Reducerea termenilor asemenea

Imaginează-ți că numeri banii din pușculiță: pui la un loc monedele de $5$ lei, separat pe cele de $1$ leu și separat pe cele de $50$ de bani. Nu ai amesteca niciodată monedele de $5$ lei cu cele de $50$ de bani ca și cum ar fi la fel — le grupezi pe categorii și abia apoi le aduni. Exact asta face reducerea termenilor asemenea în algebră: strânge la un loc termenii „de aceeași categorie" (cei care au aceeași parte literală) și îi combină. Este cel mai des folosit pas de calcul din toată algebra de gimnaziu: apare la desfacerea parantezelor, la formulele de calcul prescurtat, la fracții algebrice și la ecuații — deci direct la Evaluarea Națională. În lecția anterioară, Expresii algebrice. Adunarea și scăderea numerelor reale reprezentate prin litere, ai învățat ce este un termen; acum învățăm să-i adunăm inteligent.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști termenii asemenea dintr-o expresie algebrică, uitându-te la partea literală.
Vei ști să distingi coeficientul de partea literală a unui termen.
Vei ști să reduci termenii asemenea, adunând (sau scăzând) coeficienții și păstrând partea literală.
Vei ști să reduci într-o expresie cu mai multe grupe de termeni asemenea.
Vei ști să aduci o expresie la forma cea mai simplă (redusă), ordonată frumos.

Hai să descoperim împreună

Reamintim: coeficient și parte literală

Orice termen dintr-o expresie algebrică este un produs între un număr și niște litere (cu puterile lor). Cele două componente au nume:

coeficientul = partea numerică din față (numărul care înmulțește literele);
partea literală = literele împreună cu exponenții lor.

De exemplu, în termenul $7 x$ coeficientul este $7$ , iar partea literală este $x$ . În $- 3 a^{2} b$ coeficientul este $- 3$ , iar partea literală este $a^{2} b$ .

Reține două convenții importante, pe care le vom folosi mereu:

Când un termen este scris fără număr în față, coeficientul lui este subînțeles $1$ (sau $- 1$ dacă are minus): $x$ înseamnă $1 \cdot x$ , iar $- x^{2}$ înseamnă $- 1 \cdot x^{2}$ .
Semnul din fața termenului face parte din coeficient: în $- 3 a^{2} b$ coeficientul este $- 3$ , nu $3$ .

Ce sunt termenii asemenea

Definiție. Doi (sau mai mulți) termeni se numesc termeni asemenea dacă au exact aceeași parte literală — adică aceleași litere, la aceleași puteri. Coeficienții pot fi diferiți; ei nu contează pentru asemănare.

Cu alte cuvinte: termenii asemenea diferă doar prin coeficient. Partea cu litere trebuie să fie identică, „literă cu literă și putere cu putere".

Să vedem câteva perechi:

$5 x$ și $- 2 x$ sunt asemenea (aceeași parte literală: $x$ ).
$3 a^{2}$ și $8 a^{2}$ sunt asemenea (aceeași parte literală: $a^{2}$ ).
$- 4 x y$ și $\frac{1}{2} x y$ sunt asemenea (aceeași parte literală: $x y$ ).

Și câteva perechi care NU sunt asemenea:

$5 x$ și $5 x^{2}$ — nu sunt asemenea: la primul $x$ este la puterea $1$ , la al doilea la puterea $2$ . Puteri diferite, deci părți literale diferite.
$3 ab$ și $3 a$ — nu sunt asemenea: al doilea nu are litera $b$ .
$7 x y$ și $7 x z$ — nu sunt asemenea: literele nu coincid ( $y$ față de $z$ ).

Un detaliu care încurcă des: ordinea literelor nu contează, pentru că înmulțirea este comutativă. Termenii $3 x y$ și $- 5 y x$ sunt asemenea, fiindcă $y x = x y$ . La fel, $2 a^{2} b$ și $7 b a^{2}$ sunt asemenea. Ca să nu greșești, obișnuiește-te să scrii literele mereu în ordine alfabetică: $x y$ nu $y x$ , $a^{2} b$ nu $b a^{2}$ .

