Recapitulare: asemănarea triunghiurilor

Cum au măsurat egiptenii înălțimea piramidelor fără să urce pe ele? Cum află un topograf lățimea unui râu fără să treacă apa? Răspunsul la ambele întrebări se ascunde într-o singură idee puternică: asemănarea triunghiurilor. Este momentul să adunăm la un loc tot ce ai învățat în această unitate — teorema lui Thales, criteriile de asemănare, raportul de asemănare și legătura lui cu perimetrele și ariile — și să vedem cum se leagă totul într-o strategie unitară de rezolvare. Această recapitulare te pregătește pentru clasa a VIII-a, unde asemănarea devine unealta principală în relațiile metrice și în geometria în spațiu.

Ce vei învăța

• Vei ști să aplici teorema lui Thales și reciproca ei pentru a lucra cu segmente proporționale și paralele.
• Vei ști să demonstrezi că două triunghiuri sunt asemenea folosind cele trei criterii de asemănare.
• Vei ști să folosești raportul de asemănare pentru a calcula laturi necunoscute, perimetre și arii.
• Vei ști să legi raportul de asemănare $k$ de raportul perimetrelor și de raportul ariilor.
• Vei ști să transformi o situație practică (măsurare indirectă) într-o problemă de asemănare și să o rezolvi.

Hai să descoperim împreună

Această lecție este o recapitulare, așa că vom reaminti definițiile și teoremele cheie, apoi le vom lega între ele. Dacă simți că ai uitat un pas, poți reciti lecțiile detaliate: teorema lui Thales, criteriile de asemănare, teorema fundamentală a asemănării și raportul ariilor a două triunghiuri asemenea.

Pasul 1: Ce înseamnă „segmente proporționale"

Patru segmente de lungimi $a$, $b$, $c$, $d$ se numesc proporționale dacă rapoartele lor sunt egale:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Este exact ideea de proporție pe care o folosești și la procente sau la rețete de gătit, doar că aici mărimile sunt lungimi de segmente. Reține și proprietatea fundamentală a proporțiilor: din $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ rezultă $a\cdot d=b\cdot c$ (produsul mezilor egal cu produsul extremilor). O vom folosi la fiecare pas ca să scăpăm de fracții.

Pasul 2: Teorema lui Thales — inima întregii unități

Teorema lui Thales. O paralelă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale.

Concret: fie triunghiul $ABC$ și o dreaptă $d\parallel BC$ care taie latura $AB$ în $M$ și latura $AC$ în $N$. Atunci:

$$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}.$$

Din această relație de bază se pot scrie și altele echivalente, foarte utile în probleme:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$$

Ultima egalitate (cu $MN$ și $BC$) nu vine direct din teorema lui Thales, ci din teorema fundamentală a asemănării, despre care vorbim la Pasul 4 — dar e comod să le ții minte împreună.

Reciproca teoremei lui Thales. Dacă o dreaptă taie două laturi ale unui triunghi în segmente proporționale (adică $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$), atunci acea dreaptă este paralelă cu a treia latură. Reciproca este unealta prin care demonstrăm că două drepte sunt paralele — foarte des cerută în probleme.

Pasul 3: Ce înseamnă „triunghiuri asemenea"

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au:

1. unghiurile respectiv congruente (aceleași măsuri), și
2. laturile respectiv proporționale.

Scriem $△ABC\sim △DEF$ și, atenție, ordinea literelor contează: ea ne spune care vârf corespunde cu care. Din $△ABC\sim △DEF$ citim:

$$\hat{A}=\hat{D},\hat{B}=\hat{E},\hat{C}=\hat{F}$$

și

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k.$$

Numărul $k$ se numește raport de asemănare. Dacă $k=1$, triunghiurile sunt de fapt congruente (asemănarea este o „congruență la scară"). Dacă $k>1$, primul triunghi este mai mare; dacă $k<1$, primul este mai mic.

O analogie simplă: gândește-te la o fotografie și la aceeași fotografie mărită. Forma e identică, doar dimensiunile s-au înmulțit toate cu același număr. Acel număr este raportul de asemănare.

Pasul 4: Teorema fundamentală a asemănării

Teorema fundamentală a asemănării (T.F.A.). O paralelă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat.

În figura de la Pasul 2, avem $MN\parallel BC$, deci:

$$△AMN\sim △ABC.$$

De aici raportul de asemănare este $k=\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Această teoremă transformă orice configurație „paralelă la o latură" într-o pereche de triunghiuri asemenea — de aceea este atât de folosită.

