Ce relații metrice are triunghiul dreptunghic?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Relații metrice și trigonometrie

Cu unghiul drept în $A$ și înălțimea $A D$ pe ipotenuză, ai patru unelte. Înălțimea la pătrat egalează produsul celor două proiecții: $A D^{2} = B D \cdot D C$ . Fiecare catetă la pătrat egalează produsul dintre proiecția ei și ipotenuză. Pitagora leagă cele trei laturi: $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ . Iar sinusul, cosinusul și tangenta leagă un unghi ascuțit de rapoartele laturilor. La $B D = 4$ și $D C = 9$ iese $A D = 6$ .

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în $A$ și înălțimea $A D$ coborâtă pe ipotenuza $B C$ (piciorul ei fiind $D$ ), patru relații rezolvă aproape orice problemă. Teorema înălțimii: $A D^{2} = B D \cdot D C$ — înălțimea la pătrat este produsul proiecțiilor catetelor. Teorema catetei: fiecare catetă la pătrat este produsul dintre proiecția ei și ipotenuză, $A B^{2} = B D \cdot B C$ și $A C^{2} = D C \cdot B C$ . Teorema lui Pitagora: $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ , iar reciproca ei arată dacă un triunghi e dreptunghic doar din lungimile laturilor (compari latura mare la pătrat cu suma pătratelor celorlalte două). În sfârșit, rapoartele trigonometrice leagă un unghi ascuțit de laturi: $sin = \frac{opus a ˘}{ipotenuz a ˘}$ , $cos = \frac{al a ˘ turat a ˘}{ipotenuz a ˘}$ , $tg = \frac{opus a ˘}{al a ˘ turat a ˘}$ . Reține valorile de aur pentru $30°, 45°, 60°$ . Exemplu: dacă $B D = 4$ și $D C = 9$ , atunci $A D^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , deci $A D = 6$ .

De reținut

$A D^{2} = B D \cdot D C$ și $A D = \frac{A B \cdot A C}{B C}$
$A B^{2} = B D \cdot B C$ , $A C^{2} = D C \cdot B C$
$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$

Greșeala tipică

Se scrie teorema catetei cu proiecția celeilalte catete, nu cu proiecția proprie. Fiecare catetă se leagă de bucata de ipotenuză aflată sub ea.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , avem $A B = 9$ și $A C = 12$ . Cât măsoară ipotenuza $B C$ ?
- a) $B C = 15$
- b) $B C = 21$
- c) $B C = 225$
- d) $B C = 153$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $B C = 15$

Din teorema lui Pitagora: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ , deci $B C = 225 = 15$ .
În triunghiul $M N P$ dreptunghic în $M$ , se știe că $sin N = \frac{1}{2}$ . Cât măsoară unghiul $N$ ?
- a) $30°$
- b) $45°$
- c) $60°$
- d) $90°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $30°$

Din tabelul valorilor de aur, singurul unghi ascuțit cu $sin = \frac{1}{2}$ este $30°$ , deci $m (∠ N) = 30°$ .
În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , cu înălțimea $A D$ pe ipotenuză, proiecțiile catetelor sunt $B D = 2$ și $D C = 48$ . Află lungimea catetei $A B$ , folosind teorema catetei.
- a) $A B = 10$
- b) $A B = 100$
- c) $A B = 50$
- d) $A B = 50$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A B = 10$

Teorema catetei: $A B^{2} = B D \cdot B C = 2 \cdot (2 + 48) = 2 \cdot 50 = 100$ , deci $A B = 100 = 10$ . Dacă uiți radicalul obții $100$ ; dacă confunzi cateta cu ipotenuza scrii greșit $50$ .

Întrebări conexe

Cum aflu înălțimea din catete și ipotenuză?

Folosești formula-soră a teoremei înălțimii: înmulțești catetele și împarți la ipotenuză. Pentru catete de $6$ și $8$ cm, cu ipotenuza $10$ cm, obții $\frac{48}{10} = 4, 8$ cm. Aceeași valoare iese și din produsul proiecțiilor, dacă le cunoști.

Cum verific rezultatul unei probleme cu relații metrice?

Pui rezultatele în teorema lui Pitagora și vezi dacă egalitatea se închide. Dacă ai aflat catete de $9$ și $12$ cm, ipotenuza trebuie să iasă $15$ cm, fiindcă $81 + 144 = 225$ . Mai verifici și dacă suma proiecțiilor dă chiar ipotenuza.

Ce se dă și ce se cere într-o problemă cu proiecții?

De obicei primești cele două proiecții și ți se cer înălțimea, catetele sau aria. Alteori primești o catetă și ipotenuza și ți se cere proiecția. Cuvintele care trădează tema sunt înălțime coborâtă din unghiul drept, picior al perpendicularei și proiecție pe ipotenuză.

Cum aflu aria unui triunghi dreptunghic din catete?

Catetele fac unghi drept între ele, deci una joacă rol de bază și cealaltă de înălțime. Aria iese din jumătatea produsului lor: pentru $5$ și $12$ cm obții $30$ cm². Aceeași arie se poate calcula și cu ipotenuza înmulțită cu înălțimea coborâtă pe ea, împărțite la doi.

Cât este tangenta unghiului de 45 de grade?

Este exact $1$ . Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $4 5^{\circ}$ , celălalt unghi ascuțit are tot $4 5^{\circ}$ , deci catetele ies egale. Raportul dintre cateta opusă și cea alăturată devine astfel raportul unui număr cu el însuși. Cotangenta aceluiași unghi are tot valoarea $1$ .

Ce ordine urmez într-o problemă cu mai multe relații metrice?

Începi cu relația în care ai deja două mărimi cunoscute și o singură necunoscută. Rezultatul obținut devine dată pentru pasul următor. Notează pe desen fiecare valoare aflată, ca să vezi limpede ce îți mai lipsește și care teoremă se poate folosi mai departe.

Oamenii mai întreabă și: relații metrice în triunghiul dreptunghic · teorema înălțimii și teorema catetei · formule triunghi dreptunghic · rapoarte trigonometrice sinus cosinus tangentă · recapitulare relații metrice