Recapitulare: relații metrice în triunghiul dreptunghic și trigonometrie

Ai ajuns la una dintre cele mai puternice lecții de geometrie din clasa a VII-a. Când constructorii ridică un acoperiș, când marinarii calculează distanța până la un far sau când un designer de jocuri video plasează un personaj în spațiu, toți folosesc, fără să știe uneori, aceleași relații metrice în triunghiul dreptunghic pe care le recapitulăm aici. În această lecție strângem la un loc teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora și rapoartele trigonometrice, ca să le poți folosi cu încredere la orice problemă și să intri pregătit în clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici teorema înălțimii și teorema catetei pentru a afla înălțimea, proiecțiile și catetele unui triunghi dreptunghic.
• Vei ști să folosești teorema lui Pitagora și reciproca ei pentru a calcula laturi și pentru a verifica dacă un triunghi este dreptunghic.
• Vei ști să calculezi sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic.
• Vei ști pe de rost și vei folosi valorile trigonometrice ale unghiurilor de 30°, 45° și 60°.
• Vei ști să rezolvi triunghiul dreptunghic: să afli toate laturile și toate unghiurile pornind de la datele cunoscute.

Hai să descoperim împreună

Această lecție este o recapitulare, deci vom reașeza ordonat tot ce ai învățat în capitolul despre relații metrice și trigonometrie. Vom lucra mereu cu același tip de figură: un triunghi dreptunghic. Hai să fixăm mai întâi notațiile, pentru că notația corectă este jumătate din reușită.

1. Figura de bază și denumirile

Considerăm triunghiul $ABC$ cu unghiul drept în $A$, adică $m(\angle A)=90°$. Atunci:

• Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză. Aici ipotenuza este $BC$ (cea mai lungă latură).
• Celelalte două laturi, $AB$ și $AC$, se numesc catete.
• Din vârful unghiului drept $A$ coborâm înălțimea $AD$ pe ipotenuză, unde $D\in BC$ și $AD\perp BC$.
• Punctul $D$ împarte ipotenuza în două segmente: $BD$ și $DC$. Acestea sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză: $BD$ este proiecția catetei $AB$, iar $DC$ este proiecția catetei $AC$.

Ține minte această imagine, pentru că toate cele patru teoreme metrice se citesc de pe ea. Practic, înălțimea $AD$ împarte triunghiul mare $ABC$ în două triunghiuri mai mici, $ABD$ și $ACD$, care sunt asemenea cu triunghiul mare și între ele (ai demonstrat acest lucru în lecția despre asemănarea triunghiurilor). Din această asemănare se nasc, ca dintr-un izvor, toate relațiile metrice.

2. Teorema înălțimii

Teorema înălțimii. Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei la pătrat este egală cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

$$A{D}^2=BD\cdot DC$$

Cu alte cuvinte, dacă știi cât de mult „mușcă" fiecare catetă din ipotenuză (adică proiecțiile $BD$ și $DC$), poți afla imediat înălțimea. O formulă-soră, foarte utilă, leagă înălțimea de catete și de ipotenuză:

$$AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}$$

Aceasta se obține din faptul că aria triunghiului se poate scrie în două feluri: fie $\frac{AB\cdot AC}{2}$ (cateta ori cateta, împărțit la 2, pentru că sunt perpendiculare), fie $\frac{BC\cdot AD}{2}$ (ipotenuza ori înălțimea corespunzătoare ei). Egalând cele două exprimări, obținem formula de mai sus. Poți revedea detaliile în lecția Teorema înălțimii.

Mini-exemplu. Dacă $BD=4$ și $DC=9$, atunci $A{D}^2=4\cdot 9=36$, deci $AD=6$.

3. Teorema catetei

Teorema catetei. Într-un triunghi dreptunghic, o catetă la pătrat este egală cu produsul dintre proiecția ei pe ipotenuză și ipotenuză.

$$A{B}^2=BD\cdot BC\text{și}A{C}^2=DC\cdot BC$$

Observă simetria frumoasă: fiecare catetă „se sprijină" pe propria proiecție. Cateta $AB$ merge cu proiecția $BD$, iar cateta $AC$ merge cu proiecția $DC$. Amândouă se înmulțesc cu aceeași ipotenuză $BC$.

