Recapitulare mate-info: metode de demonstrație, funcții și ecuații

Un an întreg de matematică-informatică nu este o grămadă de capitole puse unul peste altul, ci o construcție cu etaje. La parter stau metodele de demonstrație — inducția și reducerea la absurd —, adică felul în care ai învățat să treci de la „mi se pare adevărat" la „este adevărat, iată de ce". La etajul întâi stau șirurile, primele obiecte infinite pe care le-ai controlat cu formule. La al doilea, funcțiile, cu întreg vocabularul lor: domeniu, imagine, paritate, monotonie, injectivitate, inversă. Iar la ultimul etaj stau ecuațiile — de gradul al doilea, cu parametru, cu module, cu radicali —, unde toate cele de dedesubt sunt puse la treabă simultan.

Recapitularea aceasta nu reia lecțiile una câte una; le leagă. Vei vedea cum o problemă de ecuație cu parametru se rezolvă cu Viète, dar se verifică cu discriminantul; cum un șir dat prin recurență cere o conjectură urmată de o inducție; cum o funcție se dovedește bijectivă înainte să-i cauți inversa. Exact acest tip de problemă, care traversează două-trei capitole într-un singur enunț, este ceea ce te așteaptă la teza de final de an și, peste trei ani, la Bacalaureatul M1. Ia-ți caietul: la recapitulare se scrie, nu se citește.

Ce vei învăța

• Vei ști să alegi metoda de demonstrație potrivită unui enunț: inducție, reducere la absurd sau calcul direct — și să recunoști din formularea cerinței care dintre ele se cere.
• Vei ști să treci de la o relație de recurență la formula termenului general, prin drumul complet: calculezi, conjecturezi, demonstrezi prin inducție.
• Vei ști să faci fișa completă a unei funcții: domeniu maxim, imagine, paritate, mărginire, injectivitate, surjectivitate, inversă — în ordinea în care aceste proprietăți se sprijină una pe alta.
• Vei ști să rezolvi probleme cu parametru la ecuația de gradul al doilea, folosind Viète pentru expresii simetrice și discriminantul pentru condiția de existență.
• Vei ști să rezolvi sisteme simetrice și omogene și să interpretezi geometric intersecția unei drepte cu o parabolă.
• Vei ști să tratezi corect ecuațiile și inecuațiile cu radicali sau cu module, cu tot lanțul: condiții de existență, echivalență, rezolvare, verificare.

Hai să descoperim împreună

1. Harta anului: ce ai în plus față de trunchiul comun

Programa de matematică-informatică adaugă, peste conținutul comun, un strat bine delimitat. Merită să-l vezi întreg, ca să știi ce recapitulezi:

Observă că fiecare rând al tabelului adaugă rigoare unui lucru pe care îl știai intuitiv. Știai să aduni termenii unei progresii; acum știi să demonstrezi formula. Știai să desenezi o parabolă; acum știi să spui exact când o dreaptă îi este tangentă. Aceasta este diferența specifică a profilului: nu mai multe rezultate, ci mai multă justificare.

2. Cele două metode de demonstrație: când o alegi pe fiecare

Inducția demonstrează o afirmație $P(n)$ pentru toate numerele naturale de la un rang încolo. Are două etape obligatorii: verificarea lui $P(n_0)$ și pasul inductiv $P(k)\Rightarrow P(k+1)$. Recitește, dacă e nevoie, Metoda inducției matematice și aplicațiile ei la sume, inegalități și divizibilitate.

Reducerea la absurd demonstrează o afirmație presupunând contrariul ei și obținând o contradicție. E metoda predilectă pentru enunțuri de tip „nu există", „este imposibil", „este irațional", „mulțimea este infinită" — vezi Metoda reducerii la absurd.

Semnalele din enunț sunt destul de clare:

Greșeala tipică la reducere la absurd este negația: negația lui „pentru orice $x$, $P(x)$" este „există $x$ cu non-$P(x)$", iar negația lui „$a$ sau $b$" este „non-$a$ și non-$b$". Scrie negația explicit, în chenar, înainte de a calcula ceva.

3. Șiruri și recurențe: drumul de la regulă la formulă

Un șir este o funcție $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$ și poate fi dat descriptiv, prin formula termenului general sau prin relație de recurență — regula de trecere plus termenii de pornire, atâția câți folosește regula. Detaliile sunt în Moduri de definire a unui șir.

Drumul standard de la recurență la formulă are trei pași și nu poate fi scurtat:

1. calculezi primii $4$–$5$ termeni;
2. conjecturezi formula, comparând cu puteri, pătrate sau progresii cunoscute;
3. demonstrezi prin inducție — pentru că, oricâți termeni ai calcula, conjectura rămâne conjectură.