Pasul 5: Criteriile de asemănare — cum demonstrăm rapid

Ca să arătăm că două triunghiuri sunt asemenea, nu trebuie să verificăm toate cele șase condiții (trei unghiuri + trei rapoarte). Este suficient unul dintre criterii:

• Criteriul UU (unghi–unghi). Dacă două triunghiuri au două perechi de unghiuri respectiv congruente, atunci sunt asemenea. (Al treilea unghi devine automat egal, fiindcă suma unghiurilor e $180°$.) Este cel mai folosit criteriu.
• Criteriul LUL (latură–unghi–latură). Dacă două triunghiuri au un unghi congruent, iar laturile care îl formează sunt respectiv proporționale, atunci sunt asemenea.
• Criteriul LLL (latură–latură–latură). Dacă cele trei perechi de laturi sunt respectiv proporționale, atunci triunghiurile sunt asemenea.

Sfat de strategie: când vezi paralele (sau vrei să creezi paralele), gândește-te la UU — paralelele produc unghiuri congruente (alterne interne sau corespondente). Când ai date multe lungimi, gândește-te la LLL sau LUL.

Două configurații pe care le vei întâlni des. Prima este configurația „triunghi în triunghi" (cea de la Pasul 2): paralela $MN$ este între vârf și bază, iar triunghiul mic $AMN$ stă cuminte în interiorul lui $ABC$. A doua este configurația „în X" (sau „papion"): două drepte se intersectează, iar prin capete trec paralele. Să o privim pe scurt.

Fie $AB$ și $CD$ două segmente care se taie în $O$, cu $AC\parallel BD$. Atunci $△OAC\sim △OBD$, pentru că $\widehat{AOC}=\widehat{BOD}$ (unghiuri opuse la vârf) și $\widehat{OAC}=\widehat{OBD}$ (alterne interne, din paralelism). De aici $\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{BD}$. Recunoașterea rapidă a acestor două „forme" îți economisește mult timp la un test.

Pasul 6: Raportul de asemănare, perimetre și arii

Aici se ascunde una dintre cele mai frumoase legături din geometria clasei a VII-a. Fie $△ABC\sim △DEF$ cu raport de asemănare $k$.

Raportul perimetrelor. Deoarece toate laturile se înmulțesc cu $k$, și suma lor (perimetrul) se înmulțește cu $k$:

$$\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=k.$$

Raportul ariilor. Aria depinde de produsul a două lungimi (de exemplu bază × înălțime), iar înălțimile corespunzătoare se află tot în raportul $k$. De aceea aria se înmulțește cu $k\cdot k=k^2$:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{{\mathcal{A}}_{DEF}}=k^2.$$

Ține minte cu grijă: perimetrul „urmează" pe $k$, aria „urmează" pe $k^2$. Dacă triunghiurile au raportul $k=\frac{3}{2}$, atunci perimetrele sunt în raport $\frac{3}{2}$, dar ariile sunt în raport ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$.

De ce apare pătratul? Imaginează-ți un triunghi pe care îl mărești de $2$ ori. Baza se dublează, dar și înălțimea corespunzătoare se dublează. Aria fiind $\frac{\text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}}{2}$, ea se înmulțește cu $2$ (de la bază) și încă o dată cu $2$ (de la înălțime), adică cu $2\cdot 2=4$. La fel se întâmplă cu orice figură asemenea: dacă lungimile cresc de $k$ ori, „umplerea" bidimensională crește de $k^2$ ori. Aceeași idee explică de ce, la o hartă la scara $1:1000$, o suprafață reală este de $1000^2=1000000$ de ori mai mare decât suprafața de pe hartă. Este o legătură pe care o vei folosi și în clasa a VIII-a la volume, unde apare chiar $k^3$.

Pasul 7: O strategie unitară de rezolvare

Pentru orice problemă de asemănare poți urma acești pași:

1. Fă o figură clară și notează datele (ipoteza) pe ea.
2. Caută triunghiuri asemenea — semnalul cel mai frecvent este o pereche de drepte paralele sau două unghiuri congruente.
3. Justifică asemănarea printr-un criteriu (de obicei UU) sau prin T.F.A.
4. Scrie proporția dintre laturile corespunzătoare, cu atenție la ordine.
5. Rezolvă folosind produsul mezilor și extremilor.
6. Verifică dacă rezultatul are sens (o latură nu poate fi negativă sau mai lungă decât întregul).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Teorema lui Thales, calcul de segment

În triunghiul $ABC$, punctele $M\in AB$ și $N\in AC$ sunt astfel încât $MN\parallel BC$. Se știe că $AM=4$ cm, $MB=6$ cm și $AN=6$ cm. Cât este $NC$?