Mini-exemplu. Dacă $BD=4$ și $BC=13$, atunci $A{B}^2=4\cdot 13=52$, deci $AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ (am scos factorii de sub radical, ca în lecția scoaterea factorilor de sub radical).

4. Teorema lui Pitagora și reciproca ei

Teorema lui Pitagora. Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.

$$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$$

Este cea mai cunoscută teoremă din matematică. Un mod simpatic de a o „redescoperi" din teorema catetei: adunăm cele două relații ale catetei.

$$A{B}^2+A{C}^2=BD\cdot BC+DC\cdot BC=BC\cdot (BD+DC)=BC\cdot BC=B{C}^2,$$

pentru că $BD+DC=BC$ (proiecțiile umplu toată ipotenuza). Vezi ce elegant se leagă totul între ele?

Reciproca teoremei lui Pitagora. Dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii celei mai lungi.

Reciproca este instrumentul tău de „detectiv": îți spune dacă un triunghi are sau nu un unghi de $90°$, folosind doar lungimile laturilor. Reține regula practică: iei latura cea mai mare, o ridici la pătrat și compari cu suma pătratelor celorlalte două.

• Dacă sunt egale $\Rightarrow$ triunghi dreptunghic.
• Dacă latura mare la pătrat este mai mare $\Rightarrow$ triunghi obtuzunghic.
• Dacă latura mare la pătrat este mai mică $\Rightarrow$ triunghi ascuțitunghic.

5. Rapoartele trigonometrice ale unui unghi ascuțit

Până acum am lucrat doar cu lungimi. Trigonometria adaugă ceva nou: leagă unghiurile de rapoartele laturilor. Fixăm în triunghiul $ABC$ (dreptunghic în $A$) unghiul ascuțit $B$. Față de acest unghi:

• $AC$ este cateta opusă (stă „în fața" unghiului $B$),
• $AB$ este cateta alăturată (formează unghiul $B$ împreună cu ipotenuza),
• $BC$ este ipotenuza.

Definim cele patru rapoarte trigonometrice:

$$\sin B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{AC}{BC}$$

$$\cos B=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{AB}{BC}$$

$$\mathrm{tg}B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}=\frac{AC}{AB}$$

$$\mathrm{ctg}B=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{cateta opusa˘}}=\frac{AB}{AC}$$

Un truc de memorare foarte folosit este cuvântul SOH-CAH-TOA: Sin = Opusă/ipotenuză, Cos = Alăturată/ipotenuză, Tg = Opusă/Alăturată (litera H vine din engleză, de la hypotenuse — ipotenuză). Pentru cotangentă, ține minte doar că este „răsturnata" tangentei: $\mathrm{ctg}B=\frac{1}{\mathrm{tg}B}$.

Câteva observații care te scapă de multe greșeli:

1. Rapoartele sin și cos sunt totdeauna numere între $0$ și $1$, pentru că o catetă este mereu mai scurtă decât ipotenuza.
2. Rapoartele nu depind de mărimea triunghiului, ci doar de măsura unghiului. Două triunghiuri dreptunghice cu același unghi ascuțit sunt asemenea, deci au aceleași rapoarte de laturi. Aici se vede legătura directă cu asemănarea triunghiurilor.
3. Pentru cele două unghiuri ascuțite $B$ și $C$ ale aceluiași triunghi (care sunt complementare, adică $m(\angle B)+m(\angle C)=90°$), avem $\sin B=\cos C$ și $\cos B=\sin C$. Ce este opus pentru un unghi este alăturat pentru celălalt.

6. Valorile trigonometrice ale unghiurilor de 30°, 45° și 60°

Există trei unghiuri „vedetă" ale căror valori trebuie să le știi pe de rost. Ele apar în aproape orice problemă (pentru că triunghiul echilateral aduce $30°$ și $60°$, iar pătratul aduce $45°$). Iată tabelul de aur:

Truc de memorare: pentru sinusul unghiurilor $30°,45°,60°$ scrii $\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$, adică $\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$ — numerele $1,2,3$ apar sub radical, în ordine! Cosinusul este exact la fel, dar de la $60°$ spre $30°$ (invers), pentru că unghiurile sunt complementare.

