Numerele $$m$$ și $$n$$ verifică $$\dfrac{m}{8} = \dfrac{n}{3}$$. Care dintre următoarele egalități este corectă, conform variantei cu diferență a proprietății șirului de rapoarte egale?

$$\dfrac{m}{8} = \dfrac{n}{3} = \dfrac{m-n}{8-3}$$

$$\dfrac{m}{8} = \dfrac{n}{3} = \dfrac{m-n}{3-8}$$

$$\dfrac{m}{8} = \dfrac{n}{3} = \dfrac{n-m}{8-3}$$

$$\dfrac{m}{8} = \dfrac{n}{3} = \dfrac{m+n}{8-3}$$

Ce este un șir de rapoarte egale?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Șir de rapoarte egale

Este o înșiruire de rapoarte legate prin semnul egal, precum $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5}$ , toate având aceeași valoare, notată de obicei $k$ . Puterea lui vine dintr-o proprietate scurtă: aduni numărătorii, aduni numitorii, iar raportul dintre cele două sume dă tot $k$ . Dacă $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ și suma numerelor este 25, atunci $k = 25 : 5 = 5$ , deci $x = 10$ și $y = 15$ .

Un șir de rapoarte egale este o egalitate de trei sau mai multe rapoarte, de forma $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ , cu toți numitorii nenuli. Toate au aceeași valoare comună $k$ , astfel încât $a = bk$ , $c = d k$ , $e = f k$ .

Proprietatea cheie: suma numărătorilor pe suma numitorilor dă tot $k$ : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f} .$ Dacă în loc de sumă cunoști o diferență, folosești aceeași idee, păstrând ordinea: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a - c}{b - d}$ .

Exemplu. Dacă $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ și $x + y = 25$ , atunci $k = \frac{25}{2 + 3} = 5$ , deci $x = 10$ , $y = 15$ . Verificare: $10 + 15 = 25$ .

Această proprietate rezolvă rapid probleme de împărțire „în raport" (bani, premii, unghiuri).

De reținut

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$ , cu numitori nenuli
$k = \frac{a + c + e}{b + d + f}$
cu diferență: $\frac{a - c}{b - d}$ , păstrând ordinea
rețeta: afli $k$ , apoi înmulțești fiecare numitor cu el

Greșeala tipică

Se iau numerele din raport drept răspuns final. Ele sunt doar părțile; numerele cerute ies înmulțind fiecare parte cu valoarea comună.

Exerciții din această mini-lecție

Numerele $m$ și $n$ verifică $\frac{m}{8} = \frac{n}{3}$ . Care dintre următoarele egalități este corectă, conform variantei cu diferență a proprietății șirului de rapoarte egale?
- a) $\frac{m}{8} = \frac{n}{3} = \frac{m - n}{8 - 3}$
- b) $\frac{m}{8} = \frac{n}{3} = \frac{m - n}{3 - 8}$
- c) $\frac{m}{8} = \frac{n}{3} = \frac{n - m}{8 - 3}$
- d) $\frac{m}{8} = \frac{n}{3} = \frac{m + n}{8 - 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{m}{8} = \frac{n}{3} = \frac{m - n}{8 - 3}$

În varianta cu diferență, ordinea trebuie păstrată: dacă la numărători scriem $m - n$ , la numitori scriem $8 - 3$ (numitorul lui $m$ minus numitorul lui $n$ ), adică $\frac{m - n}{8 - 3}$ . Varianta b) inversează numitorii, c) inversează numărătorii, iar d) folosește suma în loc de diferență.
Măsurile a trei unghiuri ale unui triunghi sunt proporționale cu numerele $4$ , $5$ și $6$ . Care dintre variantele de mai jos reprezintă măsura celui mai mare unghi?
- a) $52°$
- b) $72°$
- c) $12°$
- d) $62°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $72°$

Notăm unghiurile $4 k$ , $5 k$ , $6 k$ . Suma numerelor date este $4 + 5 + 6 = 15$ , iar suma unghiurilor unui triunghi este $180°$ , deci $k = \frac{180}{15} = 12°$ . Cel mai mare unghi este $6 k = 6 \cdot 12° = 72°$ . Verificare: $48° + 60° + 72° = 180°$ .

Întrebări conexe

Cum împart 72 de lei la trei copii în raportul 3, 4 și 5?

Aduni părțile, $3 + 4 + 5 = 12$ , și împarți suma la ele: $72 : 12 = 6$ lei o parte. Apoi înmulțești: copiii primesc 18, 24 și 30 de lei. Verificarea este adunarea celor trei sume, care trebuie să dea 72.

Cum verific la final că numerele găsite respectă raportul?

Împarți fiecare număr găsit la partea lui și trebuie să obții de fiecare dată aceeași valoare. La 18, 24 și 30 cu părțile 3, 4 și 5 ies numai șesari. Dacă unul iese altfel, undeva s-a strecurat o greșeală de calcul.

De ce nu pot aduna numărătorii cu numitorii de-a valma?

Fiindcă proprietatea cere sumele luate separat: cele de sus cu cele de sus și cele de jos cu cele de jos. Amestecându-le, raportul obținut nu mai are nicio legătură cu valoarea comună, iar rezultatul iese aiurea.

Cum scriu un șir de rapoarte egale pornind de la cuvântul proporțional?

Numerele cerute se pun la numărători, iar numerele cu care sunt proporționale se pun la numitori. Din trei mărimi proporționale cu 2, 3 și 4 scrii $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ . De acolo folosești suma sau altă informație din enunț.

Se poate scrie un șir de rapoarte egale cu numitorul zero?

Nu se poate, fiindcă împărțirea la zero nu are înțeles. Toți numitorii trebuie să fie diferiți de zero, iar la probleme cu părți acest lucru se întâmplă de la sine, părțile fiind numere pozitive.

Ce legătură are șirul de rapoarte egale cu mărimile direct proporționale?

Două șiruri de mărimi sunt direct proporționale tocmai când rapoartele valorilor care se corespund sunt egale. Valoarea comună a acestor rapoarte se numește coeficient de proporționalitate și arată de câte ori una este mai mare decât cealaltă.

Oamenii mai întreabă și: șir de rapoarte egale · proprietatea șirului de rapoarte egale · cum împart un număr în raport dat · valoarea comună k · rapoarte egale suma numărătorilor