Criterii de asemănare a triunghiurilor

În lecția anterioară, despre triunghiuri asemenea și raportul de asemănare, ai învățat ce înseamnă că două triunghiuri au „aceeași formă, dar dimensiuni diferite": unghiurile lor sunt respectiv congruente și laturile lor sunt respectiv proporționale. Dar imaginează-ți că ai de verificat asta pentru zeci de triunghiuri. Ar fi obositor să măsori de fiecare dată toate cele trei unghiuri și toate cele trei laturi. Din fericire, matematicienii au descoperit niște „scurtături" sigure: dacă verifici doar câteva date, poți fi 100% sigur că triunghiurile sunt asemenea. Aceste scurtături se numesc criterii de asemănare a triunghiurilor și sunt exact instrumentul folosit când vrei să afli înălțimea unui bloc din umbra lui sau lățimea unui râu fără să-l traversezi. Hai să le descoperim.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți corect cele trei criterii de asemănare a triunghiurilor: UU, LUL și LLL.
• Vei ști să alegi criteriul potrivit în funcție de datele pe care ți le dă o problemă.
• Vei ști să demonstrezi riguros că două triunghiuri sunt asemenea aplicând un criteriu.
• Vei ști să recunoști triunghiuri asemenea „ascunse" într-o figură geometrică (drepte paralele, unghiuri comune).
• Vei ști să folosești asemănarea pentru a afla lungimi necunoscute.

Hai să descoperim împreună

De la definiție la criterii: de ce avem nevoie de scurtături

Reamintește-ți: spunem că triunghiul $ABC$ este asemenea cu triunghiul $DEF$ și scriem $$△ABC\sim △DEF$$ dacă sunt îndeplinite simultan două condiții:

1. unghiurile sunt respectiv congruente: $\hat{A}\equiv \hat{D}$, $\hat{B}\equiv \hat{E}$, $\hat{C}\equiv \hat{F}$;
2. laturile sunt respectiv proporționale: $$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k,$$ unde $k$ se numește raportul de asemănare.

Atenție la un detaliu foarte important: ordinea literelor contează. Când scriem $△ABC\sim △DEF$, înțelegem că $A$ corespunde lui $D$, $B$ corespunde lui $E$, iar $C$ corespunde lui $F$. Vârfurile care se corespund se numesc vârfuri omoloage, iar laturile dintre ele se numesc laturi omoloage. Proporția de mai sus se scrie mereu punând sus laturile primului triunghi și jos laturile omoloage din al doilea.

Problema cu definiția este că ne cere șase verificări (trei unghiuri și trei laturi). E mult. Întrebarea firească pe care și-au pus-o matematicienii este: care este numărul minim de informații de care am nevoie pentru a fi sigur că două triunghiuri sunt asemenea? Răspunsul e surprinzător de mic — sunt suficiente doar câte trei informații bine alese. Din ele decurg automat toate celelalte. Aceste seturi minime de condiții sunt cele trei criterii.

Criteriul 1: UU (unghi–unghi)

Acesta este cel mai des folosit criteriu și, de cele mai multe ori, cel mai comod. Iată enunțul:

Criteriul UU (unghi–unghi). Dacă două triunghiuri au două perechi de unghiuri respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt asemenea.

De ce funcționează? Îți amintești din clasele anterioare că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este mereu $180°$. Așadar, dacă în triunghiurile $ABC$ și $DEF$ avem $\hat{A}\equiv \hat{D}$ și $\hat{B}\equiv \hat{E}$, atunci și al treilea unghi se „aliniază" automat: $$\hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}=180°-\hat{D}-\hat{E}=\hat{F}.$$

Cu alte cuvinte, dacă două unghiuri se potrivesc, al treilea se potrivește gratis. De aceea criteriul se numește UU și nu UUU: nu are rost să verifici și al treilea unghi, pentru că el este deja determinat.

Un mic detaliu de rigoare: pentru criteriul UU nu ne interesează deloc lungimile laturilor. Două triunghiuri pot avea aceleași unghiuri, dar unul să fie de o mie de ori mai mare decât celălalt — sunt tot asemenea. Gândește-te la fotografia unui triunghi mărită la copiator: unghiurile rămân neschimbate, forma rămâne aceeași, doar dimensiunile cresc.

