Exerciții rezolvate — Aplicații ale trigonometriei în geometrie (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Aplicații ale trigonometriei în geometrie", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Formula $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ pentru aria unui triunghi $ABC$ se aplică atunci când se cunosc:

   • a) cele trei laturi ale triunghiului
   • b) două laturi și unghiul dintre ele
   • c) o latură și înălțimea corespunzătoare
   • d) raza cercului circumscris și o latură
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) două laturi și unghiul dintre ele

   Formula folosește două laturi și unghiul cuprins între ele — spre deosebire de teorema cosinusului, unde unghiul este opus laturii calculate. Cu trei laturi se folosește formula lui Heron, iar cu latură și înălțime, formula de gimnaziu $\frac{a\cdot h_a}{2}$.

   Lecția: Aria triunghiului: de la baza·înălțimea/2 la formula lui Heron →

2. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al:

   • a) bisectoarelor unghiurilor triunghiului
   • b) mediatoarelor laturilor triunghiului
   • c) medianelor triunghiului
   • d) înălțimilor triunghiului
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) bisectoarelor unghiurilor triunghiului

   Cercul înscris este tangent celor trei laturi, deci centrul lui este egal depărtat de laturi — proprietate a punctelor de pe bisectoare. Intersecția mediatoarelor dă centrul $O$ al cercului circumscris (egal depărtat de vârfuri), medianele dau centrul de greutate, iar înălțimile ortocentrul. Reține perechile: înscris — laturi — bisectoare — $r$ și circumscris — vârfuri — mediatoare — $R$.

   Lecția: Raza cercului înscris și raza cercului circumscris →

3. Un triunghi are date trei laturi $a$, $b$, $c$ (fără niciun unghi cunoscut). Ce caz de rezolvare este acesta și cu ce teoremă se începe?

   • a) Cazul ULU, cu teorema sinusurilor
   • b) Cazul LUL, cu teorema cosinusului pentru a treia latură
   • c) Cazul LLL, cu teorema cosinusului pentru primele două unghiuri
   • d) Cazul LLU, cu teorema sinusurilor și discuție
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Cazul LLL, cu teorema cosinusului pentru primele două unghiuri

   Cu trei laturi cunoscute suntem în cazul LLL. Nu există nicio pereche latură–unghi opus, deci teorema sinusurilor nu poate porni; se aplică teorema cosinusului de două ori (pentru două unghiuri), iar al treilea unghi rezultă din suma $180^{\circ }$.

   Lecția: Rezolvarea triunghiurilor oarecare →

4. În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=12$, $AC=15$ și $BC=18$, iar $AD$ este bisectoarea din $A$, cu $D\in (BC)$. Cât este $BD$?

   • a) $BD=8$
   • b) $BD=9$
   • c) $BD=10$
   • d) $BD=7,5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $BD=8$

   Cu notațiile $a=BC=18$, $b=CA=15$, $c=AB=12$ avem $BD=\frac{ac}{b+c}=\frac{18\cdot 12}{27}=8$ și $DC=\frac{ab}{b+c}=\frac{18\cdot 15}{27}=10$. Verificări: $8+10=18=BC$ ✓ și $\frac{8}{10}=\frac{12}{15}$ ✓. Varianta b) este mijlocul laturii — capcana clasică: bisectoarea trece prin mijloc doar când $AB=AC$.

   Lecția: Teorema bisectoarei; relația lui Stewart și lungimi în triunghi →

5. Teorema cosinusului afirmă că, într-un triunghi $ABC$:

   • a) $a^2=b^2+c^2$
   • b) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
   • c) $a=b+c-2\cos A$
   • d) $a^2=b^2-c^2+2bc\cos A$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

   Formula corectă este $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, unde $a$ este latura opusă unghiului $A$. Varianta a) este teorema lui Pitagora (cazul particular $A=90°$), iar celelalte au structura formulei greșită.

   Lecția: Teorema cosinusului →

6. În triunghiul $ABC$, cevienele $AM$, $BN$, $CP$ sunt concurente, cu $M\in (BC)$, $N\in (CA)$, $P\in (AB)$. Dacă $\frac{BM}{MC}=\frac{1}{2}$ și $\frac{CN}{NA}=3$, cât este $\frac{PA}{PB}$?

   • a) $\frac{1}{6}$
   • b) $\frac{3}{2}$
   • c) $6$
   • d) $\frac{2}{3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\frac{2}{3}$

   Cele două date sunt deja în forma cerută: $\frac{MB}{MC}=\frac{1}{2}$ și $\frac{NC}{NA}=3$. Teorema lui Ceva dă

   $$\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{PA}{PB}=1⟹\frac{PA}{PB}=\frac{2}{3}.$$

   Verificare prin coordonate, cu $A(0,0)$, $B(12,0)$, $C(3,9)$: se obțin $M(9,3)$, $N\left(\frac{3}{4},\frac{9}{4}\right)$, punctul de concurență $O\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right)$ și $P\left(\frac{24}{5},0\right)$, deci $PA:PB=2:3$ ✓.

   Lecția: Teorema lui Ceva și concurența cevienelor →

7. O transversală taie dreptele $BC$, $CA$, $AB$ ale triunghiului $ABC$ în $M$, $N$, $P$. Dacă $\frac{MB}{MC}=3$ și $\frac{NC}{NA}=2$, cât este $\frac{PA}{PB}$?

