Criteriile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice

Ai învățat deja că două triunghiuri oarecare sunt congruente dacă reușești să potrivești trei elemente bine alese: cazurile LUL, ULU și LLL. Triunghiurile dreptunghice sunt însă niște triunghiuri „norocoase": ele au deja un unghi cunoscut, unghiul drept de 90°. Tocmai pentru că un element este dat din start, pentru ele avem niște criterii speciale, mai rapide. În această lecție descoperim cazurile CC, IC, CU și IU și învățăm să alegem repede cazul potrivit într-o demonstrație.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști criteriile de congruență CC (catetă-catetă), IC (ipotenuză-catetă), CU (catetă-unghi ascuțit) și IU (ipotenuză-unghi ascuțit).
• Vei ști să identifici corect, într-o figură, catetele și ipotenuza unui triunghi dreptunghic.
• Vei ști să alegi cazul potrivit în funcție de elementele egale pe care le ai la dispoziție.
• Vei ști să demonstrezi congruența a două triunghiuri dreptunghice, scriind ipoteza, concluzia și pașii justificați.
• Vei ști de ce aceste criterii sunt, de fapt, „scurtături" ale criteriilor LUL, ULU și ale unei proprietăți speciale.

Hai să descoperim împreună

De ce triunghiul dreptunghic are criterii speciale

Să ne reamintim un lucru important din lecția despre triunghiul dreptunghic și clasificarea triunghiurilor. Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept, adică un unghi de 90°. Laturile lui au nume speciale:

• Ipotenuza este latura cea mai lungă, cea care stă „în fața" unghiului drept (latura opusă unghiului de 90°).
• Catetele sunt celelalte două laturi, cele care formează chiar unghiul drept.

Acum gândește-te de ce e triunghiul dreptunghic „norocos". La un triunghi oarecare nu cunoști niciun unghi dinainte. La un triunghi dreptunghic știi deja că un unghi are 90°. Este ca și cum ai juca un joc și ai primi din start o piesă gratuit: îți mai trebuie mai puține informații ca să câștigi.

De aceea, în loc să cauți trei perechi de elemente egale (ca la LUL, ULU, LLL), la triunghiurile dreptunghice îți ajung de multe ori doar două perechi de elemente egale, fiindcă a treia informație – unghiul drept – este deja garantată la amândouă triunghiurile.

Cum citim numele celor patru cazuri

Cele patru criterii speciale se numesc CC, IC, CU și IU. Numele lor sunt de fapt niște abrevieri foarte logice, formate din literele care spun ce elemente trebuie să fie egale:

• C = catetă
• I = ipotenuză
• U = unghi ascuțit (un unghi mai mic de 90°)

Așa că:

• CC = catetă-catetă (cele două catete);
• IC = ipotenuză-catetă (ipotenuza și o catetă);
• CU = catetă-unghi ascuțit (o catetă și un unghi ascuțit);
• IU = ipotenuză-unghi ascuțit (ipotenuza și un unghi ascuțit).

În toate cele patru cazuri se subînțelege și un al treilea element: unghiul drept, care este egal la ambele triunghiuri (amândouă au 90°). Practic, fiecare criteriu spune: „dacă unghiurile drepte sunt egale (și sunt mereu) și încă două elemente potrivite sunt egale, atunci triunghiurile sunt congruente".

Cazul CC (catetă-catetă)

Imaginează-ți două triunghiuri dreptunghice. La fiecare, cele două catete formează un colț de 90°, exact ca un colț de carte sau de caiet. Dacă la primul triunghi catetele au, să zicem, 3 cm și 4 cm, iar la al doilea tot 3 cm și 4 cm, atunci cele două triunghiuri sunt identice ca formă și mărime: sunt congruente.

Criteriul CC (catetă-catetă): Două triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente sunt congruente.

De ce funcționează? Pentru că între cele două catete se află chiar unghiul drept. Avem deci: o catetă egală, unghiul dintre ele egal (90° = 90°), cealaltă catetă egală. Asta este exact tiparul latură-unghi-latură (LUL)! Cazul CC nu este o regulă nouă căzută din cer, ci este pur și simplu cazul LUL aplicat la triunghiuri dreptunghice, în care unghiul „din mijloc" este mereu cel drept.