Aceste valori nu sunt „inventate", ci se citesc de pe două figuri simple. Dintr-un triunghi echilateral cu latura $2$, dacă îl tăiem cu o înălțime, obținem un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $2$, o catetă $1$ (jumătatea bazei) și unghiuri de $30°$ și $60°$. Cealaltă catetă este, prin Pitagora, $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. De aici: $\sin 30°=\frac{1}{2}$ (opusa lui $30°$ împărțită la ipotenuză) și $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Dintr-un pătrat cu latura $1$, o diagonală îl împarte în două triunghiuri dreptunghice isoscele cu catete $1$ și $1$ și ipotenuză $\sqrt{2}$; unghiurile ascuțite sunt de $45°$, iar $\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (după raționalizarea numitorului). Dacă înțelegi de unde vin, nu le vei mai încurca niciodată.

7. Rezolvarea triunghiului dreptunghic

„A rezolva un triunghi" înseamnă a-i afla toate laturile și toate unghiurile. Într-un triunghi dreptunghic pornim mereu de la faptul că un unghi este deja $90°$, iar celelalte două se adună tot la $90°$. Ai la dispoziție trei „unelte":

• Teorema lui Pitagora — când cunoști două laturi și vrei a treia.
• Rapoartele trigonometrice — când amesteci un unghi cu o latură.
• Suma unghiurilor — $m(\angle B)+m(\angle C)=90°$, ca să afli ușor al doilea unghi ascuțit.

Strategia generală: notează ce ți se dă, decide care unealtă leagă datele cunoscute de necunoscută și aplic-o. Vom exersa din plin în secțiunile următoare. Poți relua metoda pas cu pas în lecția Rezolvarea triunghiului dreptunghic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate elementele dintr-un triunghi dreptunghic (relații metrice)

Fie triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=90°$, $AB=3$ și $AC=4$. Coborâm înălțimea $AD\perp BC$. Aflați $BC$, $AD$, $BD$ și $DC$.

Rezolvare.

Pasul 1 — ipotenuza (Pitagora). $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=9+16=25\Rightarrow BC=5.$$

Pasul 2 — înălțimea (aria dublă / formula-soră). $$AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}=2,4.$$

Pasul 3 — proiecțiile (teorema catetei). $$A{B}^2=BD\cdot BC\Rightarrow 9=BD\cdot 5\Rightarrow BD=\frac{9}{5}=1,8,$$ $$A{C}^2=DC\cdot BC\Rightarrow 16=DC\cdot 5\Rightarrow DC=\frac{16}{5}=3,2.$$

Verificare. $BD+DC=1,8+3,2=5=BC$ ✓ și $A{D}^2=BD\cdot DC=1,8\cdot 3,2=5,76=2,4^2$ ✓.

Exemplul 2 — Lucrăm invers, pornind de la o proiecție

În triunghiul $MNP$ dreptunghic în $M$, înălțimea $MQ$ cade pe ipotenuza $NP$. Se știe că $NP=25$ și $NQ=9$. Aflați catetele $MN$, $MP$, proiecția $QP$ și înălțimea $MQ$.

Rezolvare.

Cateta MN (teorema catetei): $M{N}^2=NQ\cdot NP=9\cdot 25=225\Rightarrow MN=15.$

Cealaltă proiecție: $QP=NP-NQ=25-9=16.$

Cateta MP (teorema catetei): $M{P}^2=QP\cdot NP=16\cdot 25=400\Rightarrow MP=20.$

Înălțimea (teorema înălțimii): $M{Q}^2=NQ\cdot QP=9\cdot 16=144\Rightarrow MQ=12.$

Verificare cu Pitagora: $M{N}^2+M{P}^2=225+400=625=25^2=N{P}^2$ ✓.

Exemplul 3 — Reciproca teoremei lui Pitagora

Verificați dacă triunghiurile de mai jos sunt dreptunghice: a) laturi $8$, $15$, $17$; b) laturi $7$, $10$, $12$.

Rezolvare. Luăm mereu latura cea mai mare și o comparăm cu suma pătratelor celorlalte două.

a) Latura mare $17$: $17^2=289$. Suma: $8^2+15^2=64+225=289$. Sunt egale $\Rightarrow$ triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii de $17$.

b) Latura mare $12$: $12^2=144$. Suma: $7^2+10^2=49+100=149$. Cum $144<149$, triunghiul nu este dreptunghic; el este ascuțitunghic (latura mare la pătrat este mai mică decât suma).