Un sub-exemplu rapid. În $△ABC$ avem $\hat{A}=40°$ și $\hat{B}=75°$. În $△MNP$ avem $\hat{M}=40°$ și $\hat{N}=65°$. Sunt asemenea? Calculăm al treilea unghi al fiecăruia. La primul: $\hat{C}=180°-40°-75°=65°$. La al doilea: $\hat{P}=180°-40°-65°=75°$. Deci în primul triunghi unghiurile sunt $40°,75°,65°$, iar în al doilea $40°,65°,75°$ — aceleași valori. Triunghiurile sunt asemenea, dar atenție la corespondența literelor: $\hat{A}\equiv \hat{M}$ ($40°$), $\hat{B}\equiv \hat{P}$ ($75°$), $\hat{C}\equiv \hat{N}$ ($65°$), deci $△ABC\sim △MPN$ (nu $△MNP$!). Vezi cât de important e să potrivești unghiurile egale, nu ordinea în care sunt scrise literele?

Criteriul 2: LUL (latură–unghi–latură)

Al doilea criteriu intervine când nu cunoaștem unghiurile, dar avem informații despre laturi și un singur unghi.

Criteriul LUL (latură–unghi–latură). Dacă două triunghiuri au un unghi congruent, iar laturile care formează acel unghi sunt respectiv proporționale, atunci triunghiurile sunt asemenea.

Cheia aici este cuvântul între: unghiul trebuie să fie cel cuprins între cele două laturi proporționale. Se numește unghi cuprins sau unghi format de cele două laturi. Dacă în $△ABC$ și $△DEF$ avem $$\hat{A}\equiv \hat{D}\text{și}\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF},$$ atunci $△ABC\sim △DEF$. Observă: $\hat{A}$ este unghiul dintre laturile $AB$ și $AC$; $\hat{D}$ este unghiul dintre $DE$ și $DF$. Totul se potrivește frumos în vârful $A$, respectiv $D$.

De ce este esențial ca unghiul să fie între laturi? Pentru că un unghi „fixează" deschiderea celor două laturi, iar dacă și raportul lor este același, forma triunghiului este complet determinată — nu mai rămâne loc de nicio altă variantă. Dacă unghiul ar fi în altă parte (nu între cele două laturi date), configurația nu ar mai fi unic determinată și criteriul nu ar mai fi valabil.

Un sub-exemplu. În $△ABC$: $AB=10$, $AC=15$ și $\hat{A}=60°$. În $△DEF$: $DE=6$, $DF=9$ și $\hat{D}=60°$. Verificăm rapoartele laturilor care formează unghiul dat: $$\frac{AB}{DE}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3},\frac{AC}{DF}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}.$$ Rapoartele sunt egale, iar unghiul dintre ele este congruent ($60°\equiv 60°$). Prin criteriul LUL, $△ABC\sim △DEF$, cu raportul de asemănare $k=\frac{5}{3}$.

Criteriul 3: LLL (latură–latură–latură)

Al treilea criteriu se folosește când nu cunoaștem niciun unghi, ci doar lungimile tuturor laturilor.

Criteriul LLL (latură–latură–latură). Dacă cele trei perechi de laturi a două triunghiuri sunt respectiv proporționale, atunci triunghiurile sunt asemenea.

Adică, dacă $$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD},$$ atunci $△ABC\sim △DEF$. Din acest singur set de trei rapoarte egale decurge automat că și toate cele trei unghiuri sunt respectiv congruente — deși nu am măsurat niciun unghi! E ca și cum ai construi două machete din bețe de chibrit: dacă lungimile laturilor sunt în același raport, formele ies identice.

Grija principală la criteriul LLL este să potrivești corect laturile omoloage. Nu împerechea la întâmplare orice latură cu orice latură. O metodă sigură: așază laturile fiecărui triunghi în ordine crescătoare (de la cea mai mică la cea mai mare) și compară-le pereche cu pereche. Cea mai mică din primul triunghi corespunde celei mai mici din al doilea, mijlocia cu mijlocia, cea mai mare cu cea mai mare.

Un sub-exemplu. $△ABC$ are laturile $AB=4$, $BC=5$, $CA=6$. $△DEF$ are laturile $DE=6$, $EF=7,5$, $FD=9$. Verificăm: $$\frac{AB}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{BC}{EF}=\frac{5}{7,5}=\frac{2}{3},\frac{CA}{FD}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$ Toate cele trei rapoarte sunt egale cu $\frac{2}{3}$, deci prin criteriul LLL avem $△ABC\sim △DEF$, cu $k=\frac{2}{3}$.

