Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Imaginează-ți că lucrezi la un proiect real: vrei să afli înălțimea unui bloc fără să te urci pe el, unghiul unei rampe pentru biciclete sau lungimea unei sfori de la un zmeu până la mâna ta. În toate aceste situații ai câteva informații despre un triunghi dreptunghic și trebuie să le afli pe toate celelalte. Acest lucru se numește rezolvarea triunghiului dreptunghic și este momentul în care toată trigonometria pe care ai învățat-o (sinus, cosinus, tangentă) se unește cu teorema lui Pitagora într-o singură strategie puternică. În această lecție despre rezolvarea triunghiului dreptunghic la clasa 7 vei învăța cum alegi relația potrivită și cum treci, pas cu pas, de la două-trei date la triunghiul complet.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă a rezolva un triunghi dreptunghic: să afli toate cele trei laturi și toate cele trei unghiuri.
• Vei ști să afli laturile necunoscute atunci când cunoști o latură și un unghi ascuțit, folosind $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$.
• Vei ști să determini măsurile unghiurilor ascuțite pornind de la două laturi, prin rapoarte trigonometrice.
• Vei ști să combini teorema lui Pitagora cu rapoartele trigonometrice pentru a rezolva orice triunghi dreptunghic.
• Vei ști să alegi rapid strategia potrivită în funcție de datele pe care le ai la dispoziție.

Hai să descoperim împreună

Reamintim notațiile și „inventarul" de relații

Vom lucra tot timpul cu un triunghi dreptunghic. Ca să nu ne încurcăm, fixăm o convenție pe care o folosim în toată lecția: triunghiul $ABC$ are unghiul drept în $A$. Atunci:

• ipotenuza este $BC$ (latura din fața unghiului drept, cea mai lungă);
• catetele sunt $AB$ și $AC$ (laturile care formează unghiul drept);
• unghiurile ascuțite sunt $\angle B$ și $\angle C$.

Un lucru esențial pe care îl folosim mereu: suma unghiurilor ascuțite este $90°$. Într-un triunghi, suma tuturor unghiurilor este $180°$; cum unul este $90°$, celelalte două împreună fac tot $90°$. Deci:

$$\angle B+\angle C=90°$$

De aici, dacă știm un unghi ascuțit, îl aflăm imediat pe celălalt: dacă $\angle B=30°$, atunci $\angle C=90°-30°=60°$. Spunem că cele două unghiuri ascuțite sunt complementare.

Acum să ne amintim „uneltele" cu care lucrăm. Pentru unghiul ascuțit $B$, raportăm laturile astfel:

$$\sin B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}}=\frac{AC}{BC},\cos B=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}=\frac{AB}{BC}$$

$$\mathrm{tg}B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}=\frac{AC}{AB},\mathrm{ctg}B=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{cateta opusa˘}}=\frac{AB}{AC}$$

Reține expresia care te ajută să nu greșești niciodată la $\sin$ și $\cos$: „opus pe ipotenuză" pentru sinus, „alăturat pe ipotenuză" pentru cosinus, iar la tangentă „opus pe alăturat". Cateta opusă unui unghi este cea care nu-l atinge; cateta alăturată este cea care formează unghiul (dar nu e ipotenuza).

Și, bineînțeles, avem teorema lui Pitagora, care leagă cele trei laturi:

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$

Poți recapitula aceste noțiuni în lecțiile despre sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit și teorema lui Pitagora.

Ce înseamnă „a rezolva un triunghi dreptunghic"

Un triunghi dreptunghic are șase elemente: trei laturi ($AB$, $AC$, $BC$) și trei unghiuri ($\angle A$, $\angle B$, $\angle C$). Unghiul $\angle A$ îl știm mereu: este $90°$. Deci rămân de aflat cinci elemente: două unghiuri ascuțite și trei laturi.

A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a determina toate laturile și toate unghiurile lui, pornind de la datele cunoscute.

Cât de multe date ne trebuie ca să pornim? Răspunsul este important: avem nevoie de cel puțin o latură plus încă o informație (o altă latură sau un unghi ascuțit). De ce neapărat o latură? Pentru că unghiurile ne spun doar forma triunghiului, nu și mărimea lui. Două triunghiuri dreptunghice cu aceleași unghiuri arată la fel, dar unul poate fi cât o foaie de caiet, iar celălalt cât un teren de fotbal — sunt triunghiuri asemenea. Ca să fixăm mărimea, ne trebuie măcar o lungime reală.

