niciodată 0, fiindcă nu putem împărți ceva în zero părți.

După cum se compară numărătorul cu numitorul, fracțiile sunt de trei feluri (recapitulare din lecția despre fracții subunitare, echiunitare și supraunitare):

• subunitare — numărătorul mai mic decât numitorul, deci fracția e mai mică decât întregul: $\frac{3}{4}<1$;
• echiunitare — numărătorul egal cu numitorul, fracția e exact un întreg: $\frac{5}{5}=1$;
• supraunitare — numărătorul mai mare decât numitorul, fracția e mai mare decât întregul: $\frac{7}{4}>1$.

2. Amplificarea și simplificarea — schimbăm haina, nu valoarea

Aceasta este una dintre cele mai importante idei despre fracții. Putem schimba înfățișarea unei fracții fără să-i schimbăm valoarea. Două fracții care arată diferit, dar reprezintă aceeași cantitate, se numesc fracții echivalente.

A amplifica o fracție înseamnă a înmulți și numărătorul, și numitorul cu același număr nenul. Scriem un mic săgeată cu numărul deasupra:

$$\frac{2}{3}\stackrel{(4)}{=}\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}$$

Gândește-te la o ciocolată: dacă o tai în mai multe bucățele, fiecare bucată e mai mică, dar tu iei mai multe — cantitatea totală rămâne aceeași.

A simplifica o fracție înseamnă a împărți și numărătorul, și numitorul cu același număr (un divizor comun al lor):

$$\frac{8}{12}\stackrel{(4)}{=}\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3}$$

O fracție pe care nu o mai putem simplifica se numește fracție ireductibilă. Pentru a ajunge direct la forma ireductibilă, împărțim numărătorul și numitorul cu cel mai mare divizor comun (cmmdc) al lor. De exemplu, pentru $\frac{18}{24}$: cmmdc(18, 24) = 6, deci

$$\frac{18}{24}\stackrel{(6)}{=}\frac{3}{4}.$$

Aceasta o reciteam și în lecția despre amplificare, simplificare și fracții ireductibile. Sfat de aur: simplifică întotdeauna rezultatul final — un răspuns simplificat e mai elegant și e ceea ce așteaptă profesorul.

3. Compararea fracțiilor ordinare

Cum aflăm care fracție e mai mare? Avem trei situații:

a) Același numitor. Câștigă fracția cu numărătorul mai mare (părțile sunt la fel de mari, deci contează câte iei): $$\frac{5}{9}>\frac{2}{9}.$$

b) Același numărător. Câștigă fracția cu numitorul mai mic (cu cât împarți în mai puține părți, cu atât o parte e mai mare): $$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}.$$

c) Numitori diferiți. Aducem fracțiile la același numitor comun (de obicei cel mai mic multiplu comun al numitorilor), apoi comparăm numărătorii. De exemplu, comparăm $\frac{2}{3}$ cu $\frac{3}{4}$. cmmmc(3, 4) = 12:

$$\frac{2}{3}\stackrel{(4)}{=}\frac{8}{12},\frac{3}{4}\stackrel{(3)}{=}\frac{9}{12}.$$

Cum $8<9$, rezultă $\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$.

4. Operații cu fracții ordinare — cele patru drumuri

Acum recapitulăm „motorul" calculului cu fracții.

Adunarea și scăderea. Regula de aur: fracțiile trebuie să aibă același numitor. Dacă numitorii sunt diferiți, le aducem mai întâi la numitor comun, apoi adunăm sau scădem numai numărătorii, păstrând numitorul:

$$\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{2}{12}+\frac{9}{12}=\frac{11}{12}.$$

(Numitor comun: cmmmc(6, 4) = 12.)

Înmulțirea. Aici e cel mai simplu: înmulțim numărător cu numărător și numitor cu numitor. Nu ne trebuie numitor comun!

$$\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{7}=\frac{2\cdot 3}{5\cdot 7}=\frac{6}{35}.$$

Trucul deștept: dacă putem simplifica înainte de a înmulți, calculele devin mai ușoare. Exemplu: $\frac{3}{8}\cdot \frac{4}{9}$. Simplificăm 3 cu 9 (prin 3) și 4 cu 8 (prin 4):

$$\frac{{\cancel{3}}^1}{{\cancel{8}}_2}\cdot \frac{{\cancel{4}}^1}{{\cancel{9}}_3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$$

Împărțirea. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa (răsturnata) ei. Răsturnata fracției $\frac{a}{b}$ este $\frac{b}{a}$.

$$\frac{4}{9}:\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{2}=\frac{4\cdot 3}{9\cdot 2}=\frac{12}{18}\stackrel{(6)}{=}\frac{2}{3}.$$

Puterea unei fracții. Ridicăm și numărătorul, și numitorul la acea putere:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}.$$

Aceste reguli le-am construit în lecțiile despre adunarea fracțiilor, înmulțirea fracțiilor și împărțirea fracțiilor.