Exemplul 4 — Rapoartele trigonometrice ale unui unghi

În triunghiul $ABC$ cu $m(\angle A)=90°$ avem $AB=8$ și $AC=6$. Calculați $\sin B$, $\cos B$, $\mathrm{tg}B$ și $\mathrm{ctg}B$.

Rezolvare. Întâi ipotenuza: $BC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.$

Față de unghiul $B$: cateta opusă este $AC=6$, cateta alăturată este $AB=8$, ipotenuza $BC=10$.

$$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},$$ $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},\mathrm{ctg}B=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

Observație frumoasă: ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B={\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1$. Această egalitate este mereu adevărată și vine direct din teorema lui Pitagora.

Exemplul 5 — Rezolvarea triunghiului cu un unghi de 30°

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, are $m(\angle B)=30°$, iar cateta opusă unghiului $B$ este $AC=4$. Aflați ipotenuza $BC$, cealaltă catetă $AB$ și măsura unghiului $C$.

Rezolvare.

Ipotenuza (folosim sinusul): $\sin B=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \sin 30°=\frac{4}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{4}{BC}\Rightarrow BC=8.$

Cealaltă catetă (Pitagora): $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}.$

Unghiul C: $m(\angle C)=90°-30°=60°.$

Triunghiul este complet rezolvat: laturi $4$, $4\sqrt{3}$, $8$ și unghiuri $30°$, $60°$, $90°$.

Exemplul 6 — Problemă aplicată: scara sprijinită de perete

O scară de $6$ m este sprijinită de un perete vertical și face cu solul un unghi de $60°$. La ce înălțime pe perete ajunge capătul de sus al scării și la ce distanță de perete se află piciorul scării? (Rezultatele aproximate cu $\sqrt{3}\approx 1,73$.)

Rezolvare. Scara, peretele și solul formează un triunghi dreptunghic: scara este ipotenuza ($6$ m), înălțimea pe perete este cateta opusă unghiului de $60°$, iar distanța până la perete este cateta alăturată.

Înălțimea pe perete: $\sin 60°=\frac{h}{6}\Rightarrow h=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx 3\cdot 1,73=5,19\text{ m}.$

Distanța până la perete: $\cos 60°=\frac{d}{6}\Rightarrow d=6\cdot \frac{1}{2}=3\text{ m}.$

Scara ajunge la aproximativ $5,19$ m înălțime, iar piciorul ei este la $3$ m de perete.

Exemplul 7 — Aflarea unui unghi dintr-un raport cunoscut

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ avem $AC=5$ și ipotenuza $BC=10$. Cât măsoară unghiul $B$? Dar unghiul $C$?

Rezolvare. Față de unghiul $B$, latura $AC$ este cateta opusă, iar $BC$ este ipotenuza, deci:

$$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$$

Ne uităm în tabelul de aur: singurul unghi ascuțit al cărui sinus este $\frac{1}{2}$ este $30°$. Prin urmare $m(\angle B)=30°$. Cum unghiurile ascuțite se adună la $90°$, obținem $m(\angle C)=90°-30°=60°$.

Reține ideea: când un raport trigonometric îți iese egal cu una dintre valorile de aur ($\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$, $\sqrt{3}$ etc.), poți „citi invers" tabelul și afli direct unghiul, fără niciun calcul suplimentar.

Să exersăm

Rezolvă în ordine, de la ușor la greu. Fă mereu un desen la problemele de geometrie și verifică rezultatele.

1. Enunță cu cuvintele tale teorema catetei și teorema înălțimii. Pe ce figură se aplică fiecare?

2. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ avem $AB=6$ și $AC=8$. Calculează ipotenuza $BC$.

3. Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $BD=4$ și $DC=16$. Află înălțimea $AD$ corespunzătoare ipotenuzei.

4. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $BD=9$ este proiecția catetei $AB$, iar ipotenuza este $BC=25$. Află cateta $AB$.

5. Verifică, folosind reciproca teoremei lui Pitagora, dacă triunghiul cu laturile $9$, $12$, $15$ este dreptunghic.

6. Este dreptunghic un triunghi cu laturile $5$, $6$, $8$? Dacă nu, precizează ce fel de triunghi este (ascuțitunghic sau obtuzunghic).

7. În triunghiul $DEF$ dreptunghic în $D$ avem $DE=5$ și $DF=12$. Calculează ipotenuza $EF$ și apoi $\sin E$, $\cos E$, $\mathrm{tg}E$.

