Ce înseamnă a⁰ și de unde apare?

a⁰ = 1 pentru orice a ≠ 0. Apare natural la împărțirea unei puteri la ea însăși: a^(m): a^(m) = a^(m-m) = a⁰, iar rezultatul acelei împărțiri este evident 1.

Acasă · Clasa a VIII-a · Lecții · Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere

Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere

Când un inginer calculează câtă vopsea intră pe un perete de dimensiuni $3 x$ metri pe $2 x$ metri, el nu înmulțește niște numere fixe, ci expresii cu litere, pentru că vrea o formulă care merge pentru orice valoare a lui $x$ . Exact aceasta este puterea calculului algebric: o singură socoteală rezolvă o infinitate de situații. În lecția aceasta învățăm cum se înmulțesc, se împart și se ridică la putere expresiile cu litere — operații pe care le vei folosi la fiecare formulă de calcul prescurtat, la descompuneri în factori și la aproape orice problemă de la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

Vei ști să înmulțești monoame aplicând regula puterilor cu aceeași bază: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
Vei ști să înmulțești un monom cu o sumă (o paranteză) folosind distributivitatea.
Vei ști să înmulțești două paranteze între ele, termen cu termen.
Vei ști să împarți expresii cu litere folosind $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ .
Vei ști să ridici la putere o expresie, folosind $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ și $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ .

Hai să descoperim împreună

În lecțiile anterioare ai învățat ce este o expresie algebrică și cum se adună, se scad și se reduc termenii asemenea. Acolo aveam voie să combinăm doar termeni cu aceeași parte literală. La înmulțire și împărțire, regula se schimbă complet: putem înmulți orice cu orice, indiferent de litere. Să luăm totul pas cu pas.

1. Ce este un monom și cum îl scriem corect

Un monom este cea mai simplă expresie algebrică: un produs între un număr (numit coeficient) și una sau mai multe litere ridicate la puteri naturale. De exemplu $5 x^{2}$ , $- 3 ab$ , $\frac{1}{2} x y^{3}$ și chiar numărul $7$ sunt monoame.

Într-un monom, ordinea factorilor nu contează (înmulțirea este comutativă), dar prin convenție scriem întâi coeficientul, apoi literele în ordine alfabetică. Deci nu scriem $x \cdot 5 \cdot y$ , ci $5 x y$ .

2. Reamintim regula fundamentală a puterilor

Toate operațiile din această lecție se sprijină pe o singură idee, pe care o știi din clasele mai mici: o putere este o înmulțire repetată.

$a^{m} = m factori a \cdot a \cdot \dots \cdot a$

De aici rezultă regula pe care o vom folosi la fiecare pas. Când înmulțim două puteri cu aceeași bază, păstrăm baza și adunăm exponenții:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

De ce? Pentru că $a^{m}$ înseamnă $m$ factori $a$ , iar $a^{n}$ înseamnă alți $n$ factori $a$ ; puse laolaltă avem $m + n$ factori $a$ . Verifică pe un caz concret: $a^{2} \cdot a^{3} = (a \cdot a) (a \cdot a \cdot a) = a^{5}$ , adică $a^{2 + 3}$ .

Atenție la o capcană des întâlnită: regula funcționează DOAR când baza este aceeași. Expresia $x^{2} \cdot y^{3}$ nu se poate „strânge" într-o singură putere, pentru că bazele sunt diferite. O lăsăm așa cum e: $x^{2} y^{3}$ .

3. Înmulțirea a două monoame

Ca să înmulțești două monoame, faci două lucruri separat:

înmulțești coeficienții între ei (numere reale obișnuite, cu regula semnelor);
înmulțești literele — la cele cu aceeași bază aduni exponenții, iar bazele diferite le scrii una lângă alta.

Să vedem un exemplu comentat. Calculăm $4 x^{3} \cdot 5 x^{2}$ :

$4 x^{3} \cdot 5 x^{2} = (4 \cdot 5) \cdot (x^{3} \cdot x^{2}) = 20 \cdot x^{3 + 2} = 20 x^{5} .$

Am grupat numerele împreună și literele împreună — asta e permis pentru că înmulțirea este comutativă și asociativă.

Un exemplu cu mai multe litere. Calculăm $- 2 a^{2} b \cdot 3 a b^{4}$ :

coeficienți: $(- 2) \cdot 3 = - 6$ ;
litera $a$ : $a^{2} \cdot a^{1} = a^{2 + 1} = a^{3}$ ;
litera $b$ : $b^{1} \cdot b^{4} = b^{1 + 4} = b^{5}$ .