Cazul IC (ipotenuză-catetă)

Acesta este cazul cel mai „special" și merită atenție. Spune așa:

Criteriul IC (ipotenuză-catetă): Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și câte o catetă congruentă sunt congruente.

Cu alte cuvinte: dacă cele mai lungi laturi (ipotenuzele) sunt egale și încă o catetă este egală, gata, triunghiurile sunt congruente.

De ce este special? La un triunghi oarecare, dacă ai două laturi egale și un unghi care nu este între ele, nu poți fi sigur de congruență – uneori există două triunghiuri diferite care se potrivesc. Această capcană se numește „cazul LLU" și nu este un criteriu valabil în general. Dar la triunghiul dreptunghic, fiindcă unghiul cunoscut este chiar cel drept (cel mai mare unghi), capcana dispare și congruența este sigură. Practic, cunoscând ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă este complet determinată (mai târziu, în clasele următoare, vei vedea de ce, cu teorema lui Pitagora). De aceea IC funcționează doar la triunghiuri dreptunghice.

Cazul CU (catetă-unghi ascuțit)

Acum aducem în joc un unghi ascuțit. Un triunghi dreptunghic are unghiul drept și încă două unghiuri ascuțite (mai mici de 90°). Reține că suma celor două unghiuri ascuțite este mereu 90°, fiindcă suma tuturor unghiurilor unui triunghi este 180°, iar unul este deja 90°.

Criteriul CU (catetă-unghi ascuțit): Două triunghiuri dreptunghice care au câte o catetă congruentă și câte un unghi ascuțit alăturat acelei catete congruent sunt congruente.

Aici trebuie să fii atent: cateta și unghiul ascuțit trebuie să fie „lipite", adică unghiul să aibă o latură chiar cateta dată. Dar de fapt, la triunghiul dreptunghic, dacă știi un unghi ascuțit, îl știi automat și pe celălalt (cel de-al doilea = 90° − primul). Așa că, oricum ai privi lucrurile, CU se reduce la cazul unghi-latură-unghi (ULU): ai unghiul drept la un capăt al catetei, cateta în mijloc, și unghiul ascuțit la celălalt capăt. Deci CU este, în esență, cazul ULU pentru triunghiuri dreptunghice.

Cazul IU (ipotenuză-unghi ascuțit)

Ultimul criteriu folosește latura cea mai lungă împreună cu un unghi ascuțit:

Criteriul IU (ipotenuză-unghi ascuțit): Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și câte un unghi ascuțit congruent sunt congruente.

De ce merge? Pentru că la fiecare triunghi cunoaștem deja unghiul drept (90°) și un unghi ascuțit; atunci și al treilea unghi este cunoscut (90° − unghiul ascuțit), deci ambele triunghiuri au toate cele trei unghiuri egale. În plus, au o latură egală – ipotenuza – care la amândouă este așezată la fel față de unghiuri (opusă unghiului drept). Asta înseamnă din nou tiparul ULU (sau o variantă a lui, „unghi-unghi-latură"), aplicat la triunghiuri dreptunghice.

O hartă pentru a alege cazul potrivit

Când rezolvi o problemă, „rețeta" este să te uiți ce ai egal la cele două triunghiuri dreptunghice și apoi să alegi cazul. Iată o mică schemă de decizie:

1. Mai întâi verifică: Sunt amândouă triunghiurile dreptunghice? (Au câte un unghi de 90°?) Dacă da, poți folosi aceste criterii speciale.
2. Numără perechile de elemente egale (fără unghiul drept). Ai nevoie de încă două perechi egale.
3. Întreabă-te ce sunt acele elemente:
   • două catete → CC;
   • ipotenuză + catetă → IC;
   • catetă + unghi ascuțit → CU;
   • ipotenuză + unghi ascuțit → IU.

Un truc de memorat: litera U apare doar când folosești un unghi ascuțit, iar litera I apare doar când folosești ipotenuza (latura cea mai lungă). Dacă lucrezi numai cu catete, ai litere doar C.

O scurtă poveste ca să fixăm ideea

Doi prieteni, Andrei și Bianca, decupează fiecare câte un triunghi dreptunghic din carton, fără să se uite unul la celălalt. Andrei spune: „Eu am tăiat catetele de 6 cm și 8 cm." Bianca răspunde: „Și eu la fel, 6 cm și 8 cm." Pun triunghiurile unul peste celălalt – se suprapun perfect. Au folosit, fără să știe, cazul CC.