Pentru progresii ai două caracterizări cu trei termeni consecutivi, esențiale la exercițiile cu parametru: $(a_n)$ este progresie aritmetică $⟺2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$, iar $(b_n)$ cu termeni nenuli este progresie geometrică $⟺b_{n+1}^2=b_n{b}_{n+2}$. Le găsești demonstrate în Caracterizarea progresiilor. Iar formula $$a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\right)$$ din Condiția ca $n$ numere să fie în progresie îți dă, cu $a=q$ și $b=1$, suma progresiei geometrice și, pentru $a$, $b$ întregi, faptul că $a-b$ divide $a^n-b^n$.

4. Fișa completă a unei funcții

Când un enunț spune „studiați funcția", există o ordine firească a întrebărilor, pentru că fiecare răspuns îl pregătește pe următorul:

1. Domeniul maxim — numitor nenul, cantitate nenegativă sub radicalii de ordin par.
2. Paritatea — se începe cu verificarea simetriei domeniului față de $0$; abia apoi compari $f(-x)$ cu $f(x)$ și cu $-f(x)$.
3. Monotonia — din semnul lui $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ sau, la trinom, din poziția vârfului.
4. Imaginea și mărginirea — $\mathrm{Im}f$ este proiecția graficului pe $Oy$; mărginirea înseamnă că graficul stă într-o bandă orizontală.
5. Injectivitatea — strict monotonă $\Rightarrow$ injectivă (reciproca este falsă); pe grafic, orice orizontală taie cel mult o dată.
6. Surjectivitatea — $\mathrm{Im}f=B$, adică ecuația $f(x)=y$ are soluție în domeniu pentru orice $y$ din codomeniu.
7. Inversa — există dacă și numai dacă funcția e bijectivă; se obține rezolvând $y=f(x)$ în raport cu $x$.

Aceasta este ordinea din Funcții injective, surjective, bijective și Funcția inversă. Reține capcana de aur a anului: o funcție nu este „injectivă" sau „surjectivă" în sine, ci împreună cu domeniul și codomeniul ei. Aceeași lege, $f(x)=x^2$, dă o funcție nici injectivă, nici surjectivă pe $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, dar bijectivă pe $[0,\infty )\to [0,\infty )$.

5. Funcțiile speciale ale anului: modul, parte întreagă, putere

Trei familii de funcții cer tehnici proprii.

Modulul. $|x|=x$ pentru $x\ge 0$ și $|x|=-x$ pentru $x<0$; geometric, $|x-a|$ este distanța de la $x$ la $a$. Ecuațiile cu mai multe module se rezolvă prin metoda intervalelor: găsești punctele critice, desfaci modulele pe fiecare interval și verifici apartenența fiecărei soluții la intervalul pe care ai lucrat. Reține și $\sqrt{x^2}=|x|$, sursă constantă de greșeli. Detalii în Funcția modul.

Partea întreagă. $[x]=k⟺k\le x<k+1$, iar $\{x\}=x-[x]\in [0,1)$. La ecuații notezi $[x]=k\in \mathbb{Z}$, iar condiția $0\le \{x\}<1$ este cea care limitează valorile lui $k$ — vezi Funcțiile parte întreagă și parte fracționară.

Puterea și radicalii. Paritatea funcției $x\mapsto x^n$ urmează paritatea exponentului, iar restricția $[0,\infty )\to [0,\infty )$ este bijectivă, cu inversa radicalul de ordinul $n$ — vezi Funcția putere cu exponent întreg. Conjugata lui $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ este $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, iar produsul lor, $a-b$, scapă de radicali: unealta pentru raționalizări și sume telescopice din Radicali: proprietăți și expresii conjugate.

6. Gradul al doilea: Viète ca instrument de economie

Relațiile lui Viète, $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}$, îți permit să calculezi expresii simetrice fără să rezolvi ecuația. Tabelul de mai jos este cel pe care merită să-l știi pe de rost:

La problemele cu parametru ordinea este obligatorie și baremul o punctează ca atare: întâi condiția de existență $\Delta \ge 0$, apoi traducerea cerinței prin $S$ și $P$, la final intersecția celor două mulțimi de valori. Sări primul pas și obții valori ale parametrului pentru care ecuația nici măcar nu are rădăcini reale. Recitește Relațiile lui Viète.

