Recapitulare mate-info: trigonometrie și relații metrice

Un triunghi are șase elemente: trei laturi și trei unghiuri. Dintre ele, trei bine alese determină complet figura — restul se calculează. Toată a doua jumătate a anului de matematică-informatică a fost, în fond, răspunsul la o singură întrebare: cum calculezi ce nu ai măsurat. Un topograf care vede două borne și cunoaște un unghi, un inginer care verifică o fermă de acoperiș, un program care randează o scenă 3D — toți folosesc exact formulele pe care le recapitulăm aici.

Drumul a avut două etaje. Întâi ai construit aparatul de calcul: formulele pentru sumă și diferență, unghiul dublu și cel pe jumătate, transformarea sumelor în produse, funcțiile inverse și ecuațiile trigonometrice. Apoi ai pus aparatul la treabă în triunghiul oarecare: teorema sinusurilor, teorema cosinusului, formulele ariei, razele cercurilor înscris și circumscris, relația lui Stewart, teoremele lui Menelaus și Ceva. Recapitularea aceasta le pune față în față și, mai ales, te învață cum alegi instrumentul potrivit datelor din enunț — pentru că la o problemă de sinteză aceea este decizia care contează.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești tabelul complet al formulelor trigonometrice — sumă, diferență, unghi dublu, unghi pe jumătate, sumă $\leftrightarrow$ produs — și să recunoști care formulă simplifică o expresie dată.
• Vei ști să lucrezi corect cu funcțiile trigonometrice inverse, respectând domeniile și codomeniile lor restrânse.
• Vei ști să rezolvi ecuații trigonometrice: elementare, reductibile la ecuații algebrice și de tipul $a\sin x+b\cos x=c$.
• Vei ști să rezolvi un triunghi oarecare în toate cazurile clasice (LUL, LLL, ULU) și să alegi între teorema sinusurilor și teorema cosinusului.
• Vei ști să calculezi aria, raza cercului circumscris și raza cercului înscris cu formula cea mai economică pentru datele pe care le ai.
• Vei ști să aplici relația lui Stewart, teorema lui Menelaus și teorema lui Ceva la lungimi de ceviene, coliniaritate și concurență.

Hai să descoperim împreună

1. Harta capitolului: de la cerc la triunghi

Tot ce ai învățat se așază pe două coloane care se întâlnesc la final:

Coloana din stânga este algebră deghizată: identități, ecuații, funcții inverse. Coloana din dreapta este geometrie care se rezolvă prin calcul. Punctul de întâlnire este teorema sinusurilor, care leagă o latură de unghiul opus și de raza cercului circumscris — prima formulă din matematica ta care traduce direct „lungime" în „unghi".

2. Tabelul formulelor: aparatul complet

Acestea sunt formulele pe care trebuie să le scrii din memorie, fără ezitare. Sunt demonstrate în Formulele pentru sumă și diferență, Formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate și Transformarea sumelor în produse.

Atenție la semnul încrucișat de la cosinus: la $\cos (a+b)$ apare minus, la $\cos (a-b)$ apare plus — exact invers față de sinus. Este cea mai frecventă greșeală de memorie a capitolului, iar un singur semn schimbat strică tot exercițiul.

Regula practică de utilizare: dacă expresia conține sume de unghiuri diferite, o desfaci cu formulele de adunare; dacă vrei să factorizezi o expresie ca să rezolvi o ecuație, treci de la sume la produse; dacă apar pătrate de sinus sau cosinus, folosește formulele unghiului pe jumătate ca să cobori gradul.

3. Funcțiile inverse: fiecare cu casa ei

Funcțiile trigonometrice nu sunt injective pe $\mathbb{R}$, deci se inversează doar pe intervale alese anume. Tabelul acesta se învață exact, pentru că majoritatea greșelilor vin din ignorarea codomeniului:

Relațiile de reținut: $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$ pentru orice $x\in [-1,1]$ și $\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}$ pentru orice $x$ real.