A doua zi, Bianca zice: „Hai să facem altfel. Eu îți spun doar ipotenuza, 10 cm, și o catetă, 6 cm." Andrei taie un triunghi dreptunghic cu ipotenuza 10 cm și o catetă 6 cm. Din nou triunghiurile se suprapun perfect: cazul IC. Iar când Bianca a spus „cateta 8 cm și unghiul ascuțit de lângă ea de 37°", au obținut iar triunghiuri identice: cazul CU. Concluzia jocului: la triunghiuri dreptunghice îți ajung două informații bine alese, fiindcă a treia (unghiul drept) este gratuită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea cazului CC

Enunț. În triunghiurile dreptunghice $ABC$ (cu $\hat{A}=90°$) și $MNP$ (cu $\hat{M}=90°$) se știe că $AB=MN$ și $AC=MP$. Ce criteriu garantează congruența și care sunt elementele egale?

Rezolvare.

• În $△ABC$, catetele sunt $AB$ și $AC$ (laturile care formează unghiul drept din $A$).
• În $△MNP$, catetele sunt $MN$ și $MP$.
• Avem $AB=MN$ (catetă = catetă) și $AC=MP$ (catetă = catetă).
• Cele două perechi de catete sunt respectiv egale ⇒ folosim cazul CC.

Concluzie: $△ABC\equiv △MNP$ prin criteriul CC (catetă-catetă). Putem chiar gândi că între catete stă unghiul drept, deci este de fapt LUL.

Exemplul 2 — Recunoașterea cazului IC

Enunț. Triunghiurile $DEF$ și $GHI$ au $\hat{E}=\hat{H}=90°$. Se cunosc $DF=GI$ și $EF=HI$. Ce criteriu se aplică?

Rezolvare.

• În $△DEF$, unghiul drept este în $E$, deci ipotenuza este latura opusă, adică $DF$.
• În $△GHI$, unghiul drept este în $H$, deci ipotenuza este $GI$.
• Avem $DF=GI$: aceasta este o pereche de ipotenuze egale.
• Avem $EF=HI$: $EF$ și $HI$ sunt catete (laturi ce formează unghiul drept) ⇒ o pereche de catete egale.
• Ipotenuză egală + catetă egală ⇒ cazul IC.

Concluzie: $△DEF\equiv △GHI$ prin criteriul IC (ipotenuză-catetă).

Exemplul 3 — Cazul IU într-o demonstrație simplă

Enunț. Fie $[AD]$ înălțimea dusă din vârful $A$ al triunghiului isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, $D\in BC$. Demonstrează că $△ABD\equiv △ACD$.

Rezolvare.

Ipoteză: $AB=AC$ (triunghi isoscel); $AD\perp BC$, deci $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$.

Concluzie: $△ABD\equiv △ACD$.

Demonstrație pas cu pas:

1. $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$ (pentru că $AD$ este înălțime, deci perpendiculară pe $BC$) ⇒ ambele triunghiuri sunt dreptunghice, cu unghiul drept în $D$.
2. Atunci ipotenuza fiecăruia este latura opusă unghiului drept: în $△ABD$ ipotenuza este $AB$, iar în $△ACD$ ipotenuza este $AC$. Din ipoteză $AB=AC$ ⇒ ipotenuzele sunt congruente.
3. Deoarece $△ABC$ este isoscel cu $AB=AC$, unghiurile de la bază sunt egale: $\hat{B}=\hat{C}$ (proprietatea triunghiului isoscel). Acestea sunt unghiuri ascuțite ale celor două triunghiuri dreptunghice ⇒ o pereche de unghiuri ascuțite congruente.
4. Avem ipotenuză egală ($AB=AC$) și unghi ascuțit egal ($\hat{B}=\hat{C}$) ⇒ aplicăm cazul IU.

Concluzie: $△ABD\equiv △ACD$ prin criteriul IU (ipotenuză-unghi ascuțit). $■$

Din congruență obținem în plus $BD=DC$ (înălțimea din vârful triunghiului isoscel este și mediană) și $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (este și bisectoare) — vei aprofunda asta în lecția despre triunghiul isoscel.

Exemplul 4 — Cazul CU

Enunț. Fie triunghiurile dreptunghice $ABC$ ($\hat{A}=90°$) și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ($\widehat{A^{\prime }}=90°$) cu $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$. Arată că sunt congruente.