Cum aleg criteriul potrivit?

Aceasta este întrebarea practică pe care ți-o pui la fiecare problemă. Regula de aur este: uită-te la ce date ai și alege criteriul care le folosește.

• Ai informații despre unghiuri (măsuri egale, drepte paralele care creează unghiuri congruente, un unghi comun celor două triunghiuri)? → încearcă UU.
• Ai un unghi congruent și două perechi de laturi care îl formează? → încearcă LUL.
• Ai doar lungimile tuturor laturilor și niciun unghi? → încearcă LLL.

Un tabel te ajută să memorezi:

Triunghiuri asemenea „ascunse" în figuri

Multe probleme nu îți dau două triunghiuri desenate separat, ci un singur desen în care trebuie să recunoști triunghiurile asemenea. Cele mai frecvente situații sunt:

a) Drepte paralele care taie un triunghi. Dacă o dreaptă $MN$ este paralelă cu latura $BC$ a triunghiului $ABC$ ($M\in AB$, $N\in AC$), atunci $△AMN\sim △ABC$. Justificarea folosește UU: unghiul $\hat{A}$ este comun ambelor triunghiuri, iar $\widehat{AMN}\equiv \widehat{ABC}$ pentru că sunt unghiuri corespondente formate de paralelele $MN$ și $BC$ tăiate de secanta $AB$. Două perechi de unghiuri congruente → asemenea. Această situație se leagă direct de teorema lui Thales pe care ai învățat-o deja.

b) Un unghi comun sau unghiuri opuse la vârf. Când două triunghiuri împart același unghi (unghi comun) sau au unghiuri opuse la vârf (deci congruente), ai deja o pereche de unghiuri gata. Îți mai trebuie doar încă o pereche pentru UU sau relația de proporționalitate a laturilor pentru LUL.

c) Triunghiuri dreptunghice. Dacă amândouă au un unghi drept ($90°$) și mai împart încă un unghi ascuțit congruent, sunt asemenea prin UU. Acesta este motorul din spatele multor aplicații practice (umbre, oglinzi, hărți).

Reține ideea centrală a lecției: criteriile transformă o verificare lungă (6 condiții) într-una scurtă (3 condiții). Alegi criteriul după datele pe care le ai, verifici cele câteva condiții și tragi concluzia $△\cdots \sim △\cdots$, având grijă la ordinea vârfurilor omoloage.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea criteriului UU

Enunț. În $△ABC$ avem $\hat{A}=72°$ și $\hat{B}=53°$. În $△PQR$ avem $\hat{P}=72°$ și $\hat{R}=55°$. Sunt cele două triunghiuri asemenea? Dacă da, scrie corect relația de asemănare.

Rezolvare. Ca să aplicăm UU, avem nevoie de două perechi de unghiuri congruente. Deja $\hat{A}\equiv \hat{P}$ ($72°$). Să vedem ce se întâmplă cu celelalte. Calculăm unghiurile lipsă folosind că suma este $180°$.

În $△ABC$: $\hat{C}=180°-72°-53°=55°$.

În $△PQR$: $\hat{Q}=180°-72°-55°=53°$.

Așadar unghiurile lui $△ABC$ sunt $\{72°,53°,55°\}$, iar ale lui $△PQR$ sunt $\{72°,53°,55°\}$ — aceeași colecție. Există deci două (chiar trei) perechi de unghiuri congruente. Prin criteriul UU, triunghiurile sunt asemenea.

Potrivim vârfurile după unghiuri egale: $\hat{A}=\hat{P}=72°$, $\hat{B}=\hat{Q}=53°$, $\hat{C}=\hat{R}=55°$. Concluzia corectă este: $$△ABC\sim △PQR.$$

Exemplul 2 — Aplicarea criteriului LUL

Enunț. În $△ABC$: $AB=12$ cm, $AC=8$ cm și $\hat{A}=45°$. În $△MNP$: $MN=9$ cm, $MP=6$ cm și $\hat{M}=45°$. Arată că triunghiurile sunt asemenea și precizează raportul de asemănare.