Tot aici intră sistemele: cel simetric se rezolvă trecând la $s=x+y$ și $p=xy$, iar revenirea se face prin $z^2-sz+p=0$, cu condiția $s^2-4p\ge 0$; cel omogen se rezolvă notând $t=\frac{x}{y}$, după ce tratezi separat cazul $y=0$. Vezi Sisteme cu ecuații de gradul al doilea.

7. Dreapta și parabola: cum devine geometria o ecuație

Punctele comune ale dreptei $y=mx+n$ cu parabola $y=a{x}^2+bx+c$ sunt date de rădăcinile ecuației de intersecție $$a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0,$$ iar semnul discriminantului decide poziția: $\Delta >0$ înseamnă secantă, $\Delta =0$ tangentă, $\Delta <0$ nicio intersecție. Este exact traducerea algebrică a unui desen, pe care o găsești în Dreaptă și parabolă. Merită reținut și că, prin Viète, abscisa mijlocului coardei este $\frac{m-b}{2a}$, fără a calcula rădăcinile.

8. Ecuații cu radicali: lanțul care nu se rupe

Aici se pierd cele mai multe puncte, și nu din cauza calculului, ci din cauza ordinii. Lanțul complet, din Ecuații și inecuații cu radicali, este: condiții de existență $\to$ echivalență $\to$ rezolvare $\to$ verificare.

Echivalența fundamentală este $$\sqrt{A}=B⟺B\ge 0\text{ și }A=B^2.$$ Condiția $A\ge 0$ rezultă automat din $A=B^2$; condiția $B\ge 0$ nu — ea este cea care elimină soluțiile străine. La ordinul $3$ nu se pune nicio condiție: $\sqrt[3]{A}=B⟺A=B^3$, pentru că funcția radical de ordinul $3$ este bijectivă pe $\mathbb{R}$ — vezi Funcția radical de ordinul 3.

Un truc care scurtează mult calculele la ecuații de forma $\sqrt{A}-\sqrt{B}=c$: înmulțești cu conjugata. Din $\sqrt{A}-\sqrt{B}=c$ și $A-B=(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})$ obții $\sqrt{A}+\sqrt{B}=\frac{A-B}{c}$, iar sistemul în $\sqrt{A}$ și $\sqrt{B}$ se rezolvă prin adunare. Îl vei folosi la Exemplul 5.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la recurență la formulă, cu inducție

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin $a_1=2$ și $a_{n+1}=3a_n-2$. Determinați formula termenului general și demonstrați-o.

Rezolvare. Calculăm: $a_1=2$, $a_2=4$, $a_3=10$, $a_4=28$, $a_5=82$. Scădem $1$ din fiecare: $1,3,9,27,81$ — puteri ale lui $3$. Conjecturăm $a_n=3^{n-1}+1$.

Verificarea: $a_1=3^0+1=2$ ✓.

Pasul inductiv: presupunem $a_k=3^{k-1}+1$. Atunci $$a_{k+1}=3a_k-2=3\left(3^{k-1}+1\right)-2=3^k+3-2=3^k+1=3^{(k+1)-1}+1.✓$$ Conform principiului inducției matematice, $a_n=3^{n-1}+1$ pentru orice $n\ge 1$. $■$

Exemplul 2 — Reducere la absurd

Demonstrați că $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ este irațional.

Rezolvare. Presupunem prin absurd că $s=\sqrt{2}+\sqrt{3}\in \mathbb{Q}$. Ridicăm la pătrat: $$s^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6},\text{deci}\sqrt{6}=\frac{s^2-5}{2}.$$ Membrul drept este un număr rațional (raționalele sunt închise la înmulțire, scădere și împărțire cu $2$), deci ar rezulta $\sqrt{6}\in \mathbb{Q}$ — fals, pentru că $6$ nu este pătrat perfect, iar demonstrația iraționalității lui $\sqrt{6}$ este identică cu cea a lui $\sqrt{2}$. Contradicție. Prin urmare presupunerea este falsă și $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ este irațional. $■$

Exemplul 3 — Bijectivitate și inversă pe domeniu restrâns

Se consideră $f:[3,\infty )\to [-4,\infty )$, $f(x)=x^2-6x+5$. Arătați că $f$ este bijectivă și determinați $f^{-1}$.

Rezolvare. Scriem forma canonică: $f(x)=(x-3{)}^2-4$, deci vârful parabolei este $V(3,-4)$, iar pe $[3,\infty )$ funcția este strict crescătoare.

Injectivitatea: dacă $f(x_1)=f(x_2)$, atunci $(x_1-3{)}^2=(x_2-3{)}^2$, deci $|x_1-3|=|x_2-3|$; cum $x_1,x_2\ge 3$, modulele se ridică fără semn și $x_1=x_2$.

