Teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic

Imaginează-ți că un constructor sprijină o grindă înclinată de un perete și vrea să afle cât de sus ajunge un cablu tras din colțul de jos până la grindă, perpendicular pe podea. Sau gândește-te la un panou solar rezemat de un suport: cât de înaltă este bara care îl susține la mijloc? În multe astfel de situații apare aceeași figură geometrică — un triunghi dreptunghic în care coborâm o înălțime din unghiul drept. Vestea bună este că această înălțime nu e un număr întâmplător: ea este legată printr-o formulă simplă și frumoasă de bucățile în care împarte ipotenuza. Această legătură se numește teorema înălțimii și este prima dintre relațiile metrice pe care le studiem la clasa a 7-a. În lecția de față vei învăța enunțul, demonstrația teoremei înălțimii pentru clasa 7 și cum o folosești ca să calculezi rapid înălțimea sau o proiecție necunoscută.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști înălțimea corespunzătoare ipotenuzei și cele trei triunghiuri asemenea care apar în figură.
• Vei ști să enunți teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic și să scrii corect formula $h^2=p_1\cdot p_2$.
• Vei ști să demonstrezi teorema înălțimii folosind asemănarea triunghiurilor.
• Vei ști să calculezi înălțimea din unghiul drept când cunoști cele două proiecții ale catetelor.
• Vei ști să determini o proiecție necunoscută atunci când cunoști înălțimea și cealaltă proiecție.

Hai să descoperim împreună

De unde pornim: ce știm deja

Această lecție se sprijină pe două idei pe care le-ai întâlnit recent. Prima este noțiunea de proiecție ortogonală a unui punct sau a unui segment pe o dreaptă (vezi lecția Proiecții ortogonale pe o dreaptă): proiecția unui punct pe o dreaptă este „umbra" lui lăsată perpendicular pe acea dreaptă. A doua idee, cea mai importantă aici, este asemănarea triunghiurilor și în special criteriul U.U. (unghi–unghi), pe care l-am studiat în lecția Criterii de asemănare a triunghiurilor. Reține ideea de bază: dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea, iar laturile lor sunt proporționale.

Îți mai amintești și un lucru simplu despre triunghiul dreptunghic: suma măsurilor celor două unghiuri ascuțite este $90°$. Dacă un unghi ascuțit are măsura $x$, celălalt are $90°-x$. Vom folosi mult acest fapt.

Figura de bază: înălțimea din unghiul drept

Pornim de la un triunghi dreptunghic. Ca să avem o notație clară pe tot parcursul lecției, punem unghiul drept în vârful $A$:

• $△ABC$ cu $m(\angle A)=90°$;
• latura opusă unghiului drept, $BC$, se numește ipotenuză;
• laturile $AB$ și $AC$, care formează unghiul drept, se numesc catete.

Acum coborâm din vârful unghiului drept $A$ perpendiculara pe ipotenuză. Piciorul acestei perpendiculare îl notăm cu $D$; el se află pe ipotenuza $BC$. Segmentul $AD$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei (înălțimea din unghiul drept). O vom nota adesea cu $h$.

Piciorul $D$ împarte ipotenuza în două bucăți:

• segmentul $BD$ este proiecția catetei $AB$ pe ipotenuză;
• segmentul $DC$ este proiecția catetei $AC$ pe ipotenuză.

De ce se numesc așa? Pentru că $D$ este exact proiecția vârfului $A$ pe dreapta $BC$. Cateta $AB$ are un capăt în $B$ (care e deja pe ipotenuză) și celălalt în $A$, a cărui umbră pe $BC$ este $D$; deci umbra întregii catete $AB$ este segmentul $BD$. La fel, umbra catetei $AC$ este $DC$. Vom nota, ca să scriem formulele mai ușor:

$$p_1=BD,p_2=DC,h=AD.$$

Cele două proiecții, puse cap la cap, refac ipotenuza: $BD+DC=BC$, adică $p_1+p_2=a$, unde $a=BC$ este lungimea ipotenuzei.