Rezolvare. Avem un unghi congruent: $\hat{A}\equiv \hat{M}$ ($45°$). Laturile care formează $\hat{A}$ sunt $AB$ și $AC$; laturile care formează $\hat{M}$ sunt $MN$ și $MP$. Verificăm dacă sunt proporționale: $$\frac{AB}{MN}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3},\frac{AC}{MP}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$ Rapoartele sunt egale ($\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$), iar unghiul cuprins între ele este congruent. Sunt fix condițiile criteriului LUL. Prin urmare: $$△ABC\sim △MNP,k=\frac{4}{3}.$$

Observație: pentru că am folosit LUL, nu a fost nevoie să cunoaștem lungimea celei de-a treia laturi ($BC$, respectiv $NP$) — asemănarea decurge oricum, iar dacă am vrea, am putea afla că și $\frac{BC}{NP}=\frac{4}{3}$.

Exemplul 3 — Aplicarea criteriului LLL

Enunț. Un triunghi $DEF$ are laturile $DE=7$, $EF=9$, $FD=11$. Un triunghi $XYZ$ are laturile $XY=21$, $YZ=27$, $ZX=33$. Sunt asemenea?

Rezolvare. Nu cunoaștem niciun unghi, dar avem toate laturile → încercăm LLL. Așezăm laturile în ordine crescătoare pentru a fi siguri de corespondență.

Triunghiul mic: $7<9<11$. Triunghiul mare: $21<27<33$. Potrivim cea mai mică cu cea mai mică etc.: $$\frac{7}{21}=\frac{1}{3},\frac{9}{27}=\frac{1}{3},\frac{11}{33}=\frac{1}{3}.$$ Toate cele trei rapoarte sunt egale cu $\frac{1}{3}$. Conform criteriului LLL, triunghiurile sunt asemenea. Corespondența vârfurilor: $D\leftrightarrow X$ (laturile $DE,DF$ ↔ $XY,XZ$), $E\leftrightarrow Y$, $F\leftrightarrow Z$, deci $$△DEF\sim △XYZ,k=\frac{1}{3}.$$

Exemplul 4 — Triunghiuri asemenea într-o figură cu paralele

Enunț. În $△ABC$, punctul $M$ se află pe latura $AB$ și punctul $N$ pe latura $AC$, astfel încât $MN\parallel BC$. Justifică faptul că $△AMN\sim △ABC$. Apoi, știind că $AM=4$ cm, $MB=6$ cm și $BC=15$ cm, află $MN$.

Rezolvare. Partea de justificare (alegem UU). Unghiul $\hat{A}$ (adică $\widehat{MAN}$ și $\widehat{BAC}$) este comun ambelor triunghiuri, deci $\hat{A}\equiv \hat{A}$. Deoarece $MN\parallel BC$, iar $AB$ este secantă, unghiurile corespondente sunt congruente: $\widehat{AMN}\equiv \widehat{ABC}$. Avem două perechi de unghiuri congruente, deci prin criteriul UU: $$△AMN\sim △ABC.$$

Partea de calcul. Din asemănare, laturile omoloage sunt proporționale. Latura $AB$ întreagă are lungimea $AB=AM+MB=4+6=10$ cm. Scriem proporția dintre laturile omoloage $AM\leftrightarrow AB$ și $MN\leftrightarrow BC$: $$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{4}{10}=\frac{MN}{15}.$$ Rezolvăm: $MN=\frac{4\cdot 15}{10}=\frac{60}{10}=6$ cm.

Deci $MN=6$ cm.

Exemplul 5 — Alegerea criteriului potrivit și un unghi comun

Enunț. Fie $△ABC$ și un punct $D$ pe latura $AB$, un punct $E$ pe latura $AC$, astfel încât $AD=3$, $AB=12$, $AE=5$, $AC=20$. Arată că $△ADE\sim △ABC$.

Rezolvare. Ce date avem? Un unghi comun ($\hat{A}$, împărțit de ambele triunghiuri) și lungimile laturilor care formează acest unghi: în $△ADE$ sunt $AD$ și $AE$, în $△ABC$ sunt $AB$ și $AC$. Asta ne îndreaptă spre criteriul LUL.

