Ce figură obții tăind paralel cu baza?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Secțiuni paralele: congruent sau asemenea

Planul paralel cu baza taie corpul după o figură plană numită secțiune. La prismă și la cilindru pereții laterali sunt paraleli, așa că figura obținută este congruentă cu baza, oriunde ai tăia. La piramidă și la con muchiile urcă spre vârf, deci figura este asemenea cu baza, cu raportul $k$ măsurat de la vârf. La un con cu raza $12$ tăiat la $k = \frac{1}{4}$ , secțiunea are raza $3$ , iar aria ei este de $16$ ori mai mică.

Când tai un corp geometric cu un plan paralel cu baza, obții o figură plană numită secțiune. Totul depinde de forma corpului:

La prismă și cilindru (pereți laterali paraleli), secțiunea este congruentă cu baza — aceeași formă și mărime, oriunde ai tăia. Raportul este $k = 1$ .
La piramidă și con (corpuri cu vârf), muchiile converg spre vârf, deci secțiunea este asemenea cu baza, dar mai mică, cu raport $k = \frac{V M}{V A}$ (distanța de la vârf), unde $0 < k < 1$ .

La asemănare, laturile și perimetrul se înmulțesc cu $k$ , iar aria cu $k^{2}$ .

Exemplu: o piramidă cu baza pătrat de latură $9 cm$ este tăiată de un plan la $k = \frac{1}{3}$ față de vârf. Latura secțiunii este $\frac{1}{3} \cdot 9 = 3 cm$ , iar aria secțiunii este $(\frac{1}{3})^{2} \cdot 81 = 9 cm^{2}$ .

De reținut

prismă și cilindru: secțiunea este congruentă cu baza, $k = 1$
piramidă și con: secțiunea este asemenea cu baza, $0 < k < 1$
lungimile se înmulțesc cu $k$ , ariile cu $k^{2}$ , volumele cu $k^{3}$

Greșeala tipică

Aria secțiunii este înmulțită direct cu raportul $k$ , deși ariile se schimbă după $k^{2}$ : la $k = \frac{1}{2}$ secțiunea are un sfert din aria bazei, nu jumătate. Lungimile se scalează cu $k$ , ariile cu $k^{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

O prismă dreaptă are baza un pătrat cu latura de $8 cm$ . Un plan paralel cu baza secționează prisma. Ce perimetru are secțiunea obținută?
- a) $16 cm$
- b) $24 cm$
- c) $32 cm$
- d) $64 cm$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $32 cm$

La prismă, secțiunea paralelă cu baza este congruentă cu baza ( $k = 1$ ), deci are același perimetru: $P = 4 \cdot 8 = 32 cm$ , indiferent la ce înălțime tăiem.
O piramidă are baza un triunghi echilateral cu latura $15 cm$ . Un plan paralel cu baza taie muchiile laterale la raportul $k = \frac{2}{5}$ față de vârf. Ce latură are triunghiul secțiune?
- a) $6 cm$
- b) $9 cm$
- c) $10 cm$
- d) $3 cm$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6 cm$

Secțiunea este asemenea cu baza cu raportul $k$ : latura secțiunii $= k \cdot 15 = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6 cm$ .
O prismă dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura de $13 cm$ . Un plan paralel cu baza secționează prisma. Ce perimetru are secțiunea obținută?
- a) $19 cm$
- b) $29 cm$
- c) $39 cm$
- d) $49 cm$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $39 cm$

La prismă, secțiunea paralelă cu baza este congruentă cu baza ( $k = 1$ ), deci are același perimetru: $P = 3 \cdot 13 = 39 cm$ , indiferent la ce înălțime tăiem.

Întrebări conexe

Cum se schimbă perimetrul secțiunii față de cel al bazei?

La prismă și la cilindru rămâne același, fiindcă figura nu își schimbă mărimea. La piramidă și la con se micșorează: perimetrul bazei se înmulțește cu raportul $k$ . Dacă baza are perimetrul $60$ și $k = \frac{1}{3}$ , secțiunea are perimetrul $20$ .

Ce arie are secțiunea făcută la jumătatea înălțimii unui con?

Un sfert din aria bazei. Planul dus la mijloc dă raportul $k = \frac{1}{2}$ , iar ariile se schimbă după $k^{2} = \frac{1}{4}$ . Pentru o bază de $48 cm^{2}$ , secțiunea are $12 cm^{2}$ . Raza ei este jumătate din raza bazei.

În ce raport sunt volumele piramidei mici și ale celei întregi?

În raportul $k^{3}$ , fiindcă volumele scalează după cub. Un plan care taie la $k = \frac{1}{2}$ desprinde de sus o piramidă cu volumul egal cu $\frac{1}{8}$ din volumul întreg; restul de $\frac{7}{8}$ îl are trunchiul rămas dedesubt.

Unde tai o piramidă ca secțiunea să aibă jumătate din aria bazei?

Ai nevoie de $k^{2} = \frac{1}{2}$ , deci $k = \frac{2}{2} \approx 0, 71$ . Planul trece pe la aproximativ $71%$ din înălțime, măsurat de la vârf în jos, adică sub mijlocul piramidei. Tăierea exact la jumătatea înălțimii ar da doar un sfert din aria bazei.

Ce figură dă un plan paralel cu o față a cubului?

Un pătrat identic cu fața respectivă. Cubul este o prismă, deci pereții lui laterali sunt paraleli și secțiunea nu se micșorează. La un cub cu muchia $7 cm$ , orice astfel de tăietură are latura $7 cm$ și aria $49 cm^{2}$ .

De ce triunghiurile formate la tăierea unei piramide sunt asemenea?

Planul de tăiere e paralel cu baza, deci fiecare latură a secțiunii este paralelă cu latura corespunzătoare din bază. Se formează perechi de triunghiuri cu vârful comun în $V$ și cu laturi paralele, iar teorema fundamentală a asemănării dă rapoarte egale între segmente.

Oamenii mai întreabă și: secțiune paralelă cu baza · ce se obține când tai o piramidă · secțiunea unei prisme cu un plan · raportul de asemănare la secțiune · cum tai un con paralel cu baza