Triunghiuri asemenea. Raportul de asemănare

Ai văzut vreodată o fotografie mărită și una micșorată a aceleiași persoane? Chipul rămâne exact același ca formă — doar dimensiunea se schimbă. La fel se întâmplă cu o hartă față de terenul real, cu macheta unui bloc față de blocul construit sau cu proiecția unui film pe un ecran mare. În toate aceste situații lucrăm cu figuri asemenea: aceeași formă, mărimi diferite. În această lecție învățăm ce înseamnă exact ca două triunghiuri să fie triunghiuri asemenea, cum scriem corect asemănarea și ce este raportul de asemănare — numărul care ne spune „de câte ori" este un triunghi mai mare decât celălalt.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești triunghiurile asemenea prin unghiuri congruente și laturi proporționale.
• Vei ști să scrii corect asemănarea, respectând ordinea vârfurilor corespondente.
• Vei ști să identifici laturile și unghiurile corespondente în două triunghiuri asemenea.
• Vei ști să determini raportul de asemănare a două triunghiuri și să-l folosești pentru a afla laturi sau perimetre.
• Vei ști să faci distincția clară dintre triunghiuri asemenea și triunghiuri congruente.

Hai să descoperim împreună

1. De la o idee intuitivă la o definiție riguroasă

Să pornim de la intuiție. Închipuie-ți un triunghi desenat pe o folie transparentă. Dacă îl proiectezi cu un retroproiector pe perete, obții un triunghi mult mai mare, dar cu exact aceeași formă: unghiurile arată la fel, iar laturile s-au mărit toate în același ritm. Acest „aceeași formă, altă mărime" este ideea centrală a asemănării.

Pentru a transforma această imagine în matematică riguroasă, avem nevoie de două condiții care, împreună, garantează „aceeași formă":

1. Unghiurile să fie congruente (fiecare unghi al unui triunghi să fie egal cu un unghi al celuilalt) — asta asigură că figurile au aceleași „colțuri".
2. Laturile să fie proporționale (laturile unui triunghi să se obțină din laturile celuilalt înmulțind cu același număr) — asta asigură că mărirea (sau micșorarea) s-a făcut uniform, în același ritm pe toate laturile.

2. Definiția triunghiurilor asemenea

Definiție. Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale.

Să scriem asta cu simboluri. Fie triunghiurile $ABC$ și $DEF$. Ele sunt asemenea dacă:

A) Unghiurile corespondente sunt congruente: $$\hat{A}\equiv \hat{D},\hat{B}\equiv \hat{E},\hat{C}\equiv \hat{F}$$

B) Laturile corespondente sunt proporționale: $$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$$

Scriem asemănarea prescurtat astfel: $$△ABC\sim △DEF$$

Simbolul „$\sim$" (o linie ondulată, ca un mic val) se citește „este asemenea cu". Reține-l: nu este semnul de egal și nici semnul de congruență „$\equiv$".

3. Ordinea vârfurilor — cel mai important detaliu de notație

Aici se face cea mai frecventă greșeală, așa că mergem încet. Când scrii $△ABC\sim △DEF$, ordinea literelor nu este întâmplătoare. Ea îți spune care vârf corespunde cu care:

• $A\leftrightarrow D$ (primul cu primul)
• $B\leftrightarrow E$ (al doilea cu al doilea)
• $C\leftrightarrow F$ (al treilea cu al treilea)

Vârfurile așezate pe aceeași poziție se numesc vârfuri corespondente, iar unghiurile din aceste vârfuri sunt congruente. La fel, o latură corespunde altei laturi dacă literele ei stau pe aceleași poziții:

• Latura $AB$ (pozițiile 1–2) corespunde laturii $DE$ (pozițiile 1–2).
• Latura $BC$ (pozițiile 2–3) corespunde laturii $EF$ (pozițiile 2–3).
• Latura $CA$ (pozițiile 3–1) corespunde laturii $FD$ (pozițiile 3–1).

Regula de aur: ca să scrii corect proporțiile, citește literele „la fel" în ambele triunghiuri, în aceeași ordine în care apar în notația $△ABC\sim △DEF$.

Ca să vezi cât de importantă e această ordine, imaginează-ți că scrii, din greșeală, $△ABC\sim △EFD$. Ai spune atunci că $\hat{A}\equiv \hat{E}$, ceea ce poate fi complet fals! Așa că scrisul corect al asemănării este el însuși o informație matematică, nu doar o formalitate.

4. Raportul de asemănare

Am spus că laturile corespondente sunt proporționale, adică toate rapoartele lor sunt egale între ele. Acea valoare comună are un nume special.