În practică, la clasa a VII-a întâlnim trei situații tipice de pornire:

1. cunoaștem o latură și un unghi ascuțit (de exemplu ipotenuza și un unghi, sau o catetă și un unghi);
2. cunoaștem două laturi (două catete, sau ipotenuza și o catetă);
3. situații practice care se reduc la una dintre primele două.

Le vom parcurge pe rând.

Cazul 1: cunoaștem o latură și un unghi ascuțit

Aceasta este situația cea mai frecventă în probleme. Ideea generală este simplă: alegem raportul trigonometric care leagă latura cunoscută de latura pe care o căutăm.

Să facem un exemplu foarte detaliat. Fie triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC=10$ și $\angle B=30°$. Vrem să aflăm restul.

Pasul 1 — unghiul rămas. Din $\angle B+\angle C=90°$ obținem $\angle C=90°-30°=60°$. Primul element rezolvat, aproape gratis.

Pasul 2 — cateta opusă lui $B$ (adică $AC$). Sinusul leagă cateta opusă de ipotenuză: $$\sin B=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC\cdot \sin B=10\cdot \sin 30°=10\cdot \frac{1}{2}=5.$$

Pasul 3 — cateta alăturată lui $B$ (adică $AB$). Cosinusul leagă cateta alăturată de ipotenuză: $$\cos B=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC\cdot \cos B=10\cdot \cos 30°=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.$$

Pasul 4 — verificarea (opțională, dar recomandată). Controlăm cu teorema lui Pitagora: $$A{B}^2+A{C}^2=(5\sqrt{3}{)}^2+5^2=75+25=100=10^2=B{C}^2.✓$$

Gata: triunghiul e complet rezolvat. $\angle B=30°$, $\angle C=60°$, $AB=5\sqrt{3}$, $AC=5$, $BC=10$.

Observă „mecanismul": când cunoaștem ipotenuza și un unghi, catetele se obțin înmulțind ipotenuza cu $\sin$ sau $\cos$. Reține formulele-cheie:

$$\text{cateta opusa˘}=\text{ipotenuza}\cdot \sin (\text{unghi}),\text{cateta ala˘turata˘}=\text{ipotenuza}\cdot \cos (\text{unghi}).$$

Dar dacă latura cunoscută este o catetă, nu ipotenuza? Atunci folosim tangenta (care leagă cele două catete) și cosinusul/sinusul ca să urcăm la ipotenuză. Iată exemplul: $ABC$ dreptunghic în $A$, cu cateta $AB=6$ și $\angle B=60°$.

Pasul 1. $\angle C=90°-60°=30°$.

Pasul 2 — cealaltă catetă. Cateta $AB$ este alăturată lui $B$, iar $AC$ este opusă lui $B$. Tangenta le leagă: $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC=AB\cdot \mathrm{tg}B=6\cdot \mathrm{tg}60°=6\sqrt{3}.$$

Pasul 3 — ipotenuza. $AB$ e alăturată lui $B$, deci folosim cosinusul: $$\cos B=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BC=\frac{AB}{\cos B}=\frac{6}{\cos 60°}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12.$$

Verificare: $A{B}^2+A{C}^2=36+108=144=12^2=B{C}^2.$ ✓

Reține și aici regula: când vrei să treci de la o catetă la ipotenuză, ipotenuza este mai mare, deci împarți cateta la $\cos$ (dacă e alăturată) sau la $\sin$ (dacă e opusă). Ipotenuza iese mereu mai mare decât catetele — dacă îți dă mai mică, ai greșit undeva.

Cazul 2: cunoaștem două laturi și vrem unghiurile

Acum situația e „inversă": avem laturi și căutăm unghiuri. Strategia: formăm un raport trigonometric cu cele două laturi cunoscute și recunoaștem unghiul din valoarea raportului.

Exemplu: $ABC$ dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=4\sqrt{3}$ și $AC=4$. Vrem unghiurile și ipotenuza.

Pasul 1 — un unghi din tangentă. Avem cele două catete, iar tangenta le leagă exact: $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$ Recunoaștem valoarea: $\mathrm{tg}30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Deci $\angle B=30°$.

Pasul 2 — celălalt unghi. $\angle C=90°-30°=60°$.

Pasul 3 — ipotenuza cu Pitagora. $$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{(4\sqrt{3}{)}^2+4^2}=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8.$$

Triunghi rezolvat: $\angle B=30°$, $\angle C=60°$, $BC=8$.