8. Completează, fără să te uiți în tabel: $\sin 45°=\dots$, $\cos 60°=\dots$, $\mathrm{tg}30°=\dots$, $\mathrm{ctg}60°=\dots$.

9. Calculează valoarea expresiei $E=\sin 30°+\cos 60°+\mathrm{tg}45°$.

10. Calculează $F=\mathrm{tg}60°\cdot \mathrm{ctg}60°$ și $G={\sin }^{2}60°+{\cos }^{2}60°$. Ce observi?

11. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\angle B)=30°$ și ipotenuza $BC=12$. Află catetele $AB$ și $AC$.

12. Adevărat sau fals (justifică): „Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit poate fi egal cu $1,2$."

13. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă $m(\angle B)=40°$, atunci $\sin B=\cos 50°$."

14. Într-un triunghi echilateral cu latura $6$ cm, calculează lungimea înălțimii. (Indicație: înălțimea împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice cu un unghi de $30°$.)

15. Un pătrat are latura de $5$ cm. Cât măsoară diagonala lui? Ce unghi face diagonala cu o latură?

16. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $m(\angle C)=45°$ și cateta $AB=7$, rezolvă triunghiul (află toate laturile și unghiurile).

17. Un stâlp vertical aruncă o umbră de $10$ m pe sol atunci când razele soarelui fac cu solul un unghi de $60°$. Ce înălțime are stâlpul? (Folosește $\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}\approx 1,73$.)

18. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, înălțimea $AD=6$ și proiecția $BD=4$. Află proiecția $DC$, apoi ipotenuza $BC$ și catetele $AB$, $AC$.

19. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ se știe că $\sin B=\frac{3}{5}$ și ipotenuza $BC=20$. Află catetele $AB$ și $AC$.

20. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ avem $AB=6$ și ipotenuza $BC=12$. Cât măsoară unghiul $B$? (Indicație: calculează întâi $\cos B$ și citește invers tabelul.)

Răspunsuri și explicații

1. Teorema catetei: cateta la pătrat = proiecția ei pe ipotenuză × ipotenuza ($A{B}^2=BD\cdot BC$). Teorema înălțimii: înălțimea din unghiul drept la pătrat = produsul proiecțiilor ($A{D}^2=BD\cdot DC$). Ambele se aplică pe un triunghi dreptunghic în care s-a coborât înălțimea din unghiul drept pe ipotenuză.

2. $BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$

3. $A{D}^2=BD\cdot DC=4\cdot 16=64\Rightarrow AD=8.$

4. $A{B}^2=BD\cdot BC=9\cdot 25=225\Rightarrow AB=15.$

5. Latura mare este $15$: $15^2=225$. Suma: $9^2+12^2=81+144=225$. Egale $\Rightarrow$ este dreptunghic (unghiul drept este opus laturii de $15$).

6. Latura mare $8$: $8^2=64$. Suma: $5^2+6^2=25+36=61$. Cum $64>61$, triunghiul nu este dreptunghic; fiind latura mare la pătrat mai mare decât suma, este obtuzunghic.

7. $EF=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$ Față de unghiul $E$: cateta opusă $DF=12$, alăturată $DE=5$, ipotenuza $EF=13$. Deci $\sin E=\frac{12}{13}$, $\cos E=\frac{5}{13}$, $\mathrm{tg}E=\frac{12}{5}$.

8. $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\cos 60°=\frac{1}{2}$; $\mathrm{tg}30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\mathrm{ctg}60°=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

9. $E=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2.$

10. $F=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$. $G={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$. Observăm că tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt inverse (produs $1$), iar ${\sin }^2+{\cos }^2$ al aceluiași unghi dă mereu $1$.

11. Cateta opusă unghiului de $30°$ este $AC$: $\sin 30°=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AC}{12}\Rightarrow AC=6$. Cealaltă catetă: $AB=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$. (Verificare: $\cos 30°=\frac{AB}{12}=\frac{6\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.)

12. Fals. Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre o catetă și ipotenuză, iar cateta este mereu mai mică decât ipotenuza. Deci $0<\sin <1$; nu poate fi $1,2$.

13. Adevărat. Unghiurile de $40°$ și $50°$ sunt complementare ($40°+50°=90°$), iar sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său: $\sin 40°=\cos 50°$.