5. Ce este o fracție zecimală

O fracție zecimală este, de fapt, o fracție ordinară al cărei numitor este 10, 100, 1000 etc., scrisă într-un mod scurt, cu virgulă:

$$\frac{7}{10}=0,7,\frac{43}{100}=0,43,\frac{125}{1000}=0,125.$$

Numărul are o parte întreagă (în stânga virgulei) și o parte zecimală (în dreapta virgulei). Pozițiile după virgulă se numesc, în ordine: zecimi, sutimi, miimi…

De exemplu, în $3,425$: partea întreagă e 3, cifra 4 arată 4 zecimi, 2 arată 2 sutimi, 5 arată 5 miimi. Foarte important: putem adăuga zerouri la sfârșitul părții zecimale fără să schimbăm valoarea: $0,7=0,70=0,700$. Acest truc ne ajută enorm la comparare și la calcule.

6. Compararea fracțiilor zecimale

Pentru a compara două fracții zecimale:

1. Comparăm întâi partea întreagă — câștigă cea mai mare.
2. Dacă partea întreagă e egală, comparăm zecimile, apoi sutimile, apoi miimile — cifră cu cifră, de la stânga la dreapta.

Trucul: egalizăm numărul de zecimale adăugând zerouri. Comparăm $2,5$ cu $2,47$:

$$2,5=2,50,2,47=2,47\Rightarrow 2,50>2,47,\text{ deci }2,5>2,47.$$

Atenție la capcana clasică: $0,5$ nu este mai mic decât $0,47$, chiar dacă „47" pare mai mare decât „5"! Conține mai multe cifre, dar valoarea e mai mică. De aceea egalizăm zecimalele.

7. Operații cu fracții zecimale

Adunarea și scăderea. Așezăm numerele unul sub altul cu virgula sub virgulă, completăm cu zerouri ca să aibă la fel de multe zecimale și calculăm normal, coborând virgula:

$$\begin{aligned} &;;12{,}40 \ +&;;;3{,}75 \ \hline &;;16{,}15 \end{aligned}$$

Înmulțirea. Înmulțim ignorând virgula, ca pe numere naturale, apoi punem în rezultat atâtea zecimale câte au împreună cei doi factori. Exemplu: $1,2\cdot 0,3$. Calculăm $12\cdot 3=36$; factorii au împreună $1+1=2$ zecimale, deci rezultatul e $0,36$.

Înmulțirea cu 10, 100, 1000 = mutăm virgula spre dreapta cu 1, 2, 3 poziții: $4,57\cdot 100=457$.

Împărțirea cu 10, 100, 1000 = mutăm virgula spre stânga: $4,57:100=0,0457$.

Împărțirea a două fracții zecimale = înmulțim împărțitorul (și deîmpărțitul) cu 10, 100, 1000 cât e nevoie ca împărțitorul să devină număr natural, apoi împărțim. Exemplu: $4,5:0,9=45:9=5$.

8. Podul dintre cele două lumi: transformările

Aici se vede toată frumusețea recapitulării — cele două tipuri de fracții sunt același lucru îmbrăcat diferit, iar tu poți trece dintr-o parte în alta.

De la fracție ordinară la fracție zecimală. Sunt două drumuri:

• Drumul scurt — dacă numitorul e (sau poate deveni prin amplificare) 10, 100, 1000: $\frac{3}{4}\stackrel{(25)}{=}\frac{75}{100}=0,75$.
• Drumul sigur — împărțim numărătorul la numitor: $3:4=0,75$. Mereu funcționează.

Uneori împărțirea nu se termină, ci se repetă la nesfârșit — obținem o fracție zecimală periodică: $\frac{1}{3}=0,333\dots =0,(3)$. (Vezi transformarea fracției ordinare în zecimală și periodicitatea.)