Verificăm proporționalitatea laturilor care formează unghiul comun: $$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4},\frac{AE}{AC}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.$$ Rapoartele sunt egale, iar unghiul $\hat{A}$ este comun (deci congruent cu el însuși). Prin criteriul LUL: $$△ADE\sim △ABC,k=\frac{1}{4}.$$ O consecință frumoasă: din această asemănare rezultă $\widehat{ADE}\equiv \widehat{ABC}$, ceea ce înseamnă (unghiurile corespondente fiind congruente, dreptele sunt paralele) că $DE\parallel BC$. Vezi cum criteriile se leagă între ele?

Exemplul 6 — Aplicație practică: înălțimea unui copac din umbră

Enunț. La aceeași oră a zilei, un băț vertical de $1,5$ m aruncă o umbră de $2$ m, iar un copac aruncă o umbră de $16$ m. Ce înălțime are copacul?

Rezolvare. Bățul cu umbra lui formează un triunghi dreptunghic, iar copacul cu umbra lui, un alt triunghi dreptunghic. Amândouă au un unghi de $90°$ (obiectul este vertical, umbra este orizontală). În plus, razele soarelui cad sub același unghi la aceeași oră, deci unghiul dintre rază și sol este același în ambele triunghiuri. Avem două perechi de unghiuri congruente → triunghiurile sunt asemenea prin criteriul UU.

Notăm cu $h$ înălțimea copacului. Laturile omoloage (înălțimea obiectului și lungimea umbrei) sunt proporționale: $$\frac{\text{ıˆna˘lțime ba˘ț}}{\text{umbra˘ ba˘ț}}=\frac{\text{ıˆna˘lțime copac}}{\text{umbra˘ copac}}\Rightarrow \frac{1,5}{2}=\frac{h}{16}.$$ Rezolvăm: $h=\frac{1,5\cdot 16}{2}=\frac{24}{2}=12$ m.

Copacul are $12$ m înălțime — și l-am „măsurat" fără să ne urcăm în el, doar cu ajutorul asemănării triunghiurilor. Vei aprofunda astfel de aplicații în lecția aplicații practice: aproximarea distanțelor folosind asemănarea.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Sunt așezate de la ușor la greu.

1. Completează: criteriul UU cere să verificăm ______ perechi de unghiuri respectiv congruente.

2. Enunță cu cuvintele tale criteriul LUL. Ce condiție trebuie neapărat să îndeplinească unghiul?

3. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă două triunghiuri au o pereche de unghiuri congruente, atunci ele sunt asemenea."

4. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt respectiv proporționale cu cele trei laturi ale altui triunghi, atunci triunghiurile au și unghiurile respectiv congruente."

5. În $△ABC$: $\hat{A}=38°$, $\hat{B}=96°$. În $△DEF$: $\hat{D}=38°$, $\hat{E}=96°$. Sunt asemenea? Ce criteriu ai folosit?

6. În $△ABC$: $\hat{A}=60°$, $\hat{C}=40°$. În $△MNP$: $\hat{M}=60°$, $\hat{N}=80°$. Verifică prin calcul dacă sunt asemenea și, dacă da, scrie corect relația de asemănare.

7. Un triunghi are laturile $5$, $6$, $8$. Alt triunghi are laturile $10$, $12$, $16$. Sunt asemenea? Care este raportul de asemănare?

8. Un triunghi are laturile $3$, $4$, $6$. Alt triunghi are laturile $6$, $8$, $10$. Sunt asemenea? Justifică.

9. În $△ABC$: $AB=6$, $AC=9$, $\hat{A}=70°$. În $△DEF$: $DE=10$, $DF=15$, $\hat{D}=70°$. Arată că sunt asemenea și află raportul de asemănare $\frac{AB}{DE}$.

10. Pentru fiecare situație de mai jos, spune ce criteriu ai folosi (UU, LUL sau LLL): a) cunoști doar cele trei laturi ale fiecărui triunghi; b) cunoști două unghiuri ale fiecărui triunghi; c) cunoști un unghi și cele două laturi care îl formează, în fiecare triunghi.

11. În $△ABC$, $M\in AB$ și $N\in AC$ cu $MN\parallel BC$. Justifică de ce $△AMN\sim △ABC$ și precizează criteriul.

12. În figura de la exercițiul 11, se știe $AM=5$, $AB=15$, $MN=4$. Află lungimea lui $BC$.

13. Adevărat sau fals (justifică): „Pentru criteriul LUL, unghiul congruent poate fi oricare dintre unghiurile triunghiului, nu neapărat cel dintre laturile date."