Descoperim cele trei triunghiuri asemenea

Aici se ascunde toată magia lecției. Când coborâm înălțimea $AD$, triunghiul mare $ABC$ se rupe în două triunghiuri mai mici: $△ABD$ și $△ACD$. Amândouă sunt dreptunghice, pentru că $AD\perp BC$ înseamnă $m(\angle ADB)=m(\angle ADC)=90°$.

Surpriza este că toate trei triunghiurile sunt asemenea între ele. Hai să vedem pas cu pas de ce.

Pasul 1 — Triunghiul mic $ABD$ seamănă cu triunghiul mare. Comparăm $△ABD$ cu $△CBA$ (am scris vârfurile triunghiului mare în ordinea potrivită, ca să se vadă corespondența):

• unghiul $\angle B$ este comun ambelor triunghiuri;
• $m(\angle ADB)=90°=m(\angle CAB)$.

Deci au două unghiuri respectiv congruente, iar după criteriul U.U. rezultă $△ABD\sim △CBA$.

Pasul 2 — Triunghiul mic $ACD$ seamănă cu triunghiul mare. Comparăm $△ACD$ cu $△BCA$:

• unghiul $\angle C$ este comun;
• $m(\angle ADC)=90°=m(\angle BAC)$.

După același criteriu U.U., $△ACD\sim △BCA$.

Pasul 3 — Cele două triunghiuri mici seamănă între ele. Dacă $△ABD$ și $△ACD$ sunt fiecare asemenea cu triunghiul mare, atunci sunt asemenea și între ele: $△ABD\sim △CAD$. (Asemănarea „se transmite": două figuri asemenea cu a treia sunt asemenea între ele.)

Putem verifica direct și prin unghiuri: în $△ABD$, unghiul $\angle BAD=90°-m(\angle B)$. Dar în triunghiul mare $m(\angle B)+m(\angle C)=90°$, deci $90°-m(\angle B)=m(\angle C)$. Prin urmare $m(\angle BAD)=m(\angle C)$. La fel se arată că $m(\angle DAC)=m(\angle B)$. Cele două triunghiuri mici au deci aceleași unghiuri — sunt asemenea.

Reține acest rezultat, pentru că el este cheia întregii unități despre relații metrice:

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei împarte triunghiul în două triunghiuri asemenea între ele și, fiecare, asemenea cu triunghiul inițial. Pe scurt: $△ABC\sim △DBA\sim △DAC$.

Enunțul teoremei înălțimii

Din asemănarea celor două triunghiuri mici iese direct teorema înălțimii. Iată enunțul, cu cuvinte:

Teorema înălțimii. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică (media proporțională) a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

„Media geometrică a două numere" înseamnă rădăcina pătrată a produsului lor (ai întâlnit-o în lecția Media aritmetică ponderată și media geometrică). Scrisă ca formulă, teorema înălțimii spune:

$$h^2=p_1\cdot p_2,\text{adica˘}A{D}^2=BD\cdot DC.$$

Sau, scoțând înălțimea:

$$h=\sqrt{p_1\cdot p_2},AD=\sqrt{BD\cdot DC}.$$

În cuvinte foarte simple: pătratul înălțimii din unghiul drept este egal cu produsul celor două proiecții. Aceasta este formula teoremei înălțimii pe care o vei folosi la clasa a 7-a.

Demonstrația teoremei înălțimii

Acum arătăm de ce este adevărată formula. Este exact felul de raționament pe care programa cere să știi să-l deduci.