14. Înălțimea cade pe mijlocul bazei, formând un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $6$ și o catetă (jumătatea bazei) egală cu $3$. Înălțimea: $h=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ cm. (Sau direct: $h=6\cdot \sin 60°=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm.)

15. Diagonala împreună cu două laturi formează un triunghi dreptunghic isoscel: $d=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ cm. Unghiul dintre diagonală și o latură este de $45°$ (triunghi dreptunghic isoscel).

16. Unghiul drept în $A$, $m(\angle C)=45°\Rightarrow m(\angle B)=45°$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel, cu catetele egale: $AC=AB=7$. Ipotenuza: $BC=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$. Laturi: $7$, $7$, $7\sqrt{2}$; unghiuri: $45°$, $45°$, $90°$.

17. Stâlpul (înălțimea $h$) este cateta opusă unghiului de $60°$, umbra ($10$ m) este cateta alăturată: $\mathrm{tg}60°=\frac{h}{10}\Rightarrow h=10\cdot \sqrt{3}=10\sqrt{3}\approx 17,3$ m.

18. Teorema înălțimii: $A{D}^2=BD\cdot DC\Rightarrow 36=4\cdot DC\Rightarrow DC=9$. Ipotenuza: $BC=BD+DC=4+9=13$. Catete (teorema catetei): $AB=\sqrt{BD\cdot BC}=\sqrt{4\cdot 13}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$; $AC=\sqrt{DC\cdot BC}=\sqrt{9\cdot 13}=3\sqrt{13}$. (Verificare Pitagora: $A{B}^2+A{C}^2=52+117=169=13^2$ ✓.)

19. Față de unghiul $B$, cateta opusă este $AC$: $\sin B=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{AC}{20}\Rightarrow AC=12$. Cealaltă catetă (Pitagora): $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$. (Verificare: $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$, iar ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓.)

20. Față de unghiul $B$, cateta alăturată este $AB$: $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Citim invers tabelul: unghiul ascuțit cu cosinusul $\frac{1}{2}$ este $60°$, deci $m(\angle B)=60°$.

De reținut

• Teorema înălțimii: $A{D}^2=BD\cdot DC$ (înălțimea la pătrat = produsul proiecțiilor). Formula-soră: $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}$.
• Teorema catetei: $A{B}^2=BD\cdot BC$ și $A{C}^2=DC\cdot BC$ (cateta la pătrat = proiecția ei × ipotenuza).
• Teorema lui Pitagora: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$. Reciproca verifică dacă un triunghi e dreptunghic comparând latura mare la pătrat cu suma celorlalte.
• Rapoarte trigonometrice (față de un unghi ascuțit): $\sin =\frac{\text{opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\cos =\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\mathrm{tg}=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}$, $\mathrm{ctg}=\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{opusa˘}}$.
• Valori de aur: $\sin 30°=\frac{1}{2}$, $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\mathrm{tg}45°=1$; și mereu ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Greșeli frecvente

• Confuzia proiecției cu cateta. În teorema catetei, cateta se sprijină pe proiecția ei, nu pe cealaltă proiecție: $A{B}^2=BD\cdot BC$, pentru că $BD$ este proiecția lui $AB$. Verifică mereu care segment „stă sub" care catetă.
• Aplicarea lui Pitagora la un triunghi oarecare. Teorema lui Pitagora și rapoartele trigonometrice funcționează numai în triunghi dreptunghic. Fără unghi drept, formulele nu se aplică. Asigură-te că ai identificat unghiul de $90°$.
• Amestecarea „opusei" cu „alăturata". Aceeași catetă este opusă pentru un unghi și alăturată pentru celălalt. Alege întâi unghiul, apoi hotărăște ce e opus și ce e alăturat față de el.
• Uitarea că $\sin$ și $\cos$ sunt subunitare. Dacă îți iese $\sin =2$ sau $\cos =1,5$, ai greșit sigur: aceste rapoarte sunt totdeauna între $0$ și $1$ pentru un unghi ascuțit.

Aplică acasă

1. Măsoară un colț real. Alege o cutie sau o carte dreptunghiulară, măsoară cele două laturi cu rigla, apoi calculează cu teorema lui Pitagora lungimea diagonalei. Verifică măsurând direct diagonala cu rigla — cât de aproape ai nimerit?