Rezolvare.

1. $AB$ este o catetă în $△ABC$ (formează unghiul drept din $A$); la fel $A^{\prime }{B}^{\prime }$ în celălalt triunghi. Avem $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ ⇒ catete congruente.
2. $\hat{B}$ este un unghi ascuțit alăturat catetei $AB$ (are o latură pe $AB$); la fel $\widehat{B^{\prime }}$ este alăturat catetei $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Avem $\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$ ⇒ unghiuri ascuțite congruente.
3. Catetă egală + unghi ascuțit alăturat egal ⇒ cazul CU.

Concluzie: $△ABC\equiv △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ prin criteriul CU (catetă-unghi ascuțit). Observă că este, de fapt, ULU: unghiul drept în $A$, cateta $AB$, unghiul $\hat{B}$.

Exemplul 5 — Alegerea cazului dintr-o figură cu mediatoare

Enunț. Punctul $M$ se află pe mediatoarea segmentului $[BC]$ (mediatoarea este perpendiculara dusă prin mijlocul $O$ al segmentului). Demonstrează că $△MOB\equiv △MOC$ și deduce $MB=MC$.

Rezolvare.

Ipoteză: $O$ este mijlocul lui $[BC]$ ⇒ $OB=OC$; $MO\perp BC$ ⇒ $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}=90°$.

Concluzie: $△MOB\equiv △MOC$.

Demonstrație:

1. $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}=90°$ (mediatoarea este perpendiculară pe $BC$) ⇒ ambele triunghiuri sunt dreptunghice, cu unghiul drept în $O$.
2. $OB=OC$ (pentru că $O$ este mijloc) ⇒ o pereche de catete congruente.
3. $MO=MO$ (latură comună celor două triunghiuri) ⇒ a doua pereche de catete congruente.
4. Două catete egale ⇒ cazul CC.

Concluzie: $△MOB\equiv △MOC$ prin CC. De aici, laturile corespondente sunt egale, deci $MB=MC$. Am redemonstrat astfel proprietatea fundamentală a mediatoarei: orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului. $■$

Exemplul 6 — Capcana: când NU avem destule informații

Enunț. Triunghiurile dreptunghice $RST$ ($\hat{S}=90°$) și $XYZ$ ($\hat{Y}=90°$) au $\hat{R}=\hat{X}=40°$ și $\hat{T}=\hat{Z}=50°$. Putem concluziona că sunt congruente?

Rezolvare.

• Ambele au unghiul drept; ambele au câte un unghi de 40° și unul de 50°. Deci au toate unghiurile egale.
• Dar unghiurile egale înseamnă doar aceeași formă, nu și aceeași mărime! Un triunghi poate fi mic, altul mare, cu exact aceleași unghiuri.
• Nu avem nicio latură egală ⇒ niciunul dintre criteriile CC, IC, CU, IU nu se aplică (toate cer cel puțin o latură).

Concluzie: NU putem afirma că sunt congruente. Pentru congruență e nevoie de cel puțin o pereche de laturi egale. (Triunghiurile sunt doar „asemenea", noțiune pe care o vei studia mai târziu.)

Exemplul 7 — Cazul IU pe bisectoarea unui unghi

Enunț. Punctul $P$ se află pe bisectoarea unghiului $\widehat{xOy}$. Din $P$ se coboară perpendiculara $PA$ pe latura $Ox$ ($A\in Ox$) și perpendiculara $PB$ pe latura $Oy$ ($B\in Oy$). Demonstrează că $△OAP\equiv △OBP$ și deduce că $PA=PB$.

Rezolvare.

Ipoteză: $OP$ este bisectoarea lui $\widehat{xOy}$ ⇒ $\widehat{AOP}=\widehat{BOP}$; $PA\perp Ox$ și $PB\perp Oy$ ⇒ $\widehat{OAP}=\widehat{OBP}=90°$.

Concluzie: $△OAP\equiv △OBP$.