Pornim de la asemănarea găsită la Pasul 3: $△ABD\sim △CAD$. Am scris vârfurile în ordinea corespondenței, deci laturile care se corespund sunt:

$$\frac{AB}{CA}=\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}.$$

Ne interesează ultima egalitate din acest șir de rapoarte:

$$\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}.$$

Aceasta este o proporție. Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor):

$$AD\cdot AD=BD\cdot CD,$$

adică

$$A{D}^2=BD\cdot CD.$$

Cu notațiile noastre, $h^2=p_1\cdot p_2$. Demonstrația s-a încheiat. $■$

Observă cât de curat a fost totul: singurele instrumente au fost criteriul U.U. de asemănare și proprietatea proporțiilor. Nu am folosit teorema lui Pitagora — de altfel, teorema înălțimii se demonstrează înainte de Pitagora în manual, tocmai ca să nu ne bazăm pe ea.

Cum arată formula „la lucru"

Hai să facem un prim calcul foarte simplu, ca să vezi mecanismul. Presupunem că proiecțiile sunt $BD=4$ și $DC=9$. Atunci:

$$h^2=BD\cdot DC=4\cdot 9=36\Rightarrow h=\sqrt{36}=6.$$

Deci înălțimea din unghiul drept este $6$. Simplu, nu? Formula transformă o problemă de geometrie într-un mic calcul cu rădăcină pătrată.

Și invers merge la fel de bine. Dacă cunoaștem înălțimea și o proiecție, o scoatem pe cealaltă. Din $h^2=p_1\cdot p_2$ obținem:

$$p_2=\frac{h^2}{p_1}.$$

De exemplu, dacă $h=6$ și $p_1=BD=4$, atunci $p_2=DC=\frac{36}{4}=9$. Am regăsit rezultatul de mai sus, ceea ce ne confirmă că formula funcționează în ambele sensuri.

Un mic „truc de verificare"

Ori de câte ori aplici teorema înălțimii, poți face o verificare rapidă cu bun-simț geometric: înălțimea este întotdeauna strict mai mică decât fiecare dintre catete și este cuprinsă între cele două proiecții ca ordin de mărime. Dacă îți iese o înălțime mai mare decât ipotenuza, sigur ai greșit undeva. De asemenea, dacă proiecțiile sunt egale ($p_1=p_2$), triunghiul este dreptunghic isoscel, iar înălțimea este chiar egală cu proiecția: $h=\sqrt{p_1\cdot p_1}=p_1$. Sunt repere utile ca să nu accepți un rezultat aberant.

Rezumatul raționamentului

Ca să nu uiți firul logic, iată drumul pe scurt:

1. Coborâm înălțimea din unghiul drept și obținem piciorul $D$ pe ipotenuză.
2. Se formează două triunghiuri mici, ambele asemenea cu triunghiul mare și între ele.
3. Din asemănarea celor două triunghiuri mici scoatem proporția $\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{DC}$.
4. Proporția ne dă $A{D}^2=BD\cdot DC$, adică $h^2=p_1\cdot p_2$.

Cu acest instrument în mână, putem rezolva o mulțime de probleme. Trecem la exemple.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calculul înălțimii din cele două proiecții

Enunț. În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle A)=90°$, înălțimea $AD$ cade pe ipotenuza $BC$. Se știe că $BD=3$ cm și $DC=12$ cm. Cât este lungimea înălțimii $AD$?

Rezolvare. Aplicăm direct teorema înălțimii, $A{D}^2=BD\cdot DC$:

$$A{D}^2=3\cdot 12=36.$$

De aici, $AD=\sqrt{36}=6$ cm.

Verificare rapidă. Ipotenuza este $BC=BD+DC=3+12=15$ cm, iar înălțimea $6$ cm este comod mai mică decât ipotenuza — rezultat plauzibil. Deci $AD=6$ cm.

Exemplul 2 — Când proiecțiile nu dau un pătrat perfect

Enunț. Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $p_1=6$ și $p_2=8$. Află înălțimea din unghiul drept.