De la fracție zecimală (finită) la fracție ordinară. Scriem cifrele fără virgulă la numărător, iar la numitor punem 1 urmat de atâtea zerouri câte zecimale erau, apoi simplificăm:

$$0,24=\frac{24}{100}\stackrel{(4)}{=}\frac{6}{25}.$$

9. Fracțiile în viața reală

De ce ne batem capul cu toate astea? Pentru că fracțiile sunt limba cantităților din viața de zi cu zi:

• Bani: 1 leu = 100 de bani, deci 75 de bani = $\frac{75}{100}$ lei $=0,75$ lei.
• Procente: $25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}=0,25$. A afla 25% dintr-un număr = a afla un sfert din el.
• Sport: un timp de $10,45$ secunde la 100 m e mai bun decât $10,5$ secunde (pentru că $10,45<10,50$).
• Gătit: o rețetă cere $\frac{3}{4}$ dintr-un pahar de lapte.

Tocmai aceste contexte le folosim mereu în problemele de sinteză.

10. Ordinea operațiilor și media aritmetică

Când într-un calcul apar mai multe operații cu fracții, păstrăm aceeași ordine a operațiilor ca la numerele naturale: întâi ce e în paranteze, apoi puteri, apoi înmulțiri și împărțiri (de la stânga la dreapta), iar la final adunări și scăderi. Fracțiile nu schimbă regulile — doar calculele dinăuntru.

De exemplu: $\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)$. Întâi paranteza: $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Apoi înmulțirea: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Media aritmetică a două sau mai multe fracții o calculezi exact ca la numere naturale: le aduni și împarți suma la câte sunt. De pildă, media lui $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$ este

$$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right):2=\frac{3}{4}:2=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}.$$

La fel se calculează și media unor numere zecimale: media notelor $9,5$ și $8,5$ este $(9,5+8,5):2=18:2=9$.

11. Cum îți verifici singur rezultatul

Un matematician bun nu se oprește când a scris răspunsul: se întreabă mereu „este oare adevărat?". Iată trei verificări rapide pe care le poți face la teză, fără să pierzi timp:

• Verificarea prin operația inversă. După o împărțire, înmulțește înapoi: dacă $4,5:0,9=5$, atunci $5\cdot 0,9$ trebuie să dea $4,5$. Dacă nu dă, ai greșit pe undeva. La fel, după o scădere poți aduna înapoi.
• Verificarea cu estimarea (ordinul de mărime). Înainte de a calcula exact, ghicește aproximativ cât trebuie să iasă. De pildă, $\frac{7}{8}$ este aproape de 1, deci rezultatul $0,875$ pare corect; dacă ți-ar fi ieșit $8,75$ sau $0,0875$, ar trebui să te alarmezi imediat — virgula a fugit din loc.
• Verificarea simplificării. Întreabă-te la final: „mai pot simplifica?". Dacă numărătorul și numitorul mai au un divizor comun, răspunsul nu e încă în forma cerută. $\frac{12}{18}$ arată „neterminat"; $\frac{2}{3}$ arată finalizat.

Obișnuiește-te să faci măcar una dintre aceste verificări la fiecare problemă importantă. Ele prind cele mai multe greșeli de neatenție — exact cele care îți fură puncte la evaluare.

Acum ai harta completă — să o folosim!

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Simplificare până la forma ireductibilă

Cerință: Aduceți fracția $\frac{36}{48}$ la forma ireductibilă.

Rezolvare. Căutăm cel mai mare divizor comun al numerelor 36 și 48. Divizorii lui 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Divizorii lui 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Cel mai mare divizor comun este 12. Împărțim:

$$\frac{36}{48}\stackrel{(12)}{=}\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}.$$

Verificare: 3 și 4 nu mai au niciun divizor comun în afară de 1, deci $\frac{3}{4}$ este ireductibilă. Răspuns: $\frac{3}{4}$.

Exemplul 2 — Comparare prin numitor comun

Cerință: Care fracție este mai mare: $\frac{5}{6}$ sau $\frac{7}{9}$?

Rezolvare. Numitorii sunt diferiți, deci aducem la numitor comun. cmmmc(6, 9) = 18.

$$\frac{5}{6}\stackrel{(3)}{=}\frac{15}{18},\frac{7}{9}\stackrel{(2)}{=}\frac{14}{18}.$$

Acum au același numitor: comparăm numărătorii. Cum $15>14$, rezultă $\frac{15}{18}>\frac{14}{18}$, deci $\frac{5}{6}>\frac{7}{9}$.