Surjectivitatea: fie $y\ge -4$. Rezolvăm $(x-3{)}^2=y+4$, cu $y+4\ge 0$: obținem $x=3+\sqrt{y+4}$ (soluția cu minus iese din domeniu). Cum $\sqrt{y+4}\ge 0$, avem $x\ge 3$, deci $x$ aparține domeniului.

Așadar $f$ este bijectivă și $f^{-1}:[-4,\infty )\to [3,\infty )$, $f^{-1}(y)=3+\sqrt{y+4}$. Verificare: $f\left(f^{-1}(y)\right)={\left(\sqrt{y+4}\right)}^2-4=y$ ✓.

Exemplul 4 — Viète fără a rezolva ecuația

Fie $x_1,x_2$ rădăcinile ecuației $x^2-5x+3=0$. Calculați $x_1^2+x_2^2$, $x_1^3+x_2^3$ și $x_1^4+x_2^4$.

Rezolvare. $\Delta =25-12=13>0$, deci rădăcinile sunt reale și distincte. Din Viète, $S=5$ și $P=3$. Atunci: $$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=25-6=19;$$ $$x_1^3+x_2^3=S^3-3PS=125-45=80;$$ $$x_1^4+x_2^4={\left(x_1^2+x_2^2\right)}^2-2{\left(x_1{x}_2\right)}^2=19^2-2\cdot 9=361-18=343.$$ Observă că nu am aflat niciodată valorile $x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$ — și tocmai de aici vine economia de timp la examen.

Exemplul 5 — Ecuație cu radicali, rezolvată cu conjugata

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2x+3}-\sqrt{x-2}=2$.

Rezolvare. Condiții de existență: $2x+3\ge 0$ și $x-2\ge 0$, deci $x\ge 2$.

Notăm $u=\sqrt{2x+3}\ge 0$ și $v=\sqrt{x-2}\ge 0$. Avem $u-v=2$ și $u^2-v^2=(2x+3)-(x-2)=x+5$. Din $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$ rezultă $2(u+v)=x+5$, adică $u+v=\frac{x+5}{2}$. Adunând cu $u-v=2$: $$2u=\frac{x+5}{2}+2=\frac{x+9}{2}\Rightarrow u=\frac{x+9}{4}.$$ Ridicăm la pătrat relația $u^2=2x+3$: $\frac{(x+9{)}^2}{16}=2x+3$, deci $x^2+18x+81=32x+48$, adică $x^2-14x+33=0$, cu $\Delta =196-132=64$ și $x_{1,2}=\frac{14\pm 8}{2}$, adică $x=11$ sau $x=3$.

Verificarea: pentru $x=11$: $\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2$ ✓; pentru $x=3$: $\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2$ ✓. Ambele valori respectă și condiția $x\ge 2$. Soluțiile sunt $x\in \{3,11\}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră ecuația $x^2-6x+m=0$, cu $m\in \mathbb{R}$, și funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+m$. a) Pentru $m=5$, rezolvați ecuația. b) Determinați $m$ pentru care ecuația are rădăcinile reale $x_1,x_2$ cu $x_1^2+x_2^2=20$. c) Determinați $m$ pentru care dreapta $y=2x-3$ intersectează graficul lui $f$ în două puncte distincte.

Rezolvare. a) $x^2-6x+5=0$, $\Delta =36-20=16$, deci $x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$, adică $x\in \{1,5\}$.

b) Condiția de existență a rădăcinilor reale: $\Delta =36-4m\ge 0$, deci $m\le 9$. Din Viète, $S=6$, $P=m$, iar $$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=36-2m=20\Rightarrow m=8.$$ Cum $8\le 9$, valoarea este acceptată. (Într-adevăr, pentru $m=8$ rădăcinile sunt $2$ și $4$, iar $4+16=20$ ✓.)

c) Ecuația de intersecție: $x^2-6x+m=2x-3$, adică $x^2-8x+m+3=0$. Două puncte distincte înseamnă $\Delta >0$: $$64-4(m+3)>0⟺16>m+3⟺m<13.$$ Deci $m\in (-\infty ,13)$. Observă că punctul c) nu cere rădăcini reale ale ecuației inițiale, deci condiția $m\le 9$ de la b) nu se mai impune: fiecare cerință își are propriile condiții.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare completă. La fiecare exercițiu, întreabă-te întâi „ce capitol îmi cere enunțul?" — jumătate din dificultatea unei probleme de sinteză este recunoașterea temei.