Demonstrație pas cu pas:

1. $\widehat{OAP}=\widehat{OBP}=90°$ (perpendicularele formează unghiuri drepte) ⇒ ambele triunghiuri sunt dreptunghice, cu unghiul drept în $A$, respectiv în $B$.
2. Ipotenuza fiecăruia este latura opusă unghiului drept: în $△OAP$ ipotenuza este $OP$, iar în $△OBP$ ipotenuza este tot $OP$. Cum $OP=OP$ (latură comună) ⇒ ipotenuzele sunt congruente.
3. $\widehat{AOP}=\widehat{BOP}$ (pentru că $OP$ este bisectoare) ⇒ o pereche de unghiuri ascuțite congruente.
4. Avem ipotenuză egală ($OP$ comună) și unghi ascuțit egal ($\widehat{AOP}=\widehat{BOP}$) ⇒ aplicăm cazul IU.

Concluzie: $△OAP\equiv △OBP$ prin criteriul IU (ipotenuză-unghi ascuțit). Din congruență, laturile corespondente sunt egale, deci $PA=PB$. Am demonstrat astfel proprietatea de bază a bisectoarei: orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului. $■$

Observă paralela cu Exemplul 5: la mediatoare foloseam cazul CC (două catete egale) și obțineam egalitatea distanțelor până la capetele segmentului; la bisectoare folosim cazul IU (ipotenuza comună + unghi ascuțit) și obținem egalitatea distanțelor până la laturile unghiului. În ambele situații, „eroul" demonstrației este o pereche de triunghiuri dreptunghice congruente.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde se cere, scrie ipoteza, concluzia și justificarea fiecărui pas.

1. Completează: la un triunghi dreptunghic, latura opusă unghiului drept se numește __________, iar celelalte două se numesc __________.

2. Ce înseamnă fiecare literă din numele cazurilor? Asociază: C → … ; I → … ; U → … .

3. Scrie ce element „gratuit" (mereu egal) au în comun toate triunghiurile dreptunghice și care face posibile aceste criterii.

4. Adevărat sau fals? „Cazul CC este de fapt cazul LUL aplicat la triunghiuri dreptunghice." Justifică pe scurt.

5. Adevărat sau fals? „IC (ipotenuză-catetă) este un criteriu valabil și pentru triunghiuri oarecare, nu doar dreptunghice." Justifică.

6. Triunghiurile dreptunghice $ABC$ ($\hat{A}=90°$) și $MNP$ ($\hat{M}=90°$) au $AB=MN$ și $\hat{B}=\hat{N}$. Ce caz folosești? Numește elementele.

7. Triunghiurile $KLM$ ($\hat{L}=90°$) și $RST$ ($\hat{S}=90°$) au $KM=RT$ și $LM=ST$. Identifică ipotenuza fiecăruia, apoi numește cazul.

8. Triunghiurile dreptunghice $ABC$ și $DEF$ (unghiuri drepte în $A$, respectiv $D$) au $AB=DE$ și $AC=DF$. Ce caz folosești?

9. Triunghiurile dreptunghice $PQR$ ($\hat{Q}=90°$) și $UVW$ ($\hat{V}=90°$) au $PR=UW$ și $\hat{P}=\hat{U}$. Ce caz folosești și de ce?

10. Încercuiește răspunsul corect. Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele egale și câte un unghi ascuțit egal, ele sunt congruente prin cazul: a) CC b) IC c) CU d) IU.

11. Potrivește fiecare set de date cu cazul corect: a) două catete egale; b) ipotenuză + o catetă egale; c) catetă + unghi ascuțit alăturat egale; d) ipotenuză + unghi ascuțit egale. Cazuri: CC, IC, CU, IU.

12. Mică problemă. În triunghiul isoscel $ABC$ ($AB=AC$), $[AM]$ este mediană ($M$ mijlocul lui $BC$). Se știe că $AM\perp BC$. Demonstrează că $△ABM\equiv △ACM$ și precizează cazul folosit.

13. Mică problemă. Două triunghiuri dreptunghice au câte o catetă de 5 cm și unghiul ascuțit alăturat ei de 35°. Sunt cu siguranță congruente? Ce caz?

14. Desenează două triunghiuri dreptunghice congruente prin cazul IC: alege tu ipotenuza de 13 cm și o catetă de 5 cm. Marchează elementele egale.

15. Adevărat sau fals? „Două triunghiuri dreptunghice cu toate unghiurile respectiv egale sunt mereu congruente." Justifică.

16. În figura unui dreptunghi $ABCD$ se trasează diagonala $[AC]$. Demonstrează că $△ABC\equiv △CDA$ și spune ce caz se potrivește. (Reamintește-ți: la dreptunghi laturile opuse sunt egale și toate unghiurile au 90°.)

