Pentru punctele $$A(2,-1)$$ și $$B(5,8)$$, care calcul dă corect panta dreptei $$AB$$?

$$m=\dfrac{8-(-1)}{5-2}=\dfrac{9}{3}=3$$

$$m=\dfrac{8-(-1)}{2-5}=\dfrac{9}{-3}=-3$$

$$m=\dfrac{5-2}{8-(-1)}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$$

$$m=\dfrac{8-(-1)}{5+2}=\dfrac{9}{7}$$

Ce poziție are dreapta $$d:\ 4x - 9 = 0$$?

verticală, de ecuație $$x = \dfrac{9}{4}$$

orizontală, de ecuație $$y = \dfrac{9}{4}$$

oblică, cu panta $$\dfrac{4}{9}$$

verticală, de ecuație $$x = -\dfrac{9}{4}$$

Sunt punctele $$A(2, 1)$$, $$B(5, 7)$$, $$C(8, 13)$$ coliniare?

da, pentru că $$m_{AB} = m_{AC} = 2$$

nu, pentru că $$m_{AB} = 2$$ și $$m_{AC} = 3$$

da, pentru că $$m_{AB} = 2$$ și $$m_{BC} = 6$$

nu, pentru că abscisele lor sunt toate diferite

Ce fel de dreaptă determină punctele $$M(-3, 8)$$ și $$N(5, 8)$$?

Dreaptă orizontală, $$y = 8$$

Dreaptă verticală, $$x = -3$$

Nu se poate determina, pentru că panta nu există

Dreapta de ecuație $$y = -4$$ intersectează axele de coordonate astfel:

Doar axa $$Oy$$, în punctul $$(0, -4)$$; este paralelă cu $$Ox$$

Doar axa $$Ox$$, în punctul $$(-4, 0)$$; este paralelă cu $$Oy$$

Ambele axe, în punctele $$(0, -4)$$ și $$(-4, 0)$$

Care dintre afirmațiile despre pantă este corectă?

O dreaptă orizontală are panta $$0$$, iar o dreaptă verticală nu are pantă

O dreaptă verticală are panta $$0$$, iar o dreaptă orizontală nu are pantă

Ambele tipuri de drepte au panta egală cu $$0$$

O dreaptă verticală are panta infinită

Acasă · Exerciții rezolvate · clasa a IX-a · Exerciții rezolvate — Dreapta în planul cartezian (clasa a IX-a)

Exerciții rezolvate — Dreapta în planul cartezian (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Dreapta în planul cartezian", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

Ecuația dreptei determinate de punctele $A (- 2, 6)$ și $B (2, - 2)$ este:
- a) $y = - 2 x + 2$
- b) $y = 2 x + 10$
- c) $y = - 2 x + 10$
- d) $y = - 2 x - 4$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $y = - 2 x + 2$

Panta: $m = \frac{- 2 - 6}{2 - ( - 2 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$ . Ecuația cu punctul $A$ : $y - 6 = - 2 (x + 2) \Rightarrow y - 6 = - 2 x - 4 \Rightarrow y = - 2 x + 2$ . Verificare pe $B$ : $- 2 \cdot 2 + 2 = - 2$ ✓.

Varianta a este corectă.

Varianta b ( $y = 2 x + 10$ ) apare dintr-o eroare de ordine la calculul pantei — scăderile sunt făcute în ordini diferite sus și jos, $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{1} - x _{2}} = \frac{- 8}{- 4} = 2$ în loc de $- 2$ .

Varianta c ( $y = - 2 x + 10$ ) apare dacă se pierde semnul lui $x_{0} = - 2$ : se scrie $(x - 2)$ în loc de $(x + 2)$ , deci $y - 6 = - 2 (x - 2) = - 2 x + 4 \Rightarrow y = - 2 x + 10$ .

Varianta d ( $y = - 2 x - 4$ ) apare dacă, după ce se desface corect paranteza ( $y - 6 = - 2 x - 4$ ), se uită să se adune $y_{0} = 6$ în membrul drept.
Lecția: Ecuația dreptei determinate de două puncte →
Ecuația dreptei care trece prin $A (- 3, 4)$ și are panta $m = 2$ este:
- a) $y = 2 x + 10$
- b) $y = 2 x - 2$
- c) $y = - 2 x + 10$
- d) $y = 2 x + 6$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $y = 2 x + 10$

Aplicăm formula punct-pantă cu $x_{0} = - 3$ , $y_{0} = 4$ , $m = 2$ : $y - 4 = 2 (x - (- 3)) = 2 (x + 3) \Rightarrow y - 4 = 2 x + 6 \Rightarrow y = 2 x + 10$ . Verificare: pentru $x = - 3$ , $y = - 6 + 10 = 4$ ✓.

