Cum aflu ultima cifră a lui 3²⁰²⁶?

Este 9. Ultimele cifre ale puterilor lui 3 se repetă din 4 în 4: 3, 9, 7, 1. Cum 2026=4· 506+2, restul este 2, deci ultima cifră este a doua din model: u(3²⁰²⁶)=9.

Cât fac 1ⁿ și 0ⁿ?

1ⁿ=1 pentru orice exponent natural n, iar 0ⁿ=0 pentru orice n≥ 1, fiindcă un produs care are factorul 0 este 0. Cazul 0⁰ nu este definit, de aceea regula a⁰=1 cere a≠ 0.

Formule: Puteri

Toate regulile de calcul cu puteri, cu condițiile lor, într-un singur loc. 10 formule, clasele 5–7.

Definiția puterii — clasa 5
Înmulțirea puterilor cu aceeași bază — clasa 5
Împărțirea puterilor cu aceeași bază — clasa 5
Puterea unei puteri — clasa 5
Puterea unui produs — clasa 5
Exponentul 0 — clasa 5
Exponent negativ — clasa 7
Compararea puterilor (aceeași bază) — clasa 5
Ultima cifră a puterilor — clasa 5
Scrierea în baza 10 — clasa 5

Definiția puterii — clasa 5

a^{n} = n factori a \cdot a \cdot \dots \cdot a

$a$ este baza (numărul care se înmulțește cu el însuși), iar $n$ este exponentul (de câte ori apare baza ca factor). Puterea este o scriere prescurtată a unei înmulțiri repetate. Capcana clasică: $a^{n}$ nu înseamnă $a \cdot n$ — de exemplu $2^{3} = 8$ , nu $6$ !

Exemplu: $3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \cdot 3 = 81$ • $5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$ (spunem „5 la pătrat”)

Înmulțirea puterilor cu aceeași bază — clasa 5

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

$a$ este baza comună, $m$ și $n$ sunt exponenții. Când înmulțim puteri cu aceeași bază, păstrăm baza și adunăm exponenții. Capcană: nu înmulți exponenții și nu înmulți bazele — regula funcționează doar dacă baza este aceeași!

Exemplu: $2^{3} \cdot 2^{4} = 3 factori 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 factori 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3 + 4} = 2^{7} = 128$ • $1 0^{2} \cdot 1 0^{3} = 1 0^{5} = 100000$

Împărțirea puterilor cu aceeași bază — clasa 5

a^{m} : a^{n} = a^{m - n} (a \neq = 0, m \geq n)

$a$ este baza comună ( $a \neq = 0$ , pentru că nu putem împărți la zero), iar $m$ și $n$ sunt exponenții, cu $m \geq n$ ca rezultatul să rămână număr natural. La împărțire păstrăm baza și scădem exponenții. Capcană: scădem exponenții, nu îi împărțim! La adunarea puterilor nu se adună exponenții: $2^{3} + 2^{4} = 8 + 16 = 24$ , nu $2^{7} = 128$ . Exponenții se adună doar la înmulțirea puterilor cu aceeași bază.

Exemplu: $5^{6} : 5^{4} = 5^{6 - 4} = 5^{2} = 25$ • verificare pe un caz mic: $2^{5} : 2^{3} = 32 : 8 = 4 = 2^{2}$ ✓

Puterea unei puteri — clasa 5

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

$a$ este baza, $m$ este exponentul dinăuntru, iar $n$ este exponentul de afară. Când ridicăm o putere la altă putere, înmulțim exponenții. Capcană: nu confunda cu înmulțirea puterilor — acolo exponenții se adună, aici se înmulțesc!

Exemplu: $(2^{3})^{2} = 2^{3 \cdot 2} = 2^{6} = 64$ • verificare: $(2^{3})^{2} = 8^{2} = 64$ ✓

Puterea unui produs — clasa 5

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

$a$ și $b$ sunt factorii produsului, iar $n$ este exponentul. Puterea unui produs se distribuie fiecărui factor — și regula merge în ambele sensuri, adesea ca să calculezi mai ușor. Capcană: la sumă nu funcționează, $(a + b)^{n} \neq = a^{n} + b^{n}$ !