Rezolvare. Din $MN\parallel BC$, teorema lui Thales dă:

$$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{4}{6}=\frac{6}{NC}.$$

Folosim produsul mezilor și extremilor: $4\cdot NC=6\cdot 6$, deci $4\cdot NC=36$, de unde

$$NC=\frac{36}{4}=9\text{ cm}.$$

Verificare: $\frac{AM}{MB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Rapoartele coincid. ✓

Exemplul 2 — Reciproca teoremei lui Thales (paralel sau nu?)

În triunghiul $ABC$, $M\in AB$ cu $AM=3$, $MB=5$ și $N\in AC$ cu $AN=4,5$, $NC=7,5$. Este $MN\parallel BC$?

Rezolvare. Calculăm cele două rapoarte:

$$\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}=0,6,\frac{AN}{NC}=\frac{4,5}{7,5}=\frac{45}{75}=\frac{3}{5}=0,6.$$

Cum $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, conform reciprocei teoremei lui Thales, dreapta $MN$ este paralelă cu $BC$. ✓

Exemplul 3 — Criteriul UU, calcul de latură

Un stâlp de $2$ m aruncă o umbră de $3$ m. În același moment, un copac aruncă o umbră de $12$ m. Ce înălțime are copacul?

Rezolvare. Razele soarelui cad sub același unghi, iar stâlpul și copacul sunt verticali. Se formează două triunghiuri dreptunghice care au:

• câte un unghi drept (obiectul cu solul),
• unghiul razelor soarelui congruent (aceeași înclinare).

Prin criteriul UU, cele două triunghiuri sunt asemenea. Scriem proporția între laturile corespunzătoare (înălțime la umbră):

$$\frac{\text{ıˆna˘lțime staˆlp}}{\text{umbra˘ staˆlp}}=\frac{\text{ıˆna˘lțime copac}}{\text{umbra˘ copac}}\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{h}{12}.$$

Deci $3h=2\cdot 12=24$, de unde $h=8$ m.

Verificare: $\frac{2}{3}\approx 0,67$ și $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\approx 0,67$. ✓ Copacul are $8$ m.

Exemplul 4 — T.F.A. și raportul de asemănare

În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$ cu $M\in AB$, $N\in AC$. Se dau $AM=5$ cm, $AB=8$ cm și $BC=12$ cm. Calculează $MN$.

Rezolvare. Din $MN\parallel BC$, prin teorema fundamentală a asemănării, $△AMN\sim △ABC$. Raportul de asemănare este

$$k=\frac{AM}{AB}=\frac{5}{8}.$$

Cum $MN$ corespunde lui $BC$, avem $\frac{MN}{BC}=k$, deci:

$$MN=k\cdot BC=\frac{5}{8}\cdot 12=\frac{60}{8}=7,5\text{ cm}.$$

Verificare: $MN=7,5<12=BC$, ceea ce are sens, fiindcă triunghiul mic este cuprins în cel mare. ✓

Exemplul 5 — Raportul perimetrelor și al ariilor

Două triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemănare $k=\frac{3}{5}$. Perimetrul triunghiului mic este $P_1=18$ cm, iar aria triunghiului mare este ${\mathcal{A}}_2=100$ cm². Calculează perimetrul triunghiului mare și aria triunghiului mic.

Rezolvare.

Perimetrul. Raportul perimetrelor este egal cu $k$:

$$\frac{P_1}{P_2}=k=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{18}{P_2}=\frac{3}{5}.$$

Deci $3\cdot P_2=18\cdot 5=90$, de unde $P_2=30$ cm.

Aria. Raportul ariilor este $k^2$:

$$\frac{{\mathcal{A}}_1}{{\mathcal{A}}_2}=k^2={\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}.$$

Așadar $\frac{{\mathcal{A}}_1}{100}=\frac{9}{25}$, deci ${\mathcal{A}}_1=\frac{9\cdot 100}{25}=\frac{900}{25}=36$ cm².

Verificare: triunghiul mic e mai mic, iar $36<100$ ✓, și $18<30$ ✓.