Aici vezi frumusețea combinării: unghiurile le-am scos din rapoarte trigonometrice, iar latura lipsă din teorema lui Pitagora. Exact ce cere titlul lecției.

De unde știm ce unghi are un raport dat? La clasa a VII-a folosim valorile trigonometrice ale unghiurilor de $30°$, $45°$ și $60°$ (le găsești detaliat în lecția valorile trigonometrice ale unghiurilor de 30°, 45° și 60°), plus tabelul trigonometric pentru celelalte unghiuri. Iată tabelul de bază, pe care merită să-l ai mereu în minte:

Când raportul iese egal cu una dintre aceste valori, recunoști direct unghiul. Când nu este un unghi „frumos", folosești tabelul trigonometric (de exemplu $\mathrm{tg}40°\approx 0,839$) sau spui doar $\sin B=\frac{15}{17}$ fără să ceri măsura exactă.

Mai luăm un exemplu de Cazul 2, dar cu ipotenuza și o catetă. Fie $ABC$ dreptunghic în $A$, $BC=8$ (ipotenuza) și $AB=4$ (o catetă). Cateta $AB$ e alăturată lui $B$, deci: $$\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle B=60°,\angle C=30°.$$ Cateta lipsă: $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.

O regulă de aur: alege relația care are un singur necunoscut

Când te blochezi, gândește așa: scrie o relație în care apare o singură mărime necunoscută (restul le cunoști). Atunci o poți afla imediat. Nu porni cu o formulă în care ai două lucruri pe care nu le știi.

De exemplu, dacă știi ipotenuza $BC$ și unghiul $B$ și vrei $AC$, alegi $\sin B=\frac{AC}{BC}$: aici $B$ și $BC$ sunt cunoscute, singurul necunoscut e $AC$. Perfect. Dar dacă ai scrie $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}$, ai avea două necunoscute ($AC$ și $AB$) și nu ai putea rezolva direct.

Combinarea teoremei lui Pitagora cu rapoartele trigonometrice

De multe ori nu folosești o singură relație, ci le împletești. Ideea generală:

• rapoartele trigonometrice leagă laturi și unghiuri;
• teorema lui Pitagora leagă doar laturi (fără unghiuri).

Așa că, atunci când ai un unghi în date, pornești de la trigonometrie; când vrei o latură din alte două laturi, treci la Pitagora; iar la final poți verifica totul cu Pitagora. Un traseu tipic „complet":

Această schemă de decizie este, de fapt, strategia de rezolvare a triunghiului dreptunghic. Cu ea în minte, orice problemă devine o succesiune ordonată de pași mici.

Aplicații din viața reală: unghiuri de înălțare

Multe probleme practice vorbesc despre unghiul de înălțare (unghiul sub care privești în sus, de la orizontală, spre vârful unui obiect). Modelul geometric este mereu același: un triunghi dreptunghic în care cateta orizontală e distanța pe sol, cateta verticală e înălțimea, iar ipotenuza e „linia de vizare".

Dacă știi distanța pe sol $d$ și unghiul de înălțare $\alpha$, atunci înălțimea $h$ satisface $\mathrm{tg}\alpha =\frac{h}{d}$, deci $h=d\cdot \mathrm{tg}\alpha$. Vei folosi acest tipar la exercițiul 13; la exercițiul 17 situația e asemănătoare, doar că acolo cunoști ipotenuza (sfoara), deci lucrezi cu $\sin$. Astfel de aplicații arată de ce trigonometria e utilă: măsori indirect ceva ce nu poți măsura direct (înălțimea unui bloc, lățimea unui râu).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — ipotenuză și unghi. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ se dau $BC=10$ și $\angle C=30°$. Rezolvă triunghiul.

Rezolvare. $\angle B=90°-30°=60°$. Cateta opusă lui $C$ este $AB$, cea alăturată lui $C$ este $AC$: $$AB=BC\cdot \sin C=10\cdot \sin 30°=10\cdot \frac{1}{2}=5,$$ $$AC=BC\cdot \cos C=10\cdot \cos 30°=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.$$ Verificare: $A{B}^2+A{C}^2=25+75=100=B{C}^2.$ ✓ Răspuns: $\angle B=60°$, $\angle C=30°$, $AB=5$, $AC=5\sqrt{3}$, $BC=10$.