Și încă un caz special: termenii liberi (numerele fără litere, precum $4$ , $- 9$ , $\frac{1}{2}$ ) sunt toți asemenea între ei. Partea lor literală „lipsește", deci este comună. Îi combinăm exact ca la aritmetica din clasele mici.

Regula reducerii termenilor asemenea

Acum, ideea centrală a lecției. De ce putem aduna $5 x$ cu $3 x$ și obținem $8 x$ ? Pentru că funcționează factorul comun (distributivitatea, „citită invers"):

$5 x + 3 x = (5 + 3) \cdot x = 8 x .$

Litera $x$ este comună; o „scoatem în față" și adunăm doar numerele. Gândește-te concret: $5$ obiecte $x$ plus $3$ obiecte $x$ înseamnă $8$ obiecte $x$ . Sau, cu monede: $5$ monede de un anumit tip $+$ $3$ monede de același tip $=$ $8$ monede de acel tip.

Regula reducerii. Pentru a reduce termeni asemenea, aduni (sau scazi) coeficienții, iar partea literală rămâne neschimbată. $a \cdot X + b \cdot X = (a + b) \cdot X$ unde $X$ este partea literală comună, iar $a, b$ sunt coeficienții.

Foarte important: partea literală NU se modifică. Exponenții nu se adună, literele nu se înmulțesc. Doar coeficienții intră în calcul.

$3 x^{2} + 5 x^{2} = 8 x^{2} (NU 8 x^{4}!) .$

Iată de ce: la $3 x^{2} + 5 x^{2}$ avem trei $x^{2}$ plus cinci $x^{2}$ , adică opt bucăți de $x^{2}$ . Puterea $x^{2}$ rămâne aceeași, se schimbă doar câte bucăți sunt.

Câteva reduceri simple, pas cu pas:

$9 a - 4 a = (9 - 4) a = 5 a$ ;
$- 6 y + 6 y = (- 6 + 6) y = 0 \cdot y = 0$ (când coeficienții se anulează, termenul dispare);
$x + x = 1 x + 1 x = 2 x$ (grijă la coeficientul subînțeles $1$ );
$- m - m = - 1 m - 1 m = - 2 m$ ;
$\frac{1}{2} t + \frac{1}{2} t = t$ .

Când termenii NU sunt asemenea

Dacă doi termeni nu au aceeași parte literală, nu se pot reduce — rămân separați, exact cum sunt. Nu poți aduna $5 x$ cu $3 y$ într-un singur termen; scrii pur și simplu $5 x + 3 y$ și te oprești. Este ca și cum ai încerca să spui „ $5$ mere $+$ $3$ pere $=$ ...”: nu obții un singur fel de fruct, rămân „ $5$ mere și $3$ pere”.

La fel:

$5 x + 3 y$ — nu se reduce, este deja forma finală;
$2 a^{2} + 2 a$ — nu se reduce ( $a^{2} \neq = a$ ), rămâne $2 a^{2} + 2 a$ ;
$7 + 4 x$ — nu se reduce (un număr liber cu un termen în $x$ ).

Reducerea într-o expresie cu mai multe grupe

De obicei o expresie are mai multe grupe de termeni asemenea amestecate. Strategia este simplă și sigură:

Pasul 1. Identifici grupele de termeni asemenea (poți să le marchezi la fel: subliniezi la fel, colorezi la fel). Pasul 2. Reduci fiecare grupă separat, atent la semne. Pasul 3. Scrii rezultatul ordonat (de obicei descrescător după puterea literei), cu termenul liber la sfârșit.

Să lucrăm expresia $E = 4 x + 7 - x + 2 - 5 x + 1.$

Grupa termenilor în $x$ : $4 x, - x, - 5 x$ . Grupa termenilor liberi: $7, 2, 1$ .

Reducem prima grupă: $4 x - x - 5 x = (4 - 1 - 5) x = - 2 x$ . Reducem a doua grupă: $7 + 2 + 1 = 10$ .

Deci $E = - 2 x + 10$ . Aceasta este forma redusă (forma cea mai simplă) a expresiei.

Un sfat de aur pentru semne: fiecare termen „își ia semnul cu el”. Când muți sau grupezi termeni, semnul din fața fiecăruia îl însoțește mereu. Multe greșeli de examen apar tocmai pentru că un semn minus este uitat sau pierdut pe drum.