Exemplul 6 — Asemănare din unghiuri comune (configurație clasică)

Fie triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și $AC=8$. Din $A$ se coboară înălțimea $AD\perp BC$, $D\in BC$. Arată că $△ABD\sim △CBA$ și, folosind asemănarea, calculează $BD$, știind că $BC=10$.

Rezolvare. Comparăm $△ABD$ și $△CBA$:

• $\widehat{ABD}=\widehat{CBA}$ (este unghiul comun $\hat{B}$);
• $\widehat{ADB}=\widehat{CAB}=90°$ (înălțimea, respectiv unghiul drept al triunghiului).

Prin criteriul UU, $△ABD\sim △CBA$. Scriem proporția laturilor corespunzătoare (respectând ordinea vârfurilor: $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow A$):

$$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}.$$

Înlocuim: $\frac{6}{10}=\frac{BD}{6}$, deci $10\cdot BD=36$, de unde

$$BD=3,6.$$

Verificare: raportul de asemănare este $\frac{AB}{CB}=\frac{6}{10}=0,6$; atunci $BD=0,6\cdot BA=0,6\cdot 6=3,6$ ✓. (Această idee stă la baza relațiilor metrice din lecția teorema catetei.)

Exemplul 7 — Configurația „în X" (măsurarea lățimii unui râu)

Un topograf vrea să afle lățimea $AC$ a unui râu. El fixează un reper $O$ pe mal, apoi merge pe uscat astfel încât $O$, $A$ (un copac de pe malul opus) și punctele alese să formeze figura de tip „papion". Măsoară pe uscat: $OB=12$ m, $OD=8$ m și $BD=15$ m, unde $AC\parallel BD$. Cât este lățimea $AC$, dacă $OA$ și $OC$ sunt pe aceleași drepte ca $OB$, respectiv $OD$, iar $OA=18$ m?

Rezolvare. Din $AC\parallel BD$ și unghiurile opuse la vârf în $O$, avem $△OAC\sim △OBD$ (criteriul UU). Raportul de asemănare este

$$k=\frac{OA}{OB}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}.$$

Latura $AC$ corespunde lui $BD$, deci:

$$AC=k\cdot BD=\frac{3}{2}\cdot 15=22,5\text{ m}.$$

Verificare: raportul $\frac{OA}{OB}=\frac{18}{12}=1,5$ și $\frac{AC}{BD}=\frac{22,5}{15}=1,5$ ✓. Lățimea râului este $22,5$ m, aflată fără a traversa apa.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu figură acolo unde e cazul. Răspunsurile complete sunt mai jos.