Capcana clasică: $\arcsin \left(\sin \frac{3\pi }{4}\right)$ nu este $\frac{3\pi }{4}$, pentru că $\frac{3\pi }{4}$ nu aparține codomeniului lui $\arcsin$. Se calculează întâi $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, apoi $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$. Regula: $\arcsin (\sin t)=t$ doar dacă $t\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Recitește Funcțiile arcsinus și arccosinus și Funcțiile arctangentă și arccotangentă.

4. Ecuații trigonometrice: trei tipuri, trei strategii

Elementare. Soluțiile generale, din Ecuații trigonometrice elementare: $$\sin x=a,|a|\le 1:x=(-1{)}^k\arcsin a+k\pi ,k\in \mathbb{Z};$$ $$\cos x=a,|a|\le 1:x=\pm \arccos a+2k\pi ,k\in \mathbb{Z};\mathrm{tg}x=a:x=\mathrm{arctg}a+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$ Reține de ce diferă: sinusul ia aceeași valoare în două puncte simetrice față de axa verticală, cosinusul în două puncte simetrice față de axa orizontală, iar tangenta are perioada $\pi$, nu $2\pi$ — vezi și periodicitatea funcțiilor trigonometrice.

Reductibile la algebrice. Aduci totul la o singură funcție trigonometrică, folosind ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, apoi notezi $t=\sin x$ (sau $t=\cos x$) și rezolvi o ecuație de gradul al doilea. Nu uita condiția $|t|\le 1$: rădăcinile din afara acestui interval se resping.

De tipul $a\sin x+b\cos x=c$. Metoda unghiului auxiliar: împarți prin $\sqrt{a^2+b^2}$ și obții $$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}},$$ adică $\sin (x+\phi )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, unde $\phi$ este unghiul cu $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ și $\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Ecuația are soluții dacă și numai dacă $a^2+b^2\ge c^2$ — o condiție care se verifică din prima privire. Detaliile sunt în Ecuații trigonometrice reductibile.

5. Cele două teoreme mari ale triunghiului

Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, unde $R$ este raza cercului circumscris — vezi Teorema sinusurilor.

Teorema cosinusului: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, cu varianta pentru unghiuri $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ — vezi Teorema cosinusului. Latura calculată și unghiul din formulă sunt mereu opuse, iar Pitagora este cazul particular $A=90^{\circ }$.

Alegerea între ele se face după datele din enunț, și acesta este tabelul de decizie al întregii geometrii din clasa a IX-a:

Metoda completă de lucru este descrisă în Rezolvarea triunghiurilor oarecare. Un reflex util: după orice calcul de latură, verifică inegalitatea triunghiului; după orice calcul de unghi, verifică dacă suma unghiurilor poate da $180^{\circ }$.

6. Aria și razele: patru formule pentru același număr

Aria unui triunghi se poate scrie în patru feluri, iar alegerea celui potrivit face diferența dintre trei rânduri și o pagină de calcul:

Aici $p=\frac{a+b+c}{2}$ este semiperimetrul. Ultimele două formule se citesc și invers, ca definiții de lucru pentru raze: $R=\frac{abc}{4S}$ și $r=\frac{S}{p}$ — vezi Aria triunghiului și Razele cercurilor înscris și circumscris.

Exemplul care merită memorat este triunghiul cu laturile $13$, $14$, $15$: $p=21$, deci $S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$, apoi $R=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{65}{8}$ și $r=\frac{84}{21}=4$. Trei numere întregi la intrare, trei rezultate curate la ieșire — un test rapid pentru orice formulă de care nu ești sigur.

7. Ceviene: Stewart, Menelaus, Ceva

Ultimele trei teoreme ale anului privesc segmente care pleacă dintr-un vârf spre latura opusă (ceviene) sau drepte care taie laturile.

Relația lui Stewart. Dacă $D\in (BC)$ cu $BD=m$, $DC=n$ și $AD=d$, atunci $$b^{2}m+c^{2}n=a\left(d^2+mn\right),\text{unde }a=m+n.$$ Din ea se obțin, ca simple cazuri particulare, lungimea medianei $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ și, împreună cu teorema bisectoarei $\frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}$, lungimea bisectoarei $l_a^2=bc-mn$. Sunt în Teorema bisectoarei și relația lui Stewart.