Ordonarea și forma cea mai simplă

O expresie este în formă redusă (sau „forma cea mai simplă”) când nu mai există niciun termen asemenea cu altul — adică nu mai avem ce reduce. Pentru un aspect îngrijit, cerut la examen, respectă și aceste bune practici:

scrie termenii în ordine descrescătoare după puterea literei (întâi $x^{2}$ , apoi $x$ , apoi termenul liber);
pune literele din fiecare termen în ordine alfabetică;
pune, de obicei, primul un termen cu coeficient pozitiv, dacă expresia permite.

De exemplu, $3 - 2 x + 5 x^{2}$ se scrie frumos ca $5 x^{2} - 2 x + 3$ .

Un exemplu mai bogat, cu două litere

Reducem $F = 6 ab - 2 a + 5 - ab + 7 a - 8 + 3 ab .$

Grupa $ab$ : $6 ab - ab + 3 ab = (6 - 1 + 3) ab = 8 ab$ ;
Grupa $a$ : $- 2 a + 7 a = 5 a$ ;
Grupa termenilor liberi: $5 - 8 = - 3$ .

Rezultat: $F = 8 ab + 5 a - 3$ . Cei trei termeni au părți literale diferite ( $ab$ , $a$ , respectiv niciuna), deci nu se mai pot combina — este forma finală.

De ce ne trebuie această deprindere

Reducerea termenilor asemenea nu e un scop în sine; e un instrument pe care îl vei folosi în aproape fiecare lecție de algebră care urmează. Când vei desface $(a + b)^{2}$ sau vei aduna fracții algebrice, ultimul pas va fi mereu: „reduc termenii asemenea și scriu forma cea mai simplă”. Cu cât o stăpânești mai bine acum, cu atât vei greși mai puțin mai târziu, la Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere și la formulele de calcul prescurtat.

O metodă sigură pas cu pas (rețetă anti-greșeli)

Când o expresie e lungă și te încurci, folosește această rețetă în trei mișcări; e „lentă” la început, dar te scapă de greșelile de semn la examen:

Numerotează grupele. Treci prin expresie de la stânga la dreapta și dă un „număr de grupă” fiecărei părți literale nou întâlnite. Primul $x$ deschide grupa 1, primul $x^{2}$ deschide grupa 2, primul termen liber deschide grupa 3 și așa mai departe.
Adună pe grupe, cu semn cu tot. Pentru fiecare grupă, scrie doar coeficienții (cu semnele lor) și fă suma. Un coeficient „gol” valorează $1$ sau $- 1$ .
Rescrie ordonat. Așază grupele în ordine descrescătoare după putere și lipește la fiecare partea literală comună. Dacă suma coeficienților unei grupe este $0$ , tai grupa: acel termen dispare.

Să aplicăm rețeta pe expresia $G = 2 x^{2} - 5 + 7 x - x^{2} + 3 - 7 x + 4 x^{2}$ .

Grupele: grupa 1 este $x^{2}$ ( $2 x^{2}, - x^{2}, 4 x^{2}$ ), grupa 2 este $x$ ( $7 x, - 7 x$ ), grupa 3 sunt termenii liberi ( $- 5, 3$ ).
Sume: grupa 1: $2 - 1 + 4 = 5$ ; grupa 2: $7 - 7 = 0$ (dispare!); grupa 3: $- 5 + 3 = - 2$ .
Rescriere ordonată: $G = 5 x^{2} - 2$ .

Observă cât de „scurtă” a devenit o expresie care părea lungă și complicată: de la șapte termeni am ajuns la doi. Exact aceasta este puterea reducerii.

Mai întâi desfaci parantezele, apoi reduci

În practică, la Evaluarea Națională, termenii asemenea apar rareori „la vedere”: de cele mai multe ori sunt ascunși în paranteze. Regula de aur este să lucrezi în două etape: întâi desfaci parantezele, abia apoi reduci termenii asemenea. Reține cele două situații:

Dacă în fața parantezei este un semn plus (sau nimic), paranteza se desface fără să schimbi semnele dinăuntru: $+ (3 x - 5) = 3 x - 5$ .
Dacă în fața parantezei este un semn minus, la desfacere schimbi semnul fiecărui termen dinăuntru: $- (3 x - 5) = - 3 x + 5$ . Minusul „se împarte” la toți termenii, nu doar la primul — aici se pierd cele mai multe puncte la examen.