Rezultatul: $- 6 a^{3} b^{5}$ . Observă că $a$ „nescris cu exponent" înseamnă $a^{1}$ , iar $b$ singur înseamnă $b^{1}$ . Nu uita niciodată exponentul ascuns $1$ .

4. Regula semnelor — pe scurt

La înmulțire și împărțire semnele se comportă simplu, ca la numere:

plus cu plus $\to$ plus; minus cu minus $\to$ plus;
plus cu minus (în orice ordine) $\to$ minus.

Deci $(- x) (- y) = x y$ , dar $(- x) (y) = - x y$ . Numără mereu câți factori negativi ai: un număr par de minusuri dă plus, un număr impar dă minus.

5. Înmulțirea unui monom cu o sumă (distributivitatea)

Aici intervine una dintre cele mai importante proprietăți din toată algebra — distributivitatea înmulțirii față de adunare:

$a (b + c) = ab + a c .$

În cuvinte: factorul din fața parantezei se înmulțește cu fiecare termen din paranteză, iar rezultatele se adună (păstrând semnele). Ideea geometrică e simplă: un dreptunghi cu lățimea $a$ și lungimea $b + c$ are aria $a (b + c)$ ; dar poate fi tăiat în două dreptunghiuri de arii $ab$ și $a c$ . Aceeași arie, două scrieri.

Să aplicăm pe un caz cu litere. Desfacem $3 x (2 x + 5)$ :

$3 x (2 x + 5) = 3 x \cdot 2 x + 3 x \cdot 5 = 6 x^{2} + 15 x .$

Fiecare termen din paranteză a fost înmulțit cu $3 x$ . La primul termen am folosit regula puterilor ( $x \cdot x = x^{2}$ ), la al doilea am înmulțit doar coeficientul cu numărul.

Foarte important: grijă la semnul din fața parantezei. Dacă factorul este negativ, el schimbă semnul fiecărui termen. Desfacem $- 2 a (3 a - 4)$ :

$- 2 a (3 a - 4) = (- 2 a) (3 a) + (- 2 a) (- 4) = - 6 a^{2} + 8 a .$

Al doilea produs a dat $+ 8 a$ , pentru că minus cu minus înseamnă plus. Este exact locul unde se pierd cele mai multe puncte la examen — verifică semnele de două ori.

6. Înmulțirea a două paranteze

Ce facem când avem două sume înmulțite, ca la $(x + 3) (x + 2)$ ? Aplicăm distributivitatea de două ori: fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua, apoi reducem termenii asemenea.

O metodă sigură de a nu uita niciun produs este „fiecare cu fiecare". La două paranteze cu câte doi termeni ies exact $2 \times 2 = 4$ produse:

$(x + 3) (x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 3 \cdot x + 3 \cdot 2.$

Calculăm fiecare: $x^{2} + 2 x + 3 x + 6$ . Acum reducem termenii asemenea $2 x$ și $3 x$ :

$(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 5 x + 6.$

Schema aceasta „cutie" (sau tabel) te ajută să nu uiți niciun produs, mai ales când apar semne minus. Să vedem un exemplu cu scădere: $(2 a - 1) (a + 4)$ .

$(2 a - 1) (a + 4) = 2 a \cdot a + 2 a \cdot 4 + (- 1) \cdot a + (- 1) \cdot 4$ $= 2 a^{2} + 8 a - a - 4 = 2 a^{2} + 7 a - 4.$

Semnele termenului $- 1$ s-au păstrat corect: a dat $- a$ și $- 4$ .

Această tehnică este temelia pentru formulele de calcul prescurtat pe care le vei învăța imediat în lecțiile următoare. De exemplu, $(a + b)^{2}$ nu este altceva decât $(a + b) (a + b)$ desfăcut cu metoda de aici.

7. Împărțirea expresiilor cu litere

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, regula este „oglinda" celei de la înmulțire: păstrăm baza și scădem exponenții.

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}, unde a \neq = 0.$

De ce scădem? Pentru că împărțirea taie factori comuni: la $\frac{a ^{5}}{a ^{2}}$ simplificăm doi factori $a$ de sus cu doi de jos și rămân $5 - 2 = 3$ factori, adică $a^{3}$ .