Exemplul 2 — catetă și unghi. În $ABC$ dreptunghic în $A$ se dau cateta $AC=9$ și $\angle C=45°$. Rezolvă triunghiul.

Rezolvare. $\angle B=90°-45°=45°$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel. Cateta $AC$ e alăturată lui $C$, iar $AB$ e opusă lui $C$: $$AB=AC\cdot \mathrm{tg}C=9\cdot \mathrm{tg}45°=9\cdot 1=9,$$ $$BC=\frac{AC}{\cos C}=\frac{9}{\cos 45°}=\frac{9}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{9\cdot 2}{\sqrt{2}}=\frac{18}{\sqrt{2}}=\frac{18\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}.$$ Verificare: $9^2+9^2=162=(9\sqrt{2}{)}^2.$ ✓ Răspuns: $\angle B=45°$, $\angle C=45°$, $AB=9$, $AC=9$, $BC=9\sqrt{2}$.

Exemplul 3 — două catete, aflăm unghiurile. În $ABC$ dreptunghic în $A$, catetele sunt $AB=5$ și $AC=5\sqrt{3}$. Rezolvă triunghiul.

Rezolvare. Cele două catete se leagă prin tangentă: $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle B=60°,\angle C=30°.$$ Ipotenuza, cu Pitagora: $$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{25+75}=\sqrt{100}=10.$$ Răspuns: $\angle B=60°$, $\angle C=30°$, $BC=10$.

Exemplul 4 — ipotenuză și catetă (fără unghi „frumos", ne oprim la rapoarte). În $ABC$ dreptunghic în $A$, $AB=8$ și $AC=15$. Află ipotenuza, apoi $\sin B$ și $\cos B$.

Rezolvare. Cu Pitagora: $BC=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$. Cateta opusă lui $B$ e $AC$, cea alăturată e $AB$: $$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17},\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{17}.$$ (Unghiul $B$ nu este $30°$, $45°$ sau $60°$, deci nu-i dăm o măsură „rotundă"; îl citim din tabelul trigonometric doar dacă e cerut.) Răspuns: $BC=17$, $\sin B=\frac{15}{17}$, $\cos B=\frac{8}{17}$.

Exemplul 5 — problemă practică cu rampa. O rampă pentru cărucioare are lungimea de $12$ m și face cu solul un unghi de $30°$. Ce înălțime câștigă rampa (cât urcă pe verticală) și cât e distanța orizontală acoperită?

Rezolvare. Rampa este ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Înălțimea $h$ este cateta opusă unghiului de $30°$, iar distanța orizontală $d$ este cateta alăturată: $$h=12\cdot \sin 30°=12\cdot \frac{1}{2}=6\text{ m},$$ $$d=12\cdot \cos 30°=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx 10,39\text{ m}.$$ Răspuns: rampa urcă $6$ m pe verticală și acoperă cca $10,39$ m pe orizontală.

Exemplul 6 — unghi de înălțare cu tabel trigonometric. Dintr-un punct aflat la $20$ m de baza unui turn, unghiul de înălțare spre vârful turnului este de $40°$. Ce înălțime are turnul? (Se dă $\mathrm{tg}40°\approx 0,839$.)

Rezolvare. Modelăm cu un triunghi dreptunghic: cateta orizontală $=20$ m, cateta verticală $=h$ (înălțimea), unghiul de $40°$ la observator. Tangenta leagă cele două catete: $$\mathrm{tg}40°=\frac{h}{20}\Rightarrow h=20\cdot \mathrm{tg}40°\approx 20\cdot 0,839=16,78\text{ m}.$$ Răspuns: turnul are aproximativ $16,78$ m.

Să exersăm

Pentru toate exercițiile de mai jos, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ (deci ipotenuza este $BC$), dacă nu se spune altfel. Folosește tabelul cu valorile pentru $30°$, $45°$, $60°$.

1. Se dau $BC=20$ și $\angle B=30°$. Află $\angle C$, $AC$ și $AB$.

2. Se dau $\angle C=45°$ și cateta $AB=7$. Află $\angle B$, $AC$ și $BC$.

3. Se dau cateta $AB=9$ și $\angle B=60°$. Află $\angle C$, $AC$ și $BC$.

4. Catetele sunt $AB=6$ și $AC=6\sqrt{3}$. Află $\angle B$, $\angle C$ și $BC$.

5. Se dau ipotenuza $BC=14$ și cateta $AB=7$. Află $\angle B$, $\angle C$ și $AC$.

6. Catetele sunt egale: $AB=AC=5$. Află cele două unghiuri ascuțite și ipotenuza.

7. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă știu doar cele două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic, pot afla lungimile laturilor."

8. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă cunosc ipotenuza și un unghi ascuțit, pot afla ambele catete."

9. O scară de $5$ m se sprijină de un perete și face cu solul un unghi de $60°$. La ce înălțime ajunge pe perete și cât de departe este baza scării de perete?

10. O rampă are lungimea de $8$ m și urcă până la înălțimea de $4$ m. Ce unghi face rampa cu orizontala?

11. Se dau $\angle B=30°$ și cateta opusă lui $B$, adică $AC=4$. Află $BC$ și $AB$.

12. Catetele sunt $AB=8$ și $AC=15$. Află ipotenuza, apoi $\sin B$ și $\cos B$.

13. Dintr-un punct aflat la $30$ m de baza unui bloc, unghiul de înălțare spre vârful blocului este de $45°$. Ce înălțime are blocul?

14. Se dau ipotenuza $BC=12$ și $\angle B=45°$. Află cele două catete.

15. Justifică: de ce, într-un triunghi dreptunghic, cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu sinusul celuilalt unghi ascuțit?

16. Se dau cateta $AB=10$ și $\angle B=60°$. Află perimetrul triunghiului $ABC$.

17. Un zmeu este ținut de o sfoară întinsă de $40$ m, care face cu solul un unghi de $50°$. La ce înălțime se află zmeul? (Se dă $\sin 50°\approx 0,766$.)

18. Catetele sunt $AB=3$ și $AC=4$. Află ipotenuza, apoi $\mathrm{tg}B$ și $\mathrm{tg}C$.

Răspunsuri și explicații

1. $\angle C=90°-30°=60°$. $AC=BC\cdot \sin B=20\cdot \frac{1}{2}=10$; $AB=BC\cdot \cos B=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. Verificare: $10^2+(10\sqrt{3}{)}^2=100+300=400=20^2$. ✓

2. $\angle B=90°-45°=45°$ (triunghi isoscel). $AC$ e opusă lui $B$, $AB$ e alăturată: $AC=AB\cdot \mathrm{tg}B=7\cdot 1=7$; $BC=\frac{AB}{\cos B}=\frac{7}{\sqrt{2}/2}=7\sqrt{2}$. Verificare: $7^2+7^2=98=(7\sqrt{2}{)}^2$. ✓

3. $\angle C=30°$. $AB$ e alăturată lui $B$: $AC=AB\cdot \mathrm{tg}B=9\cdot \sqrt{3}=9\sqrt{3}$; $BC=\frac{AB}{\cos B}=\frac{9}{1/2}=18$. Verificare: $9^2+(9\sqrt{3}{)}^2=81+243=324=18^2$. ✓

4. $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle B=60°$, $\angle C=30°$. $BC=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$.

5. $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle B=60°$, $\angle C=30°$. $AC=\sqrt{14^2-7^2}=\sqrt{196-49}=\sqrt{147}=7\sqrt{3}$.

6. $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{5}=1\Rightarrow \angle B=45°$, $\angle C=45°$. $BC=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

7. Fals. Unghiurile determină doar forma triunghiului, nu și mărimea lui. Există o infinitate de triunghiuri dreptunghice cu aceleași unghiuri (triunghiuri asemenea), de mărimi diferite. Ai nevoie de cel puțin o latură ca să fixezi dimensiunile.

8. Adevărat. Cu ipotenuza $BC$ și unghiul $\angle B$ cunoscute, cateta opusă este $AC=BC\cdot \sin B$, iar cateta alăturată este $AB=BC\cdot \cos B$. Ambele catete se află imediat.

9. Scara este ipotenuza. Înălțimea $=5\cdot \sin 60°=5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4,33$ m. Distanța bazei față de perete $=5\cdot \cos 60°=5\cdot \frac{1}{2}=2,5$ m.

10. Rampa (ipotenuza) $=8$ m, înălțimea (cateta opusă) $=4$ m. $\sin \alpha =\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =30°$.

11. $AC$ e opusă lui $B$, deci $\sin B=\frac{AC}{BC}\Rightarrow BC=\frac{AC}{\sin B}=\frac{4}{1/2}=8$. $AB=BC\cdot \cos B=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$. Verificare: $4^2+(4\sqrt{3}{)}^2=16+48=64=8^2$. ✓

12. $BC=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$. $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17}$; $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{17}$.