2. Înălțimea unui copac fără să-l urci. Într-o zi însorită, măsoară lungimea umbrei unui copac (sau a unui stâlp). Cu un raportor improvizat, estimează unghiul razelor soarelui față de sol. Folosește $\text{ıˆna˘lțime}=\text{umbra˘}\cdot \mathrm{tg}(\text{unghi})$ pentru a afla înălțimea. Compară cu o estimare „din ochi".

3. Rampa pentru bicicletă. Desenează o rampă care urcă $30$ cm pe verticală pe o distanță orizontală de $40$ cm. Calculează lungimea reală a suprafeței rampei (ipotenuza) cu Pitagora și estimează unghiul pe care îl face rampa cu solul, comparând $\mathrm{tg}$ obținut cu valorile din tabel (între ce unghiuri „de aur" se află?).

Pentru părinți și profesori

Această lecție adună tot capitolul de relații metrice și trigonometrie, așa că cel mai bun sprijin este să-l ajutați pe elev să aleagă unealta potrivită, nu să memoreze rețete. Puneți întrebarea-cheie: „Ce știi și ce vrei să afli?" — apoi „Ce formulă leagă exact aceste mărimi?".

Câteva întrebări de verificare care arată dacă a înțeles cu adevărat:

• „Arată-mi pe desen care este proiecția catetei $AB$." (dacă indică corect $BD$, a înțeles teorema catetei)
• „De ce nu poate fi $\sin$ mai mare decât $1$?" (răspunsul corect leagă cateta de ipotenuză)
• „Fără tabel, cât e $\cos 30°$? Dar $\sin 60°$? De ce sunt egale?" (verifică relația de complementaritate)

Semn că stăpânește materia: verifică singur rezultatele cu teorema lui Pitagora la final și își pune întrebarea „are sens numărul acesta?". Încurajați desenul îngrijit — la geometrie, o figură clară previne jumătate din greșeli.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre teorema catetei și teorema înălțimii? Teorema catetei leagă o catetă de proiecția ei și de ipotenuză ($A{B}^2=BD\cdot BC$), pe când teorema înălțimii leagă înălțimea din unghiul drept de cele două proiecții ($A{D}^2=BD\cdot DC$). Prima are ca „vedetă" o catetă, a doua înălțimea.

Cum aflu dacă un triunghi este dreptunghic dacă știu doar laturile? Folosești reciproca teoremei lui Pitagora: iei latura cea mai mare, o ridici la pătrat și compari cu suma pătratelor celorlalte două. Dacă sunt egale, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii celei mai lungi.

Ce înseamnă „cateta opusă" și „cateta alăturată"? Depind de unghiul ales. Cateta opusă unui unghi ascuțit este cea care stă „în fața" lui (nu îl atinge), iar cateta alăturată este cea care formează unghiul împreună cu ipotenuza. Aceeași catetă poate fi opusă pentru un unghi și alăturată pentru celălalt.

Trebuie să învăț pe de rost valorile pentru 30°, 45° și 60°? Da, sunt esențiale și apar în majoritatea problemelor. Un truc: sinusurile lor sunt $\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$ (adică $\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$), iar cosinusurile sunt aceleași valori citite invers.

De ce sinusul și cosinusul sunt totdeauna numere între 0 și 1? Pentru că într-un triunghi dreptunghic orice catetă este mai scurtă decât ipotenuza. Cum $\sin$ și $\cos$ sunt rapoarte catetă/ipotenuză, rezultatul este mereu un număr subunitar pozitiv (pentru un unghi ascuțit).

Ce înseamnă „a rezolva un triunghi dreptunghic"? Înseamnă a afla toate cele trei laturi și toate cele trei unghiuri. Pornești de la unghiul drept cunoscut și combini teorema lui Pitagora, rapoartele trigonometrice și faptul că unghiurile ascuțite se adună la $90°$.

La ce îmi folosește trigonometria în viața reală? La calculul înălțimilor și distanțelor greu de măsurat direct: înălțimea unei clădiri din lungimea umbrei, panta unei rampe sau a unui acoperiș, distanța până la un obiect îndepărtat. Este baza topografiei, a navigației și a graficii pe calculator.

Este trigonometria de la clasa a VII-a grea pentru clasa a VIII-a? Nu, dimpotrivă — este o bază solidă. În clasa a VIII-a vei folosi aceleași relații metrice și rapoarte trigonometrice în geometria în spațiu (piramide, prisme), așa că timpul investit acum îți va aduce roade imediate anul viitor.