Definiție. Valoarea comună a rapoartelor laturilor corespondente se numește raportul de asemănare al celor două triunghiuri. Îl notăm de obicei cu $k$: $$k=\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$$

Raportul de asemănare este un număr pozitiv care ne spune de câte ori este triunghiul $ABC$ mai mare (sau mai mic) decât triunghiul $DEF$.

• Dacă $k=3$, atunci fiecare latură a lui $ABC$ este de $3$ ori mai mare decât latura corespondentă din $DEF$. Triunghiul $ABC$ este „varianta mărită".
• Dacă $k=\frac{1}{2}$, atunci fiecare latură a lui $ABC$ este jumătate din latura corespondentă din $DEF$. Triunghiul $ABC$ este „varianta micșorată".
• Dacă $k=1$, atunci laturile sunt egale două câte două: triunghiurile sunt de fapt congruente (revenim la asta mai jos).

Atenție la ordine și aici: raportul $\frac{AB}{DE}$ (mare pe mic) nu este același lucru cu $\frac{DE}{AB}$ (mic pe mare). Dacă $△ABC\sim △DEF$ are raportul $k$, atunci $△DEF\sim △ABC$ are raportul $\frac{1}{k}$. De aceea trebuie să fii mereu atent în ce ordine scrii asemănarea.

5. Un mic exemplu de „încălzire"

Fie $△ABC\sim △DEF$ cu laturile: $$AB=6,BC=8,CA=10,DE=3,EF=4,FD=5.$$

Verificăm proporționalitatea: $$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{3}=2,\frac{BC}{EF}=\frac{8}{4}=2,\frac{CA}{FD}=\frac{10}{5}=2.$$

Toate cele trei rapoarte sunt egale cu $2$, deci raportul de asemănare este $k=2$. Triunghiul $ABC$ este de două ori mai „mare" decât $DEF$ pe fiecare latură. Observă cum literele s-au potrivit perfect: $AB$ cu $DE$, $BC$ cu $EF$, $CA$ cu $FD$ — exact ordinea din $△ABC\sim △DEF$.

6. Elemente corespondente: unghiuri, laturi și perimetre

În două triunghiuri asemenea, elementele corespondente se comportă previzibil:

• Unghiurile corespondente sunt congruente (egale ca măsură). Raportul unghiurilor NU este $k$; unghiurile pur și simplu rămân la fel. Dacă $\hat{A}=50°$, atunci și $\hat{D}=50°$.
• Laturile corespondente sunt proporționale, cu raportul $k$.
• Perimetrele sunt și ele în raportul $k$. Aici avem o proprietate foarte utilă.

De ce sunt perimetrele în raportul $k$? Dacă notăm $P_{ABC}=AB+BC+CA$ și $P_{DEF}=DE+EF+FD$, și știm că $AB=k\cdot DE$, $BC=k\cdot EF$, $CA=k\cdot FD$, atunci: $$P_{ABC}=k\cdot DE+k\cdot EF+k\cdot FD=k(DE+EF+FD)=k\cdot P_{DEF}.$$

Deci: $$\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=k.$$

Cu alte cuvinte, raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare. E logic: dacă mărești fiecare latură de $k$ ori, mărești și suma lor (perimetrul) tot de $k$ ori.

Reține totuși o subtilitate pentru mai târziu: ariile NU sunt în raportul $k$, ci în raportul $k^2$. Vom demonstra asta în lecția Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Pentru moment, ține minte că laturile și perimetrele merg cu $k$, dar ariile se comportă diferit.

7. Triunghiuri asemenea vs. triunghiuri congruente

Aceasta e o distincție pe care trebuie s-o stăpânești perfect.

• Triunghiuri congruente = aceeași formă și aceeași mărime. Se suprapun perfect. Laturile corespondente sunt egale, iar unghiurile corespondente sunt egale. Notăm $△ABC\equiv △DEF$.
• Triunghiuri asemenea = aceeași formă, dar eventual altă mărime. Unghiurile corespondente sunt egale, iar laturile corespondente sunt proporționale (nu neapărat egale). Notăm $△ABC\sim △DEF$.

Legătura dintre ele este simplă și frumoasă:

Congruența este un caz particular al asemănării, cel cu raportul $k=1$.

Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci sunt și asemenea (cu $k=1$). Dar reciproca NU e adevărată: două triunghiuri asemenea pot avea mărimi complet diferite (de exemplu $k=5$) și atunci nu sunt congruente.

O analogie utilă: gândește-te la două fotografii ale aceluiași obiect. Dacă sunt exact la fel de mari, sunt „congruente". Dacă una este printată mai mare, dar cu aceeași formă (fără să fie deformată, întinsă doar pe lățime), sunt „asemenea". Deformarea (întinderea doar pe o direcție) strică asemănarea, fiindcă atunci laturile nu mai sunt toate în același raport.