1. Demonstrează prin inducție că $3^n\ge 2n+1$ pentru orice $n\ge 1$.

2. Demonstrează prin inducție că $7^n-1$ se divide cu $6$, pentru orice $n\ge 1$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă pasul inductiv $P(k)\Rightarrow P(k+1)$ este demonstrat corect pentru orice $k\ge 1$, atunci $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge 1$."

4. Fie $a,b>0$ cu $a+b=2$. Demonstrează prin reducere la absurd că $a^2+b^2\ge 2$.

5. Se consideră șirul $a_1=3$, $a_{n+1}=2a_n-1$. Calculează primii cinci termeni, conjecturează formula termenului general și demonstreaz-o prin inducție.

6. Determină $x\in \mathbb{R}$ astfel încât numerele $x-1$, $x+3$, $3x+1$ să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

7. Determină $x\in \mathbb{R}$, $x\ne 0$, astfel încât numerele $x$, $x+3$, $x+9$ să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

8. Folosind formula $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+\cdots +b^{n-1}\right)$, arată că $4^n-1$ se divide cu $3$ pentru orice $n\ge 1$.

9. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $|2x-1|+|x+3|=8$.

10. Calculează $\left[\sqrt{50}\right]$ și $\left\{-2,3\right\}$. Apoi rezolvă ecuația $\left[\frac{x}{2}\right]=3$.

11. Studiază paritatea funcțiilor $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x$ și $g(x)=x^4+|x|$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x$, este injectivă."

13. Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $g(x)=x^2+1$. Determină $f\circ g$ și $g\circ f$, apoi rezolvă ecuația $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$.

14. Arată că $f:[2,\infty )\to [-1,\infty )$, $f(x)=x^2-4x+3$, este bijectivă și determină $f^{-1}$.

15. (Problemă aplicată.) Un dreptunghi are perimetrul $34$ cm și aria $60$ cm². Determină dimensiunile lui, folosind relațiile lui Viète.

16. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ x^2+y^2=25\end{array}$ în mulțimea numerelor reale.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră ecuația $x^2-(m+2)x+2m=0$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Arată că $x=2$ este soluție pentru orice $m$. b) Determină $m$ pentru care $x_1^2+x_2^2=20$. c) Determină $m$ pentru care ecuația are o rădăcină dublă.

18. (Provocare.) Demonstrează prin inducție că, pentru orice $n\ge 1$, $$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}\ge \sqrt{n}.$$

Răspunsuri și explicații

1. Verificarea: $n=1$: $3\ge 3$ ✓. Pasul: presupunem $3^k\ge 2k+1$. Atunci $3^{k+1}=3\cdot 3^k\ge 3(2k+1)=6k+3=(2k+3)+4k\ge 2k+3=2(k+1)+1$, deoarece $4k\ge 0$. Prin inducție, inegalitatea are loc pentru orice $n\ge 1$.

2. Verificarea: $7^1-1=6$, divizibil cu $6$ ✓. Pasul: presupunem $6\mid 7^k-1$. Atunci $7^{k+1}-1=7\cdot 7^k-7+6=7\left(7^k-1\right)+6$; primul termen e divizibil cu $6$ din ipoteză, al doilea evident, deci suma la fel. (Alternativ, direct din formula $a^n-b^n$: $7-1=6$ divide $7^n-1^n$.)

3. Fals. Fără etapa de verificare, lanțul de implicații nu pornește. Contraexemplu: $P(n)$: „$1+2+\cdots +n=\frac{n^2+n+2}{2}$" are pasul inductiv corect, dar $P(1)$ ar cere $1=2$. Un pas inductiv corect transmite adevărul, nu îl creează.

4. Presupunem prin absurd $a^2+b^2<2$. Din inegalitatea mediilor sau direct din $(a-b{)}^2\ge 0$ avem $2\left(a^2+b^2\right)\ge (a+b{)}^2=4$, deci $a^2+b^2\ge 2$ — contradicție cu presupunerea. Prin urmare $a^2+b^2\ge 2$, cu egalitate doar pentru $a=b=1$.

5. Termenii: $3,5,9,17,33$. Scăzând $1$: $2,4,8,16,32$, deci conjectura este $a_n=2^n+1$. Verificarea: $a_1=2+1=3$ ✓. Pasul: $a_{k+1}=2\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+1$ ✓. Prin inducție, $a_n=2^n+1$ pentru orice $n\ge 1$.

6. Condiția de progresie aritmetică: $2(x+3)=(x-1)+(3x+1)$, adică $2x+6=4x$, deci $x=3$. Numerele sunt $2$, $6$, $10$ — progresie cu rația $4$ ✓.