Exemplul 3 — Un șir de operații cu fracții ordinare

Cerință: Calculați $\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}$.

Rezolvare. Respectăm ordinea operațiilor: întâi înmulțirea, apoi adunarea.

Pasul 1 (înmulțire): $\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 5}=\frac{4}{10}\stackrel{(2)}{=}\frac{2}{5}.$

Pasul 2 (adunare): $\frac{2}{3}+\frac{2}{5}$. cmmmc(3, 5) = 15.

$$\frac{2}{3}\stackrel{(5)}{=}\frac{10}{15},\frac{2}{5}\stackrel{(3)}{=}\frac{6}{15},\frac{10}{15}+\frac{6}{15}=\frac{16}{15}.$$

Răspuns: $\frac{16}{15}$ (fracție supraunitară; o putem scrie și ca $1\frac{1}{15}$).

Exemplul 4 — Transformări în ambele sensuri

Cerință: (a) Scrieți $\frac{7}{8}$ sub formă de fracție zecimală. (b) Scrieți $0,35$ sub formă de fracție ordinară ireductibilă.

Rezolvare.

(a) Folosim drumul sigur — împărțim $7:8$.

$$7,000:8=0,875.$$

Pe scurt: $70:8=8$ rest 6; coborând, $60:8=7$ rest 4; apoi $40:8=5$ rest 0. Deci $\frac{7}{8}=0,875$.

(b) $0,35$ are 2 zecimale, deci $0,35=\frac{35}{100}$. Simplificăm: cmmdc(35, 100) = 5.

$$\frac{35}{100}\stackrel{(5)}{=}\frac{7}{20}.$$

Răspuns: (a) $0,875$; (b) $\frac{7}{20}$.

Exemplul 5 — Operații cu fracții zecimale (problemă cu bani)

Cerință: Maria are 50 de lei. Cumpără un caiet de $7,45$ lei și două pixuri de $3,80$ lei fiecare. Câți lei îi rămân?

Rezolvare.

Pasul 1 — costul pixurilor: $2\cdot 3,80=7,60$ lei.

Pasul 2 — costul total: $7,45+7,60$. Așezăm virgulă sub virgulă:

$$\begin{aligned} &;;7{,}45 \ +&;;7{,}60 \ \hline &;15{,}05 \end{aligned}$$

Total cheltuit: $15,05$ lei.

Pasul 3 — restul: $50-15,05=34,95$ lei. (Scriem $50=50,00$ și scădem.)

Răspuns: Mariei îi rămân 34,95 lei.

Exemplul 6 — Procent și fracție dintr-un întreg (sinteză)

Cerință: O echipă de fotbal a jucat 20 de meciuri. A câștigat $\frac{3}{5}$ dintre ele și a remizat 25% dintre ele. Câte meciuri a pierdut?

Rezolvare.

Pasul 1 — meciuri câștigate: $\frac{3}{5}$ din 20 $=20:5\cdot 3=4\cdot 3=12$ meciuri.

Pasul 2 — meciuri remizate: $25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ din 20 $=20:4=5$ meciuri.

Pasul 3 — meciuri pierdute: $20-12-5=3$ meciuri.

Răspuns: Echipa a pierdut 3 meciuri. (Observă cum am folosit și o fracție ordinară, și un procent în aceeași problemă — exact stilul de la evaluarea finală.)

Exemplul 7 — Problemă în mai mulți pași (fracție ordinară și zecimală împreună)

Cerință: Un croitor are o bucată de stofă de 12 m. Folosește $\frac{1}{4}$ din ea pentru o față de masă, iar din ce rămâne folosește $0,3$ pentru șervete. Câți metri de stofă îi rămân la final?

Rezolvare.

Pasul 1 — fața de masă: $\frac{1}{4}$ din 12 $=12:4=3$ m. După aceasta îi rămân $12-3=9$ m.

Pasul 2 — atenție la capcană: cei $0,3$ se iau din rest (din cei 9 m), nu din întreaga bucată! $0,3$ din 9 $=9\cdot 0,3=2,7$ m de șervete.

Pasul 3 — stofa rămasă: $9-2,7=6,3$ m.

Răspuns: Croitorului îi rămân 6,3 m de stofă. Capcana clasică e să iei $0,3$ din 12 în loc de din rest — citește mereu cu atenție „din ce rămâne".