Teorema lui Menelaus (coliniaritate). Dacă o transversală taie dreptele $BC$, $CA$, $AB$ în $M$, $N$, respectiv $P$, atunci $$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1.$$

Teorema lui Ceva (concurență). Cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente dacă și numai dacă $$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1.$$

Produsul este același; ce le deosebește este paritatea numărului de puncte situate în afara laturilor: un număr impar (unu sau trei) înseamnă că punctele sunt coliniare — cazul Menelaus; un număr par (zero sau două) înseamnă că cevienele sunt concurente — cazul Ceva. De aceea reciprocele se enunță întotdeauna cu condiția de paritate alături de egalitatea produsului. Detaliile în Teorema lui Menelaus și Teorema lui Ceva.

8. Cum atacă un elev antrenat o problemă de sinteză

Ordinea deciziilor, la orice problemă de triunghi:

1. Desenează figura, la scară aproximativă, și trece pe ea toate datele.
2. Numără ce știi: trei elemente independente înseamnă triunghi determinat.
3. Alege teorema din tabelul de la punctul 5, după tipul datelor.
4. Calculează ce lipsește, verificând la fiecare pas plauzibilitatea (inegalitatea triunghiului, suma unghiurilor, $|\cos |\le 1$).
5. Treci la arie și raze doar la final, cu formula cea mai directă pentru datele obținute.

Regula de aur a capitolului: dacă un cosinus îți iese în afara intervalului $[-1,1]$, nu ai greșit formula — ai date imposibile sau o eroare de calcul mai devreme.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Formule de adunare cu semne discutate

Se știe că $\sin a=\frac{3}{5}$, cu $a$ în cadranul I, și $\cos b=-\frac{5}{13}$, cu $b$ în cadranul II. Calculați $\sin (a+b)$, $\cos (a-b)$ și $\mathrm{tg}(a+b)$.

Rezolvare. Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}a=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$; cum $a$ e în cadranul I, $\cos a=\frac{4}{5}$. Analog ${\sin }^{2}b=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, iar în cadranul II sinusul e pozitiv, deci $\sin b=\frac{12}{13}$. $$\sin (a+b)=\frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}=-\frac{15}{65}+\frac{48}{65}=\frac{33}{65};$$ $$\cos (a-b)=\frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=-\frac{20}{65}+\frac{36}{65}=\frac{16}{65};$$ $$\cos (a+b)=-\frac{20}{65}-\frac{36}{65}=-\frac{56}{65},\text{deci}\mathrm{tg}(a+b)=\frac{33/65}{-56/65}=-\frac{33}{56}.$$ Semnul negativ al tangentei e coerent: $\sin (a+b)>0$ și $\cos (a+b)<0$ plasează $a+b$ în cadranul II.

Exemplul 2 — Ecuație reductibilă la gradul al doilea

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $2{\cos }^{2}x-3\sin x=0$.

Rezolvare. Înlocuim ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$: $$2\left(1-{\sin }^{2}x\right)-3\sin x=0⟺2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0.$$ Notăm $t=\sin x$, cu $t\in [-1,1]$: $2t^2+3t-2=0$, $\Delta =9+16=25$, deci $t_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$, adică $t=\frac{1}{2}$ sau $t=-2$. A doua valoare se respinge, fiind în afara intervalului $[-1,1]$.

Rămâne $\sin x=\frac{1}{2}$, cu soluțiile $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ și $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (echivalent, $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi$).

Exemplul 3 — Ecuație de tip $a\sin x+b\cos x=c$

Rezolvați ecuația $\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$.

Rezolvare. Aici $a=\sqrt{3}$, $b=1$, deci $\sqrt{a^2+b^2}=2$, iar condiția $a^2+b^2\ge c^2$ devine $4\ge 1$ ✓. Împărțim prin $2$: $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{2}⟺\cos \frac{\pi }{6}\sin x+\sin \frac{\pi }{6}\cos x=\frac{1}{2}⟺\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}.$$ Deci $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $x+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, de unde $x=2k\pi$ sau $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Verificare: pentru $x=0$: $0+1=1$ ✓; pentru $x=\frac{2\pi }{3}$: $\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ ✓.