Varianta a este corectă.

Varianta b ( $y = 2 x - 2$ ) apare dacă se scrie greșit paranteza ca $(x - 3)$ în loc de $(x + 3)$ — semnul lui $x_{0} = - 3$ se pierde: $y - 4 = 2 (x - 3) = 2 x - 6 \Rightarrow y = 2 x - 2$ .

Varianta c ( $y = - 2 x + 10$ ) apare dacă se schimbă din greșeală semnul pantei $m$ , deși panta dată este pozitivă.

Varianta d ( $y = 2 x + 6$ ) apare dacă, după ce se desface paranteza corect ( $y - 4 = 2 x + 6$ ), se uită să se adune $y_{0} = 4$ în membrul drept, oprindu-se la $y = 2 x + 6$ .
Lecția: Ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată →
Determinați punctul de intersecție al dreptelor $d_{1} : y = 3 x - 2$ și $d_{2} : y = - 2 x + 8$ .
- a) $P (2, 4)$
- b) $P (2, - 4)$
- c) $P (- 2, 4)$
- d) $P (10, 28)$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $P (2, 4)$

Egalăm ordonatele: $3 x - 2 = - 2 x + 8 \Rightarrow 5 x = 10 \Rightarrow x = 2$ . Înlocuim în $d_{1}$ : $y = 3 \cdot 2 - 2 = 4$ ; verificare în $d_{2}$ : $- 2 \cdot 2 + 8 = 4$ ✓, deci $P (2, 4)$ . Varianta b păstrează abscisa corectă, dar greșește semnul la calculul lui $y$ din $d_{1}$ . Varianta c păstrează ordonata corectă, dar greșește semnul la rezolvarea ecuației $5 x = 10$ . Varianta d provine din a nu împărți la $5$ la finalul rezolvării — s-a citit $5 x = 10$ ca și cum ar însemna direct $x = 10$ , apoi $y = 3 \cdot 10 - 2 = 28$ .
Lecția: Intersecția a două drepte și interpretarea ei →
Intersecțiile dreptei $d : 3 x - 2 y - 12 = 0$ cu axa $O x$ , respectiv cu axa $O y$ , sunt punctele:
- a) $(4, 0)$ și $(0, - 6)$
- b) $(0, - 6)$ și $(4, 0)$
- c) $(4, 0)$ și $(0, 6)$
- d) $(- 4, 0)$ și $(0, - 6)$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $(4, 0)$ și $(0, - 6)$

Pentru $O x$ punem $y = 0$ : $3 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$ , deci $(4, 0)$ . Pentru $O y$ punem $x = 0$ : $- 2 y - 12 = 0 \Rightarrow y = - 6$ , deci $(0, - 6)$ .

Varianta a este corectă.

Varianta b inversează cele două puncte între axe — greșeala de a pune $x = 0$ pentru $O x$ și $y = 0$ pentru $O y$ , adică exact invers decât trebuie.

Varianta c are un semn greșit la intersecția cu $O y$ : din $- 2 y - 12 = 0$ s-a scris $y = 6$ în loc de $y = - 6$ (s-a omis semnul minus).

Varianta d are un semn greșit la intersecția cu $O x$ : din $3 x - 12 = 0$ s-a scris $x = - 4$ în loc de $x = 4$ .
Lecția: Intersecțiile dreptei cu axele de coordonate →
Pentru punctele $A (2, - 1)$ și $B (5, 8)$ , care calcul dă corect panta dreptei $A B$ ?
- a) $m = \frac{8 - ( - 1 )}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$
- b) $m = \frac{8 - ( - 1 )}{2 - 5} = \frac{9}{- 3} = - 3$
- c) $m = \frac{5 - 2}{8 - ( - 1 )} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
- d) $m = \frac{8 - ( - 1 )}{5 + 2} = \frac{9}{7}$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $m = \frac{8 - ( - 1 )}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$