Exemplul 8 — Ordonarea unor fracții de tipuri diferite

Cerință: Ordonați crescător numerele: $\frac{3}{4}$, $0,7$, $\frac{4}{5}$, $0,72$.

Rezolvare. Avem un amestec de fracții ordinare și zecimale. Cel mai sigur e să le aducem pe toate la aceeași înfățișare — le transformăm pe ordinare în zecimale:

$$\frac{3}{4}=0,75,\frac{4}{5}=0,8.$$

Acum comparăm patru numere zecimale, egalizând zecimalele: $0,70$, $0,72$, $0,75$, $0,80$. Ordonate crescător:

$$0,7<0,72<\frac{3}{4}<\frac{4}{5}.$$

Răspuns: $0,7<0,72<\frac{3}{4}<\frac{4}{5}$. (Trucul: când compari fracții de tipuri diferite, transformă-le pe toate într-un singur tip — de obicei zecimale — și problema devine simplă.)

Să exersăm

Rezolvă în caiet, pas cu pas. Exercițiile sunt așezate de la ușor la greu.

1. Scrie fracțiile sub formă de fracție zecimală: a) $\frac{9}{10}$; b) $\frac{17}{100}$; c) $\frac{3}{1000}$.

2. Scrie sub formă de fracție ordinară ireductibilă: a) $0,6$; b) $0,45$; c) $0,08$.

3. Simplifică până la forma ireductibilă: a) $\frac{10}{15}$; b) $\frac{24}{36}$; c) $\frac{45}{60}$.

4. Amplifică fracția $\frac{3}{7}$ cu 4 și apoi cu 5. Ce observi despre valoarea fracției?

5. Completează cu semnul potrivit ($<$, $>$ sau $=$): a) $\frac{4}{9}\square \frac{7}{9}$; b) $\frac{5}{8}\square \frac{5}{11}$; c) $0,7\square 0,65$; d) $\frac{3}{4}\square 0,75$.

6. Adevărat sau fals? a) $0,5=\frac{1}{2}$; b) $0,3>0,25$ este fals; c) o fracție supraunitară este mai mare decât 1; d) $\frac{6}{6}=1$.

7. Calculează: a) $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}$; b) $\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$; c) $\frac{3}{8}+\frac{1}{4}$.

8. Calculează: a) $\frac{2}{5}\cdot \frac{10}{3}$; b) $\frac{4}{9}:\frac{2}{3}$; c) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2$.

9. Calculează cu fracții zecimale: a) $3,45+2,8$; b) $10-4,37$; c) $2,5\cdot 4$; d) $6,3:100$.

10. Ordonează crescător fracțiile zecimale: $1,4$; $1,38$; $1,405$; $1,4001$.

11. Respectă ordinea operațiilor: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{5}$.

12. Încercuiește fracția ireductibilă din lista: $\frac{4}{6}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{10}{15}$, $\frac{8}{12}$.

13. Potrivește fiecare fracție ordinară cu fracția zecimală egală: A) $\frac{1}{4}$ B) $\frac{2}{5}$ C) $\frac{7}{10}$ D) $\frac{1}{8}$ — cu — 1) $0,7$ 2) $0,125$ 3) $0,25$ 4) $0,4$.

14. Problemă (bani). Andrei are 100 de lei. Cheltuie $\frac{2}{5}$ din ei pe o carte. Cât a costat cartea și câți lei i-au rămas?

15. Problemă (procente). Dintr-o clasă de 28 de elevi, 25% merg la cercul de robotică. Câți elevi merg la cerc?

16. Problemă (sport). La un concurs de înot, trei copii au timpii: Ana $32,7$ s, Bogdan $32,68$ s, Carla $32,9$ s. Cine a câștigat (timpul cel mai mic) și cine a ieșit ultimul?

17. Problemă (gătit). O rețetă cere $\frac{3}{4}$ kg de făină. Mama face doar jumătate din rețetă. De câtă făină are nevoie? Exprimă rezultatul și ca fracție zecimală (în kg).

18. Problemă de sinteză. Un rezervor are 60 de litri. Dimineața se golește $\frac{1}{3}$ din el, iar după-amiaza încă $0,25$ din rezervorul plin. Câți litri rămân în rezervor?

19. Calculează respectând ordinea operațiilor: $\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{8}{5}$.

20. Află media aritmetică a numerelor zecimale $7,2$ și $8,8$. Apoi scrie rezultatul ca fracție ordinară ireductibilă.

21. Calculează cu fracții zecimale: a) $8,4:0,7$; b) $0,6\cdot 0,05$; c) $\frac{3}{10}+0,45$ (transformă fracția în zecimală, apoi adună).