Exemplul 4 — Triunghi rezolvat complet

Într-un triunghi $ABC$ se cunosc $a=7$, $b=5$, $c=3$. Calculați $\cos A$, aria, raza cercului circumscris și raza cercului înscris.

Rezolvare. Verificăm întâi inegalitatea triunghiului: $5+3=8>7$ ✓.

Unghiul $A$ (teorema cosinusului, cazul LLL): $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+9-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}\Rightarrow A=120^{\circ }.$$ Cosinusul negativ confirmă că unghiul opus celei mai mari laturi este obtuz.

Aria: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$.

Raza circumscrisă: $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\sqrt{3}/2}=\frac{14}{\sqrt{3}}$, deci $R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.

Raza înscrisă: $p=\frac{7+5+3}{2}=\frac{15}{2}$, deci $r=\frac{S}{p}=\frac{15\sqrt{3}/4}{15/2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Control cu Heron: $S=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{675}{16}}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$ ✓ — două drumuri, același rezultat.

Exemplul 5 — Mediana și bisectoarea, prin Stewart

În triunghiul $ABC$ cu $a=5$, $b=6$, $c=4$, calculați lungimea medianei și a bisectoarei din $A$.

Rezolvare. Mediana ($m=n=\frac{5}{2}$, caz particular al relației lui Stewart): $$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{72+32-25}{4}=\frac{79}{4}\Rightarrow m_a=\frac{\sqrt{79}}{2}.$$

Bisectoarea. Din teorema bisectoarei, $\frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, iar $BD+DC=5$, deci $BD=2$ și $DC=3$. Atunci $$l_a^2=bc-BD\cdot DC=6\cdot 4-6=18\Rightarrow l_a=3\sqrt{2}.$$ Control de plauzibilitate: dintre cele trei ceviene duse din același vârf are loc mereu $h_a\le {\ell }_a\le m_a$, cu egalitate doar când $b=c$. Aici ${\ell }_a=3\sqrt{2}\approx 4,24$ și $m_a=\frac{\sqrt{79}}{2}\approx 4,44$, deci ${\ell }_a<m_a$ ✓ — triunghiul fiind neisoscel, inegalitatea este strictă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=8$, $AC=5$ și $m(\sphericalangle A)=60^{\circ }$. a) Calculați lungimea laturii $BC$. b) Calculați aria triunghiului $ABC$. c) Calculați razele cercurilor circumscris și înscris triunghiului.

Rezolvare. a) Cazul LUL, deci teorema cosinusului cu $c=AB=8$, $b=AC=5$: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49\Rightarrow BC=7.$$

b) $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$.

c) Din teorema sinusurilor, $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\sqrt{3}/2}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$, deci $R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$. Pentru raza înscrisă, $p=\frac{7+8+5}{2}=10$, deci $$r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}.$$ Control: $R\ge 2r$ ✓, inegalitate valabilă în orice triunghi. Verificare suplimentară cu $R=\frac{abc}{4S}=\frac{7\cdot 5\cdot 8}{40\sqrt{3}}=\frac{280}{40\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La problemele de geometrie fă întâi desenul și trece pe el datele — jumătate din greșeli dispar din momentul în care figura e corectă.

1. Calculează $\sin 75^{\circ }$ folosind formula sinusului sumei.

2. Calculează $\mathrm{tg}15^{\circ }$ folosind formula tangentei diferenței. Ce legătură are rezultatul cu $\mathrm{tg}75^{\circ }$?

3. Se știe că $\sin a=\frac{3}{5}$, cu $a$ în cadranul I. Calculează $\sin 2a$ și $\cos 2a$.

4. Transformă în produs expresia $\sin 3x+\sin x$ și deduce de aici soluțiile ecuației $\sin 3x+\sin x=0$.

5. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos 2x=\frac{1}{2}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\arcsin \left(\sin \frac{3\pi }{4}\right)=\frac{3\pi }{4}$."

8. Calculează $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$, $\mathrm{arctg}\left(-\sqrt{3}\right)$ și $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$.

9. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $2{\sin }^{2}x+3\cos x-3=0$.

10. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$.

11. Într-un triunghi se cunosc $a=5$, $b=8$ și $m(\sphericalangle C)=60^{\circ }$. Calculează latura $c$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un triunghi în care $a=6$ și $m(\sphericalangle A)=30^{\circ }$, raza cercului circumscris este $6$."

13. (Problemă aplicată.) Un teren are forma unui triunghi cu laturile de $13$ m, $14$ m și $15$ m. Calculează aria terenului, raza cercului circumscris și raza cercului înscris.

14. În triunghiul cu $a=7$, $b=5$, $c=3$ calculează lungimea medianei din $A$ și lungimea bisectoarei din $A$.

15. În triunghiul $ABC$, punctele $M\in (BC)$ și $N\in (CA)$ verifică $\frac{MB}{MC}=\frac{2}{3}$ și $\frac{NC}{NA}=\frac{3}{4}$. Determină raportul $\frac{PA}{PB}$, cu $P\in (AB)$, pentru ca cevienele $AM$, $BN$, $CP$ să fie concurente.

16. În triunghiul $ABC$, $P\in (AB)$ cu $\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$ și $N\in (AC)$ cu $\frac{AN}{NC}=\frac{3}{2}$. Dreapta $PN$ intersectează dreapta $BC$ în $M$. Calculează $\frac{MB}{MC}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=3$, $AC=5$ și $m(\sphericalangle A)=120^{\circ }$. a) Calculează $BC$. b) Calculează aria triunghiului. c) Calculează raza cercului înscris.

18. (Provocare.) Demonstrează că, într-un triunghi în care niciun unghi nu este drept, are loc identitatea $$\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B+\mathrm{tg}C=\mathrm{tg}A\cdot \mathrm{tg}B\cdot \mathrm{tg}C.$$

Răspunsuri și explicații

1. $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. (Aceeași valoare o are și $\cos 15^{\circ }$, pentru că unghiurile sunt complementare.)

2. $\mathrm{tg}15^{\circ }=\mathrm{tg}(45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$ (după raționalizare cu conjugata). Legătura: $\mathrm{tg}75^{\circ }=\frac{1}{\mathrm{tg}15^{\circ }}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$, pentru că unghiurile sunt complementare.

3. $\cos a=\frac{4}{5}$ (cadranul I). Atunci $\sin 2a=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$ și $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$. Control: ${\left(\frac{24}{25}\right)}^2+{\left(\frac{7}{25}\right)}^2=\frac{576+49}{625}=1$ ✓.

4. $\sin 3x+\sin x=2\sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}=2\sin 2x\cos x$. Ecuația devine $2\sin 2x\cos x=0$, deci $\sin 2x=0$ sau $\cos x=0$, adică $x=\frac{k\pi }{2}$ sau $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; a doua familie e inclusă în prima, deci $x=\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

5. $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$, deci $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ sau $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (echivalent, $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{3}+k\pi$).

6. $2x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, deci $x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Atenție: împărțind prin $2$, perioada devine $\pi$, nu $2\pi$.

7. Fals. $\frac{3\pi }{4}$ nu aparține codomeniului $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ al funcției arcsinus. Corect: $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\arcsin \left(\sin \frac{3\pi }{4}\right)=\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$.

8. $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$ (în $[0,\pi ]$); $\mathrm{arctg}\left(-\sqrt{3}\right)=-\frac{\pi }{3}$ (în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$); $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$. Observă că arccosinusul unei valori negative e obtuz, în timp ce arcsinusul și arctangenta unei valori negative sunt negative.

9. $2\left(1-{\cos }^{2}x\right)+3\cos x-3=0⟺2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0$. Cu $t=\cos x$: $\Delta =1$, $t\in \left\{1,\frac{1}{2}\right\}$, ambele în $[-1,1]$. Din $\cos x=1$: $x=2k\pi$; din $\cos x=\frac{1}{2}$: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

10. $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2\ge |c|=1$ ✓. Împărțim prin $2$: $\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}$, adică $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. Deci $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, de unde $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ sau $x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$. Verificare pentru $x=\frac{\pi }{2}$: $1-0=1$ ✓.

11. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$, deci $c=7$. Inegalitatea triunghiului se verifică: $5+7>8$ ✓.

12. Adevărat. Din teorema sinusurilor, $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{1/2}=12$, deci $R=6$. (Coincidența $R=a$ apare atunci când $2\sin A=1$, adică pentru $A=30^{\circ }$ sau $A=150^{\circ }$ — încă un caz în care sinusul nu distinge unghiurile suplementare.)

13. $p=\frac{13+14+15}{2}=21$. Heron: $S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$ m². Apoi $R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{336}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8,125$ m și $r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4$ m.

14. Mediana: $m_a^2=\frac{2\cdot 25+2\cdot 9-49}{4}=\frac{19}{4}$, deci $m_a=\frac{\sqrt{19}}{2}$. Bisectoarea: $\frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}=\frac{3}{5}$ și $BD+DC=7$, deci $BD=\frac{21}{8}$, $DC=\frac{35}{8}$; atunci $l_a^2=bc-BD\cdot DC=15-\frac{735}{64}=\frac{225}{64}$, deci $l_a=\frac{15}{8}$.

15. Teorema lui Ceva: $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1$, adică $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{PA}{PB}=1$, deci $\frac{1}{2}\cdot \frac{PA}{PB}=1$ și $\frac{PA}{PB}=2$. (Toate cele trei puncte sunt pe laturi — zero puncte exterioare, număr par, deci configurația este într-adevăr de tip Ceva.)

16. Din $\frac{AN}{NC}=\frac{3}{2}$ rezultă $\frac{NC}{NA}=\frac{2}{3}$. Teorema lui Menelaus pentru triunghiul $ABC$ cu transversala $M$–$N$–$P$: $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{NC}{NA}\cdot \frac{PA}{PB}=1$, adică $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=1$, deci $\frac{MB}{MC}=3$. (Punctul $M$ se află pe prelungirea laturii $BC$, nu între $B$ și $C$ — un singur punct exterior, număr impar, semn distinctiv al configurației Menelaus.)

17. a) $B{C}^2=9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=34+15=49$, deci $BC=7$. (Cosinusul lui $120^{\circ }$ este negativ, deci termenul se adaugă.) b) $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{15}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$. c) $p=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}$, deci $r=\frac{S}{p}=\frac{15\sqrt{3}/4}{15/2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

18. Din $A+B+C=\pi$ rezultă $A+B=\pi -C$, deci $\mathrm{tg}(A+B)=\mathrm{tg}(\pi -C)=-\mathrm{tg}C$. Pe de altă parte, $\mathrm{tg}(A+B)=\frac{\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B}{1-\mathrm{tg}A\mathrm{tg}B}$. Egalând, $$\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B=-\mathrm{tg}C\left(1-\mathrm{tg}A\mathrm{tg}B\right)=-\mathrm{tg}C+\mathrm{tg}A\mathrm{tg}B\mathrm{tg}C,$$ de unde, mutând termenul, $\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B+\mathrm{tg}C=\mathrm{tg}A\mathrm{tg}B\mathrm{tg}C$. $■$ (Condiția ca niciun unghi să nu fie drept asigură existența tuturor tangentelor, iar $1-\mathrm{tg}A\mathrm{tg}B\ne 0$ rezultă din faptul că $A+B\ne \frac{\pi }{2}$ când $C\ne \frac{\pi }{2}$.)