Ca să împarți două monoame, împarți coeficienții și scazi exponenții literelor de aceeași bază. Calculăm $\frac{12 x ^{5}}{4 x ^{2}}$ :

$\frac{12 x ^{5}}{4 x ^{2}} = \frac{12}{4} \cdot x^{5 - 2} = 3 x^{3} .$

Un exemplu cu mai multe litere. Împărțim $15 a^{4} b^{3}$ la $5 a^{2} b$ :

$\frac{15 a ^{4} b ^{3}}{5 a ^{2} b} = \frac{15}{5} \cdot a^{4 - 2} \cdot b^{3 - 1} = 3 a^{2} b^{2} .$

Condiția $a \neq = 0$ este obligatorie — nu se împarte niciodată la zero. La împărțirile cu litere presupunem mereu că numitorul este diferit de zero; vei studia amănunțit acest lucru la condițiile de existență ale fracțiilor algebrice.

Ce se întâmplă când exponenții sunt egali? Atunci $a^{m} : a^{m} = a^{m - m} = a^{0} = 1$ . Așa se justifică regula, valabilă din clasele mai mici, că orice bază nenulă ridicată la puterea zero dă $1$ .

Împărțirea unei sume la un monom. Distributivitatea nu funcționează doar la înmulțire, ci și la împărțire, atunci când suma este la numărător: fiecare termen al sumei se împarte separat la monomul de la numitor.

$(a + b) : c = a : c + b : c, c \neq = 0.$

De exemplu, împărțim $6 x^{3} + 9 x^{2}$ la $3 x$ :

$\frac{6 x ^{3} + 9 x ^{2}}{3 x} = \frac{6 x ^{3}}{3 x} + \frac{9 x ^{2}}{3 x} = 2 x^{2} + 3 x .$

Am împărțit pe rând fiecare termen: la primul $6 : 3 = 2$ și $x^{3 - 1} = x^{2}$ , la al doilea $9 : 3 = 3$ și $x^{2 - 1} = x$ . Poți verifica întotdeauna rezultatul înmulțind înapoi: $3 x (2 x^{2} + 3 x) = 6 x^{3} + 9 x^{2}$ , exact numărătorul de la care am plecat.

Atenție la o capcană importantă: împărțirea se distribuie DOAR când suma este la numărător. Nu există o regulă asemănătoare pentru $c : (a + b)$ — nu ai voie să scrii $\frac{c}{a + b} = \frac{c}{a} + \frac{c}{b}$ . Aceasta este o greșeală foarte des întâlnită; numitorul cu adunare rămâne întreg.

8. Ridicarea la putere a unei expresii

Avem două reguli, foarte utile la formule și la volume.

Regula 1 — puterea unei puteri: când ridici o putere la altă putere, înmulțești exponenții.

$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} .$

Justificare: $(a^{3})^{2}$ înseamnă $a^{3} \cdot a^{3} = a^{3 + 3} = a^{6} = a^{3 \cdot 2}$ . Deci, ridicând $a^{3}$ la pătrat, exponentul $3$ apare de $2$ ori, adică $3 \cdot 2$ .

Regula 2 — puterea unui produs: ridicarea la putere se „împarte" pe fiecare factor.

$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} .$

Justificare: $(ab)^{3} = (ab) (ab) (ab) = (a \cdot a \cdot a) (b \cdot b \cdot b) = a^{3} b^{3}$ , pentru că înmulțirea e comutativă și putem grupa toți $a$ împreună și toți $b$ împreună.

Combinând ambele reguli, putem ridica la putere orice monom. Calculăm $(2 x^{3})^{2}$ :

$(2 x^{3})^{2} = 2^{2} \cdot (x^{3})^{2} = 4 \cdot x^{3 \cdot 2} = 4 x^{6} .$

Observă că și coeficientul se ridică la putere, nu doar litera! Aceasta este greșeala nr. 1 la acest capitol: mulți elevi scriu $(2 x^{3})^{2} = 2 x^{6}$ , uitând să ridice $2$ la pătrat. Corect este $4 x^{6}$ .

Un exemplu cu mai multe litere și semn. Calculăm $(- 3 a^{2} b)^{3}$ :

$(- 3 a^{2} b)^{3} = (- 3)^{3} \cdot (a^{2})^{3} \cdot b^{3} = - 27 \cdot a^{6} \cdot b^{3} = - 27 a^{6} b^{3} .$

Baza $- 3$ ridicată la puterea impară $3$ rămâne negativă. Dacă puterea ar fi fost pară, rezultatul ar fi ieșit pozitiv.

9. Înmulțirea a mai mult de doi factori

Uneori avem de înmulțit trei sau mai mulți factori deodată, de exemplu $2 x \cdot 3 x^{2} \cdot x^{4}$ . Procedăm exact la fel, grupând toate numerele împreună și toate literele cu aceeași bază împreună:

$2 x \cdot 3 x^{2} \cdot x^{4} = (2 \cdot 3 \cdot 1) \cdot x^{1 + 2 + 4} = 6 x^{7} .$

Exponenții tuturor factorilor cu aceeași bază se adună: $1 + 2 + 4 = 7$ . Nu contează ordinea în care faci înmulțirile, pentru că înmulțirea este comutativă și asociativă — poți grupa cum îți este mai comod.