Rezolvare. Din teorema înălțimii:

$$h^2=p_1\cdot p_2=6\cdot 8=48.$$

Deci $h=\sqrt{48}$. Numărul $48$ nu este pătrat perfect, așa că scoatem factorii de sub radical (vezi lecția Scoaterea factorilor de sub radical):

$$\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{3}.$$

Prin urmare $h=4\sqrt{3}$. Dacă vrem o valoare aproximativă, cum $\sqrt{3}\approx 1,73$, obținem $h\approx 4\cdot 1,73=6,92$. Reține: forma exactă a răspunsului este $4\sqrt{3}$; aproximarea o folosim doar când ni se cere explicit.

Exemplul 3 — Determinarea unei proiecții necunoscute

Enunț. În triunghiul dreptunghic $MNP$ cu unghiul drept în $M$, înălțimea $MQ$ cade pe ipotenuza $NP$. Se cunosc înălțimea $MQ=12$ și o proiecție, $NQ=9$. Cât este cealaltă proiecție, $QP$?

Rezolvare. Aici unghiul drept este în $M$, deci înălțimea din unghiul drept este $MQ$, iar proiecțiile catetelor sunt $NQ$ și $QP$. Teorema înălțimii se scrie:

$$M{Q}^2=NQ\cdot QP.$$

Înlocuim datele cunoscute:

$$12^2=9\cdot QP\Rightarrow 144=9\cdot QP.$$

Scoatem necunoscuta:

$$QP=\frac{144}{9}=16.$$

Deci $QP=16$. Ca bonus, acum știm și ipotenuza: $NP=NQ+QP=9+16=25$.

Exemplul 4 — Aflarea ipotenuzei plecând de la înălțime și o proiecție

Enunț. Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei are lungimea $h=6$, iar una dintre proiecții este $p_1=4$. Află lungimea ipotenuzei.

Rezolvare. Mai întâi găsim a doua proiecție din teorema înălțimii:

$$h^2=p_1\cdot p_2\Rightarrow 6^2=4\cdot p_2\Rightarrow 36=4\cdot p_2\Rightarrow p_2=\frac{36}{4}=9.$$

Ipotenuza este suma proiecțiilor:

$$a=p_1+p_2=4+9=13.$$

Deci ipotenuza are $13$ unități. Observă strategia: teorema înălțimii îți dă proiecția lipsă, apoi o simplă adunare îți dă ipotenuza.

Exemplul 5 — Când cunoști ipotenuza și o proiecție

Enunț. În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($m(\angle A)=90°$), piciorul înălțimii din $A$ este $D$. Se dau ipotenuza $BC=20$ cm și proiecția $BD=4$ cm. Calculează înălțimea $AD$.

Rezolvare. Cunoaștem ipotenuza întreagă și o bucată din ea, deci putem afla cealaltă bucată prin scădere:

$$DC=BC-BD=20-4=16\text{ cm}.$$

Acum avem ambele proiecții și aplicăm teorema înălțimii:

$$A{D}^2=BD\cdot DC=4\cdot 16=64\Rightarrow AD=\sqrt{64}=8\text{ cm}.$$

Deci $AD=8$ cm. Reține pașii: dintr-o proiecție și ipotenuză → scădere → cealaltă proiecție → teorema înălțimii.

Exemplul 6 — O mică problemă din viața reală

Enunț. Un panou este rezemat de un colț de zid și formează un triunghi dreptunghic cu podeaua. Punctul în care panoul atinge zidul este vârful unghiului drept. Din acest vârf se coboară o bară de susținere, perpendiculară pe podea, până la podea. Bara împarte urma de pe podea (ipotenuza triunghiului) în două segmente de $2,5$ m și $10$ m. Cât de lungă este bara de susținere?

Rezolvare. Bara este chiar înălțimea din unghiul drept, iar cele două segmente de pe podea sunt proiecțiile catetelor. Aplicăm teorema înălțimii:

$$h^2=2,5\cdot 10=25\Rightarrow h=\sqrt{25}=5\text{ m}.$$

Deci bara de susținere are $5$ metri. Un calcul de câteva secunde a înlocuit o măsurătoare care ar fi fost greu de făcut direct pe teren.