17. Completează cazul lipsă: ai o catetă egală și încă un unghi ascuțit egal lângă ea ⇒ cazul ______; ai ipotenuza egală și o catetă egală ⇒ cazul ______.

18. Problemă de gândire. De ce nu există un caz „UU" (unghi-unghi) pentru triunghiuri dreptunghice congruente? Explică în 1–2 propoziții.

19. Mică problemă. Punctul $P$ se află pe bisectoarea unghiului $\widehat{xOy}$, iar $PA\perp Ox$ și $PB\perp Oy$ ($A\in Ox$, $B\in Oy$). Demonstrează că $△OAP\equiv △OBP$ și precizează cazul folosit.

20. Adevărat sau fals? „În cazul IU, ipotenuza și unghiul ascuțit trebuie neapărat să fie alăturate (unghiul să aibă o latură pe ipotenuză)." Justifică.

Răspunsuri și explicații

1. Ipotenuză; catete. Ipotenuza este opusă unghiului drept și este cea mai lungă latură; catetele formează unghiul drept.

2. C = catetă; I = ipotenuză; U = unghi ascuțit. (Acestea sunt elementele care trebuie egale.)

3. Unghiul drept de 90°. Toate triunghiurile dreptunghice îl au, deci el este mereu egal la oricare două; rămâne să mai potrivim încă două elemente.

4. Adevărat. Cele două catete formează între ele chiar unghiul drept; deci „catetă – unghi (drept) – catetă" este tiparul LUL.

5. Fals. „Ipotenuză-catetă" funcționează doar pentru triunghiuri dreptunghice. La triunghiuri oarecare, două laturi egale și un unghi care nu este între ele (cazul LLU) nu garantează congruența.

6. Cazul CU. $AB$ este catetă (formează unghiul drept din $A$), iar $\hat{B}$ este unghi ascuțit alăturat acestei catete. Catetă egală + unghi ascuțit egal ⇒ CU.

7. Unghiul drept este în $L$, deci ipotenuza lui $KLM$ este $KM$; unghiul drept este în $S$, deci ipotenuza lui $RST$ este $RT$. Avem ipotenuze egale ($KM=RT$) și catete egale ($LM=ST$) ⇒ cazul IC.

8. Cazul CC. $AB,AC$ și $DE,DF$ sunt catete; două catete egale ⇒ CC.

9. Cazul IU. $PR$ este ipotenuza lui $PQR$ (opusă unghiului drept din $Q$), iar $UW$ ipotenuza lui $UVW$. Ipotenuze egale + unghi ascuțit egal ($\hat{P}=\hat{U}$) ⇒ IU.

10. d) IU (ipotenuză + unghi ascuțit).

11. a → CC; b → IC; c → CU; d → IU.

12. Ipoteză: $AB=AC$; $M$ mijloc ⇒ $BM=CM$; $AM\perp BC$ ⇒ $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90°$. Demonstrație: ambele triunghiuri sunt dreptunghice în $M$; au catetele $BM=CM$ și cateta comună $AM=AM$ ⇒ două catete egale ⇒ cazul CC. Deci $△ABM\equiv △ACM$. (Se putea folosi și IC, cu ipotenuzele $AB=AC$ și cateta $AM$ comună.)

13. Da, sunt congruente, prin cazul CU: catetă egală (5 cm) + unghi ascuțit alăturat egal (35°). Cunoscând cateta și unghiul lipit de ea, plus unghiul drept, triunghiul este complet determinat.

14. Desen corect: ambele triunghiuri dreptunghice cu ipotenuza marcată 13 cm (trei liniuțe) și o catetă marcată 5 cm (o liniuță), pătrățel la unghiul drept. (A treia latură va ieși de 12 cm la amândouă, deci se vor suprapune.)

15. Fals. Unghiuri egale dau doar aceeași formă, nu și aceeași mărime; triunghiurile pot fi diferite ca dimensiune. E nevoie de cel puțin o latură egală.

