Care e formula volumului trunchiului de con?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Trunchiul de con: arie și volum

Volumul se calculează cu $V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ , unde $R$ este raza bazei mari, $r$ raza bazei mici, iar $h$ înălțimea, adică distanța dintre cele două baze. Pentru $R = 5$ , $r = 2$ și $h = 9$ obții $V = 3 π (25 + 10 + 4) = 117 π cm^{3}$ . Când cele două raze devin egale, paranteza dă $3 R^{2}$ și formula se transformă în cea a cilindrului.

Trunchiul de con circular drept apare atunci când tai un con cu un plan paralel cu baza și păstrezi partea de jos — gândește-te la o găleată, un ghiveci sau un pahar de carton. Are baza mare (rază $R$ ), baza mică (rază $r < R$ ), înălțimea $h$ (distanța dintre baze) și generatoarea $G$ (segmentul oblic de pe suprafața laterală). Cele patru mărimi sunt legate prin relația fundamentală, obținută din secțiunea axială (un trapez isoscel) și teorema lui Pitagora:

$G^{2} = h^{2} + (R - r)^{2}$

De aici calculezi aria laterală $A_{l} = π G (R + r)$ , aria totală $A_{t} = A_{l} + π R^{2} + π r^{2}$ (doar la corpuri închise!) și volumul $V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ .

Exemplu: dacă $R = 9$ , $r = 4$ , $h = 12$ , atunci $R - r = 5$ , deci $G^{2} = 144 + 25 = 169$ , adică $G = 13$ cm — recunoști tripletul pitagoreic $5$ - $12$ - $13$ .

De reținut

$V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$
$G^{2} = h^{2} + (R - r)^{2}$
$A_{l} = π G (R + r)$ , iar la corpul închis se adaugă $π R^{2} + π r^{2}$

Greșeala tipică

Generatoarea este pusă în locul înălțimii în formula volumului, deși $G$ este segmentul oblic, mai lung decât $h$ . Înălțimea se măsoară perpendicular între baze, iar $G$ intră doar în aria laterală.

Exerciții din această mini-lecție

Un trunchi de con circular drept are $R = 13$ cm, $r = 4$ cm și $h = 12$ cm. Cât este generatoarea $G$ ?
- a) $13$ cm
- b) $14$ cm
- c) $15$ cm
- d) $17$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $15$ cm

$R - r = 9$ , deci $G^{2} = h^{2} + (R - r)^{2} = 1 2^{2} + 9^{2} = 144 + 81 = 225$ , de unde $G = 15$ cm.
Un ghiveci are forma unui trunchi de con deschis la gură (fără capac sus), dar cu fundul întreg. Ce arie trebuie calculată pentru a afla câtă tablă este necesară pentru confecționarea lui?
- a) $A_{l} + π R^{2} + π r^{2}$
- b) $A_{l} + π r^{2}$
- c) $A_{l} + π R^{2}$
- d) doar $A_{l}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A_{l} + π r^{2}$

Gura (baza mare, rază $R$ ) lipsește pentru că vasul este deschis acolo, dar fundul (baza mică, rază $r$ ) rămâne. Deci se adaugă doar $π r^{2}$ la aria laterală: $A_{l} + π r^{2}$ .
Un trunchi de con circular drept are $R = 20$ cm, $r = 12$ cm și $h = 15$ cm. Cât este generatoarea $G$ ?
- a) $7$ cm
- b) $15$ cm
- c) $17$ cm
- d) $27$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $17$ cm

$R - r = 8$ , deci $G^{2} = h^{2} + (R - r)^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289$ , de unde $G = 17$ cm (tripletul pitagoreic $8$ - $15$ - $17$ ).

Întrebări conexe

Cât e volumul unui trunchi de con cu razele 8 și 4 și înălțimea 6?

Se înlocuiește direct: $V = \frac{π \cdot 6}{3} (64 + 32 + 16) = 2 π \cdot 112 = 224 π cm^{3}$ . Cu $π \approx 3, 14$ rezultă aproximativ $703 cm^{3}$ , adică puțin peste $0, 7$ litri. Ordinea corectă este: ridici razele la pătrat, aduni, apoi înmulțești cu înălțimea și împarți la trei.

Ce se schimbă la formule dacă raza mică devine zero?

Trunchiul se transformă înapoi într-un con, fiindcă baza mică se strânge într-un punct. Volumul devine $\frac{π R ^{2} h}{3}$ , aria laterală $π R G$ , iar generatoarea se calculează cu $G^{2} = h^{2} + R^{2}$ . Formulele trunchiului le cuprind astfel pe cele ale conului.

Cum aflu înălțimea trunchiului dacă știu generatoarea și razele?

Din relația fundamentală, scoți $h = G^{2} - (R - r)^{2}$ . Pentru $G = 10$ , $R = 9$ și $r = 3$ obții $h = 100 - 36 = 8$ . Verificarea e imediată: generatoarea trebuie să iasă mereu mai lungă decât înălțimea, fiind ipotenuză în același triunghi dreptunghic.

Ce figură se vede dacă tai trunchiul de con cu un plan care conține axa?

Un trapez isoscel, cu baza mare de $2 R$ , baza mică de $2 r$ și laturile neparalele egale cu generatoarea. Înălțimea trapezului este chiar înălțimea corpului. Din el se citește direct relația dintre $G$ , $h$ și diferența razelor.

Cum arată desfășurarea suprafeței laterale a trunchiului de con?

Ca o fâșie curbată, adică porțiunea dintre două arce de cerc concentrice, tăiată dintr-un sector. Nu este un trapez, chiar dacă secțiunea prin axă seamănă cu unul. Aria acestei fâșii se calculează cu formula $π G (R + r)$ , nu prin desfășurare efectivă.

Unde apare trunchiul de con la examenul de a opta?

În ultimul subiect, la problema de geometrie în spațiu, adesea îmbrăcată în context: o găleată, un pahar, un ghiveci sau un coș. Se cere volumul, cantitatea de tablă necesară sau câți litri încap, iar unitatea de măsură face parte din răspuns.

Oamenii mai întreabă și: volum trunchi de con · formula volumului la trunchiul de con · trunchi de con formule · cum calculez volumul unei găleți · aria și volumul trunchiului de con