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, cu desen acolo unde este cazul, și scrie de fiecare dată formula folosită înainte de a înlocui numerele. Sunt gradate de la ușor la greu.

1. Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $BD=2$ și $DC=8$. Calculează înălțimea $h$.

2. Proiecțiile catetelor pe ipotenuză au lungimile $5$ cm și $20$ cm. Cât este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei?

3. În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle A)=90°$ și piciorul înălțimii $D\in BC$, se dau $BD=9$ și $DC=16$. Află $AD$.

4. Înălțimea din unghiul drept este $h=10$, iar o proiecție este $p_1=5$. Determină cealaltă proiecție $p_2$.

5. Într-un triunghi dreptunghic, $MQ$ este înălțimea din unghiul drept, cu $MQ=6$ și proiecția $NQ=4$. Cât este proiecția $QP$?

6. Proiecțiile catetelor sunt $p_1=6$ și $p_2=24$. Scrie înălțimea sub cea mai simplă formă (scoate factorii de sub radical dacă e nevoie).

7. Se știe că $BD=3$ și $DC=5$. Află înălțimea $AD$ în formă exactă și apoi aproximeaz-o cu două zecimale, folosind $\sqrt{15}\approx 3,87$.

8. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic măsoară $18$, iar una dintre proiecții este $2$. Calculează înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.

9. În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($m(\angle A)=90°$, $D$ piciorul înălțimii din $A$), $BC=25$ și $BD=9$. Află $AD$.

10. Adevărat sau fals (motivează): „Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din unghiul drept poate fi mai mare decât ipotenuza."

11. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă cele două proiecții ale catetelor pe ipotenuză sunt egale, atunci înălțimea este egală cu o proiecție."

12. Într-un triunghi dreptunghic isoscel, fiecare proiecție a catetelor pe ipotenuză are lungimea $7$. Cât este înălțimea din unghiul drept?

13. Înălțimea din unghiul drept este $h=12$. Se știe că proiecția $p_1$ este de $4$ ori mai mică decât $p_2$. Află cele două proiecții. (Indicație: notează $p_1=x$, deci $p_2=4x$.)

14. Justificare. Explică în două-trei rânduri de ce triunghiurile $△ABD$ și $△CAD$ sunt asemenea (folosește unghiurile).

15. Într-un triunghi dreptunghic, o proiecție este cu $5$ mai mare decât cealaltă, iar înălțimea este $6$. Află cele două proiecții. (Indicație: $p_1=x$, $p_2=x+5$, folosește $h^2=p_1\cdot p_2$; obții egalitatea $x\cdot (x+5)=36$, pe care o rezolvi căutând, prin încercări, un număr natural potrivit.)

16. Problemă aplicată. O grindă sprijinită într-un colț formează un triunghi dreptunghic cu podeaua, unghiul drept fiind sus. Un fir de plumb coborât din vârf împarte urma de pe podea în bucăți de $1,8$ m și $3,2$ m. Cât de lung este firul?

17. Desenează și rezolvă. Construiește un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, coboară înălțimea $AD$ și marchează proiecțiile. Apoi, pentru $BD=4,5$ și $DC=8$, calculează $AD$.

18. Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din unghiul drept este $h=2\sqrt{6}$. Una dintre proiecții este $p_1=3$. Află cealaltă proiecție.

Răspunsuri și explicații

1. $h^2=2\cdot 8=16\Rightarrow h=\sqrt{16}=4$. Răspuns: $h=4$.

2. $h^2=5\cdot 20=100\Rightarrow h=\sqrt{100}=10$ cm. Răspuns: $10$ cm.

3. $A{D}^2=BD\cdot DC=9\cdot 16=144\Rightarrow AD=\sqrt{144}=12$. Răspuns: $AD=12$.