10. Ordinea operațiilor — cum le combinăm

În practică apar expresii mixte, care conțin în același timp puteri, înmulțiri, împărțiri și paranteze. Regula de aur rămâne cea din aritmetică:

mai întâi se efectuează ce este în paranteze;
apoi puterile (ridicările la putere);
apoi înmulțirile și împărțirile, de la stânga la dreapta;
la final adunările și scăderile.

De exemplu, în expresia $3 x^{2} + 2 x \cdot x - (x)^{2}$ , calculăm întâi puterea și produsul: $3 x^{2} + 2 x^{2} - x^{2}$ , apoi reducem termenii asemenea și obținem $4 x^{2}$ . În exemplele care urmează vei vedea de multe ori acest flux: desfaci parantezele, apoi reduci termenii asemenea, ca într-o singură succesiune ordonată de pași. Îngrijirea ordinii este ceea ce îți aduce punctajul complet la redactarea de examen: fiecare pas scris clar, fără a „sări" etape în minte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — înmulțirea a două monoame. Calculați $- 6 x^{4} y \cdot \frac{1}{2} x^{2} y^{3}$ .

Rezolvare. Grupăm coeficienții și literele: $(- 6 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (x^{4} \cdot x^{2}) \cdot (y \cdot y^{3}) = - 3 \cdot x^{4 + 2} \cdot y^{1 + 3} = - 3 x^{6} y^{4} .$ Rezultatul este $- 3 x^{6} y^{4}$ .

Exemplul 2 — monom cu paranteză, cu semn negativ. Efectuați $- 4 a (2 a^{2} - 3 a + 5)$ .

Rezolvare. Distribuim $- 4 a$ pe fiecare dintre cei trei termeni: $(- 4 a) (2 a^{2}) + (- 4 a) (- 3 a) + (- 4 a) (5)$ $= - 8 a^{3} + 12 a^{2} - 20 a .$ Fii atent: termenul din mijloc a dat $+ 12 a^{2}$ (minus cu minus). Rezultatul: $- 8 a^{3} + 12 a^{2} - 20 a$ .

Exemplul 3 — produsul a două paranteze. Efectuați $(3 x - 2) (2 x + 5)$ .

Rezolvare. Înmulțim fiecare termen cu fiecare: $3 x \cdot 2 x + 3 x \cdot 5 + (- 2) (2 x) + (- 2) (5)$ $= 6 x^{2} + 15 x - 4 x - 10.$ Reducem termenii asemenea $15 x - 4 x = 11 x$ : $(3 x - 2) (2 x + 5) = 6 x^{2} + 11 x - 10.$

Exemplul 4 — împărțirea monoamelor. Calculați $\frac{- 20 a ^{5} b ^{4}}{5 a ^{2} b ^{4}}$ , pentru $a, b \neq = 0$ .

Rezolvare. Împărțim coeficienții și scădem exponenții: $\frac{- 20}{5} \cdot a^{5 - 2} \cdot b^{4 - 4} = - 4 \cdot a^{3} \cdot b^{0} = - 4 a^{3} .$ Deoarece $b^{0} = 1$ , litera $b$ dispare din rezultat. Răspuns: $- 4 a^{3}$ .

Exemplul 5 — ridicarea la putere a unui monom. Calculați $(- 2 x^{2} y^{3})^{4}$ .

Rezolvare. Ridicăm la puterea $4$ fiecare factor: $(- 2)^{4} \cdot (x^{2})^{4} \cdot (y^{3})^{4} = 16 \cdot x^{8} \cdot y^{12} = 16 x^{8} y^{12} .$ Puterea $4$ este pară, deci $(- 2)^{4} = 16$ (pozitiv). Răspuns: $16 x^{8} y^{12}$ .

Exemplul 6 — expresie combinată, tip Evaluare Națională. Se dă $E = 2 x (x - 3) - (x - 1) (x + 4)$ . Aduceți $E$ la o formă cât mai simplă.

Rezolvare. Desfacem pe rând fiecare parte. Prima parte (distributivitate): $2 x (x - 3) = 2 x^{2} - 6 x$ . A doua parte (două paranteze): $(x - 1) (x + 4) = x^{2} + 4 x - x - 4 = x^{2} + 3 x - 4$ . Acum înlocuim, atent la semnul minus din fața parantezei, care schimbă semnul întregii a doua expresii: $E = (2 x^{2} - 6 x) - (x^{2} + 3 x - 4) = 2 x^{2} - 6 x - x^{2} - 3 x + 4.$ Reducem termenii asemenea: $E = (2 x^{2} - x^{2}) + (- 6 x - 3 x) + 4 = x^{2} - 9 x + 4.$ Forma simplificată este $E = x^{2} - 9 x + 4$ .