8. O observație despre unghiuri și forma triunghiului

Un fapt care te va ajuta enorm mai târziu: la triunghiuri, unghiurile determină forma. Dacă două triunghiuri au aceleași unghiuri, ele au automat aceeași formă, deci sunt asemenea — laturile ies proporționale „de la sine". Vom studia riguros acest lucru în lecția Criterii de asemănare a triunghiurilor. Deocamdată reține doar ideea: la triunghiuri, „aceleași unghiuri" ⟹ „aceeași formă" ⟹ „asemenea". La alte poligoane (de exemplu la patrulatere) acest lucru NU e adevărat — un pătrat și un dreptunghi au toate unghiurile de $90°$, dar nu sunt asemenea.

9. Cum recunoști laturile corespondente când triunghiurile sunt desenate „strâmb"

Până acum am pus triunghiurile față în față, frumos aliniate. În realitate, la teste sau în probleme, cele două triunghiuri asemenea sunt aproape întotdeauna desenate în poziții diferite: unul rotit, unul răsturnat, unul mai mare, unul mai mic. Atunci nu te mai poți lua după „latura de sus" sau „latura din stânga", pentru că poziția pe pagină nu mai spune nimic. Ai nevoie de o metodă sigură.

Metoda unghiurilor este metoda sigură. Corespondența dintre laturi se citește după unghiuri, nu după poziția pe foaie. Regula practică este:

Într-o pereche de triunghiuri asemenea, laturile corespondente sunt cele așezate în fața unghiurilor congruente.

Cu alte cuvinte: găsești mai întâi ce unghi este congruent cu ce unghi (după marcaje: un arc, două arce, trei arce), apoi laturile opuse acelor unghiuri sunt corespondente. Latura din fața unghiului marcat cu un arc într-un triunghi corespunde laturii din fața unghiului marcat cu un arc în celălalt triunghi — indiferent unde sunt desenate pe pagină.

Un al doilea reper foarte util: la latura cea mai mare se opune unghiul cel mai mare, iar la latura cea mai mică unghiul cel mai mic. Deci, dacă nu ai marcaje de unghi, dar ai lungimile laturilor, poți potrivi laturile ordonându-le pe fiecare triunghi de la cea mai mică la cea mai mare: cea mai mică se potrivește cu cea mai mică, mijlocia cu mijlocia, cea mai mare cu cea mai mare. Exact așa vom proceda în Exemplul 6 și în exercițiile de verificare.

Reține deci două chei de potrivire, pe care le vei folosi tot timpul:

1. După unghiuri: laturi opuse unghiurilor congruente = laturi corespondente.
2. După mărime: cea mai mică cu cea mai mică, cea mai mare cu cea mai mare (funcționează pentru că unghiurile determină ordinea laturilor).

Această lecție se sprijină pe Segmente proporționale și pe Teorema lui Thales, unde ai lucrat pentru prima dată cu rapoarte de segmente. Asemănarea triunghiurilor duce mai departe aceeași idee de proporționalitate, dar aplicată întregii figuri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scrierea corectă a asemănării și a proporțiilor

Se dă $△MNP\sim △RST$. Scrie perechile de unghiuri congruente și șirul de rapoarte al laturilor.

Rezolvare. Citim literele pe poziții, în ordinea din notație:

• Poziția 1: $M\leftrightarrow R$, deci $\hat{M}\equiv \hat{R}$.
• Poziția 2: $N\leftrightarrow S$, deci $\hat{N}\equiv \hat{S}$.
• Poziția 3: $P\leftrightarrow T$, deci $\hat{P}\equiv \hat{T}$.

Laturile corespondente (litere pe aceleași poziții): $$\frac{MN}{RS}=\frac{NP}{ST}=\frac{PM}{TR}.$$

Aceasta este valoarea comună a rapoartelor, adică raportul de asemănare $k$.

Exemplul 2 — Determinarea raportului de asemănare

Fie $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu $AB=15$ cm și $A^{\prime }{B}^{\prime }=6$ cm. Află raportul de asemănare al lui $△ABC$ față de $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Rezolvare. Raportul de asemănare se calculează pe o pereche de laturi corespondente. $AB$ corespunde lui $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (ambele pe pozițiile 1–2), deci: $$k=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2,5.$$

Raportul de asemănare este $k=2,5$. Asta înseamnă că fiecare latură a lui $△ABC$ este de $2,5$ ori mai lungă decât latura corespondentă din $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Exemplul 3 — Aflarea unei laturi necunoscute

Fie $△ABC\sim △DEF$ cu: $$AB=8,BC=12,DE=6.$$ Află lungimea laturii $EF$.