7. Condiția: $(x+3{)}^2=x(x+9)$, adică $x^2+6x+9=x^2+9x$, deci $3x=9$ și $x=3$. Numerele sunt $3$, $6$, $12$, cu rația $q=2$ ✓. (Verifică și că toți termenii sunt nenuli, cum cere caracterizarea geometrică.)

8. Cu $a=4$, $b=1$: $4^n-1=4^n-1^n=(4-1)\left(4^{n-1}+4^{n-2}+\cdots +1\right)=3\cdot N$, unde $N$ este un număr natural. Deci $3\mid 4^n-1$ pentru orice $n\ge 1$.

9. Puncte critice: $x=\frac{1}{2}$ și $x=-3$. Pe $\left(-\infty ,-3\right)$: $-(2x-1)-(x+3)=8\Rightarrow -3x-2=8\Rightarrow x=-\frac{10}{3}$, care aparține intervalului ✓. Pe $\left[-3,\frac{1}{2}\right)$: $-(2x-1)+(x+3)=8\Rightarrow -x+4=8\Rightarrow x=-4$, care nu aparține intervalului — se respinge. Pe $\left[\frac{1}{2},\infty \right)$: $(2x-1)+(x+3)=8\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$ ✓. Soluțiile: $x\in \left\{-\frac{10}{3},2\right\}$.

10. $7<\sqrt{50}<8$ (căci $49<50<64$), deci $\left[\sqrt{50}\right]=7$. Pentru $-2,3$: $\left[-2,3\right]=-3$, deci $\left\{-2,3\right\}=-2,3+3=0,7$. Ecuația: $\left[\frac{x}{2}\right]=3⟺3\le \frac{x}{2}<4⟺x\in [6,8)$.

11. Ambele domenii sunt simetrice față de $0$. $f(-x)=-x^3+3x=-f(x)$, deci $f$ este impară. $g(-x)=x^4+|-x|=x^4+|x|=g(x)$, deci $g$ este pară. Graficul lui $f$ este simetric față de origine, al lui $g$ față de axa $Oy$.

12. Fals. $f(0)=0$ și $f(2)=4-4=0$, deci două valori distincte ale argumentului dau aceeași imagine. Funcția nu este nici surjectivă: $f(x)=(x-1{)}^2-1\ge -1$, deci $\mathrm{Im}f=[-1,\infty )\ne \mathbb{R}$.

13. $(f\circ g)(x)=f\left(x^2+1\right)=2x^2+1$; $(g\circ f)(x)=g(2x-1)=(2x-1{)}^2+1=4x^2-4x+2$. Ecuația: $2x^2+1=4x^2-4x+2⟺2x^2-4x+1=0$, cu $\Delta =8$, deci $x_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{4}=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. (Rezultatul confirmă că, în general, $f\circ g\ne g\circ f$.)

14. Forma canonică: $f(x)=(x-2{)}^2-1$, cu vârful $V(2,-1)$; pe $[2,\infty )$ funcția e strict crescătoare, deci injectivă. Pentru $y\ge -1$, ecuația $(x-2{)}^2=y+1$ dă $x=2+\sqrt{y+1}\ge 2$, deci $f$ e și surjectivă. Așadar $f^{-1}:[-1,\infty )\to [2,\infty )$, $f^{-1}(y)=2+\sqrt{y+1}$. Verificare: $f\left(2+\sqrt{y+1}\right)=y+1-1=y$ ✓.

15. Dacă $L$ și $\ell$ sunt dimensiunile, atunci $L+\ell =17$ și $L\ell =60$. Ele sunt rădăcinile ecuației $z^2-17z+60=0$, cu $\Delta =289-240=49$, deci $z_{1,2}=\frac{17\pm 7}{2}$: dimensiunile sunt $12$ cm și $5$ cm. Verificare: perimetrul $2(12+5)=34$ ✓, aria $12\cdot 5=60$ ✓.

16. Sistemul e simetric. Cu $s=x+y=7$ și $p=xy$: din $x^2+y^2=s^2-2p=25$ rezultă $49-2p=25$, deci $p=12$. Numerele $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $z^2-7z+12=0$, adică $3$ și $4$ (condiția $s^2-4p=1\ge 0$ e îndeplinită). Soluțiile: $(3,4)$ și $(4,3)$.