22. Problemă (sinteză). O carte are 240 de pagini. Maria a citit $\frac{3}{8}$ din ea luni și $0,25$ din ea marți. Câte pagini i-au mai rămas de citit?

23. Calculează respectând ordinea operațiilor: $\frac{2}{3}:\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)+0,5$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $0,9$; b) $0,17$; c) $0,003$. (Numitorul arată câte zecimale: 10 → o zecimală, 100 → două, 1000 → trei. La c) punem două zerouri în față pentru a avea trei zecimale.)

2. a) $0,6=\frac{6}{10}\stackrel{(2)}{=}\frac{3}{5}$; b) $0,45=\frac{45}{100}\stackrel{(5)}{=}\frac{9}{20}$; c) $0,08=\frac{8}{100}\stackrel{(4)}{=}\frac{2}{25}$.

3. a) $\frac{10}{15}\stackrel{(5)}{=}\frac{2}{3}$; b) $\frac{24}{36}\stackrel{(12)}{=}\frac{2}{3}$; c) $\frac{45}{60}\stackrel{(15)}{=}\frac{3}{4}$.

4. $\frac{3}{7}\stackrel{(4)}{=}\frac{12}{28}$ și $\frac{3}{7}\stackrel{(5)}{=}\frac{15}{35}$. Valoarea rămâne aceeași — amplificarea schimbă doar înfățișarea, nu și mărimea fracției.

5. a) $<$ (același numitor, $4<7$); b) $>$ (același numărător, numitor mai mic câștigă: $8<11$); c) $>$ ($0,70>0,65$); d) $=$ ($\frac{3}{4}=0,75$).

6. a) Adevărat ($\frac{1}{2}=0,5$); b) Fals — afirmația „$0,3>0,25$ este fals" e ea însăși falsă, pentru că $0,30>0,25$ este adevărat; c) Adevărat; d) Adevărat (numărător = numitor înseamnă un întreg).

7. a) $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$; b) $\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}\stackrel{(3)}{=}\frac{1}{2}$; c) $\frac{3}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$.

8. a) $\frac{2}{5}\cdot \frac{10}{3}=\frac{20}{15}\stackrel{(5)}{=}\frac{4}{3}$; b) $\frac{4}{9}:\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{2}=\frac{12}{18}\stackrel{(6)}{=}\frac{2}{3}$; c) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{4}{25}$.

9. a) $3,45+2,80=6,25$; b) $10,00-4,37=5,63$; c) $2,5\cdot 4=10$ (adică $10,0$); d) $6,3:100=0,063$ (virgula se mută două poziții la stânga).

10. Egalizăm zecimalele: $1,4000$; $1,3800$; $1,4050$; $1,4001$. Ordonate crescător: $1,38<1,4<1,4001<1,405$.

11. Întâi înmulțirea: $\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{5}=\frac{6}{15}\stackrel{(3)}{=}\frac{2}{5}$. Apoi adunarea: $\frac{1}{2}+\frac{2}{5}$. cmmmc(2, 5) = 10: $\frac{5}{10}+\frac{4}{10}=\frac{9}{10}$. Răspuns: $\frac{9}{10}$.

12. Ireductibilă este $\frac{5}{9}$. (Celelalte se simplifică: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$, $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.)

13. A–3 ($\frac{1}{4}=0,25$); B–4 ($\frac{2}{5}=0,4$); C–1 ($\frac{7}{10}=0,7$); D–2 ($\frac{1}{8}=0,125$).

14. Cartea: $\frac{2}{5}$ din 100 $=100:5\cdot 2=40$ lei. Rămân: $100-40=60$ lei. Răspuns: cartea 40 lei, rest 60 lei.

15. $25\%=\frac{1}{4}$ din 28 $=28:4=7$ elevi. Răspuns: 7 elevi.

16. Egalizăm: $32,70$; $32,68$; $32,90$. Cel mai mic timp câștigă: $32,68<32,70<32,90$. A câștigat Bogdan (32,68 s), ultima a fost Carla (32,9 s).

17. Jumătate din rețetă: $\frac{3}{4}:2=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$ kg. Ca fracție zecimală: $3:8=0,375$ kg. Răspuns: $\frac{3}{8}$ kg $=0,375$ kg.