Rezolvare. Mai întâi găsim raportul de asemănare dintr-o pereche completă de laturi corespondente. Avem $AB$ și $DE$ cunoscute: $$k=\frac{AB}{DE}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

Latura $BC$ corespunde laturii $EF$, deci $\frac{BC}{EF}=k=\frac{4}{3}$. Scriem ecuația: $$\frac{12}{EF}=\frac{4}{3}.$$

Folosim proporția (produsul mezilor egal cu produsul extremilor): $$4\cdot EF=12\cdot 3\Rightarrow 4\cdot EF=36\Rightarrow EF=9.$$

Deci $EF=9$. Verificare rapidă: $\frac{BC}{EF}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$, exact ca $k$. Corect.

Exemplul 4 — Toate laturile triunghiului mărit

Un triunghi are laturile $5$ cm, $7$ cm și $9$ cm. Construim un triunghi asemenea cu el, cu raportul de asemănare $k=3$ (triunghiul nou fiind cel mare). Află laturile triunghiului mare și perimetrele ambelor triunghiuri.

Rezolvare. Dacă triunghiul mare are raportul $k=3$ față de cel mic, fiecare latură a lui este de $3$ ori mai lungă: $$5\cdot 3=15,7\cdot 3=21,9\cdot 3=27.$$

Deci laturile triunghiului mare sunt $15$ cm, $21$ cm și $27$ cm.

Perimetrul triunghiului mic: $$P_{\text{mic}}=5+7+9=21\text{ cm.}$$ Perimetrul triunghiului mare: $$P_{\text{mare}}=15+21+27=63\text{ cm.}$$

Observă că $\frac{P_{\text{mare}}}{P_{\text{mic}}}=\frac{63}{21}=3=k$. Într-adevăr, raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare, exact cum am demonstrat.

Exemplul 5 — De la perimetre la raport

Se știe că $△ABC\sim △MNP$, că perimetrul lui $△ABC$ este $48$ cm, iar perimetrul lui $△MNP$ este $30$ cm. Se dă în plus $MN=10$ cm. Află latura $AB$.

Rezolvare. Raportul de asemănare este egal cu raportul perimetrelor: $$k=\frac{P_{ABC}}{P_{MNP}}=\frac{48}{30}=\frac{8}{5}.$$

Latura $AB$ corespunde laturii $MN$, deci $\frac{AB}{MN}=k=\frac{8}{5}$. Cu $MN=10$: $$\frac{AB}{10}=\frac{8}{5}\Rightarrow AB=10\cdot \frac{8}{5}=\frac{80}{5}=16.$$

Deci $AB=16$ cm.

Exemplul 6 — Verificare: sunt sau nu triunghiurile asemenea?

Triunghiul $ABC$ are laturile $4$, $6$, $8$. Triunghiul $DEF$ are laturile $6$, $9$, $12$. Sunt asemenea? Dacă da, cu ce raport?

Rezolvare. Așezăm laturile de la cea mai mică la cea mai mare în ambele triunghiuri și calculăm rapoartele corespondente: $$\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{6}{9}=\frac{2}{3},\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$$

Toate cele trei rapoarte sunt egale cu $\frac{2}{3}$. Laturile sunt proporționale, deci triunghiurile sunt asemenea, cu raportul de asemănare $k=\frac{2}{3}$ (privind $ABC$ față de $DEF$). Dacă am privi invers, $DEF$ față de $ABC$, raportul ar fi $\frac{3}{2}$.

Notă: în această lecție am potrivit laturile după mărime pentru a testa proporționalitatea. Faptul că „proporționalitatea laturilor" este suficientă pentru asemănare (fără să verificăm și unghiurile) este un criteriu de asemănare pe care îl studiem riguros în lecția următoare, Criterii de asemănare a triunghiurilor.

Exemplul 7 — Triunghiuri desenate în orientări diferite

Se dau două triunghiuri asemenea, dar desenate diferit: unul este întors cu susul în jos față de celălalt. Știm doar unghiurile marcate și lungimile laturilor. În triunghiul $ABC$: unghiul $\hat{A}$ e marcat cu un arc, $\hat{B}$ cu două arce, $\hat{C}$ cu trei arce, iar laturile sunt $BC=6$, $CA=8$, $AB=10$. În triunghiul $MNP$: unghiul $\hat{P}$ e marcat cu un arc, $\hat{M}$ cu două arce, $\hat{N}$ cu trei arce. Se știe că latura opusă unghiului cu un arc din $MNP$ măsoară $9$. Scrie corect asemănarea și află celelalte două laturi ale lui $MNP$.