Panta este $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ : la numărător $8 - (- 1) = 9$ , la numitor $5 - 2 = 3$ , deci $m = 3$ . Varianta b amestecă ordinea — la numărător ia „al doilea minus primul”, dar la numitor ia „primul minus al doilea”; rezultă panta cu semn schimbat, exact greșeala „ordinea amestecată în formulă”. Varianta c calculează panta răsturnată, $\frac{Δ x}{Δ y}$ în loc de $\frac{Δ y}{Δ x}$ . Varianta d transformă greșit scăderea $5 - 2$ într-o adunare la numitor.
Lecția: Panta unei drepte, ca raport →
Ce poziție are dreapta $d : 4 x - 9 = 0$ ?
- a) verticală, de ecuație $x = \frac{9}{4}$
- b) orizontală, de ecuație $y = \frac{9}{4}$
- c) oblică, cu panta $\frac{4}{9}$
- d) verticală, de ecuație $x = - \frac{9}{4}$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) verticală, de ecuație $x = \frac{9}{4}$

În $4 x - 9 = 0$ lipsește $y$ (coeficientul lui $y$ este $0$ ), deci dreapta este verticală: $4 x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{4}$ . Varianta b inversează regula „lipsește $x$ $\Rightarrow$ orizontală, lipsește $y$ $\Rightarrow$ verticală” și scrie greșit $y$ în loc de $x$ . Varianta c ignoră faptul că $y$ lipsește complet și tratează dreapta ca oblică, deși nu există niciun termen în $y$ din care să se extragă o pantă. Varianta d rezolvă corect tipul (verticală), dar greșește semnul la rezolvarea ecuației: din $4 x = 9$ rezultă $x = \frac{9}{4}$ , nu $- \frac{9}{4}$ .
Lecția: Poziția unei drepte: orizontală, verticală, oblică →
Sunt punctele $A (2, 1)$ , $B (5, 7)$ , $C (8, 13)$ coliniare?
- a) da, pentru că $m_{A B} = m_{A C} = 2$
- b) nu, pentru că $m_{A B} = 2$ și $m_{A C} = 3$
- c) da, pentru că $m_{A B} = 2$ și $m_{B C} = 6$
- d) nu, pentru că abscisele lor sunt toate diferite
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) da, pentru că $m_{A B} = m_{A C} = 2$

$m_{A B} = \frac{7 - 1}{5 - 2} = 2$ și $m_{A C} = \frac{13 - 1}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2$ . Pantele sunt egale, iar dreptele $A B$ și $A C$ au punctul comun $A$ , deci coincid: punctele sunt coliniare (pe $y = 2 x - 3$ ). Varianta b trage concluzia corectă la întâmplare, dar cu o valoare greșită pentru $m_{A C}$ (nu $3$ , ci $2$ ). Varianta c ajunge la o concluzie corectă (da) printr-un calcul greșit: $m_{B C} = \frac{13 - 7}{8 - 5} = \frac{6}{3} = 2$ , nu $6$ — greșeala vine din a uita împărțirea la $3$ . Varianta d invocă un criteriu fals: abscisele diferite nu împiedică deloc coliniaritatea, ba dimpotrivă, este situația obișnuită a unei drepte oblice.
Lecția: Verificarea coliniarității a trei puncte →
Ce fel de dreaptă determină punctele $M (- 3, 8)$ și $N (5, 8)$ ?
- a) Dreaptă orizontală, $y = 8$
- b) Dreaptă verticală, $x = 8$
- c) Dreaptă verticală, $x = - 3$
- d) Nu se poate determina, pentru că panta nu există
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) Dreaptă orizontală, $y = 8$

$M$ și $N$ au aceeași ordonată ( $8$ ), deci $m = \frac{8 - 8}{5 - ( - 3 )} = 0$ și ecuația este $y - 8 = 0$ , adică $y = 8$ : dreaptă orizontală.

Varianta a este corectă.

Variantele b și c confundă acest caz cu cel al punctelor cu aceeași abscisă (care ar da o dreaptă verticală); aici coordonata care se repetă este ordonata, nu abscisa, deci dreapta este orizontală, nu verticală.

Varianta d este greșită: panta există aici și este $0$ (numitorul $x_{2} - x_{1} = 8 \neq = 0$ ); doar în cazul absciselor egale panta n-ar exista.
Lecția: Ecuația dreptei determinate de două puncte →
Ecuația dreptei orizontale care trece prin punctul $E (- 5, 7)$ este:
- a) $y = 7$
- b) $x = - 5$
- c) $y = - 5$
- d) $x = 7$
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) $y = 7$

O dreaptă orizontală are panta $0$ , deci ecuația ei este $y = y_{0}$ ; pentru $E (- 5, 7)$ , ordonata este $7$ , deci $y = 7$ .