13. Cateta orizontală $=30$ m, unghi $45°$. $h=30\cdot \mathrm{tg}45°=30\cdot 1=30$ m. Blocul are $30$ m.

14. $AC=BC\cdot \sin 45°=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$; $AB=BC\cdot \cos 45°=6\sqrt{2}$. (Triunghi isoscel.) Verificare: $(6\sqrt{2}{)}^2+(6\sqrt{2}{)}^2=72+72=144=12^2$. ✓

15. Unghiurile ascuțite $B$ și $C$ sunt complementare ($\angle B+\angle C=90°$). Cateta $AB$ este alăturată lui $B$, dar opusă lui $C$. Atunci $\cos B=\frac{AB}{BC}$ și $\sin C=\frac{AB}{BC}$ sunt exact același raport, deci $\cos B=\sin C$. Pe scurt: cosinusul unui unghi este sinusul complementului său.

16. $\angle C=30°$. $AB$ e alăturată lui $B$: $AC=AB\cdot \mathrm{tg}B=10\cdot \sqrt{3}=10\sqrt{3}$; $BC=\frac{AB}{\cos B}=\frac{10}{1/2}=20$. Perimetrul $=AB+AC+BC=10+10\sqrt{3}+20=30+10\sqrt{3}\approx 47,32$.

17. Sfoara $=40$ m (ipotenuza), înălțimea (cateta opusă unghiului de $50°$) $=40\cdot \sin 50°\approx 40\cdot 0,766=30,64$ m.

18. $BC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$; $\mathrm{tg}C=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$.

De reținut

• A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a-i afla toate laturile și toate unghiurile; unghiul drept e $90°$, iar unghiurile ascuțite sunt complementare: $\angle B+\angle C=90°$.
• Îți trebuie cel puțin o latură ca să pornești; doar cu unghiurile afli forma, nu și mărimea.
• Cu ipotenuza și un unghi: cateta opusă $=\text{ipotenuza˘}\cdot \sin$, cateta alăturată $=\text{ipotenuza˘}\cdot \cos$.
• Cu o catetă și un unghi: cealaltă catetă cu $\mathrm{tg}$, ipotenuza împărțind cateta la $\cos$ (dacă e alăturată) sau la $\sin$ (dacă e opusă).
• Cu două laturi: unghiurile din rapoarte trigonometrice ($\sin$, $\cos$ sau $\mathrm{tg}$), latura lipsă din teorema lui Pitagora. La final, verifică mereu cu Pitagora.

Greșeli frecvente

• Confuzi cateta opusă cu cea alăturată. Cateta opusă unui unghi nu-l atinge; cea alăturată îl formează (fără să fie ipotenuza). Marchează unghiul de lucru cu un arc și „uită-te" de acolo: latura din față e opusă, latura de lângă e alăturată.
• Folosești $\sin$ când trebuia $\mathrm{tg}$ (sau invers). Reține ce leagă fiecare raport: $\sin$ și $\cos$ leagă o catetă de ipotenuză, iar $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$ leagă cele două catete între ele. Alege raportul care conține exact laturile din problemă.
• Îți iese ipotenuza mai mică decât o catetă. Imposibil! Ipotenuza e mereu cea mai lungă latură. Dacă ai împărțit când trebuia să înmulțești (sau invers), semnalul de alarmă e chiar acest rezultat absurd.
• Vrei să afli laturi cunoscând doar unghiurile. Nu se poate — îți lipsește „mărimea". Verifică întotdeauna că printre date apare cel puțin o lungime.

Aplică acasă

1. Măsoară înălțimea unui copac sau a unui stâlp fără să te urci. Așază-te la o distanță $d$ de bază (măsoar-o cu pasul sau cu ruleta) și estimează unghiul de înălțare spre vârf $\alpha$ (poți folosi o aplicație de tip clinometru de pe telefon). Înălțimea este $h=d\cdot \mathrm{tg}\alpha$. Compară rezultatul cu o estimare „din ochi".

2. Verifică panta unei rampe sau a unei scări. Măsoară lungimea rampei (ipotenuza) și înălțimea la care ajunge. Calculează unghiul cu solul din $\sin \alpha =\frac{\text{ıˆna˘lțime}}{\text{lungime}}$. Rampele de acces pentru persoane cu dizabilități au, prin norme, unghiuri mici (sub $5°$) — vezi dacă rampa observată respectă regula.