Rezolvare. Nu ne luăm după poziția pe pagină, ci după marcajele de unghi. Unghiurile cu același număr de arce sunt congruente: $$\hat{A}\equiv \hat{P}(\text{un arc}),\hat{B}\equiv \hat{M}(\text{doua˘ arce}),\hat{C}\equiv \hat{N}(\text{trei arce}).$$

Punând vârfurile corespondente pe aceleași poziții, asemănarea corectă este: $$△ABC\sim △PMN.$$

Acum potrivim laturile după regula „laturi opuse unghiurilor congruente":

• Latura opusă unghiului cu un arc: în $ABC$ este $BC$ (opusă lui $\hat{A}$); în $PMN$ este latura opusă lui $\hat{P}$, adică $MN$. Ni s-a spus că aceasta măsoară $9$, deci $MN=9$.
• Latura opusă unghiului cu două arce: în $ABC$ este $CA$ (opusă lui $\hat{B}$); în $PMN$ este latura opusă lui $\hat{M}$, adică $NP$.
• Latura opusă unghiului cu trei arce: în $ABC$ este $AB$ (opusă lui $\hat{C}$); în $PMN$ este latura opusă lui $\hat{N}$, adică $PM$.

Raportul de asemănare îl aflăm din perechea completă cunoscută, $BC$ și $MN$: $$k=\frac{BC}{MN}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$

Deci fiecare latură a lui $ABC$ este $\frac{2}{3}$ din latura corespondentă a lui $PMN$. Aflăm laturile lipsă: $$\frac{CA}{NP}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{8}{NP}=\frac{2}{3}\Rightarrow 2\cdot NP=24\Rightarrow NP=12,$$ $$\frac{AB}{PM}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{10}{PM}=\frac{2}{3}\Rightarrow 2\cdot PM=30\Rightarrow PM=15.$$

Deci $MN=9$, $NP=12$, $PM=15$. Observă cum s-au potrivit după mărime: $6,8,10$ în $ABC$ merg cu $9,12,15$ în $PMN$ — cea mai mică cu cea mai mică, cea mai mare cu cea mai mare. Poziția pe foaie nu a contat deloc; au contat doar unghiurile.

Exemplul 8 — De la raport și perimetru la o latură anume

Fie $△ABC\sim △DEF$ cu raportul de asemănare $k=\frac{2}{5}$ (deci $ABC$ este cel mic). Se știe că perimetrul lui $△DEF$ este $40$ cm și că $DE=15$ cm. Află perimetrul lui $△ABC$ și lungimea laturii $AB$.

Rezolvare. Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare, deci: $$\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=k=\frac{2}{5}\Rightarrow P_{ABC}=\frac{2}{5}\cdot 40=16\text{ cm.}$$

Pentru latură, folosim că $AB$ corespunde lui $DE$ și că $\frac{AB}{DE}=k$: $$\frac{AB}{15}=\frac{2}{5}\Rightarrow 5\cdot AB=30\Rightarrow AB=6\text{ cm.}$$

Deci perimetrul lui $△ABC$ este $16$ cm, iar $AB=6$ cm. Reține pașii: raportul se aplică la fel la perimetre și la laturi corespondente, pentru că perimetrul e doar suma laturilor.

Să exersăm

1. Completează: două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv ________ și laturile respectiv ________.

2. Cum se citește simbolul „$\sim$"? Dar simbolul „$\equiv$"?

3. Se dă $△ABC\sim △DEF$. Scrie cele trei perechi de unghiuri congruente.

4. Pentru aceeași asemănare $△ABC\sim △DEF$, scrie corect șirul de rapoarte al laturilor corespondente.

5. Fie $△PQR\sim △XYZ$. Care latură corespunde laturii $QR$? Dar unghiul $\hat{P}$ cu care unghi este congruent?

6. Determină raportul de asemănare al lui $△ABC$ față de $△DEF$ dacă $AB=21$ și $DE=7$.

7. Fie $△ABC\sim △DEF$ cu $k=\frac{5}{4}$. Cât este raportul de asemănare al lui $△DEF$ față de $△ABC$?

8. Fie $△MNP\sim △RST$ cu $MN=10$, $RS=4$ și $NP=15$. Află $ST$.

9. Un triunghi are laturile $6$ cm, $8$ cm, $10$ cm. Un triunghi asemenea cu el are raportul de asemănare $k=\frac{1}{2}$ (cel nou fiind cel mic). Află laturile triunghiului mic.

10. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă două triunghiuri au raportul de asemănare $k=1$, atunci ele sunt congruente."

11. Adevărat sau fals (justifică): „În două triunghiuri asemenea, unghiurile corespondente sunt și ele proporționale cu raportul $k$."

12. Triunghiul $ABC$ are laturile $3$, $5$, $7$, iar triunghiul $DEF$ are laturile $9$, $15$, $20$. Sunt asemenea? Justifică prin calcul.

13. Fie $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu raportul $k=4$. Perimetrul lui $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este $9$ cm. Cât este perimetrul lui $△ABC$?