Exemplul 7 — expresie cu putere de monom și împărțire. Aduceți la o formă simplă expresia $E = \frac{( 2 x ^{2} ) ^{3}}{4 x ^{4}}$ , pentru $x \neq = 0$ .

Rezolvare. Ridicăm întâi la putere numărătorul, respectând ordinea operațiilor: $(2 x^{2})^{3} = 2^{3} (x^{2})^{3} = 8 x^{6}$ . Apoi împărțim: $E = \frac{8 x ^{6}}{4 x ^{4}} = \frac{8}{4} \cdot x^{6 - 4} = 2 x^{2} .$ Forma simplă este $E = 2 x^{2}$ . Reține ordinea: mai întâi puterea, abia apoi împărțirea.

Exemplul 8 — împărțirea unei sume la un monom. Aduceți la o formă simplă expresia $E = \frac{10 x ^{4} - 15 x ^{3} + 5 x ^{2}}{5 x ^{2}}$ , pentru $x \neq = 0$ .

Rezolvare. Împărțim fiecare termen de la numărător la $5 x^{2}$ : $E = \frac{10 x ^{4}}{5 x ^{2}} - \frac{15 x ^{3}}{5 x ^{2}} + \frac{5 x ^{2}}{5 x ^{2}} = 2 x^{2} - 3 x + 1.$ La ultimul termen $x^{2 - 2} = x^{0} = 1$ , deci rămâne doar coeficientul. Verificare rapidă prin înmulțire: $5 x^{2} (2 x^{2} - 3 x + 1) = 10 x^{4} - 15 x^{3} + 5 x^{2}$ . Răspuns: $E = 2 x^{2} - 3 x + 1$ .

Să exersăm

1. Calculați $3 x^{2} \cdot 4 x^{5}$ .

2. Calculați $- 5 a^{3} \cdot 2 a^{4}$ .

3. Efectuați $\frac{2}{3} m^{2} n \cdot 6 m n^{3}$ .

4. Desfaceți paranteza: $4 x (3 x - 7)$ .

5. Desfaceți paranteza: $- 2 a (a^{2} - 5 a + 6)$ .

6. Efectuați $(x + 5) (x + 2)$ .

7. Efectuați $(2 y - 3) (y + 4)$ .

8. Calculați $\frac{18 x ^{6}}{6 x ^{2}}$ .

9. Calculați $\frac{- 24 a ^{5} b ^{3}}{8 a ^{5} b}$ (pentru $a, b \neq = 0$ ).

10. Ridicați la putere: $(3 x^{4})^{2}$ .

11. Ridicați la putere: $(- 2 a^{3} b)^{3}$ .

12. Adevărat sau fals, cu justificare: $(2 x^{3})^{2} = 2 x^{6}$ .

13. Adevărat sau fals, cu justificare: $x^{5} : x^{5} = 0$ .

14. Aduceți la o formă simplă: $E = 3 a (2 a - 1) - a (a + 4)$ .

15. (Tip Evaluare Națională) Se dă $F = (x - 2) (x + 3) - x (x - 1)$ . Arătați că $F = 2 x - 6$ .

16. Un teren dreptunghiular are lățimea $x$ metri și lungimea cu $6$ metri mai mare decât lățimea. Scrieți aria terenului ca expresie desfăcută (fără paranteze), în funcție de $x$ .

17. (Raționament) Determinați numărul natural $n$ pentru care $x^{n} \cdot x^{3} = x^{10}$ .

18. (Provocare) Aduceți la o formă simplă: $E = (2 x - 1) (x + 3) - 2 (x - 2)^{2}$ . Indicație: $(x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2)$ .

19. Simplificați $\frac{( 3 a ^{2} b ) ^{2}}{9 a ^{3} b}$ , pentru $a, b \neq = 0$ .

20. (Tip Evaluare Națională) O cutie în formă de cub are latura $2 x$ centimetri. Scrieți volumul cutiei ca expresie în funcție de $x$ , apoi calculați volumul pentru $x = 5$ cm.

21. Împărțiți fiecare termen la monomul de la numitor: $\frac{8 x ^{3} - 12 x ^{2}}{4 x}$ (pentru $x \neq = 0$ ).