16. La dreptunghi: $AB=CD$ (laturi opuse), $BC=DA$ (laturi opuse), $\hat{B}=\hat{D}=90°$. Diagonala $AC$ este comună. În $△ABC$ și $△CDA$, unghiurile drepte sunt în $B$, respectiv $D$; ipotenuza ambelor este $AC$ (comună, deci egală), iar catetele $AB=CD$. Ipotenuză egală + catetă egală ⇒ cazul IC. (Se poate și CC, cu catetele $AB=CD$ și $BC=DA$.) Deci $△ABC\equiv △CDA$.

17. Primul: CU; al doilea: IC.

18. Pentru că „UU" ar însemna doar unghiuri egale (toate unghiurile devin egale, fiindcă al treilea se deduce din 90°), iar unghiuri egale dau doar formă, nu mărime. Fără nicio latură egală, triunghiurile pot avea dimensiuni diferite, deci nu sunt neapărat congruente.

19. Ipoteză: $OP$ bisectoare ⇒ $\widehat{AOP}=\widehat{BOP}$; $PA\perp Ox$, $PB\perp Oy$ ⇒ $\widehat{OAP}=\widehat{OBP}=90°$. Demonstrație: ambele triunghiuri sunt dreptunghice (în $A$, respectiv $B$); ipotenuza fiecăruia este $OP$ (latură comună, deci ipotenuze egale), iar $\widehat{AOP}=\widehat{BOP}$ este o pereche de unghiuri ascuțite egale ⇒ cazul IU. Deci $△OAP\equiv △OBP$, de unde $PA=PB$ (orice punct de pe bisectoare e egal depărtat de laturile unghiului).

20. Adevărat că sunt alăturate, dar nu este o grijă în plus. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza unește chiar vârfurile celor două unghiuri ascuțite, așa că fiecare unghi ascuțit are ipotenuza ca latură: adiacența se întâmplă automat. Spre deosebire de cazul CU (unde trebuie să verifici că unghiul „atinge" cateta dată), la IU nu trebuie să verifici nimic special.

De reținut

• Un triunghi dreptunghic are ipotenuza (opusă unghiului drept, cea mai lungă) și două catete (formează unghiul drept).
• Cele patru criterii speciale sunt CC (catetă-catetă), IC (ipotenuză-catetă), CU (catetă-unghi ascuțit) și IU (ipotenuză-unghi ascuțit).
• Toate folosesc unghiul drept gratuit plus două elemente egale; literele spun ce elemente: C = catetă, I = ipotenuză, U = unghi ascuțit.
• Aceste cazuri sunt „scurtături" ale criteriilor generale: CC este LUL; CU și IU sunt ULU; IC este special și valabil doar la triunghiuri dreptunghice.
• Orice criteriu de congruență cere cel puțin o latură egală: numai unghiuri egale nu sunt suficiente.

Greșeli frecvente

• Confuzia ipotenuză–catetă. Mulți elevi numesc orice latură lungă „ipotenuză". Reține: ipotenuza este opusă unghiului drept. Caută întâi pătrățelul de 90°, apoi latura din fața lui. Cum eviți: marchează mereu unghiul drept înainte de a numi laturile.
• Folosirea cazului IC la triunghiuri oarecare. „Două laturi și un unghi" garantează congruența doar dacă unghiul este între laturi (LUL) sau dacă triunghiurile sunt dreptunghice (IC). Cum eviți: verifică întâi că ai unghi drept înainte să scrii „IC".
• Crezi că unghiurile egale ajung. Toate unghiurile egale = aceeași formă, dar nu și mărime. Cum eviți: cere-ți mereu „unde e latura egală?". Fără latură, nu există congruență.
• Unghi ascuțit „greșit așezat" la CU. La cazul CU unghiul ascuțit trebuie să fie alăturat catetei (să aibă o latură pe ea). Cum eviți: desenează și verifică dacă unghiul „atinge" cateta dată.

Joc acasă

1. Cele două echere. Ia două echere (sau decupează din carton două triunghiuri dreptunghice identice). Suprapune-le și verifică, măsurând cu rigla, că au aceleași catete și aceeași ipotenuză. Apoi caută în casă obiecte cu colțuri drepte (carte, ramă, telefon) și „demonstrează" că două colțuri opuse ale unei foi A4 formează triunghiuri dreptunghice congruente prin cazul CC (catetele = laturile foii).

2. Detectivul de cazuri. Un membru al familiei desenează două triunghiuri dreptunghice și îți spune doar două informații despre fiecare (de exemplu „ipotenuza 10, un unghi de 30°"). Tu trebuie să spui rapid prin ce caz sunt congruente: CC, IC, CU sau IU. Schimbați rolurile. Cine ghicește mai repede cazul câștigă un punct.