4. Din $h^2=p_1\cdot p_2$: $100=5\cdot p_2\Rightarrow p_2=\frac{100}{5}=20$. Răspuns: $p_2=20$.

5. $M{Q}^2=NQ\cdot QP\Rightarrow 36=4\cdot QP\Rightarrow QP=\frac{36}{4}=9$. Răspuns: $QP=9$.

6. $h^2=6\cdot 24=144\Rightarrow h=\sqrt{144}=12$. (Aici iese chiar pătrat perfect, deci forma cea mai simplă este numărul întreg.) Răspuns: $h=12$.

7. $A{D}^2=3\cdot 5=15\Rightarrow AD=\sqrt{15}$. Aproximativ, $AD\approx 3,87$. Răspuns: $AD=\sqrt{15}\approx 3,87$.

8. Cealaltă proiecție: $18-2=16$. Apoi $h^2=2\cdot 16=32\Rightarrow h=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$. Răspuns: $h=4\sqrt{2}$ (aproximativ $5,66$).

9. $DC=BC-BD=25-9=16$. Apoi $A{D}^2=9\cdot 16=144\Rightarrow AD=12$. Răspuns: $AD=12$.

10. Fals. Înălțimea din unghiul drept este o catetă în fiecare triunghi mic ($△ABD$ și $△ACD$), deci este mai mică decât ipotenuza fiecăruia; iar ipotenuzele triunghiurilor mici ($AB$ și $AC$) sunt catetele triunghiului mare, deci mai mici decât ipotenuza mare $BC$. Prin urmare $h<BC$ mereu. Nu poate depăși ipotenuza.

11. Adevărat. Dacă $p_1=p_2=p$, atunci $h=\sqrt{p_1\cdot p_2}=\sqrt{p\cdot p}=\sqrt{p^2}=p$. Deci înălțimea este egală cu proiecția. (Este cazul triunghiului dreptunghic isoscel.)

12. Proiecțiile egale: $h^2=7\cdot 7=49\Rightarrow h=\sqrt{49}=7$. Răspuns: $h=7$. (Confirmă concluzia de la exercițiul 11.)

13. Notăm $p_1=x$, deci $p_2=4x$. Din $h^2=p_1{p}_2$: $144=x\cdot 4x=4x^2\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=6$ (luăm valoarea pozitivă, fiind lungime). Deci $p_1=6$ și $p_2=4\cdot 6=24$. Răspuns: $p_1=6$, $p_2=24$. Verificare: $\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{144}=12=h$. ✓

14. În $△ABD$ avem $m(\angle ADB)=90°$ și $m(\angle BAD)=90°-m(\angle B)=m(\angle C)$ (pentru că $m(\angle B)+m(\angle C)=90°$). În $△CAD$ avem $m(\angle ADC)=90°$ și unghiul $\angle ACD=\angle C$. Cele două triunghiuri au deci două perechi de unghiuri respectiv congruente (unghiul drept și unghiul de măsură $m(\angle C)$); după criteriul U.U. sunt asemenea. Răspuns: asemenea prin U.U.

15. Notăm $p_1=x$, $p_2=x+5$. Din $h^2=p_1{p}_2$: $36=x(x+5)$. Căutăm un număr pozitiv $x$ cu $x(x+5)=36$; încercăm $x=4$: $4\cdot 9=36$. ✓ Deci $p_1=4$ și $p_2=4+5=9$. Răspuns: $p_1=4$, $p_2=9$.

16. Firul este înălțimea din unghiul drept: $h^2=1,8\cdot 3,2=5,76\Rightarrow h=\sqrt{5,76}=2,4$ m. Răspuns: $2,4$ m.

17. Desenul respectă configurația din lecție (unghi drept în $A$, $AD\perp BC$, $D$ pe ipotenuză). Calculul: $A{D}^2=4,5\cdot 8=36\Rightarrow AD=6$. Răspuns: $AD=6$.