Să vedem pe o expresie completă: $H = (5 x + 3) - (2 x - 4) .$

Desfacem prima paranteză nefiind semn în față (rămâne la fel), iar a doua schimbând semnele (are minus în față): $H = 5 x + 3 - 2 x + 4.$

Abia acum reducem: grupa $x$ dă $5 x - 2 x = 3 x$ , iar termenii liberi dau $3 + 4 = 7$ . Deci $H = 3 x + 7$ .

Atenție și la parantezele cu factor în față: acolo desfaci prin înmulțire (distributivitate), înmulțind numărul cu fiecare termen, iar apoi reduci. De exemplu $2 (x + 3) + 4 x = 2 x + 6 + 4 x = 6 x + 6$ . Vom aprofunda înmulțirea la lecția următoare; deocamdată reține ordinea: desfac, apoi reduc.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — reducere într-o singură grupă

Redu: $E = 8 x - 3 x + x - 10 x$ .

Toți termenii au aceeași parte literală $x$ , deci formează o singură grupă. Adunăm coeficienții, atenți la semne și la coeficientul subînțeles $1$ al lui $x$ : $8 - 3 + 1 - 10 = - 4.$ Deci $E = - 4 x$ .

Exemplul 2 — două grupe și termen liber

Redu: $E = 5 a - 2 + 3 a + 9 - a$ .

Grupa $a$ : $5 a + 3 a - a = (5 + 3 - 1) a = 7 a$ . Termeni liberi: $- 2 + 9 = 7$ . Rezultat: $E = 7 a + 7$ .

Observă că nu poți combina $7 a$ cu $7$ : unul are litera $a$ , celălalt nu. Forma redusă rămâne $7 a + 7$ (dacă vrei, o poți scrie și ca $7 (a + 1)$ , dar reducerea propriu-zisă se oprește la $7 a + 7$ ).

Exemplul 3 — atenție la puteri diferite

Redu: $E = 4 x^{2} + 3 x - x^{2} + 5 x - 2 x^{2}$ .

Aici avem două grupe, pentru că $x^{2}$ și $x$ au părți literale diferite. Grupa $x^{2}$ : $4 x^{2} - x^{2} - 2 x^{2} = (4 - 1 - 2) x^{2} = x^{2}$ . Grupa $x$ : $3 x + 5 x = 8 x$ . Rezultat, ordonat descrescător: $E = x^{2} + 8 x$ .

Reține: $x^{2}$ și $x$ nu se amestecă. Exponenții nu se adună.

Exemplul 4 — două litere și ordine amestecată

Redu: $E = 3 x y - 5 x + 2 y x + 4 x - 7 x y$ .

Mai întâi rescriem $2 y x = 2 x y$ (ordine alfabetică), ca să vedem clar asemănarea. Grupa $x y$ : $3 x y + 2 x y - 7 x y = (3 + 2 - 7) x y = - 2 x y$ . Grupa $x$ : $- 5 x + 4 x = - x$ . Rezultat: $E = - 2 x y - x$ .

Exemplul 5 — cu fracții la coeficienți

Redu: $E = \frac{3}{4} a + \frac{1}{2} a - a$ .

Toți termenii sunt asemenea (parte literală $a$ ). Adunăm coeficienții, aducându-i la același numitor: $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = \frac{3 + 2 - 4}{4} = \frac{1}{4} .$ Deci $E = \frac{1}{4} a$ , adică $\frac{a}{4}$ .

Exemplul 6 — item tip Evaluarea Națională (cu justificare)

Se dă expresia $E (x) = 6 x - 4 - 2 x + 9 - 4 x$ . Arată că valoarea expresiei nu depinde de $x$ și calculează această valoare.

Rezolvare. Reducem termenii asemenea. Grupa $x$ : $6 x - 2 x - 4 x = (6 - 2 - 4) x = 0 \cdot x = 0$ . Termeni liberi: $- 4 + 9 = 5$ . Deci $E (x) = 0 + 5 = 5$ .