1. În $△ABC$, $MN\parallel BC$, $M\in AB$, $N\in AC$. Dacă $AM=3$, $MB=5$ și $AN=6$, calculează $NC$.
2. În $△ABC$, $MN\parallel BC$ cu $AM=4$, $AB=10$, $BC=15$. Calculează $MN$.
3. Segmentele au lungimile $a=2$, $b=3$, $c=8$ și $d$. Află $d$ astfel încât $a$, $b$, $c$, $d$ să fie proporționale (în ordinea $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$).
4. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, atunci $MN\parallel BC$."
5. Două triunghiuri asemenea au raportul de asemănare $k=4$. Latura mai mică a triunghiului mic este $5$ cm. Cât este latura corespunzătoare din triunghiul mare?
6. $△ABC\sim △DEF$ cu $\frac{AB}{DE}=\frac{2}{7}$. Dacă perimetrul lui $△DEF$ este $42$ cm, cât este perimetrul lui $△ABC$?
7. Două triunghiuri asemenea au raportul de asemănare $k=\frac{2}{3}$. Aria triunghiului mare este $45$ cm². Cât este aria triunghiului mic?
8. Un stâlp de iluminat de $6$ m aruncă o umbră de $9$ m. În același moment, un om aruncă o umbră de $2,7$ m. Ce înălțime are omul?
9. În $△ABC$, $M\in AB$ cu $AM=2$, $MB=4$; $N\in AC$ cu $AN=3$, $NC=6$. Este $MN\parallel BC$? Justifică.
10. $△ABC\sim △MNP$ cu raportul $k=\frac{5}{2}$. Dacă $NP=6$, cât este $BC$? (Atenție la corespondența vârfurilor.)
11. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă raportul de asemănare a două triunghiuri este $3$, atunci raportul ariilor lor este tot $3$."
12. Două triunghiuri asemenea au ariile $16$ cm² și $81$ cm². Care este raportul de asemănare $k$?
13. În $△ABC$, o paralelă la $BC$ taie $AB$ în $M$ și $AC$ în $N$ astfel încât $AM=6$ și $AB=9$. Ce fracție din aria lui $△ABC$ reprezintă aria lui $△AMN$?
14. Desenează un triunghi $ABC$ oarecare, marchează mijloacele $M$ și $N$ ale laturilor $AB$ și $AC$ și explică de ce $△AMN\sim △ABC$ și care este raportul de asemănare.
15. Un cadru dreptunghic de tablou și fotografia din interior sunt „asemenea" cu raportul $k=\frac{5}{4}$ (cadrul mai mare). Dacă fotografia are perimetrul $72$ cm, cât are cadrul?
16. În $△ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=9$, $BC=15$, se coboară înălțimea $AD\perp BC$. Arată că $△ABD\sim △CBA$ și calculează $BD$.
17. Două triunghiuri asemenea au perimetrele $24$ cm și $36$ cm. Dacă cea mai lungă latură a triunghiului mic este $10$ cm, cât este cea mai lungă latură a celui mare?
18. Problemă de sinteză: în $△ABC$, $MN\parallel BC$ ($M\in AB$, $N\in AC$), $AM=4$, $MB=2$. Știind că aria lui $△ABC$ este $54$ cm², calculează aria trapezului $MBCN$.
19. Configurația „în X": segmentele $AB$ și $CD$ se taie în $O$, cu $AC\parallel BD$. Se dau $OA=6$, $OB=9$, $AC=8$. Calculează $BD$.
20. Pe o hartă la scara $1:50000$, un lac ocupă o suprafață de $4$ cm². Care este aria reală a lacului, exprimată în metri pătrați? (Indicație: raportul lungimilor este $\frac{1}{50000}$, iar al ariilor este pătratul lui.)

Răspunsuri și explicații

1. $NC=10$. Din Thales: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{6}{NC}\Rightarrow 3\cdot NC=30\Rightarrow NC=10$.
2. $MN=6$. Prin T.F.A., $k=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$; $MN=k\cdot BC=\frac{2}{5}\cdot 15=6$.
3. $d=12$. Din $\frac{2}{3}=\frac{8}{d}\Rightarrow 2d=24\Rightarrow d=12$.
4. Adevărat. Este chiar enunțul reciprocei teoremei lui Thales: dacă o dreaptă taie două laturi în segmente proporționale, ea este paralelă cu a treia latură.
5. $20$ cm. Latura mare $=k\cdot$ latura mică $=4\cdot 5=20$.
6. $12$ cm. Raportul perimetrelor este egal cu $k=\frac{2}{7}$: $\frac{P_{ABC}}{42}=\frac{2}{7}\Rightarrow P_{ABC}=\frac{2\cdot 42}{7}=12$.
7. $20$ cm². Raportul ariilor este $k^2=\frac{4}{9}$: $\frac{{\mathcal{A}}_{mic}}{45}=\frac{4}{9}\Rightarrow {\mathcal{A}}_{mic}=\frac{4\cdot 45}{9}=20$.
8. $1,8$ m. Triunghiuri asemenea (UU): $\frac{6}{9}=\frac{h}{2,7}\Rightarrow 9h=16,2\Rightarrow h=1,8$.
9. Da, $MN\parallel BC$. $\frac{AM}{MB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$; rapoartele fiind egale, prin reciproca lui Thales dreptele sunt paralele.
10. $BC=15$. Din $△ABC\sim △MNP$, $BC$ corespunde lui $NP$: $\frac{BC}{NP}=k=\frac{5}{2}\Rightarrow BC=\frac{5}{2}\cdot 6=15$.
11. Fals. Raportul laturilor (și al perimetrelor) este $3$, dar raportul ariilor este $k^2=3^2=9$, nu $3$.
12. $k=\frac{4}{9}$. Raportul ariilor este $k^2=\frac{16}{81}$, deci $k=\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{4}{9}$.
13. $\frac{4}{9}$. $k=\frac{AM}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$; raportul ariilor este $k^2=\frac{4}{9}$.
14. Raport $\frac{1}{2}$. $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$ (mijloace) și unghiul $\hat{A}$ este comun, deci prin criteriul LUL (sau T.F.A., fiindcă $MN\parallel BC$ — linia mijlocie) $△AMN\sim △ABC$ cu $k=\frac{1}{2}$. Vezi și linia mijlocie în triunghi.
15. $90$ cm. Raportul perimetrelor $=k=\frac{5}{4}$: $P_{cadru}=\frac{5}{4}\cdot 72=90$.
16. $BD=5,4$. $\hat{B}$ comun și $\widehat{ADB}=\widehat{CAB}=90°$, deci $△ABD\sim △CBA$ (UU). Atunci $\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}\Rightarrow \frac{9}{15}=\frac{BD}{9}\Rightarrow 15\cdot BD=81\Rightarrow BD=5,4$.
17. $15$ cm. $k=\frac{P_{mare}}{P_{mic}}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}$; latura mare $=\frac{3}{2}\cdot 10=15$.
18. ${\mathcal{A}}_{MBCN}=30$ cm². $k=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$; $\frac{{\mathcal{A}}_{AMN}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=k^2=\frac{4}{9}$, deci ${\mathcal{A}}_{AMN}=\frac{4}{9}\cdot 54=24$. Trapezul este restul: $54-24=30$ cm².
19. $BD=12$. $△OAC\sim △OBD$ (UU: opuse la vârf + alterne interne), $k=\frac{OA}{OB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$; din $\frac{AC}{BD}=k$ obținem $\frac{8}{BD}=\frac{2}{3}$, deci $2\cdot BD=24$, $BD=12$.
20. $1000000$ m² (adică $1$ km²). Raportul ariilor este ${\left(\frac{1}{50000}\right)}^2=\frac{1}{2500000000}$. Aria reală $=4\cdot 50000^2=4\cdot 2500000000=10000000000$ cm². Cum $1$ m² $=10000$ cm², rezultă $\frac{10000000000}{10000}=1000000$ m².