17. a) $2^2-(m+2)\cdot 2+2m=4-2m-4+2m=0$ pentru orice $m$ ✓; cealaltă rădăcină este $m$ (din $P=2m$). b) $S=m+2$, $P=2m$, deci $x_1^2+x_2^2=(m+2{)}^2-4m=m^2+4=20$, de unde $m^2=16$ și $m\in \{-4,4\}$; ambele dau $\Delta \ge 0$ (rădăcinile sunt $2$ și $4$, respectiv $2$ și $-4$) ✓. c) Rădăcină dublă înseamnă $\Delta =0$: $(m+2{)}^2-8m=m^2-4m+4=(m-2{)}^2=0$, deci $m=2$ (rădăcina dublă este $x=2$).

18. Verificarea: $n=1$: $1\ge 1$ ✓. Pasul: presupunem $S_k\ge \sqrt{k}$. Atunci $S_{k+1}=S_k+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\ge \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}$. Rămâne de arătat că $\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\ge \sqrt{k+1}$, adică $\frac{1}{\sqrt{k+1}}\ge \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$. Raționalizând membrul drept, $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$, iar inegalitatea devine $\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\ge \sqrt{k+1}$, evident adevărată. Prin inducție, inegalitatea are loc pentru orice $n\ge 1$.

De reținut

• Metoda se citește din enunț: „pentru orice $n$" cheamă inducția, „nu există / este irațional / este imposibil" cheamă reducerea la absurd, iar o identitate fixă se rezolvă prin calcul direct. Prima decizie a unei probleme de sinteză este alegerea metodei.
• De la recurență la formulă drumul are trei pași obligatorii: calculezi termeni, conjecturezi, demonstrezi prin inducție. Conjectura singură nu este demonstrație, oricâți termeni ar acoperi.
• O funcție este tripletul (domeniu, codomeniu, lege). Injectivitatea, surjectivitatea și existența inversei depind de toate trei; aceeași formulă poate da o funcție bijectivă sau nu, după cum alegi domeniul.
• La ecuația cu parametru, ordinea aduce puncte: întâi $\Delta \ge 0$, apoi cerința tradusă prin $S$ și $P$, la final intersecția mulțimilor de valori. Expresiile simetrice se calculează prin $S$ și $P$, fără a rezolva ecuația.
• La radicali, lanțul nu se rupe: condiții de existență $\to$ echivalența $\sqrt{A}=B⟺B\ge 0$ și $A=B^2$ $\to$ rezolvare $\to$ verificare. La ordinul $3$ nu se pun condiții și nu apar soluții străine.

Greșeli frecvente

• Inducție fără verificare sau cu verificarea făcută la rangul greșit. La inegalități, rangul de pornire se caută (de exemplu $2^n>n^2$ pornește abia de la $n=5$), nu se presupune că e $1$.
• Negație greșită la reducerea la absurd. Negația lui „$a=0$ sau $b=0$" este „$a\ne 0$ și $b\ne 0$", nu „$a\ne 0$ sau $b\ne 0$". Scrie negația explicit înainte de orice calcul.
• Se sare condiția $\Delta \ge 0$ la problemele cu parametru. Rezultatul: valori ale parametrului pentru care „rădăcinile" $x_1$ și $x_2$ nu există, deci relațiile lui Viète nu au sens.
• Se declară o funcție injectivă „pentru că e de gradul al doilea pe un interval" fără a preciza intervalul. Fără domeniu explicit, afirmația nu se poate nici demonstra, nici infirma.
• Soluții străine nediscutate la radicali. După ridicarea la pătrat, orice soluție trebuie verificată în ecuația inițială — ridicarea la pătrat nu este o echivalență, ci doar o implicație.

Aplică acasă

1. Fișa de o pagină. Ia o coală A4 și scrie, din memorie, cele patru tabele ale lecției: semnalele care aleg metoda de demonstrație, cele două caracterizări ale progresiilor, expresiile simetrice prin $S$ și $P$, pozițiile dreptei față de parabolă. Verifică apoi cu lecția și marchează cu roșu ce ai uitat — acelea sunt exact temele de reluat.

2. Recurența din viața ta. Alege o situație reală cu regulă de trecere: soldul unui cont din care retragi lunar o sumă fixă după ce ți se adaugă dobândă, sau numărul de mesaje dintr-un grup care se dublează și mai crește cu câteva. Scrie relația de recurență, calculează cinci termeni, conjecturează formula și demonstreaz-o prin inducție.

3. Un enunț, trei întrebări. Ia orice funcție de gradul al doilea din caiet și construiește singur, în scris, un enunț în trei puncte, ca la Bacalaureat: a) o valoare calculată, b) o cerință cu Viète, c) o cerință de intersecție cu o dreaptă. Apoi rezolvă-l ca și cum l-ar fi dat altcineva și compară cu baremul pe care l-ai gândit când l-ai scris.