Fiindcă termenii în $x$ s-au anulat complet, expresia se reduce la numărul $5$ , oricare ar fi $x$ . Prin urmare valoarea ei este constant $5$ și nu depinde de $x$ . (Poți verifica: pentru $x = 10$ , $E = 60 - 4 - 20 + 9 - 40 = 5$ . ✓)

Exemplul 7 — cu paranteze care se desfac întâi

Redu: $E = (4 x^{2} - 3 x + 1) - (x^{2} - 3 x - 5)$ .

Rezolvare. Întâi desfacem parantezele. Prima nu are semn în față, deci rămâne neschimbată; a doua are minus în față, deci schimbăm semnul fiecărui termen dinăuntru: $E = 4 x^{2} - 3 x + 1 - x^{2} + 3 x + 5.$ Acum reducem pe grupe:

grupa $x^{2}$ : $4 x^{2} - x^{2} = 3 x^{2}$ ;
grupa $x$ : $- 3 x + 3 x = 0$ (dispare);
termeni liberi: $1 + 5 = 6$ .

Rezultat: $E = 3 x^{2} + 6$ . Observă cât de important a fost să schimbăm toate semnele din a doua paranteză: dacă am fi uitat, de exemplu, să schimbăm $- 5$ în $+ 5$ , am fi obținut greșit termenul liber.

Să exersăm

Rezolvă în caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Scrie de fiecare dată forma redusă, ordonată frumos.

1. Redu: $7 x + 5 x$ .

2. Redu: $12 a - 9 a$ .

3. Redu: $y + y + y$ .

4. Redu: $- 6 m + 6 m$ .

5. Precizează dacă termenii $4 x^{2}$ și $4 x$ sunt asemenea și justifică răspunsul.

6. Redu: $10 b - 3 b - 8 b + b$ .

7. Redu: $5 x + 3 - 2 x + 7$ .

8. Redu: $2 a^{2} + 5 a - a^{2} + 3 a$ .

9. Redu: $4 x y - 7 x + 3 y x + 2 x$ .

10. Redu: $- c - c - c + 5 c$ .

11. Redu: $\frac{2}{3} t + \frac{1}{3} t - t$ .

12. Adevărat sau fals? „ $3 a + 3 a = 6 a^{2}$ .” Motivează.

13. Redu: $9 p^{2} - 4 p + 2 - 5 p^{2} + 4 p - 6$ .

14. Redu și ordonează descrescător: $5 - 3 x + 2 x^{2} - 8 + x - x^{2}$ .

15. Se dă $E = 8 n - 5 - 3 n + 12 - 5 n$ . Arată că $E$ nu depinde de $n$ și găsește valoarea lui.

16. Redu: $6 ab - 2 a + b - 4 ab + 5 a - 3 b$ .

17. (Aplicat) Un triunghi are laturile de lungimi $2 x + 1$ , $3 x - 2$ și $x + 4$ (în cm). Scrie perimetrul sub formă redusă și calculează-l pentru $x = 5$ .

18. (Tip Evaluarea Națională) Se consideră expresia $E (x) = (7 x + 2) - (3 x - 5) + (x - 4)$ . Redu expresia la forma cea mai simplă, apoi calculează $E (2)$ .

19. Redu, desfăcând întâi parantezele: $(6 x - 1) - (2 x + 3)$ .

20. Redu: $(a^{2} + 4 a - 2) + (3 a^{2} - 4 a + 6)$ și ordonează descrescător.

21. (Aplicat) Un dreptunghi are lungimea $L = 3 x + 2$ și lățimea $ℓ = x - 1$ (în cm). Scrie perimetrul $P = 2 (L + ℓ)$ sub formă redusă și calculează-l pentru $x = 4$ .

22. (Tip Evaluarea Națională) Se dă $E (x) = (5 x - 3) - (5 x + 8)$ . Arată că $E (x)$ nu depinde de $x$ și găsește valoarea sa.

Răspunsuri și explicații

1. $7 x + 5 x = 12 x$ . (Coeficienți: $7 + 5 = 12$ .)

2. $12 a - 9 a = 3 a$ . ( $12 - 9 = 3$ .)

3. $y + y + y = 3 y$ . (Fiecare $y$ are coeficient $1$ : $1 + 1 + 1 = 3$ .)