18. Dimineața: $\frac{1}{3}$ din 60 $=20$ litri goliți. După-amiaza: $0,25=\frac{1}{4}$ din 60 $=15$ litri goliți. Total golit: $20+15=35$ litri. Rămân: $60-35=25$ litri. Răspuns: 25 de litri.

19. Întâi paranteza: $\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$. Apoi înmulțirea: $\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{5}=\frac{8}{20}\stackrel{(4)}{=}\frac{2}{5}$. Răspuns: $\frac{2}{5}$.

20. Media: $(7,2+8,8):2=16:2=8$. Ca fracție ordinară: $8=\frac{8}{1}$ (deja ireductibilă; un întreg). Răspuns: 8.

21. a) Înmulțim împărțitorul și deîmpărțitul cu 10: $8,4:0,7=84:7=12$. b) Ignorăm virgula: $6\cdot 5=30$; factorii au împreună $1+2=3$ zecimale, deci $0,6\cdot 0,05=0,030=0,03$. c) $\frac{3}{10}=0,3$, deci $0,3+0,45=0,75$.

22. Luni: $\frac{3}{8}$ din 240 $=240:8\cdot 3=30\cdot 3=90$ pagini. Marți: $0,25=\frac{1}{4}$ din 240 $=240:4=60$ pagini. Citite în total: $90+60=150$ pagini. Rămase: $240-150=90$ pagini. Răspuns: 90 de pagini.

23. Întâi paranteza: $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}\stackrel{(2)}{=}\frac{2}{3}$. Apoi împărțirea: $\frac{2}{3}:\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$. La final adunarea: $1+0,5=1,5$. Răspuns: $1,5$ (adică $\frac{3}{2}$).

De reținut

• Amplificarea și simplificarea schimbă înfățișarea fracției, dar nu valoarea ei; simplifică mereu rezultatul final până la forma ireductibilă.
• La adunare și scădere de fracții ordinare îți trebuie numitor comun; la înmulțire nu, iar la împărțire înmulțești cu răsturnata.
• La fracțiile zecimale, egalizează numărul de zecimale (cu zerouri) când compari sau aduni — virgula stă sub virgulă.
• O fracție ordinară și o fracție zecimală pot fi două înfățișări ale aceleiași valori; treci dintr-una în alta prin împărțire sau prin numitor 10, 100, 1000.
• $25\%=\frac{1}{4}=0,25$; a afla un procent dintr-un număr = a afla o fracție din el.

Greșeli frecvente

• „$0,5<0,47$ pentru că 47 e mai mare ca 5." Greșit! Egalizează zecimalele: $0,50>0,47$. Numărul de cifre nu dă mărimea.
• A aduna numitorii la adunarea fracțiilor ($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ — greșit!). Numitorul rămâne numitorul comun; aduni doar numărătorii: $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.
• A căuta numitor comun la înmulțire. Nu e nevoie — înmulțești direct numărător cu numărător și numitor cu numitor.
• A uita virgula la înmulțirea zecimalelor sau a pune greșit numărul de zecimale. Numără zecimalele ambilor factori și pune-le pe toate în rezultat: $1,2\cdot 0,3=0,36$ (două zecimale).
• A lăsa rezultatul nesimplificat. $\frac{12}{18}$ nu e forma finală; simplifică la $\frac{2}{3}$.

Joc acasă

1) Pizza fracțiilor (cu hârtie). Decupează două cercuri egale din hârtie. Pe primul, taie 4 felii egale și colorează 3 ($\frac{3}{4}$). Pe al doilea, taie 8 felii și colorează 6 ($\frac{6}{8}$). Suprapune zonele colorate. Surpriză: sunt egale! Ai „demonstrat" cu mâna ta că $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. Repetă cu alte perechi.

2) Bonul de la magazin. Ia un bon real de cumpărături de acasă. Toate prețurile sunt fracții zecimale! Alege trei produse și adună prețurile pe hârtie (virgulă sub virgulă), apoi verifică pe bon. Apoi calculează ce rest ar fi rămas dintr-o bancnotă de 100 de lei.

3) Cronometrul-detectiv. Cu un cronometru de telefon, măsoară de trei ori cât stai într-un picior. Vei obține timpi cu zecimale, de pildă $8,3$ s, $8,05$ s, $8,5$ s. Ordonează-i de la cel mai mic la cel mai mare — ai exersat compararea fracțiilor zecimale fără să-ți dai seama.