14. Două triunghiuri dreptunghice au fiecare câte un unghi de $37°$ (pe lângă unghiul drept). Sunt asemenea? Ce criteriu susține concluzia?

15. În $△ABC$: $AB=8$, $AC=12$. Pe $AB$ luăm $D$ cu $AD=2$, iar pe $AC$ luăm $E$ cu $AE=3$. Arată că $△ADE\sim △ABC$ și deduce raportul de asemănare.

16. Două triunghiuri isoscele au fiecare unghiul dintre laturile egale (unghiul „de la vârf") de $40°$. Explică de ce sunt asemenea.

17. La ora $10$, un stâlp de $4$ m are umbra de $3$ m. În același moment, umbra unei clădiri este de $27$ m. Ce înălțime are clădirea?

18. În $△ABC$, $\hat{A}=90°$. Ducem înălțimea din $A$ pe ipotenuza $BC$; piciorul ei este $D$. Folosind unghiuri, arată că $△ABD\sim △CBA$. (Indicație: caută un unghi comun și un unghi drept.)

Răspunsuri și explicații

1. Două (2) perechi de unghiuri congruente. Al treilea unghi rezultă automat, pentru că suma unghiurilor este $180°$.

2. Criteriul LUL: dacă două triunghiuri au un unghi congruent și laturile care formează acel unghi sunt respectiv proporționale, atunci sunt asemenea. Condiția esențială: unghiul trebuie să fie cuprins între cele două laturi date (unghiul „dintre" ele).

3. Fals. O singură pereche de unghiuri congruente nu este suficientă. De exemplu, un triunghi cu unghiurile $50°,60°,70°$ și altul cu $50°,80°,50°$ împart unghiul de $50°$, dar nu sunt asemenea. Avem nevoie de două perechi de unghiuri congruente (UU).

4. Adevărat. Exact asta garantează criteriul LLL: din proporționalitatea celor trei laturi rezultă automat că toate unghiurile respective sunt congruente, deci triunghiurile sunt asemenea (au aceeași formă).

5. Da, sunt asemenea, prin criteriul UU: două perechi de unghiuri congruente ($\hat{A}\equiv \hat{D}=38°$ și $\hat{B}\equiv \hat{E}=96°$). Relația: $△ABC\sim △DEF$.

6. Calculăm unghiurile lipsă. $△ABC$: $\hat{B}=180°-60°-40°=80°$, deci unghiurile sunt $\{60°,80°,40°\}$. $△MNP$: $\hat{P}=180°-60°-80°=40°$, deci $\{60°,80°,40°\}$. Aceleași unghiuri → asemenea (UU). Potrivim: $\hat{A}=\hat{M}=60°$, $\hat{B}=\hat{N}=80°$, $\hat{C}=\hat{P}=40°$. Deci $△ABC\sim △MNP$.

7. Ordonăm laturile: $5,6,8$ și $10,12,16$. Rapoartele: $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$, $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$. Egale → asemenea (LLL), cu raportul $k=\frac{1}{2}$.

8. Ordonăm: $3,4,6$ și $6,8,10$. Rapoartele: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$, dar $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\ne \frac{1}{2}$. Al treilea raport diferă → NU sunt asemenea. (Primele două rapoarte te-ar putea păcăli; de aceea trebuie verificate toate trei.)

9. Unghi congruent $\hat{A}\equiv \hat{D}=70°$; laturile care îl formează: $\frac{AB}{DE}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ și $\frac{AC}{DF}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$. Egale → asemenea (LUL). Raportul $\frac{AB}{DE}=\frac{3}{5}$.

10. a) LLL; b) UU; c) LUL.

11. $\hat{A}$ este comun ambelor triunghiuri, deci $\hat{A}\equiv \hat{A}$. Cum $MN\parallel BC$ și $AB$ este secantă, unghiurile corespondente sunt congruente: $\widehat{AMN}\equiv \widehat{ABC}$. Două perechi de unghiuri congruente → $△AMN\sim △ABC$ prin criteriul UU.

12. Din $△AMN\sim △ABC$ avem $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$, adică $\frac{5}{15}=\frac{4}{BC}$. Deci $\frac{1}{3}=\frac{4}{BC}$, de unde $BC=4\cdot 3=12$.