De reținut

• Formulele de adunare sunt matricea întregului capitol: din ele ies unghiul dublu (cu $b=a$), unghiul pe jumătate și transformările sumă $\leftrightarrow$ produs. La cosinus semnul e încrucișat: minus la sumă, plus la diferență.
• Funcțiile inverse trăiesc pe intervale restrânse: $\arcsin$ în $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, $\arccos$ în $[0,\pi ]$, $\mathrm{arctg}$ în $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Simplificarea $\arcsin (\sin t)=t$ este valabilă numai dacă $t$ se află în codomeniu.
• Ecuațiile trigonometrice au trei tipare: elementare (formulele generale de soluții), reductibile (notezi $t=\sin x$ sau $t=\cos x$ și impui $|t|\le 1$), respectiv $a\sin x+b\cos x=c$ (unghi auxiliar, cu condiția de existență $a^2+b^2\ge c^2$).
• Alegerea teoremei se face după date: LUL și LLL cer teorema cosinusului, ULU și LLU cer teorema sinusurilor. Aceasta din urmă dă și raza cercului circumscris, prin $\frac{a}{\sin A}=2R$.
• Aria are patru formule ($\frac{a{h}_a}{2}$, $\frac{1}{2}ab\sin C$, Heron, $\frac{abc}{4R}=pr$), iar din ultimele două se citesc direct razele: $R=\frac{abc}{4S}$ și $r=\frac{S}{p}$. Pentru ceviene: Stewart (lungimi), Menelaus (coliniaritate), Ceva (concurență).

Greșeli frecvente

• Semnul greșit la $\cos (a+b)$. Formula este $\cos a\cos b-\sin a\sin b$; scriind plus obții un rezultat plauzibil, dar fals — și greșeala nu se vede la control, pentru că mărimea rezultatului rămâne rezonabilă. Recită formula înainte de a o folosi.
• Se uită discuția semnului când se calculează $\cos a$ din $\sin a$. Formula fundamentală dă doar pătratul; cadranul indicat în enunț decide semnul. Fără el, jumătate din rezultate sunt greșite.
• Soluții pierdute la ecuațiile elementare. $\cos x=a$ are două familii de soluții, $\pm \arccos a+2k\pi$; scriind doar una, pierzi jumătate din soluții. La $\sin x=a$, cele două familii sunt $\arcsin a+2k\pi$ și $\pi -\arcsin a+2k\pi$.
• Se aplică teorema sinusurilor la cazul LUL. Cu două laturi și unghiul dintre ele nu ai nicio pereche „latură–unghi opus", deci teorema sinusurilor nu pornește; se folosește teorema cosinusului.
• Se confundă Menelaus cu Ceva. Produsul celor trei rapoarte este identic în ambele teoreme și egal cu $1$; ce le deosebește este configurația, adică paritatea numărului de puncte aflate în afara laturilor: impar la Menelaus (coliniaritate), par la Ceva (ceviene concurente). Fără desen, cele două se amestecă inevitabil.

Aplică acasă

1. Fișa de formule de o pagină. Scrie din memorie, pe o singură coală, tabelul formulelor trigonometrice și tabelul de decizie al triunghiului. Verifică apoi cu lecția și notează, într-un colț, doar formulele pe care le-ai greșit — ele sunt fișa ta de recapitulare pentru ultima seară dinaintea lucrării.

2. Măsoară un triunghi real. Alege trei repere din curte sau din cartier (un stâlp, un copac, un colț de clădire), măsoară cu pasul cele trei distanțe și calculează unghiurile cu teorema cosinusului, apoi aria cu formula lui Heron. Compară aria obținută cu estimarea făcută dintr-o hartă digitală — vei vedea cât de bine funcționează matematica pe teren.

3. Triunghiul 13–14–15. Refă complet, fără să te uiți în lecție, calculul ariei, al lui $R$ și al lui $r$ pentru acest triunghi, apoi calculează și cele trei înălțimi din $S=\frac{a{h}_a}{2}$. Este cel mai bun test de autoevaluare al capitolului: dacă toate ies numere frumoase, formulele sunt așezate.

Pentru părinți și profesori

Lecția recapitulează stratul de matematică-informatică al trigonometriei și al geometriei metrice: formulele avansate, funcțiile inverse, ecuațiile trigonometrice, teoremele sinusurilor și cosinusului, ariile, razele cercurilor și teoremele despre ceviene. Accentul nu cade pe memorare, ci pe decizie: din ce date se aplică ce teoremă. Tabelele din secțiunile 5 și 6 au exact acest rol și merită folosite ca instrument de lucru, nu ca listă de învățat pe de rost.