14. Fie $△ABC\sim △DEF$. Se știe $AB=12$, $DE=8$ și că perimetrul lui $△DEF$ este $30$. Află perimetrul lui $△ABC$.

15. Explică în cuvintele tale de ce, dacă scrii greșit ordinea vârfurilor în asemănare, poți obține proporții false.

16. Fie $△ABC\sim △DEF$ cu $AB=9$, $BC=12$, $CA=15$ și $DE=6$. Află $EF$, $FD$ și raportul de asemănare.

17. Desenează un triunghi oarecare $ABC$. Construiește apoi (măsurând cu rigla) un triunghi $DEF$ asemenea cu el, cu raportul de asemănare $k=2$ (mai mare). Verifică cu raportorul că unghiurile corespondente sunt congruente.

18. Două triunghiuri asemenea au perimetrele de $35$ cm și $56$ cm. Care este raportul de asemănare al triunghiului mic față de cel mare, scris ca fracție ireductibilă?

19. În $△ABC$: $\hat{A}$ e marcat cu un arc, $\hat{B}$ cu două arce, $\hat{C}$ cu trei arce. În $△DEF$: $\hat{D}$ cu două arce, $\hat{E}$ cu trei arce, $\hat{F}$ cu un arc. Scrie corect asemănarea (ordinea vârfurilor), potrivind unghiurile congruente.

20. Fie $△ABC\sim △DEF$ cu raportul $k=\frac{3}{4}$. Perimetrul lui $△DEF$ este $48$ cm și $DE=16$ cm. Află perimetrul lui $△ABC$ și latura $AB$.

21. Două triunghiuri au laturile $10,14,16$, respectiv $15,21,24$. Sunt asemenea? Dacă da, cu ce raport (primul față de al doilea, ca fracție ireductibilă)?

22. Fie $△ABC\sim △DEF$ cu $BC=21$, $EF=14$ și perimetrul lui $△ABC$ egal cu $60$. Află perimetrul lui $△DEF$.

Răspunsuri și explicații

1. congruente; proporționale. (Aceasta este definiția triunghiurilor asemenea.)

2. „$\sim$" se citește „este asemenea cu"; „$\equiv$" se citește „este congruent cu".

3. $\hat{A}\equiv \hat{D}$, $\hat{B}\equiv \hat{E}$, $\hat{C}\equiv \hat{F}$ (vârfuri pe aceleași poziții).

4. $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$.

5. Laturii $QR$ (pozițiile 2–3) îi corespunde $YZ$. Unghiul $\hat{P}$ (poziția 1) este congruent cu $\hat{X}$.

6. $k=\frac{AB}{DE}=\frac{21}{7}=3$.

7. Raportul se inversează: $\frac{1}{k}=\frac{1}{5/4}=\frac{4}{5}$.

8. $k=\frac{MN}{RS}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$. Cum $NP$ corespunde lui $ST$: $\frac{NP}{ST}=\frac{5}{2}\Rightarrow \frac{15}{ST}=\frac{5}{2}\Rightarrow 5\cdot ST=30\Rightarrow ST=6$.

9. Fiecare latură a triunghiului mic este jumătate din cea a triunghiului mare: $6\cdot \frac{1}{2}=3$, $8\cdot \frac{1}{2}=4$, $10\cdot \frac{1}{2}=5$. Laturile sunt $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm.

10. Adevărat. Dacă $k=1$, atunci fiecare latură este egală cu latura corespondentă ($AB=DE$ etc.), iar unghiurile sunt oricum congruente; deci triunghiurile au laturi și unghiuri respectiv egale, adică sunt congruente. Congruența este cazul $k=1$ al asemănării.

11. Fals. În triunghiuri asemenea, unghiurile corespondente rămân congruente (egale ca măsură), nu se înmulțesc cu $k$. Doar laturile (și perimetrele) sunt proporționale cu $k$; unghiurile nu se modifică deloc.

12. Ordonăm crescător: $ABC\to 3,5,7$; $DEF\to 9,15,20$. Rapoartele: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$, $\frac{7}{20}=0,35\ne \frac{1}{3}$. Ultimul raport diferă, deci laturile nu sunt proporționale: triunghiurile nu sunt asemenea.

13. Perimetrele sunt în raportul $k$: $P_{ABC}=k\cdot P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=4\cdot 9=36$ cm.

14. $k=\frac{AB}{DE}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$. Perimetrul lui $ABC$: $P_{ABC}=k\cdot P_{DEF}=\frac{3}{2}\cdot 30=45$. Perimetrul este $45$.