Pentru părinți și profesori

Lecția este o recapitulare de sinteză, nu o reluare liniară: ea reașază conținutul mate-info al anului (metode de demonstrație, șiruri, funcții, ecuații de gradul al doilea, radicali) în jurul deciziilor pe care le ia elevul când citește un enunț. De aceea tabelele au rol de instrument, nu de decor — ele răspund la întrebarea „ce fac primul?", care este exact ceea ce deosebește un elev antrenat de unul care știe teoria fără să o poată porni.

Ce verifică lecția: dacă elevul redactează complet o inducție (verificare, ipoteză, pas, concluzie); dacă neagă corect un enunț la reducerea la absurd; dacă stabilește domeniul înainte de a discuta paritatea sau injectivitatea; dacă impune $\Delta \ge 0$ înainte de a folosi Viète; dacă verifică soluțiile la ecuațiile cu radicali. Întrebări bune de control: „De ce nu poți spune dacă $f(x)=x^2$ e injectivă, fără alte precizări?"; „Ce condiție trebuie pusă înainte să scrii $S$ și $P$?"; „De unde apar soluțiile străine la o ecuație cu radical?".

Semne că a înțeles: recunoaște singur, dintr-un enunț nou, ce capitol i se cere; explică de ce pasul inductiv fără verificare nu demonstrează nimic; calculează $x_1^3+x_2^3$ fără să rezolve ecuația. La Bacalaureatul M1, aceste conținuturi apar la subiectul de algebră aproape în fiecare sesiune — funcții cu domeniu restrâns și inversă, ecuații cu parametru și relațiile lui Viète, iar inducția ca metodă de demonstrație atât la șiruri, cât mai târziu la puteri de matrice.

Întrebări frecvente

Ce se recapitulează la mate-info în plus față de trunchiul comun? Stratul CS al clasei a IX-a: metodele de demonstrație (inducția matematică și reducerea la absurd), șirurile date prin recurență și caracterizarea progresiilor, proprietățile funcțiilor (paritate, mărginire, convexitate, injectivitate, surjectivitate, compunere, inversă), relațiile lui Viète cu sisteme de gradul al doilea și ecuațiile cu radicali.

Cum îmi dau seama dacă o problemă cere inducție sau reducere la absurd? Din formulare. „Demonstrați că, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, …" cere aproape sigur inducție. „Arătați că nu există…", „demonstrați că numărul este irațional", „arătați că mulțimea este infinită" cer reducere la absurd. Dacă enunțul nu conține $n$ și nici o negație, este de obicei calcul direct.

Care este ordinea corectă la o problemă cu parametru? Întâi condiția de existență a rădăcinilor reale, $\Delta \ge 0$; apoi scrii $S$ și $P$ din Viète și traduci cerința în funcție de ele; abia la final intersectezi mulțimea de valori obținută cu mulțimea din prima condiție. Dacă inversezi pașii, riști să propui valori pentru care ecuația nu are rădăcini reale.

De ce trebuie să verific soluțiile la ecuațiile cu radicali? Pentru că ridicarea la pătrat nu este o echivalență: din $A=B$ rezultă $A^2=B^2$, dar reciproca dă $A=B$ sau $A=-B$. Valorile care satisfac a doua variantă sunt soluțiile străine. Verificarea în ecuația inițială este singura care le elimină sigur.

Când are o funcție inversă? Exact atunci când este bijectivă, adică injectivă și surjectivă simultan. De aceea, la orice cerință „determinați $f^{-1}$", primul lucru pe care îl scrii este demonstrația bijectivității; abia apoi rezolvi $y=f(x)$ în raport cu $x$.

Cum trec de la o relație de recurență la formula termenului general? Calculezi primii patru-cinci termeni, cauți un tipar (compară cu puteri, pătrate, progresii), formulezi conjectura și o demonstrezi prin inducție. Fără ultimul pas ai doar o observație, nu un rezultat demonstrat.

Ce înseamnă că o dreaptă este tangentă unei parabole? Că ecuația de intersecție $a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0$ are discriminantul zero, deci o rădăcină dublă: dreapta și parabola au un singur punct comun, cu abscisa $\frac{m-b}{2a}$. Dacă discriminantul e pozitiv, dreapta e secantă; dacă e negativ, nu se intersectează.

Cât de mult contează redactarea la o problemă de sinteză? Enorm. Baremul acordă puncte pe pași: condiția de existență, relațiile lui Viète scrise corect, ecuația obținută, verificarea. Un elev care scrie ordonat pașii ia punctajul parțial chiar dacă greșește calculul final; unul care scrie doar rezultatul poate rămâne fără puncte, chiar dacă rezultatul este corect.