22. Aduceți la o formă simplă: $\frac{9 a ^{4} b - 6 a ^{3} b ^{2}}{3 a ^{2} b}$ (pentru $a, b \neq = 0$ ).

23. (Provocare, tip Evaluare Națională) Aduceți la o formă cât mai simplă expresia $E = \frac{4 x ^{3} + 8 x ^{2}}{2 x} - x (x + 1)$ , pentru $x \neq = 0$ .

Răspunsuri și explicații

1. $3 x^{2} \cdot 4 x^{5} = (3 \cdot 4) x^{2 + 5} = 12 x^{7}$ .

2. $- 5 a^{3} \cdot 2 a^{4} = (- 5 \cdot 2) a^{3 + 4} = - 10 a^{7}$ .

3. $\frac{2}{3} m^{2} n \cdot 6 m n^{3} = (\frac{2}{3} \cdot 6) m^{2 + 1} n^{1 + 3} = 4 m^{3} n^{4}$ . Coeficientul: $\frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ . Răspuns: $4 m^{3} n^{4}$ .

4. $4 x (3 x - 7) = 4 x \cdot 3 x - 4 x \cdot 7 = 12 x^{2} - 28x$ .

5. $- 2 a (a^{2} - 5 a + 6) = - 2 a^{3} + 10 a^{2} - 12 a$ . Termenul mijlociu: $(- 2 a) (- 5 a) = + 10 a^{2}$ . Răspuns: $- 2 a^{3} + 10 a^{2} - 12a$ .

6. $(x + 5) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 5 x + 10 = x^{2} + 7x + 10$ .

7. $(2 y - 3) (y + 4) = 2 y^{2} + 8 y - 3 y - 12 = 2 y^{2} + 5y - 12$ .

8. $\frac{18 x ^{6}}{6 x ^{2}} = \frac{18}{6} x^{6 - 2} = 3 x^{4}$ .

9. $\frac{- 24 a ^{5} b ^{3}}{8 a ^{5} b} = \frac{- 24}{8} a^{5 - 5} b^{3 - 1} = - 3 \cdot a^{0} \cdot b^{2} = - 3 b^{2}$ . Litera $a$ dispare, pentru că $a^{0} = 1$ .

10. $(3 x^{4})^{2} = 3^{2} (x^{4})^{2} = 9 x^{8} = 9 x^{8}$ . Nu uita să ridici și pe $3$ la pătrat.

11. $(- 2 a^{3} b)^{3} = (- 2)^{3} (a^{3})^{3} b^{3} = - 8 a^{9} b^{3} = - 8 a^{9} b^{3}$ . Putere impară $\to$ semn negativ.

12. Fals. Corect: $(2 x^{3})^{2} = 2^{2} (x^{3})^{2} = 4 x^{6}$ . Coeficientul $2$ trebuie și el ridicat la pătrat, deci rezultatul este $4 x^{6}$ , nu $2 x^{6}$ .

13. Fals. $x^{5} : x^{5} = x^{5 - 5} = x^{0} = 1$ (pentru $x \neq = 0$ ). Împărțirea unei expresii la ea însăși dă $1$ , nu $0$ .

14. $3 a (2 a - 1) - a (a + 4) = (6 a^{2} - 3 a) - (a^{2} + 4 a) = 6 a^{2} - 3 a - a^{2} - 4 a = 5 a^{2} - 7a$ .

15. $(x - 2) (x + 3) = x^{2} + 3 x - 2 x - 6 = x^{2} + x - 6$ . Apoi $x (x - 1) = x^{2} - x$ . Deci $F = (x^{2} + x - 6) - (x^{2} - x) = x^{2} + x - 6 - x^{2} + x = 2x - 6$ . Q.E.D.

16. Lungimea este $x + 6$ , aria este $A = x (x + 6) = x^{2} + 6x$ (metri pătrați).

17. $x^{n} \cdot x^{3} = x^{n + 3}$ ; egalăm exponenții: $n + 3 = 10$ , deci $n = 7$ .

18. Întâi $(2 x - 1) (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x - x - 3 = 2 x^{2} + 5 x - 3$ . Apoi $(x - 2)^{2} = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4$ , deci $2 (x - 2)^{2} = 2 x^{2} - 8 x + 8$ . Scădem: $E = (2 x^{2} + 5 x - 3) - (2 x^{2} - 8 x + 8) = 2 x^{2} + 5 x - 3 - 2 x^{2} + 8 x - 8 = 13x - 11$ .

19. Numărătorul: $(3 a^{2} b)^{2} = 3^{2} (a^{2})^{2} b^{2} = 9 a^{4} b^{2}$ . Împărțim: $\frac{9 a ^{4} b ^{2}}{9 a ^{3} b} = \frac{9}{9} a^{4 - 3} b^{2 - 1} = ab$ .