Ce verifică lecția: dacă elevul scrie corect formulele de adunare (cu semnul încrucișat la cosinus); dacă discută semnul funcției trigonometrice după cadran; dacă respectă codomeniile funcțiilor inverse; dacă alege teorema potrivită cazului (LUL, LLL, ULU); dacă verifică plauzibilitatea rezultatelor (inegalitatea triunghiului, $|\cos |\le 1$, $r<R$). Întrebări bune de control: „De ce nu poți folosi teorema sinusurilor când ai două laturi și unghiul dintre ele?"; „Cât este $\arccos \left(\cos \frac{7\pi }{4}\right)$ și de ce nu $\frac{7\pi }{4}$?"; „Câte familii de soluții are $\cos x=\frac{1}{2}$?".

Semne că a înțeles: rezolvă complet un triunghi fără să întrebe ce formulă urmează; verifică singur rezultatul cu o a doua formulă (de exemplu aria prin Heron după ce a calculat-o cu sinus); explică diferența dintre Menelaus și Ceva arătând pe desen. La Bacalaureatul M1, aceste conținuturi apar constant la subiectul de geometrie și trigonometrie: rezolvarea unui triunghi, calculul ariei și al razelor, identități trigonometrice de demonstrat și ecuații trigonometrice simple.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele trigonometrice pe care trebuie neapărat să le știu pe de rost? Cele de adunare pentru sinus, cosinus și tangentă, formulele unghiului dublu și formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Din ele se pot reconstrui, la nevoie, formulele unghiului pe jumătate și transformările sumă $\leftrightarrow$ produs, deci sunt „nucleul" care merită memorat cu adevărat.

Când folosesc teorema sinusurilor și când teorema cosinusului? Teorema cosinusului se folosește când ai două laturi și unghiul dintre ele (afli a treia latură) sau când ai toate trei laturile (afli unghiurile). Teorema sinusurilor se folosește când ai o pereche completă „latură – unghi opus": atunci poți afla orice altă latură sau unghi, precum și raza cercului circumscris.

Cum aflu raza cercului circumscris unui triunghi? Cel mai rapid, din teorema sinusurilor: $R=\frac{a}{2\sin A}$, unde $a$ și $A$ sunt o latură și unghiul opus ei. Dacă știi cele trei laturi, calculezi aria cu formula lui Heron și apoi $R=\frac{abc}{4S}$.

Cum aflu raza cercului înscris? Cu $r=\frac{S}{p}$, unde $S$ este aria și $p=\frac{a+b+c}{2}$ semiperimetrul. Formula vine din descompunerea triunghiului în trei triunghiuri cu vârful în centrul cercului înscris, toate de înălțime $r$.

De ce $\arcsin (\sin x)$ nu este întotdeauna $x$? Pentru că arcsinusul returnează valori doar din intervalul $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Dacă $x$ nu se află acolo, rezultatul este acel număr din interval care are același sinus ca $x$. De exemplu, $\arcsin \left(\sin \frac{3\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}$.

Ce fac dacă o ecuație trigonometrică are și sinus, și cosinus? Ai două căi. Dacă apar doar la puteri pare, înlocuiești cu formula fundamentală și obții o ecuație de gradul al doilea într-o singură funcție. Dacă apar la puterea întâi, ca în $a\sin x+b\cos x=c$, folosești metoda unghiului auxiliar, împărțind prin $\sqrt{a^2+b^2}$.

Când se aplică teorema lui Menelaus și când cea a lui Ceva? Ambele au același produs de rapoarte, egal cu $1$; configurația decide. Menelaus se aplică unei drepte care taie dreptele suport ale laturilor, lăsând un număr impar de puncte în afara laturilor, și se folosește pentru coliniaritate. Ceva se aplică la trei ceviene, cu un număr par de puncte exterioare, și se folosește pentru concurență sau pentru a afla un raport necunoscut.

Cum verific rapid că nu am greșit un calcul într-un triunghi? Trei controale iau zece secunde: laturile respectă inegalitatea triunghiului; orice cosinus calculat este în intervalul $[-1,1]$; cea mai mare latură se opune celui mai mare unghi. În plus, aria calculată în două moduri diferite trebuie să dea același rezultat — este cel mai sigur test.