3. Pliază hârtia. Ia o foaie dreptunghiulară și pliază-o exact pe diagonală. Cele două jumătăți se suprapun perfect: ai obținut două triunghiuri dreptunghice congruente. Explică, cu vorbele tale, prin ce caz (IC sau CC) și de ce diagonala este ipotenuza comună.

Pentru părinți și învățători

Această lecție vine după criteriile generale LUL, ULU și LLL, așa că cel mai util lucru pe care îl puteți face este să arătați continuitatea: cazurile speciale nu sunt reguli noi de memorat mecanic, ci aplicații ale celor deja știute, înlesnite de unghiul drept „gratuit".

Întrebări bune de pus elevului:

• „Care latură este ipotenuza în acest desen și de unde știi?" (țintă: latura opusă unghiului drept).
• „Câte elemente egale îți mai trebuie, dacă unghiul drept e deja egal?" (răspuns: două).
• „Ce litere are numele cazului și ce înseamnă fiecare?" (C = catetă, I = ipotenuză, U = unghi ascuțit).
• „De ce IC merge doar la triunghiuri dreptunghice?" (la triunghiuri oarecare, două laturi și un unghi nealăturat nu ajung).

Cum verificați înțelegerea: dați-i o figură și cereți-i să justifice fiecare pas (ipoteză → de ce sunt dreptunghice → ce e egal → ce caz). Dacă numește cazul corect dar nu identifică ipotenuza, întoarceți-vă la marcarea unghiului drept. O greșeală frecventă de corectat blând este să accepte „unghiuri egale ⇒ congruență"; cereți-i mereu să arate latura egală.

Sprijin pentru elevii care se blochează: lăsați-i să decupeze triunghiuri din carton și să le suprapună — verificarea fizică face criteriile mult mai intuitive înainte de demonstrația scrisă.

Întrebări frecvente

Care sunt cele patru criterii de congruență ale triunghiurilor dreptunghice? Sunt CC (catetă-catetă), IC (ipotenuză-catetă), CU (catetă-unghi ascuțit) și IU (ipotenuză-unghi ascuțit). În fiecare, unghiul drept este element comun, iar literele arată ce alte două elemente trebuie să fie egale.

Care e diferența dintre ipotenuză și catetă? Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic. Catetele sunt cele două laturi care formează chiar unghiul de 90°. Întâi cauți unghiul drept, apoi latura din fața lui este ipotenuza.

De ce avem criterii speciale doar la triunghiurile dreptunghice? Pentru că un unghi (cel drept, de 90°) este cunoscut din start și este egal la orice două triunghiuri dreptunghice. Astfel îți ajung doar două elemente egale în plus, în loc de trei.

Cazul IC funcționează și la triunghiuri obișnuite? Nu. „Ipotenuză-catetă" este valabil doar la triunghiuri dreptunghice. La triunghiuri oarecare, două laturi egale și un unghi care nu se află între ele nu garantează congruența.

Cum aleg cazul potrivit într-o problemă? Verifică întâi că ambele triunghiuri sunt dreptunghice, apoi numără ce ai egal în afară de unghiul drept: dacă sunt două catete → CC; ipotenuză și catetă → IC; catetă și unghi ascuțit → CU; ipotenuză și unghi ascuțit → IU.

Sunt cazurile CC, CU, IU doar niște forme ale LUL și ULU? Da. CC este LUL (unghiul drept este între cele două catete), iar CU și IU se reduc la ULU, fiindcă din unghiul drept și un unghi ascuțit se deduce și al treilea unghi. IC este singurul caz cu adevărat propriu triunghiurilor dreptunghice.

De ce nu este de ajuns ca toate unghiurile să fie egale? Pentru că unghiuri egale înseamnă doar aceeași formă, nu și aceeași mărime; triunghiurile pot fi unul mic și altul mare. Pentru congruență e nevoie de cel puțin o pereche de laturi egale.

Unde folosesc aceste criterii mai departe? Le vei folosi des în metoda triunghiurilor congruente și la proprietățile triunghiului isoscel, ale mediatoarei și ale bisectoarei, unde apar în mod natural triunghiuri dreptunghice care trebuie demonstrate congruente.