15. Ordinea literelor stabilește care vârf corespunde cu care. Dacă o schimbi, potrivești unghiuri și laturi greșite între ele (de exemplu pui $\hat{A}$ cu $\hat{E}$ în loc de $\hat{D}$), iar rapoartele scrise pe poziții greșite nu mai sunt egale — obții proporții false, chiar dacă triunghiurile sunt cu adevărat asemenea.

16. $k=\frac{AB}{DE}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Atunci $EF=\frac{BC}{k}=\frac{12}{3/2}=12\cdot \frac{2}{3}=8$ și $FD=\frac{CA}{k}=\frac{15}{3/2}=15\cdot \frac{2}{3}=10$. Deci $EF=8$, $FD=10$, $k=\frac{3}{2}$. (Verificare: $\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$.)

17. Activitate de desen. Verificare: dacă ai construit corect, laturile lui $DEF$ trebuie să fie exact duble față de cele ale lui $ABC$ ($DE=2\cdot AB$ etc.), iar unghiurile măsurate cu raportorul trebuie să coincidă ($\hat{D}=\hat{A}$ etc.). Dacă unghiurile ies egale și laturile duble, triunghiurile sunt asemenea cu $k=2$.

18. Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare: $\frac{35}{56}$. Simplificăm prin $7$: $\frac{35}{56}=\frac{5}{8}$. Raportul triunghiului mic față de cel mare este $\frac{5}{8}$.

19. Potrivim unghiurile cu același număr de arce: $\hat{A}$ (un arc) $\equiv \hat{F}$ (un arc), $\hat{B}$ (două arce) $\equiv \hat{D}$ (două arce), $\hat{C}$ (trei arce) $\equiv \hat{E}$ (trei arce). Așezând vârfurile corespondente pe aceleași poziții, asemănarea corectă este $△ABC\sim △FDE$.

20. Perimetrele sunt în raportul $k$: $P_{ABC}=k\cdot P_{DEF}=\frac{3}{4}\cdot 48=36$ cm. Latura: $\frac{AB}{DE}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{AB}{16}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3}{4}\cdot 16=12$ cm. Deci perimetrul lui $△ABC$ este $36$ cm, iar $AB=12$ cm.

21. Ordonăm crescător (deja sunt): $10,14,16$ și $15,21,24$. Rapoartele: $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$, $\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$, $\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$. Toate egale, deci triunghiurile sunt asemenea, cu raportul $k=\frac{2}{3}$ (primul față de al doilea).

22. $k=\frac{BC}{EF}=\frac{21}{14}=\frac{3}{2}$. Perimetrele sunt în același raport: $\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=\frac{3}{2}$, deci $\frac{60}{P_{DEF}}=\frac{3}{2}\Rightarrow 3\cdot P_{DEF}=120\Rightarrow P_{DEF}=40$. Perimetrul lui $△DEF$ este $40$.

De reținut

• Definiție: două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale. Notăm $△ABC\sim △DEF$.
• Ordinea vârfurilor contează: literele pe aceeași poziție dau vârfuri corespondente, unghiuri congruente și laturi corespondente. Scrie proporțiile citind literele „la fel" în ambele triunghiuri.
• Raportul de asemănare $k$ este valoarea comună a rapoartelor laturilor corespondente: $k=\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$.
• Perimetrele sunt în raportul $k$: $\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=k$. (Ariile vor fi în raportul $k^2$ — la o lecție viitoare.)
• Congruența = asemănare cu $k=1$: triunghiurile congruente sunt un caz particular al celor asemenea.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre asemenea și congruent. „Asemenea" înseamnă aceeași formă, dar posibil altă mărime; „congruent" înseamnă și aceeași mărime. Folosește „$\sim$" pentru asemenea și „$\equiv$" pentru congruent — nu le amesteca.
• Ignorarea ordinii vârfurilor. A scrie $△ABC\sim △DEF$ nu e la fel cu $△ABC\sim △EDF$. Verifică mereu că literele pe aceleași poziții corespund unghiurilor egale, apoi scrie proporțiile în aceeași ordine.
• Înmulțirea unghiurilor cu $k$. Unghiurile NU se modifică la asemănare — rămân congruente. Doar laturile și perimetrele se înmulțesc cu $k$. Nu scrie niciodată „$\hat{A}=k\cdot \hat{D}$".
• Inversarea raportului. Fii atent dacă ți se cere raportul lui $ABC$ față de $DEF$ (mare/mic) sau invers. Cele două valori sunt inverse una alteia ($k$ și $\frac{1}{k}$).

Aplică acasă

1. Umbra și înălțimea. Ieși afară într-o zi însorită. Măsoară-ți umbra și, în același timp, umbra unui copac sau a unui stâlp. Triunghiul format de tine și umbra ta este asemenea cu cel format de obiect și umbra lui (razele soarelui cad la fel). Notează cele patru lungimi și calculează raportul de asemănare $k=\frac{\text{umbra obiectului}}{\text{umbra ta}}$. Vom folosi această idee la lecția Aplicații practice: aproximarea distanțelor folosind asemănarea.