13. Fals. La criteriul LUL unghiul congruent trebuie să fie exact cel cuprins între cele două laturi proporționale. Dacă unghiul este în altă poziție, configurația nu mai este unic determinată, iar concluzia asemănării nu mai este garantată.

14. Da, sunt asemenea (UU). Fiecare are un unghi de $90°$ și un unghi de $37°$; acestea sunt deja două perechi de unghiuri congruente. (Al treilea, $53°$, rezultă automat.)

15. Unghiul $\hat{A}$ este comun. Laturile care îl formează: $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ și $\frac{AE}{AC}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Egale → asemenea (LUL), cu $△ADE\sim △ABC$ și raportul $k=\frac{1}{4}$.

16. Fie primul triunghi cu unghiul de la vârf $40°$: unghiurile de la bază sunt egale, fiecare $\frac{180°-40°}{2}=70°$. Al doilea, la fel: $70°,70°,40°$. Ambele au unghiurile $\{40°,70°,70°\}$ → două perechi de unghiuri congruente → asemenea (UU).

17. Stâlpul cu umbra și clădirea cu umbra formează triunghiuri dreptunghice asemenea (UU: unghi drept + același unghi al razelor solare). Notăm cu $H$ înălțimea clădirii: $\frac{4}{3}=\frac{H}{27}$, deci $H=\frac{4\cdot 27}{3}=\frac{108}{3}=36$ m. Clădirea are $36$ m.

18. În $△ABD$ și $△CBA$: unghiul $\hat{B}$ (adică $\widehat{ABD}$ și $\widehat{CBA}$) este comun. În plus, $\widehat{ADB}=90°$ (înălțimea este perpendiculară pe $BC$) și $\widehat{CAB}=90°$ (ipoteza). Deci $\widehat{ADB}\equiv \widehat{CAB}$. Două perechi de unghiuri congruente → $△ABD\sim △CBA$ prin criteriul UU. (Este chiar ideea de la baza teoremei catetei, pe care o vei studia mai târziu.)

De reținut

• Criteriul UU: două perechi de unghiuri respectiv congruente $\Rightarrow$ triunghiurile sunt asemenea. Este cel mai folosit, mai ales când apar drepte paralele sau un unghi comun.
• Criteriul LUL: un unghi congruent + laturile care îl formează respectiv proporționale $\Rightarrow$ asemenea. Unghiul trebuie să fie între cele două laturi.
• Criteriul LLL: toate cele trei perechi de laturi respectiv proporționale $\Rightarrow$ asemenea. Potrivește laturile omoloage (ordonează-le crescător).
• Alegerea criteriului se face după datele problemei: unghiuri → UU; un unghi + două laturi → LUL; toate laturile → LLL.
• Scrie mereu relația de asemănare respectând ordinea vârfurilor omoloage: $△ABC\sim △DEF$ înseamnă $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$.

Greșeli frecvente

• Confuzia „un unghi = asemenea". O singură pereche de unghiuri congruente NU este suficientă. Ai nevoie de două (UU). Nu te grăbi să tragi concluzia după un singur unghi.
• Uitarea condiției „între" la LUL. Dacă unghiul congruent nu este cel cuprins între cele două laturi proporționale, criteriul nu se aplică. Verifică mereu că laturile din raport pornesc chiar din vârful unghiului dat.
• Împerecherea greșită a laturilor la LLL. Nu compara la întâmplare orice latură cu orice latură. Ordonează laturile fiecărui triunghi crescător și potrivește-le în ordine (mică cu mică, mare cu mare). Altfel obții rapoarte inegale și concluzii false.
• Ordinea greșită a literelor. A scrie $△ABC\sim △DEF$ când de fapt $A$ corespunde lui $E$ este o eroare care duce la proporții incorecte. Potrivește literele după unghiurile/laturile care se corespund, nu după cum sunt scrise în enunț.

Aplică acasă

1. Măsoară un obiect înalt din curte (un copac, un stâlp, blocul vecin) folosind umbra. Într-o zi însorită, înfige vertical în pământ un băț de lungime cunoscută și măsoară-i umbra. Măsoară apoi umbra obiectului mare. Aplică proporția de la Exemplul 6 și estimează înălțimea. Compară, dacă poți, cu o valoare cunoscută.