4. $- 6 m + 6 m = 0$ . (Coeficienții se anulează: $- 6 + 6 = 0$ ; termenul dispare.)

5. Nu sunt asemenea. Deși ambii au litera $x$ , la primul $x$ este la puterea $2$ , iar la al doilea la puterea $1$ ; părțile literale ( $x^{2}$ față de $x$ ) sunt diferite.

6. $10 b - 3 b - 8 b + b = (10 - 3 - 8 + 1) b = 0 \cdot b = 0$ .

7. $5 x + 3 - 2 x + 7$ : grupa $x$ dă $5 x - 2 x = 3 x$ ; termeni liberi $3 + 7 = 10$ . Rezultat: $3 x + 10$ .

8. $2 a^{2} + 5 a - a^{2} + 3 a$ : grupa $a^{2}$ dă $2 a^{2} - a^{2} = a^{2}$ ; grupa $a$ dă $5 a + 3 a = 8 a$ . Rezultat: $a^{2} + 8 a$ .

9. Scriem $3 y x = 3 x y$ . Grupa $x y$ : $4 x y + 3 x y = 7 x y$ ; grupa $x$ : $- 7 x + 2 x = - 5 x$ . Rezultat: $7 x y - 5 x$ .

10. $- c - c - c + 5 c = (- 1 - 1 - 1 + 5) c = 2 c$ .

11. $\frac{2}{3} t + \frac{1}{3} t - t = (\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1) t = (1 - 1) t = 0$ .

12. Fals. La reducere se adună coeficienții, iar partea literală rămâne neschimbată: $3 a + 3 a = 6 a$ , nu $6 a^{2}$ . Exponentul lui $a$ nu se schimbă și nu apare o putere nouă.

13. $9 p^{2} - 4 p + 2 - 5 p^{2} + 4 p - 6$ : grupa $p^{2}$ : $9 p^{2} - 5 p^{2} = 4 p^{2}$ ; grupa $p$ : $- 4 p + 4 p = 0$ ; termeni liberi: $2 - 6 = - 4$ . Rezultat: $4 p^{2} - 4$ .

14. $5 - 3 x + 2 x^{2} - 8 + x - x^{2}$ : grupa $x^{2}$ : $2 x^{2} - x^{2} = x^{2}$ ; grupa $x$ : $- 3 x + x = - 2 x$ ; termeni liberi: $5 - 8 = - 3$ . Ordonat: $x^{2} - 2 x - 3$ .

15. Grupa $n$ : $8 n - 3 n - 5 n = 0 \cdot n = 0$ ; termeni liberi: $- 5 + 12 = 7$ . Deci $E = 7$ : termenii în $n$ s-au anulat, așa că valoarea este constant $7$ , indiferent de $n$ . (Verificare pentru $n = 1$ : $8 - 5 - 3 + 12 - 5 = 7$ . ✓)

16. $6 ab - 2 a + b - 4 ab + 5 a - 3 b$ : grupa $ab$ : $6 ab - 4 ab = 2 ab$ ; grupa $a$ : $- 2 a + 5 a = 3 a$ ; grupa $b$ : $b - 3 b = - 2 b$ . Rezultat: $2 ab + 3 a - 2 b$ .

17. Perimetrul $P = (2 x + 1) + (3 x - 2) + (x + 4)$ . Grupa $x$ : $2 x + 3 x + x = 6 x$ ; termeni liberi: $1 - 2 + 4 = 3$ . Deci $P = 6 x + 3$ (cm). Pentru $x = 5$ : $P = 6 \cdot 5 + 3 = 33$ cm.

18. Desfacem parantezele, atenți la semnul minus din fața celei de-a doua: $E (x) = 7 x + 2 - 3 x + 5 + x - 4$ . Grupa $x$ : $7 x - 3 x + x = 5 x$ ; termeni liberi: $2 + 5 - 4 = 3$ . Forma redusă: $E (x) = 5 x + 3$ . Apoi $E (2) = 5 \cdot 2 + 3 = 13$ .

19. Desfacem parantezele (a doua are minus în față): $6 x - 1 - 2 x - 3$ . Grupa $x$ : $6 x - 2 x = 4 x$ ; termeni liberi: $- 1 - 3 = - 4$ . Rezultat: $4 x - 4$ .