18. $h^2=p_1\cdot p_2\Rightarrow (2\sqrt{6}{)}^2=3\cdot p_2$. Cum $(2\sqrt{6}{)}^2=2^2\cdot (\sqrt{6}{)}^2=4\cdot 6=24$, avem $24=3\cdot p_2\Rightarrow p_2=8$. Răspuns: $p_2=8$.

De reținut

• Configurația: în triunghiul dreptunghic cu unghiul drept în $A$, înălțimea $AD$ cade pe ipotenuza $BC$; $BD$ și $DC$ sunt proiecțiile catetelor $AB$, respectiv $AC$, pe ipotenuză.
• Cele trei triunghiuri asemenea: $△ABC\sim △DBA\sim △DAC$ (fiecare triunghi mic este asemenea cu cel mare și cele două mici sunt asemenea între ele).
• Teorema înălțimii: $h^2=p_1\cdot p_2$, adică $A{D}^2=BD\cdot DC$; înălțimea este media geometrică a proiecțiilor: $h=\sqrt{p_1\cdot p_2}$.
• Proiecția lipsă: din aceeași formulă, $p_2=\frac{h^2}{p_1}$; iar ipotenuza este $a=p_1+p_2$.
• Control de bun-simț: înălțimea din unghiul drept este întotdeauna mai mică decât ipotenuza.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre înălțime și catetă. Teorema înălțimii leagă înălțimea $h$ de cele două proiecții, nu de catete. Formula $h^2=p_1\cdot p_2$ folosește bucățile ipotenuzei ($BD$ și $DC$), nu laturile $AB$ și $AC$. Ține minte: pe pătratul înălțimii apare produsul proiecțiilor.
• Aduni în loc să înmulțești (sau invers). O eroare tipică este să scrii $h^2=p_1+p_2$. Corect este produsul: $h^2=p_1\cdot p_2$. Adunarea proiecțiilor îți dă ipotenuza, nu pătratul înălțimii.
• Uiți să extragi rădăcina. După ce afli $h^2$, răspunsul întrebării „cât este înălțimea" este $h=\sqrt{h^2}$, nu valoarea lui $h^2$. Dacă $h^2=36$, înălțimea este $6$, nu $36$.
• Nu simplifici radicalul. Când $h^2$ nu este pătrat perfect (de exemplu $h^2=48$), lasă răspunsul în formă exactă și scoate factorii de sub radical: $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$. O valoare cu zecimale o dai doar dacă problema o cere.

Aplică acasă

• Măsoară o rampă sau o scară. Găsește un obiect lung sprijinit într-un colț (o scândură, o riglă mare, o umbrelă rezemată). Formează cu podeaua un triunghi dreptunghic cu unghiul drept sus. Coboară cu un fir un „reper" din vârf perpendicular pe podea, măsoară cele două bucăți în care se împarte urma de pe podea și calculează cu teorema înălțimii cât ar trebui să fie firul. Apoi măsoară firul real și compară.
• Fabrică-ți propriile probleme. Alege două numere al căror produs este pătrat perfect (de exemplu $2$ și $8$, sau $3$ și $12$, sau $9$ și $16$) și inventează un enunț cu ele ca proiecții. Rezolvă-l, apoi provoacă un coleg sau un părinte să găsească înălțimea. Verifică împreună.
• Desen la scară. Pe caiet, desenează cu rigla și echerul un triunghi dreptunghic, coboară exact înălțimea din unghiul drept, măsoară cu rigla cele două proiecții și înălțimea și verifică dacă $h^2\approx p_1\cdot p_2$. Diferențele mici vin din erori de măsurare — este o dovadă „pe viu" a teoremei.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este prima „relație metrică" din unitate și pune bazele pentru teorema catetei și pentru teorema lui Pitagora, care urmează. Elevul trebuie să înțeleagă de unde vine formula, nu doar să o memoreze: cheia este să vadă cele trei triunghiuri asemenea din figură. Ajutați-l să deseneze corect configurația (unghi drept sus, înălțimea pe ipotenuză) — multe erori dispar odată cu un desen bun.