Varianta a este corectă.

Varianta b ( $x = - 5$ ) este ecuația dreptei verticale prin $E$ , nu a celei orizontale — confuzie clasică între cele două tipuri.

Varianta c ( $y = - 5$ ) folosește greșit abscisa lui $E$ ( $- 5$ ) în locul ordonatei ( $7$ ).

Varianta d ( $x = 7$ ) combină ambele greșeli: tip de dreaptă greșit (verticală în loc de orizontală) și coordonată greșită (abscisa în loc de ordonată).
Lecția: Ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată →
Sistemul format din ecuațiile a două drepte conduce, prin calcul, la egalitatea $0 = 0$ . Ce poziție au cele două drepte?
- a) confundate
- b) paralele distincte
- c) secante, cu soluție unică
- d) perpendiculare
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) confundate

O egalitate banal adevărată, de tipul $0 = 0$ , înseamnă că sistemul are o infinitate de soluții, adică cele două ecuații descriu aceeași dreaptă: dreptele sunt confundate. Varianta b corespunde de fapt cazului unei egalități false (de tipul $3 = - 1$ ), nu lui $0 = 0$ — cele două situații sunt distincte, deși ambele apar când pantele sunt egale. Varianta c ar necesita o soluție unică pentru $x$ și $y$ , nu o identitate mereu adevărată. Varianta d nu are legătură cu numărul de soluții al sistemului: perpendicularitatea se decide din produsul pantelor, nu din faptul că sistemul are $0 = 0$ .
Lecția: Intersecția a două drepte și interpretarea ei →
Dreapta de ecuație $y = - 4$ intersectează axele de coordonate astfel:
- a) Doar axa $O y$ , în punctul $(0, - 4)$ ; este paralelă cu $O x$
- b) Doar axa $O x$ , în punctul $(- 4, 0)$ ; este paralelă cu $O y$
- c) Ambele axe, în punctele $(0, - 4)$ și $(- 4, 0)$
- d) Nu intersectează nicio axă
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) Doar axa $O y$ , în punctul $(0, - 4)$ ; este paralelă cu $O x$

$y = - 4$ este o dreaptă orizontală. Cu $O y$ : punând $x = 0$ obținem $(0, - 4)$ . Cu $O x$ : ar trebui ca $- 4 = 0$ , ceea ce este fals, deci nu are niciun punct comun cu $O x$ — este paralelă cu ea.

Varianta a este corectă.

Varianta b confundă orizontala cu verticala: o dreaptă orizontală nu poate tăia doar $O x$ , ci doar $O y$ (sau coincide cu $O x$ , dacă ar fi $y = 0$ ).

Varianta c este greșită: $y = - 4$ nu trece prin $(- 4, 0)$ , pentru că acel punct are ordonata $0$ , nu $- 4$ .

Varianta d este greșită: dreapta taie totuși axa $O y$ , în $(0, - 4)$ ; doar cu $O x$ nu are punct comun.
Lecția: Intersecțiile dreptei cu axele de coordonate →
Care dintre afirmațiile despre pantă este corectă?
- a) O dreaptă orizontală are panta $0$ , iar o dreaptă verticală nu are pantă
- b) O dreaptă verticală are panta $0$ , iar o dreaptă orizontală nu are pantă
- c) Ambele tipuri de drepte au panta egală cu $0$
- d) O dreaptă verticală are panta infinită
Vezi rezolvarea

Răspuns corect: a) O dreaptă orizontală are panta $0$ , iar o dreaptă verticală nu are pantă

Pentru o dreaptă orizontală, $Δ y = 0$ pentru orice pereche de puncte, deci $m = 0$ — dreapta are pantă, egală cu zero. Pentru o dreaptă verticală, $Δ x = 0$ , iar raportul $\frac{Δ y}{0}$ nu este definit, deci dreapta nu are pantă. Variantele b și c inversează sau confundă aceste două situații distincte. Varianta d comite exact greșeala semnalată explicit în lecție: „panta este infinită” este o formulare greșită, respinsă la examen — corect este „dreaptă verticală, fără pantă”.
Lecția: Panta unei drepte, ca raport →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.

Exerciții rezolvate — Dreapta în planul cartezian (clasa a IX-a)

Continuă cu