De reținut

• Teorema lui Thales: o paralelă la o latură taie celelalte două laturi în segmente proporționale: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$. Reciproca demonstrează paralelismul.
• Criteriile de asemănare: UU (două unghiuri), LUL (un unghi + laturile proporționale), LLL (toate laturile proporționale). UU este cel mai folosit.
• Raportul de asemănare $k$: laturile corespunzătoare se află toate în raportul $k$. Ordinea vârfurilor în $△ABC\sim △DEF$ arată corespondența.
• Perimetre și arii: $\frac{P_1}{P_2}=k$, dar $\frac{{\mathcal{A}}_1}{{\mathcal{A}}_2}=k^2$. Perimetrul urmează pe $k$, aria pe $k^2$.
• Strategie: vezi paralele → gândește UU și proporții; ai lungimi → verifică LLL/LUL; scrie proporția corect și folosește produsul mezilor și extremilor.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre $k$ și $k^2$ la arii. Mulți elevi înmulțesc aria cu $k$ în loc de $k^2$. Reține: ariile a două triunghiuri asemenea sunt în raportul $k^2$, iar perimetrele în raportul $k$.
• Ordinea greșită a vârfurilor. Când scrii $△ABC\sim △DEF$, litera de pe poziția întâi corespunde cu litera de pe poziția întâi din cealaltă notație. Dacă amesteci ordinea, scrii proporții false.
• Aplicarea lui Thales fără paralelă. Teorema lui Thales funcționează numai dacă dreapta este paralelă cu o latură. Fără paralelism, rapoartele nu sunt neapărat egale.
• Confuzia proporție ↔ diferență. Segmentele proporționale nu înseamnă segmente egale sau cu aceeași diferență. „Proporțional" înseamnă rapoarte egale, nu lungimi egale.

Aplică acasă

1. Măsoară un copac (sau un stâlp) cu umbra. Într-o zi însorită, măsoară umbra unui obiect a cărui înălțime o cunoști (de exemplu tu, sau un băț vertical). În același moment, măsoară umbra copacului. Scrie proporția $\frac{\text{ıˆna˘lțimea ta}}{\text{umbra ta}}=\frac{h}{\text{umbra copacului}}$ și află înălțimea copacului. Compară cu o estimare vizuală.
2. Verifică o mărire de fotografie. Ia o fotografie mică și una mărită (sau mărește o imagine pe telefon). Măsoară cu rigla lățimea și înălțimea fiecăreia. Verifică dacă rapoartele sunt egale — dacă da, imaginile sunt asemenea. Calculează raportul de asemănare $k$.
3. Construiește cu rigla și raportorul. Desenează un triunghi, apoi construiește un al doilea cu toate laturile de $1,5$ ori mai mari. Măsoară unghiurile ambelor triunghiuri și verifică experimental că sunt egale — o dovadă „de mână" a asemănării prin criteriul LLL.