Întrebări utile de verificare a înțelegerii:

• „Arată-mi pe desen care este înălțimea și care sunt proiecțiile catetelor."
• „Scrie formula teoremei înălțimii înainte să pui numerele. Ce înmulțim și ce obținem?"
• „Dacă $h^2=49$, cât este $h$?" (Verificați că extrage rădăcina, nu se oprește la $49$.)
• „De ce nu poate fi înălțimea mai mare decât ipotenuza?"

Semnul că elevul a înțeles: rezolvă atât problema directă (are proiecțiile, cere înălțimea), cât și pe cea inversă (are înălțimea și o proiecție, cere cealaltă proiecție), și poate explica în cuvinte simple de ce triunghiurile sunt asemenea. Dacă amestecă adunarea cu înmulțirea sau confundă proiecțiile cu catetele, reluați figura de bază și evidențiați cu culori bucățile ipotenuzei.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema înălțimii la clasa a 7-a? Teorema înălțimii spune că, într-un triunghi dreptunghic, pătratul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză: $h^2=p_1\cdot p_2$. Altfel spus, înălțimea din unghiul drept este media geometrică a celor două proiecții.

Care este formula teoremei înălțimii? Formula este $h^2=p_1\cdot p_2$, unde $h$ este înălțimea din unghiul drept, iar $p_1$ și $p_2$ sunt lungimile celor două proiecții ale catetelor pe ipotenuză. Scoțând înălțimea, avem $h=\sqrt{p_1\cdot p_2}$.

Cum se demonstrează teorema înălțimii? Se coboară înălțimea din unghiul drept și se observă că cele două triunghiuri mici formate sunt asemenea între ele (prin criteriul unghi–unghi). Din asemănare rezultă proporția $\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{DC}$, iar înmulțind „în cruce" obținem $A{D}^2=BD\cdot DC$, adică tocmai $h^2=p_1\cdot p_2$.

Ce sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză? Sunt cele două segmente în care piciorul înălțimii împarte ipotenuza. Fiecare este „umbra" unei catete pe ipotenuză: proiecția catetei $AB$ este $BD$, iar proiecția catetei $AC$ este $DC$. Împreună, ele refac ipotenuza: $BD+DC=BC$.

Cum aflu o proiecție dacă știu înălțimea și cealaltă proiecție? Folosești tot teorema înălțimii, dar rezolvi ca ecuație. Din $h^2=p_1\cdot p_2$ scoți $p_2=\frac{h^2}{p_1}$. De exemplu, dacă $h=6$ și $p_1=4$, atunci $p_2=\frac{36}{4}=9$.

Poate fi înălțimea din unghiul drept mai mare decât ipotenuza? Nu. Înălțimea este o catetă în fiecare dintre triunghiurile mici, iar ipotenuzele acelor triunghiuri (catetele triunghiului mare) sunt mai scurte decât ipotenuza mare. Deci înălțimea este întotdeauna strict mai mică decât ipotenuza.

Care e diferența dintre teorema înălțimii și teorema catetei? Teorema înălțimii leagă înălțimea de cele două proiecții: $h^2=p_1\cdot p_2$. Teorema catetei leagă o catetă de ipotenuză și de proiecția ei ($c^2=a\cdot p$) și o vei studia în lecția următoare, Teorema catetei în triunghiul dreptunghic. Ambele se demonstrează din aceleași triunghiuri asemenea.

De ce apare rădăcina pătrată în răspuns? Pentru că teorema îți dă întâi pătratul înălțimii, $h^2$, iar tu vrei $h$. Ca să treci de la $h^2$ la $h$ aplici rădăcina pătrată. Dacă $h^2$ este pătrat perfect (de exemplu $36$), rezultatul e un număr întreg ($6$); dacă nu, îl scrii sub formă de radical simplificat, ca $4\sqrt{3}$.