2. Vânătoare de triunghiuri asemenea. Ia o riglă și o coală și desenează un triunghi oarecare. Trasează o dreaptă paralelă cu una dintre laturi, care taie celelalte două laturi. Măsoară și verifică prin calcul că triunghiul mic și cel mare au laturile proporționale — confirmând asemănarea prin UU.

3. Reproducere la scară. Alege un logo simplu format din triunghiuri (de exemplu o emblemă sportivă). Redesenează-l de două ori mai mare, măsurând cu grijă. Verifică pe două-trei triunghiuri din desen că raportul laturilor omoloage este constant ($k=2$) — ai realizat practic o transformare de asemănare.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este un pas-cheie în unitatea despre asemănare: elevul trece de la definiția asemănării (șase condiții) la criteriile practice (trei condiții). Cel mai frecvent blocaj este alegerea criteriului: mulți elevi încearcă mecanic primul criteriu care le vine în minte. Ajutați-i punând întrebarea-ghid: „Ce date îți dă problema — unghiuri, laturi sau amestecat?" De aici alegerea devine naturală.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Câte perechi de unghiuri trebuie să verifici pentru criteriul UU și de ce nu trei?"
• „La criteriul LUL, unde trebuie să se afle unghiul față de laturile date?"
• „Cum te asiguri că potrivești corect laturile la criteriul LLL?"
• „De ce ordinea literelor în $△ABC\sim △DEF$ este importantă?"

Semne că elevul a înțeles: enunță cele trei criterii fără să confunde condițiile, alege criteriul potrivit uitându-se la date, redactează demonstrația în stil ipoteză–concluzie (citez ce știu, aplic criteriul, scriu concluzia cu ordinea corectă a vârfurilor) și recunoaște triunghiuri asemenea „ascunse" într-o figură cu paralele sau cu un unghi comun.

Întrebări frecvente

Care sunt cele trei criterii de asemănare a triunghiurilor la clasa a 7-a? Sunt UU (unghi–unghi), LUL (latură–unghi–latură) și LLL (latură–latură–latură). UU cere două perechi de unghiuri congruente; LUL cere un unghi congruent și laturile care îl formează proporționale; LLL cere toate cele trei perechi de laturi proporționale.

De ce criteriul UU are doar două unghiuri, nu trei? Pentru că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este întotdeauna $180°$. Dacă două unghiuri se potrivesc, al treilea se potrivește automat, deci nu mai are rost să-l verifici.

Cum aleg între UU, LUL și LLL? Uită-te la datele problemei. Dacă ai informații despre unghiuri (măsuri egale, un unghi comun, drepte paralele), folosește UU. Dacă ai un unghi și cele două laturi care îl formează, folosește LUL. Dacă ai doar lungimile tuturor laturilor, folosește LLL.

La criteriul LUL, de ce trebuie ca unghiul să fie între cele două laturi? Pentru că un unghi „fixează" deschiderea dintre cele două laturi. Împreună cu raportul lor, forma triunghiului devine unic determinată. Dacă unghiul ar fi în altă poziție, ar putea exista mai multe forme diferite, iar asemănarea nu ar mai fi garantată.

Cum demonstrez că două triunghiuri sunt asemenea? Scrii ce date ai (ipoteza), alegi criteriul potrivit, verifici condițiile lui (calculezi unghiurile lipsă sau rapoartele laturilor) și, dacă se îndeplinesc, scrii concluzia $△\cdots \sim △\cdots$ cu vârfurile omoloage în ordinea corectă.

Două triunghiuri dreptunghice cu un unghi ascuțit congruent sunt asemenea? Da. Amândouă au unghiul de $90°$ (o pereche de unghiuri congruente) și încă un unghi ascuțit congruent (a doua pereche). Prin criteriul UU sunt asemenea.

Ce legătură au criteriile de asemănare cu teorema lui Thales? Când o dreaptă este paralelă cu o latură a unui triunghi și taie celelalte două laturi, se formează un triunghi mic asemenea cu cel mare (prin UU, folosind unghiul comun și unghiurile corespondente). Din această asemănare rezultă proporțiile din teorema lui Thales.

Dacă doar două laturi sunt proporționale, triunghiurile sunt asemenea? Nu neapărat. Ai nevoie fie de a treia latură proporțională (LLL), fie de unghiul cuprins între cele două laturi congruent (LUL). Două laturi proporționale, singure, nu sunt suficiente.