20. Volumul cubului cu latura $2 x$ este $V = (2 x)^{3} = 2^{3} x^{3} = 8 x^{3}$ (cm³). Pentru $x = 5$ : $V = 8 \cdot 5^{3} = 8 \cdot 125 = 1000$ cm³.

21. $\frac{8 x ^{3} - 12 x ^{2}}{4 x} = \frac{8 x ^{3}}{4 x} - \frac{12 x ^{2}}{4 x} = 2 x^{2} - 3x$ . Fiecare termen se împarte separat la $4 x$ .

22. $\frac{9 a ^{4} b - 6 a ^{3} b ^{2}}{3 a ^{2} b} = \frac{9 a ^{4} b}{3 a ^{2} b} - \frac{6 a ^{3} b ^{2}}{3 a ^{2} b} = 3 a^{2} - 2 ab = 3 a^{2} - 2ab$ . La primul termen $b^{1 - 1} = b^{0} = 1$ , la al doilea rămâne $a^{3 - 2} = a$ și $b^{2 - 1} = b$ .

23. Împărțim întâi suma la monom: $\frac{4 x ^{3} + 8 x ^{2}}{2 x} = \frac{4 x ^{3}}{2 x} + \frac{8 x ^{2}}{2 x} = 2 x^{2} + 4 x$ . Desfacem apoi produsul: $x (x + 1) = x^{2} + x$ . Scădem, atent la semnul minus: $E = (2 x^{2} + 4 x) - (x^{2} + x) = 2 x^{2} + 4 x - x^{2} - x = x^{2} + 3x$ .

De reținut

Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ (baza rămâne, exponenții se adună).
Împărțirea puterilor cu aceeași bază: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , cu $a \neq = 0$ (exponenții se scad).
Puterea unei puteri: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ ; puterea unui produs: $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ — se ridică și coeficientul, și fiecare literă.
Distributivitate: $a (b + c) = ab + a c$ ; factorul înmulțește fiecare termen din paranteză.
Două paranteze: fiecare termen cu fiecare, apoi reducem termenii asemenea.
Sumă împărțită la un monom: $(a + b) : c = a : c + b : c$ (cu $c \neq = 0$ ); se distribuie doar când suma este la numărător.

Greșeli frecvente

„Uit să ridic coeficientul la putere." Scrii $(3 x^{2})^{2} = 3 x^{4}$ în loc de $9 x^{4}$ . Ține minte: puterea cade pe tot monomul, inclusiv pe număr: $(3 x^{2})^{2} = 3^{2} \cdot x^{4} = 9 x^{4}$ .
„Aduni exponenții la înmulțirea coeficienților." La $2 x^{3} \cdot 5 x^{2}$ , coeficienții se înmulțesc ( $2 \cdot 5 = 10$ ), doar exponenții se adună: $10 x^{5}$ , nu $7 x^{5}$ .
„Pierd semnul din fața parantezei." La $- 2 a (a - 3)$ scrii $- 2 a^{2} - 6 a$ , uitând că minus cu minus dă plus: corect $- 2 a^{2} + 6 a$ . Verifică semnul fiecărui produs.
„Confund $a^{0}$ cu $0$ ." Când exponenții se anulează la împărțire, rezultă $a^{0} = 1$ , nu $0$ . Litera respectivă dispare (devine factorul $1$ ).
„Desfac greșit un numitor cu adunare." Scrii $\frac{6}{x + 2} = \frac{6}{x} + \frac{6}{2}$ — fals. Împărțirea se distribuie doar când suma este la numărător ( $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ ), niciodată când suma este la numitor. Un numitor cu adunare rămâne întreg.

