Exerciții rezolvate — Mulțimi și operații cu mulțimi (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Mulțimi și operații cu mulțimi", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Fie $A=\{2,5,8,11,14\}$ și $B=\{5,11,20,25\}$. Calculează $A\setminus B$.

   • a) $\{2,8,14\}$
   • b) $\{5,11\}$
   • c) $\{20,25\}$
   • d) $\{2,5,8,11,14\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\{2,8,14\}$

   Pornim de la mulțimea $A$ (rezervorul) și verificăm fiecare element: 2 nu e în $B$ → păstrăm; 5 e în $B$ → tăiem; 8 nu e în $B$ → păstrăm; 11 e în $B$ → tăiem; 14 nu e în $B$ → păstrăm. Rămân $\{2,8,14\}$.

   Lecția: Diferența a două mulțimi →

2. Fie $A=\{2,4,6,8,10,12\}$ și $B=\{3,6,9,12,15\}$. Cât este $A\cap B$?

   • a) $\{6,12\}$
   • b) $\varnothing$
   • c) $\{3,6,9,12,15\}$
   • d) $\{2,3,4,6,8,9,10,12,15\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\{6,12\}$

   Parcurg elementele lui $B$ și verific care se află și în $A$: $3\notin A$, $6\in A$, $9\notin A$, $12\in A$, $15\notin A$. Elementele comune sunt $6$ și $12$, deci $A\cap B=\{6,12\}$. Varianta (c) confundă intersecția cu mulțimea $B$ însăși, iar varianta (d) confundă intersecția cu reuniunea.

   Lecția: Intersecția a două mulțimi →

3. Punctul $G$ se află pe segmentul $[EF]$. Care dintre următoarele scrieri respectă corect regula „punct cu figură → $\in$; figură cu figură → $\subset$”?

   • a) $G\subset [EF]$
   • b) $G\in [EF]$
   • c) $[EF]\in G$
   • d) $[EF]\subset G$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $G\in [EF]$

   $G$ este un punct, iar $[EF]$ este o figură (o mulțime de puncte), deci relația dintre ele este apartenența: $G\in [EF]$. Varianta a) și d) folosesc greșit $\subset$ pentru un punct, iar c) inversează sensul relației (o figură nu poate „aparține” unui punct).

   Lecția: Mulțimi de puncte: legătura mulțimilor cu geometria →

4. Fie mulțimea descrisă prin proprietate caracteristică $B=\{x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid x<6\}$. Care este scrierea prin enumerare a mulțimii $B$?

   • a) $\{0,1,2,3,4,5\}$
   • b) $\{1,2,3,4,5\}$
   • c) $\{1,2,3,4,5,6\}$
   • d) $\{0,1,2,3,4,5,6\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\{1,2,3,4,5\}$

   Simbolul ${\mathbb{N}}^{\ast }$ înseamnă numerele naturale nenule, deci 0 nu intră în listă. Rămân numerele naturale nenule mai mici (strict) decât 6, adică $1,2,3,4,5$. Numărul 6 nu se include, pentru că relația este „$<$ 6", nu „$\le$ 6". Deci $B=\{1,2,3,4,5\}$.

   Lecția: Mulțimi: descriere, notații și reprezentări prin diagrame →

5. Care dintre următoarele mulțimi este infinită?

   a) $\{x\in \mathbb{N}\mid 2\le x\le 60\}$

   b) mulțimea multiplilor lui 7

   c) mulțimea lunilor anului

   d) mulțimea literelor cuvântului „TABLA"

   • a) $\{x\in \mathbb{N}\mid 2\le x\le 60\}$
   • b) mulțimea multiplilor lui 7
   • c) mulțimea lunilor anului
   • d) mulțimea literelor cuvântului „TABLA"
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) mulțimea multiplilor lui 7

   Mulțimea multiplilor lui 7 este $\{0,7,14,21,\dots \}$: oricărui multiplu îi putem adăuga 7 și obținem un multiplu și mai mare, deci numărarea nu se termină niciodată — este infinită. Celelalte trei mulțimi au un ultim element (60, respectiv luna decembrie, respectiv ultima literă distinctă), deci numărarea se oprește — sunt finite.

   Lecția: Mulțimi finite și infinite. Cardinalul unei mulțimi finite →

6. Fie $A=\{1,2,3,4,7\}$, $B=\{2,4,5,7\}$ și $C=\{1,3,5,8\}$. Cât este $(A\cap B)\cup C$?

   • a) $\{1,2,3,4,7,8\}$
   • b) $\{1,2,3,4,5,7,8\}$
   • c) $\{2,4,7\}$
   • d) $\{1,3,5,8\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\{1,2,3,4,5,7,8\}$

   Mai întâi calculăm paranteza: $A\cap B=\{2,4,7\}$ (elementele comune lui $A$ și $B$). Apoi facem reuniunea cu $C$: $\{2,4,7\}\cup \{1,3,5,8\}=\{1,2,3,4,5,7,8\}$, punând laolaltă toate elementele, fără repetare.