4) Loteria transformărilor. Pregătește 8 cartonașe: pe patru scrie fracții ordinare ($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{8}$), iar pe celelalte patru, fracțiile zecimale corespunzătoare ($0,5$, $0,25$, $0,6$, $0,125$), amestecate. Întoarce-le cu fața în jos și joacă „perechi": câștigi o pereche doar dacă explici cu voce tare de ce cele două cartonașe sunt egale. E un mod simplu de a-ți fixa în minte echivalențele care apar cel mai des la teze. Provocare în plus: adaugă și cartonașe cu procente ($50\%$, $25\%$, $60\%$) și fă triplete!

Pentru părinți și învățători

Această lecție este o sinteză, nu o introducere — scopul este consolidarea și conectarea ideilor, nu predarea de zero. Iată cum o puteți sprijini eficient:

• Cereți justificări, nu doar rezultate. Întrebați des „de ce?": „De ce ai adus la numitor comun?", „Cum ai știut care e mai mare?". La gimnaziu, raționamentul contează la fel de mult ca răspunsul corect.
• Verificați cele patru operații separat. O greșeală frecventă e amestecul regulilor (numitor comun la înmulțire, adunarea numitorilor la adunare). Dați câte un exemplu scurt din fiecare operație și observați unde se poticnește.
• Insistați pe legătura ordinară ↔ zecimală. Întrebați: „Scrie $\frac{3}{4}$ ca zecimală și invers." Dacă elevul face fluent ambele drumuri, a înțeles esența recapitulării.
• Folosiți bani reali. Monedele și bancnotele transformă fracțiile zecimale în ceva palpabil; 50 de bani = $0,50$ lei = $\frac{1}{2}$ leu.
• Cum verificați înțelegerea: dați problema 18 (sinteză cu fracție ordinară și zecimală împreună). Dacă o rezolvă cu pași clari și rezultat corect, este pregătit pentru evaluare și pentru clasa a VI-a.

Pentru o privire de ansamblu și asupra celorlalte capitole de recapitulare, vedeți și lecția Recapitulare: numere naturale, puteri și divizibilitate.

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre o fracție ordinară și o fracție zecimală? O fracție ordinară se scrie cu numărător, linie de fracție și numitor (de exemplu $\frac{3}{4}$), iar o fracție zecimală se scrie cu virgulă (de exemplu $0,75$). Sunt doar două înfățișări diferite ale aceleiași valori; orice fracție zecimală finită este de fapt o fracție ordinară cu numitor 10, 100, 1000 etc.

Cum transform o fracție ordinară în fracție zecimală? Cel mai sigur drum este să împarți numărătorul la numitor (de pildă $3:4=0,75$). Dacă numitorul poate deveni 10, 100 sau 1000 prin amplificare, e și mai rapid: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75$.

Când am nevoie de numitor comun? Doar la adunarea și scăderea fracțiilor ordinare cu numitori diferiți. La înmulțire și la împărțire nu folosești numitor comun: înmulțești direct, respectiv înmulțești cu răsturnata.

De ce $0,5$ este mai mare decât $0,47$, deși 47 are mai multe cifre? Pentru că numărul de cifre nu dă valoarea. Egalizează zecimalele adăugând zerouri: $0,50$ față de $0,47$. Acum se vede clar că $0,50>0,47$.

Cum simplific corect o fracție? Împarți și numărătorul, și numitorul cu același număr (un divizor comun al lor). Ca să ajungi direct la forma ireductibilă, împarte-le cu cel mai mare divizor comun. De exemplu $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$, împărțind cu 6.

Cum aflu un procent dintr-un număr? Transformi procentul în fracție (de exemplu $25\%=\frac{1}{4}$) și afli acea fracție din număr. Astfel, 25% din 28 înseamnă $28:4=7$.

Ce este o fracție ireductibilă? Este o fracție care nu mai poate fi simplificată, fiindcă numărătorul și numitorul nu mai au niciun divizor comun în afară de 1, de exemplu $\frac{5}{9}$ sau $\frac{3}{4}$.

Cum mă pregătesc cel mai bine pentru evaluarea la fracții? Exersează puțin din fiecare tip: o simplificare, o comparare, câte o operație din cele patru, o transformare ordinară↔zecimală și o problemă practică cu bani sau procente. Verifică-ți mereu rezultatul și simplifică-l la final — așa eviți cele mai dese greșeli.