Aplică acasă

Aria camerei tale ca formulă. Măsoară o cameră și notează lățimea. Presupune că lungimea e cu $2$ metri mai mare decât lățimea $x$ și scrie aria ca $x (x + 2) = x^{2} + 2 x$ . Apoi înlocuiește lățimea reală măsurată și verifică cu aria calculată direct — trebuie să coincidă.
Cutia de volum. Ia o cutie cubică (sau imaginează una) cu latura $3 x$ . Scrie volumul ca $(3 x)^{3} = 27 x^{3}$ și observă cât de mult crește volumul când dublezi latura — de $8$ ori. Este exact intuiția de la lecția de volume ale corpurilor.
Verifică un rezultat prin înlocuire. Ia orice exercițiu cu paranteze din lecție, de exemplu $(x + 5) (x + 2) = x^{2} + 7 x + 10$ , dă lui $x$ valoarea $2$ în ambele forme și verifică dacă obții același număr ( $7 \cdot 4 = 28$ și $4 + 14 + 10 = 28$ ). Este cel mai bun autotest.
Împărțire „la revedere". Ia un rezultat de la o distributivitate, de pildă $2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ , și fă drumul invers: împarte $2 x^{2} + 6 x$ la $2 x$ , termen cu termen, și verifică dacă obții din nou $x + 3$ . Împărțirea unei sume la un monom este exact operația opusă distribuirii — un truc util pentru autotestare și pentru descompunerile în factori de mai târziu.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este coloana vertebrală a întregii unități de calcul algebric: fără înmulțirea corectă a parantezelor, elevul nu va putea deduce formulele de calcul prescurtat, nu va putea descompune în factori și nu va lucra cu fracții algebrice. La Evaluarea Națională, aceste operații apar în aproape orice item de la subiectul II și III care cere „aduceți expresia la o formă mai simplă" sau „arătați că".

Ca să verificați înțelegerea, puneți întrebări scurte, de tip diagnostic: „Cât face $(2 x)^{2}$ ?" (răspuns corect $4 x^{2}$ , nu $2 x^{2}$ — testează dacă ridică și coeficientul); „Cât face $x^{3} : x^{3}$ ?" ( $1$ , nu $0$ ); „De ce la $- 2 (x - 3)$ obținem $+ 6$ ?" (regula semnelor). Dacă elevul răspunde ferm la aceste trei, a prins esențialul. Un semn sigur de stăpânire a materiei este când poate verifica singur rezultatul înlocuind $x$ cu un număr, ca la activitatea „Aplică acasă".

Întrebări frecvente

Când adun exponenții și când îi înmulțesc? Aduni exponenții când înmulțești puteri cu aceeași bază ( $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ). Îi înmulțești când ridici o putere la altă putere ( $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ ). Sunt situații diferite; confuzia dintre ele este cea mai frecventă la acest capitol.

De ce se ridică și coeficientul la putere? Pentru că puterea se aplică întregului monom, care este un produs. Conform regulii $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ , în $(2 x^{3})^{2}$ atât factorul $2$ , cât și factorul $x^{3}$ se ridică la pătrat: $2^{2} \cdot (x^{3})^{2} = 4 x^{6}$ .

Pot înmulți $x^{2}$ cu $y^{3}$ într-o singură putere? Nu. Regula $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ funcționează numai când baza este aceeași. Cum bazele $x$ și $y$ sunt diferite, rezultatul rămâne pur și simplu $x^{2} y^{3}$ .

Ce înseamnă $a^{0}$ și de unde apare? $a^{0} = 1$ pentru orice $a \neq = 0$ . Apare natural la împărțirea unei puteri la ea însăși: $a^{m} : a^{m} = a^{m - m} = a^{0}$ , iar rezultatul acelei împărțiri este evident $1$ .

Cum înmulțesc corect două paranteze fără să uit niciun termen? Folosește metoda „fiecare cu fiecare" (sau schema cutie): înmulțește fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua, apoi reduci termenii asemenea. La două paranteze cu câte doi termeni obții exact patru produse.

De ce se schimbă semnele când desfac o paranteză cu minus în față? Pentru că factorul din fața parantezei (care conține semnul minus) se înmulțește cu fiecare termen. La $- 1 \cdot (x - 3)$ obții $- x + 3$ : fiecare termen și-a schimbat semnul. Este exact regula de care ai nevoie și la reducerea termenilor asemenea.

Se poate împărți la o expresie care conține litere? Da, cu condiția ca acea expresie să fie diferită de zero. De aceea la împărțiri scriem mereu „pentru $a \neq = 0$ ". Vei aprofunda această idee la lecția despre condițiile de existență ale fracțiilor algebrice.

Cum împart o sumă la un monom? Împarți fiecare termen al sumei, pe rând, la monomul de la numitor: $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ (cu $c \neq = 0$ ). Atenție, regula merge doar când suma este la numărător — nu ai voie să „împarți pe rând" un numitor cu adunare, adică $\frac{c}{a + b}$ nu se desface în $\frac{c}{a} + \frac{c}{b}$ .

La ce îmi folosesc aceste reguli mai departe? Sunt baza pentru formulele de calcul prescurtat — $(a + b)^{2}$ , $(a - b)^{2}$ , $(a - b) (a + b)$ — pentru descompunerile în factori și pentru toate operațiile cu fracții algebrice. Practic, le vei folosi la fiecare problemă de algebră de la Evaluarea Națională.