3. Proiectează un triunghi dreptunghic „la comandă". Alege un unghi ascuțit (de exemplu $35°$) și o ipotenuză (de exemplu $10$ cm). Calculează catetele cu $\sin$ și $\cos$ din tabelul trigonometric, apoi desenează triunghiul cu rigla și raportorul și verifică prin măsurare cât de aproape ești de valorile calculate.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este momentul de sinteză al întregii unități de trigonometrie: elevul nu mai învață o formulă nouă, ci alege dintre cele deja cunoscute. Cel mai util sprijin este să-l puneți să spună cu voce tare, înainte de a calcula: „ce știu?", „ce caut?" și „ce relație leagă cele două?". Acest reflex de planificare previne majoritatea greșelilor.

Întrebări bune de verificare a înțelegerii:

• „De ce nu putem rezolva un triunghi dreptunghic dacă știm doar unghiurile?" (Răspuns așteptat: pentru că unghiurile dau doar forma, nu mărimea — triunghiuri asemenea.)
• „Când folosești tangenta și când folosești sinusul?" (Tangenta leagă cele două catete; sinusul/cosinusul leagă o catetă de ipotenuză.)
• „Cum verifici că rezultatul e corect?" (Cu teorema lui Pitagora și verificând că ipotenuza e cea mai mare latură.)

Semne că a înțeles cu adevărat: alege raportul potrivit fără să încerce la întâmplare, verifică singur cu Pitagora și își dă seama imediat când un rezultat e absurd (ipotenuză prea mică). Dacă se blochează, reveniți împreună la lecțiile despre sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit și valorile trigonometrice ale unghiurilor de 30°, 45° și 60°.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă „a rezolva un triunghi dreptunghic" la clasa a 7-a? Înseamnă a afla toate elementele necunoscute ale triunghiului: cele două unghiuri ascuțite și cele trei laturi. Se pornește de la câteva date (de obicei o latură și un unghi, sau două laturi) și se folosesc rapoartele trigonometrice împreună cu teorema lui Pitagora.

Câte date îmi trebuie ca să rezolv un triunghi dreptunghic? Ai nevoie de cel puțin o latură plus încă o informație (o altă latură sau un unghi ascuțit). Numai cu unghiurile nu poți afla laturile, deoarece acestea determină forma, nu și mărimea triunghiului.

Când folosesc sinusul, cosinusul sau tangenta? Folosești sinusul și cosinusul când relația conține o catetă și ipotenuza ($\sin =\frac{\text{opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\cos =\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$). Folosești tangenta (sau cotangenta) când relația leagă cele două catete între ele ($\mathrm{tg}=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}$).

Cum aflu un unghi dacă știu două laturi? Formezi raportul trigonometric potrivit cu cele două laturi cunoscute (de exemplu $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}$) și apoi recunoști unghiul din valoarea raportului, folosind valorile pentru $30°$, $45°$, $60°$ sau tabelul trigonometric.

Cum combin teorema lui Pitagora cu trigonometria? Rapoartele trigonometrice leagă laturi și unghiuri, iar teorema lui Pitagora leagă doar laturile. Când ai un unghi, pornești de la trigonometrie; când vrei o latură din alte două laturi, folosești Pitagora; la final verifici totul cu Pitagora.

De ce îmi iese ipotenuza mai mică decât o catetă și e greșit? Pentru că ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic. Dacă îți iese mai mică decât o catetă, ai împărțit când trebuia să înmulțești (sau invers) — reia pasul respectiv.

Ce fac dacă unghiul nu este 30°, 45° sau 60°? Folosești tabelul trigonometric, care îți dă valori aproximative pentru orice unghi (de exemplu $\mathrm{tg}40°\approx 0,839$). Dacă problema cere doar un raport (nu măsura exactă a unghiului), poți lăsa răspunsul sub formă de fracție, cum ar fi $\sin B=\frac{15}{17}$.

La ce folosește în viața reală rezolvarea triunghiului dreptunghic? La măsurarea indirectă a înălțimilor și distanțelor: înălțimea unui bloc sau a unui copac (din unghiul de înălțare și distanța pe sol), panta unei rampe sau a unui acoperiș, lungimea unei sfori de zmeu, distanțe pe care nu le poți parcurge direct. Este baza topografiei, a construcțiilor și a navigației.