   • a) $\frac{1}{6}$
   • b) $6$
   • c) $\frac{1}{5}$
   • d) $5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{1}{6}$

   Teorema lui Menelaus dă $3\cdot 2\cdot \frac{PA}{PB}=1$, deci $\frac{PA}{PB}=\frac{1}{6}$. Interpretare: $PA$ este de șase ori mai mic decât $PB$, deci $P$ se află mult mai aproape de $A$. Dacă $M$ și $N$ sunt amândouă pe laturi, regula parității cere ca $P$ să fie exterior segmentului $(AB)$.

   Lecția: Teorema lui Menelaus →

8. Teorema sinusurilor, într-un triunghi $ABC$ cu $R$ raza cercului circumscris, se scrie:

   • a) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=R$
   • b) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
   • c) $a\sin A=b\sin B=c\sin C=2R$
   • d) $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=R$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

   Formula corectă este $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$: fiecare raport dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este egal cu diametrul cercului circumscris, nu cu raza. Varianta (a) confundă $R$ cu $2R$, iar (c) și (d) răstoarnă greșit raportul.

   Lecția: Teorema sinusurilor și cercul circumscris →

9. Formula lui Heron calculează aria unui triunghi $ABC$ folosind:

   • a) două laturi și unghiul dintre ele
   • b) o latură și înălțimea corespunzătoare
   • c) cele trei laturi, prin semiperimetrul $p=\frac{a+b+c}{2}$
   • d) raza cercului circumscris $R$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) cele trei laturi, prin semiperimetrul $p=\frac{a+b+c}{2}$

   Formula lui Heron, $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, se obține doar din cele trei laturi, prin semiperimetrul $p=\frac{a+b+c}{2}$, fără să fie nevoie de niciun unghi.

   Lecția: Aria triunghiului: de la baza·înălțimea/2 la formula lui Heron →

10. Triunghiul $ABC$ are laturile $6$, $8$ și $10$. Cât este raza cercului circumscris?

    • a) $R=4$
    • b) $R=6$
    • c) $R=5$
    • d) $R=2,5$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $R=5$

    Cum $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, triunghiul este dreptunghic, iar ipotenuza este diametrul cercului circumscris: $R=\frac{10}{2}=5$. Verificare cu formula generală: $\mathcal{S}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$, deci $R=\frac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 24}=\frac{480}{96}=5$ ✓.

    Lecția: Raza cercului înscris și raza cercului circumscris →

11. De ce este preferabil, la aflarea unui unghi al unui triunghi, să folosești teorema cosinusului în locul teoremei sinusurilor?

    • a) Pentru că teorema cosinusului nu implică rădăcini pătrate
    • b) Pentru că semnul cosinusului distinge unghiul ascuțit de cel obtuz, în timp ce sinusul nu deosebește un unghi de suplementarul lui
    • c) Pentru că teorema sinusurilor nu se poate aplica niciodată la unghiuri obtuze
    • d) Pentru că cosinusul dă rezultate exclusiv în grade întregi
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Pentru că semnul cosinusului distinge unghiul ascuțit de cel obtuz, în timp ce sinusul nu deosebește un unghi de suplementarul lui

    Cosinusul unui unghi este negativ exact pentru unghiurile obtuze, deci determină unghiul fără ambiguitate pe $(0^{\circ },180^{\circ })$. Sinusul, în schimb, satisface $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, așa că $\sin C=k$ poate corespunde fie unui unghi ascuțit, fie suplementarului său obtuz.

    Lecția: Rezolvarea triunghiurilor oarecare →

12. Care este scrierea corectă a relației lui Stewart pentru ceviana $AD$, cu $D\in (BC)$?

    • a) $A{C}^2\cdot DC+A{B}^2\cdot BD=BC\left(A{D}^2+BD\cdot DC\right)$
    • b) $A{C}^2\cdot BD+A{B}^2\cdot DC=BC\left(A{D}^2+BD\cdot DC\right)$
    • c) $A{C}^2\cdot BD+A{B}^2\cdot DC=BC\cdot A{D}^2$
    • d) $A{C}^2\cdot BD+A{B}^2\cdot DC=BC\left(A{D}^2-BD\cdot DC\right)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $A{C}^2\cdot BD+A{B}^2\cdot DC=BC\left(A{D}^2+BD\cdot DC\right)$

    Regula este: fiecare latură la pătrat se înmulțește cu segmentul depărtat de ea. Latura $b=AC$ pleacă din $C$, deci merge cu $BD$; latura $c=AB$ pleacă din $B$, deci merge cu $DC$. Varianta a) inversează perechile, iar c) uită produsul $BD\cdot DC$ din membrul drept. Testează pe un triunghi scalen: pentru $a=6$, $b=7$, $c=5$ și $BM=2$, varianta corectă dă $198=6(A{M}^2+8)$, adică $AM=5$, pe când varianta a) ar da $246=6(A{M}^2+8)$, adică $AM=\sqrt{33}$.

    Lecția: Teorema bisectoarei; relația lui Stewart și lungimi în triunghi →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.