20. Ambele paranteze au plus în față, deci se desfac neschimbat: $a^{2} + 4 a - 2 + 3 a^{2} - 4 a + 6$ . Grupa $a^{2}$ : $a^{2} + 3 a^{2} = 4 a^{2}$ ; grupa $a$ : $4 a - 4 a = 0$ ; termeni liberi: $- 2 + 6 = 4$ . Ordonat: $4 a^{2} + 4$ .

21. $P = 2 ((3 x + 2) + (x - 1))$ . Reducem întâi în paranteză: $3 x + x = 4 x$ și $2 - 1 = 1$ , deci $L + ℓ = 4 x + 1$ . Atunci $P = 2 (4 x + 1) = 8 x + 2$ (cm). Pentru $x = 4$ : $P = 8 \cdot 4 + 2 = 34$ cm.

22. Desfacem: $5 x - 3 - 5 x - 8$ (minusul din față schimbă ambele semne ale celei de-a doua paranteze). Grupa $x$ : $5 x - 5 x = 0$ ; termeni liberi: $- 3 - 8 = - 11$ . Deci $E (x) = - 11$ : termenii în $x$ s-au anulat, așa că valoarea este constant $- 11$ , indiferent de $x$ .

De reținut

Termeni asemenea = termeni cu exact aceeași parte literală (aceleași litere, la aceleași puteri); diferă doar prin coeficient.
Regula reducerii: $a \cdot X + b \cdot X = (a + b) \cdot X$ — aduni coeficienții, partea literală rămâne neschimbată. Exponenții NU se adună.
Ordinea literelor nu contează ( $x y = y x$ ); scrie-le alfabetic ca să recunoști ușor asemănarea.
Termenii liberi (numerele fără litere) sunt toți asemenea între ei și se combină ca la aritmetică.
Forma redusă (cea mai simplă) e atinsă când nu mai există termeni asemenea; scrie-o ordonat descrescător după puteri, cu termenul liber la final.

Greșeli frecvente

Adunarea exponenților. $3 x^{2} + 5 x^{2} = 8 x^{2}$ , NU $8 x^{4}$ . Se adună doar coeficienții; puterea rămâne aceeași. Testează-te: „câte bucăți de $x^{2}$ am?”
Combinarea a doi termeni neasemenea. $5 x + 3$ nu devine $8 x$ și nici $8$ ; sunt de „categorii” diferite, așa că rămân separați. La fel, $2 a^{2} + 2 a$ nu se reduce.
Pierderea unui semn. Fiecare termen își poartă semnul. La $4 x - x - 5 x$ minusurile trebuie folosite toate: $4 - 1 - 5 = - 2$ , deci $- 2 x$ (nu $8 x$ ). Subliniază semnul odată cu termenul.
Uitarea coeficientului $1$ . $x$ înseamnă $1 x$ , iar $- x$ înseamnă $- 1 x$ . La $x + x$ răspunsul este $2 x$ , nu $x^{2}$ și nici $x$ .

Aplică acasă

Bugetul de buzunar. Notează cu $x$ prețul unui suc și cu $y$ prețul unei gogoși. Scrie ce ai cheltuit într-o săptămână ca sumă de termeni (de exemplu $3 x + 2 y + x + 4 y$ ), apoi redu la forma cea mai simplă și interpretează: câte sucuri și câte gogoși ai luat în total.
Perimetre cu litere. Măsoară un dreptunghi din casă, dar exprimă lungimea ca $L = 2 a + 3$ și lățimea ca $ℓ = a - 1$ (alege tu un $a$ real). Scrie perimetrul $P = 2 (L + ℓ)$ , redu termenii asemenea și abia apoi înlocuiește valoarea lui $a$ ; compară cu măsurătoarea directă.
Vânătoarea de asemenea. Deschide un manual sau o culegere la un exercițiu de calcul algebric și, înainte de a-l rezolva, colorează cu aceeași culoare toate grupele de termeni asemenea. Este cel mai rapid antrenament pentru a nu greși la examen.