2. Harta și realitatea. Găsește o hartă (pe telefon sau pe hârtie) cu scara indicată, de exemplu $1:100000$. Explică de ce scara este de fapt un raport de asemănare între desen și teren. Alege un traseu drept, măsoară-l pe hartă și calculează lungimea reală înmulțind cu numărul din scară.

3. Fotografia mărită. Ia o poză mică (de exemplu $4\times 6$ cm) și una mărită a aceleiași imagini. Măsoară două distanțe corespondente (de exemplu lățimea unui obiect din poză) în ambele. Verifică dacă rapoartele ies aproximativ egale — dacă da, cele două imagini sunt „asemenea", iar raportul lor este raportul de asemănare.

Pentru părinți și profesori

La această lecție elevul face trecerea de la proporționalitatea segmentelor (Thales) la asemănarea unei întregi figuri. Cel mai important obiectiv este notația corectă: elevul trebuie să înțeleagă că ordinea vârfurilor în $△ABC\sim △DEF$ este o informație matematică, nu o formalitate.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Dacă scriu $△ABC\sim △DEF$, ce unghi este congruent cu $\hat{B}$?" (Răspuns corect: $\hat{E}$.)
• „Ce latură corespunde laturii $CA$?" (Răspuns: $FD$, nu $DF$ ca ordine.)
• „Ce este raportul de asemănare și cum îl calculezi?" (Valoarea comună a rapoartelor laturilor corespondente.)
• „Două triunghiuri asemenea au mereu aceeași mărime?" (Nu — doar dacă $k=1$; atunci sunt congruente.)

Semne că elevul a înțeles: scrie proporțiile fără să inverseze pozițiile laturilor, nu confundă „$\sim$" cu „$\equiv$", și nu aplică raportul $k$ la unghiuri. Dacă greșește ordinea vârfurilor, reveniți la un desen simplu și cereți-i să eticheteze vârfurile corespondente înainte de a scrie orice raport.

Întrebări frecvente

Ce sunt triunghiurile asemenea la clasa a 7-a? Sunt două triunghiuri care au aceeași formă, dar eventual mărimi diferite. Concret, au unghiurile corespondente congruente (egale) și laturile corespondente proporționale (obținute una din alta înmulțind cu același număr). Notăm asemănarea cu simbolul „$\sim$".

Cum scriu corect asemănarea triunghiurilor? Scrii $△ABC\sim △DEF$ astfel încât literele de pe aceeași poziție să fie vârfuri corespondente: $A$ cu $D$, $B$ cu $E$, $C$ cu $F$. Ordinea trebuie să reflecte unghiurile congruente, iar proporțiile laturilor se scriu apoi în aceeași ordine.

Ce este raportul de asemănare a două triunghiuri? Este numărul $k$ egal cu valoarea comună a rapoartelor laturilor corespondente: $k=\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$. El arată de câte ori este un triunghi mai mare (sau mai mic) decât celălalt pe fiecare latură.

Care e diferența dintre triunghiuri asemenea și congruente? Triunghiurile congruente au aceeași formă ȘI aceeași mărime (se suprapun perfect, laturi egale). Triunghiurile asemenea au aceeași formă, dar posibil altă mărime (laturi proporționale). Congruența este cazul particular al asemănării cu raportul $k=1$.

Unghiurile se înmulțesc cu raportul de asemănare? Nu. Unghiurile corespondente rămân congruente (egale ca măsură) în triunghiuri asemenea. Doar laturile și perimetrele se înmulțesc cu raportul $k$; unghiurile nu se schimbă deloc.

Cum aflu o latură necunoscută la triunghiuri asemenea? Determini mai întâi raportul de asemănare $k$ dintr-o pereche de laturi corespondente cunoscute, apoi scrii proporția pentru latura căutată și rezolvi ecuația. De exemplu, din $\frac{BC}{EF}=k$ afli $EF=\frac{BC}{k}$.

Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare? Da. Deoarece fiecare latură se înmulțește cu $k$, și suma laturilor (perimetrul) se înmulțește cu $k$. Deci $\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=k$. Ariile însă vor fi în raportul $k^2$, lucru studiat la o lecție ulterioară.

Orice două triunghiuri sunt asemenea? Nu. Trebuie ca unghiurile să fie congruente și laturile proporționale. De exemplu, un triunghi cu laturile $3,5,7$ și unul cu laturile $9,15,20$ nu sunt asemenea, pentru că rapoartele laturilor nu sunt toate egale ($\frac{7}{20}\ne \frac{1}{3}$).