Pentru părinți și profesori

Această lecție recapitulează întreaga unitate de asemănare, deci scopul nu este să învețe ceva nou, ci să lege noțiunile: Thales → criterii → raport de asemănare → perimetre și arii. Cel mai bun sprijin este să ceri copilului să deseneze figura la fiecare problemă — asemănarea „se vede" mult mai ușor pe desen decât în text.

Întrebări de verificare utile:

• „De unde știi că cele două triunghiuri sunt asemenea? Prin ce criteriu?" (Verifici dacă justifică, nu doar intuiește.)
• „Dacă raportul de asemănare este $2$, cu cât se înmulțește aria?" (Răspuns corect: cu $4$. Dacă spune $2$, aici e confuzia clasică.)
• „Ce corespunde cu ce?" — pentru a testa înțelegerea ordinii vârfurilor.

Semne că a înțeles: scrie proporția corect fără să amestece corespondența, distinge când folosește $k$ și când $k^2$, și poate transforma o problemă practică (umbre, hărți, măriri) într-o proporție. Dacă greșește la arii, reveniți la Exemplul 5 și la ideea că aria depinde de două lungimi, deci se înmulțește de două ori cu $k$.

Întrebări frecvente

Ce este raportul de asemănare a două triunghiuri? Este numărul $k$ cu care se înmulțesc toate laturile unui triunghi pentru a obține laturile corespunzătoare din celălalt. Dacă $△ABC\sim △DEF$, atunci $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k$. Dacă $k=1$, triunghiurile sunt congruente.

Care este diferența dintre teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănării? Teorema lui Thales spune că o paralelă la o latură taie celelalte două laturi în segmente proporționale. Teorema fundamentală a asemănării merge mai departe și afirmă că acea paralelă formează un triunghi asemenea cu cel dat. Prima vorbește despre segmente, a doua despre triunghiuri întregi.

Cum știu ce criteriu de asemănare să folosesc? Uită-te la date. Dacă ai două perechi de unghiuri egale (des întâlnit când apar paralele), folosește UU. Dacă ai un unghi egal și laturile care îl formează proporționale, folosește LUL. Dacă ai toate cele trei perechi de laturi, folosește LLL. În practică, UU este cel mai frecvent la clasa a VII-a.

De ce raportul ariilor este $k^2$ și nu $k$? Pentru că aria unui triunghi se calculează cu un produs de două lungimi (bază × înălțime, împărțit la 2). Când triunghiul se mărește de $k$ ori, atât baza cât și înălțimea se înmulțesc cu $k$, deci aria se înmulțește cu $k\cdot k=k^2$. Perimetrul, fiind o sumă de lungimi, se înmulțește doar cu $k$.

Asemănarea și congruența sunt același lucru? Nu. Triunghiurile congruente au aceeași formă și aceeași mărime (raportul $k=1$). Triunghiurile asemenea au aceeași formă, dar pot avea mărimi diferite (orice $k>0$). Congruența este deci un caz particular al asemănării.

Cum folosesc asemănarea ca să măsor o distanță pe care nu o pot parcurge? Creezi două triunghiuri asemenea: unul mic, ușor de măsurat, și unul mare, care conține distanța necunoscută. Umbrele, oglinzile plasate pe sol sau vizarea peste un băț produc astfel de triunghiuri. Scrii proporția între laturile corespunzătoare și afli latura necunoscută. Vezi și lecția aplicații practice: aproximarea distanțelor.

Contează ordinea literelor când scriu $△ABC\sim △DEF$? Da, foarte mult. Ordinea arată corespondența: $A$ cu $D$, $B$ cu $E$, $C$ cu $F$. Dacă scrii ordinea greșit, proporțiile pe care le deduci vor lega laturi care nu se corespund și rezultatul va fi eronat.

La ce îmi folosește asemănarea triunghiurilor în clasa a VIII-a? Este baza relațiilor metrice din triunghiul dreptunghic (teorema înălțimii, teorema catetei), pe care le-ai întâlnit deja la teorema înălțimii. În clasa a VIII-a asemănarea reapare în geometria în spațiu și în trigonometrie, deci o stăpânire solidă acum îți ușurează mult anul viitor.