Pentru părinți și profesori

Reducerea termenilor asemenea este deprinderea „de bază” pe care se sprijină aproape tot calculul algebric din clasa a VIII-a și de la Evaluarea Națională: desfacerea parantezelor, formulele de calcul prescurtat, adunarea fracțiilor algebrice și rezolvarea ecuațiilor se termină, aproape mereu, cu un pas de reducere. La examen, un singur semn pierdut sau un exponent adunat greșit poate anula un subpunct întreg.

Cum verificați dacă elevul a înțeles cu adevărat, dincolo de a „memora reguli”:

Cereți-i să explice cu cuvintele lui de ce $3 x^{2} + 5 x^{2} = 8 x^{2}$ și nu $8 x^{4}$ (răspunsul bun: „am $8$ bucăți de $x^{2}$ , puterea nu se schimbă”).
Dați-i o pereche „capcană” precum $5 x$ și $5 x^{2}$ și întrebați dacă sunt asemenea; trebuie să spună nu, motivând prin puteri diferite.
Puneți un exercițiu cu anulare, ca la Exemplul 6, în care termenii cu literă dispar; dacă înțelege că rezultatul e un simplu număr, a prins ideea de „constant, indiferent de $x$ ”.
Urmăriți dacă scrie forma finală ordonată (descrescător după puteri) — este exact ce se cere pentru punctaj complet la redactare.

Semnalul clar că a înțeles: rezolvă corect un amestec de termeni cu două litere, precum cel din Exemplul 4, fără să adune exponenți și fără să piardă semne.

Întrebări frecvente

Ce sunt termenii asemenea la clasa a 8-a? Sunt termenii care au exact aceeași parte literală — aceleași litere, la aceleași puteri. Coeficienții (numerele din față) pot fi diferiți. De exemplu $5 x$ și $- 2 x$ sunt asemenea, dar $5 x$ și $5 x^{2}$ nu sunt.

Cum reduci termenii asemenea? Aduni (sau scazi) coeficienții, iar partea literală rămâne neschimbată. Practic: $a \cdot X + b \cdot X = (a + b) \cdot X$ . De exemplu $5 x + 3 x = 8 x$ .

De ce nu se adună exponenții la reducere? Pentru că reducerea numără „câte bucăți” de aceeași parte literală ai. La $3 x^{2} + 5 x^{2}$ ai $8$ bucăți de $x^{2}$ , deci $8 x^{2}$ ; puterea $x^{2}$ descrie tipul de bucată și nu se schimbă. Exponenții se adună la înmulțirea puterilor, nu la adunare.

Sunt $3 x y$ și $5 y x$ termeni asemenea? Da. Ordinea literelor nu contează, fiindcă înmulțirea este comutativă: $y x = x y$ . Deci $3 x y + 5 y x = 8 x y$ . Ca să eviți confuzia, scrie mereu literele în ordine alfabetică.

Ce înseamnă forma redusă a unei expresii? Este forma cea mai simplă, în care nu mai există niciun termen asemenea cu altul, deci nu mai ai ce reduce. De obicei se scrie ordonată descrescător după puterile literei, cu termenul liber la final (de exemplu $x^{2} - 2 x - 3$ ).

Numerele fără litere se pot reduce între ele? Da. Termenii liberi (precum $4$ , $- 9$ , $\frac{1}{2}$ ) sunt toți asemenea între ei — partea lor literală „lipsește”, deci este comună — și se combină exact ca la aritmetică: $7 + 2 - 8 = 1$ .

Cum reduc termenii când expresia are paranteze? Lucrezi în două etape: întâi desfaci parantezele, apoi reduci. Dacă în fața parantezei este plus (sau nimic), o desfaci fără să schimbi semnele; dacă este minus, schimbi semnul fiecărui termen dinăuntru. De exemplu $(5 x + 3) - (2 x - 4) = 5 x + 3 - 2 x + 4 = 3 x + 7$ .

Unde folosesc reducerea termenilor asemenea la Evaluarea Națională? Aproape peste tot în algebră: la desfacerea parantezelor, la formulele $(a \pm b)^{2}$ și $(a - b) (a + b)$ , la fracții algebrice și la rezolvarea ecuațiilor. Este pasul final de „simplificare” care îți aduce punctajul pe redactare, așa că merită exersat până devine automat.