   Lecția: Operații combinate cu mulțimi. Probleme →

7. Într-o tabără, 32 de copii merg la înot, 18 copii merg la tenis, iar 45 de copii merg la cel puțin una dintre activități. Câți copii merg la ambele activități?

   • a) 5
   • b) 50
   • c) 45
   • d) 15
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) 5

   Notăm $A$ = înot, $B$ = tenis. Din formula $card(A\cup B)=cardA+cardB-card(A\cap B)$ obținem $card(A\cap B)=cardA+cardB-card(A\cup B)=32+18-45=5$. Varianta b) este suma naivă $32+18$, fără să scădem uniunea.

   Lecția: Probleme de numărare cu diagrame Venn →

8. Fie $A=\{3,6,9\}$ și $B=\{1,3,5,6,8,9\}$. Este adevărat că $A\subset B$?

   • a) Da, pentru că fiecare element al lui $A$ se află și în $B$
   • b) Nu, pentru că $3\notin B$
   • c) Nu, pentru că $B$ are mai multe elemente decât $A$
   • d) Nu se poate stabili fără o diagramă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Da, pentru că fiecare element al lui $A$ se află și în $B$

   Verificăm fiecare element al lui $A$ (mulțimea mai mică): $3\in A$ și $3\in B$ ✓; $6\in A$ și $6\in B$ ✓; $9\in A$ și $9\in B$ ✓. Toate elementele lui $A$ se află în $B$, deci $A\subset B$ este adevărat. Faptul că $B$ are mai multe elemente nu are legătură cu incluziunea — contează doar dacă vreun element din $A$ lipsește din $B$.

   Lecția: Relații între mulțimi: incluziune și egalitate →

9. Se dau mulțimile $A=\{3,6,9,12\}$ și $B=\{6,12,18\}$. Care este mulțimea $A\cup B$?

   • a) $\{3,6,9,12,18\}$
   • b) $\{6,12\}$
   • c) $\{3,9,18\}$
   • d) $\{3,6,6,9,12,12,18\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\{3,6,9,12,18\}$

   Reuniunea conține toate elementele lui $A$ și toate elementele lui $B$, fiecare scris o singură dată. Elementele comune 6 și 12 apar o singură dată, deci $A\cup B=\{3,6,9,12,18\}$. Varianta (d) e greșită fiindcă repetă elementele comune, ceea ce nu este permis într-o mulțime.

   Lecția: Reuniunea a două mulțimi →

10. Fie $M=\{6,12\}$ și $N=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$, cu $M\subseteq N$. Care este $M\setminus N$?

    • a) Mulțimea vidă $\varnothing$
    • b) $M$
    • c) $N$
    • d) $\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11\}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Mulțimea vidă $\varnothing$

    Deoarece toate elementele lui $M$ (6 și 12) se găsesc și în $N$, se taie ambele elemente și nu rămâne nimic. Acesta este cazul special $M\subseteq N\Rightarrow M\setminus N=\varnothing$.

    Lecția: Diferența a două mulțimi →

11. Fie $A=\{1,4,9,16\}$ (pătrate perfecte) și $B=\{2,3,5,7,11,13\}$ (numere prime). Ce se poate spune despre mulțimile $A$ și $B$?

    • a) $A\cap B=\{1\}$, deci nu sunt disjuncte
    • b) $A\cap B=\varnothing$, deci $A$ și $B$ sunt disjuncte
    • c) $A\cap B=A$, deci $A\subseteq B$
    • d) $A\cap B=0$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $A\cap B=\varnothing$, deci $A$ și $B$ sunt disjuncte

    Niciun pătrat perfect din $A$ nu este număr prim (1, 4, 9, 16 nu apar în lista numerelor prime din $B$), deci nu există niciun element comun. Prin urmare $A\cap B=\varnothing$, iar $A$ și $B$ sunt disjuncte. Varianta (d) este greșeala clasică de a scrie numărul 0 în loc de mulțimea vidă $\varnothing$ — acestea sunt lucruri diferite.

    Lecția: Intersecția a două mulțimi →

12. Dreptele $u$ și $v$ se intersectează într-un singur punct, $R$. Cum se scrie corect, în limbajul mulțimilor, intersecția lor?

    • a) $u\cap v=R$
    • b) $u\cap v=\{R\}$
    • c) $u\cap v=\varnothing$
    • d) $u\cap v=u$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $u\cap v=\{R\}$

    Intersecția a două mulțimi este tot o mulțime, deci punctul comun trebuie scris între acolade: $u\cap v=\{R\}$. Varianta a) omite acoladele, c) ar fi corectă doar pentru drepte paralele, iar d) ar însemna că dreptele sunt identice.

    Lecția: Mulțimi de puncte: legătura mulțimilor cu geometria →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.