Exemplu: $(2 \cdot 5)^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3} = 8 \cdot 125 = 1000$ • în sens invers: $4^{3} \cdot 2 5^{3} = (4 \cdot 25)^{3} = 10 0^{3} = 1000000$

Exponentul 0 — clasa 5

a^{0} = 1 (a \neq = 0)

Orice număr diferit de zero, ridicat la puterea $0$ , dă $1$ . Regula vine din împărțirea puterilor: $a^{n} : a^{n} = a^{n - n} = a^{0}$ , iar orice număr împărțit la el însuși dă $1$ . Atenție: $0^{0}$ nu este definit — de aceea cerem $a \neq = 0$ . Nu confunda cu baza $0$ : $0^{n} = 0$ pentru orice $n \geq 1$ (de exemplu $0^{5} = 0$ ), deci „ $0$ la orice putere” nu dă $1$ .

Exemplu: $13 7^{0} = 1$ • verificare cu regula împărțirii: $7^{3} : 7^{3} = 7^{0}$ și, direct, $343 : 343 = 1$ , deci $7^{0} = 1$ ✓

Exponent negativ — clasa 7

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0)

$a$ este baza ( $a \neq = 0$ ), iar $n$ este un număr natural; exponentul negativ înseamnă „inversul puterii”: $a^{- n}$ este $1$ supra $a^{n}$ . Capcană: exponentul negativ nu face rezultatul negativ — $2^{- 3}$ este pozitiv, doar mai mic decât $1$ ! Semnul îl dau baza și paritatea exponentului, ca la orice putere: $(- 2)^{- 3} = - \frac{1}{8}$ , dar $(- 2)^{- 2} = \frac{1}{4}$ .

Exemplu: $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ • $1 0^{- 2} = \frac{1}{1 0 ^{2}} = \frac{1}{100} = 0, 01$

Compararea puterilor (aceeași bază) — clasa 5

pentru a > 1, avem: a^{m} > a^{n} ⟺ m > n

Condiția este ca baza $a$ să fie mai mare decât $1$ ; atunci câștigă puterea cu exponentul mai mare. Semnul $⟺$ se citește „dacă și numai dacă”. Capcană: pentru o bază între $0$ și $1$ regula se întoarce — cu cât ridici mai mult, cu atât numărul scade!

Exemplu: $3^{10} > 3^{7}$ pentru că baza $3 > 1$ și $10 > 7$ • pentru bază subunitară e invers: $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8} > \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^{5}$

Ultima cifră a puterilor — clasa 5

u (a^{n + 4}) = u (a^{n}), n \geq 1

$u (a^{n})$ = ultima cifră a numărului $a^{n}$ . Ultimele cifre se repetă la nesfârșit în aceeași ordine, ca acele unui ceas, în grupuri de $1$ , $2$ sau $4$ . Cum $1$ , $2$ și $4$ sunt divizori ai lui $4$ , după fiecare $4$ exponenți ultima cifră revine: $u (a^{n + 4}) = u (a^{n})$ pentru $n \geq 1$ . Calculezi primele puteri, descoperi modelul care se repetă, apoi vezi unde „cade” exponentul tău, folosind restul împărțirii la lungimea modelului.

Exemplu: $2^{1} = 2$ , $2^{2} = 4$ , $2^{3} = 8$ , $2^{4} = 16$ , $2^{5} = 32$ → modelul $2, 4, 8, 6$ se repetă din $4$ în $4$ • $u (2^{100})$ : $100 = 4 \cdot 25$ , restul $0$ → cade pe ultima poziție din model → $u (2^{100}) = 6$ • modelul depinde de ultima cifră a bazei: pentru $3$ este $3, 9, 7, 1$ ; pentru $7$ , $7, 9, 3, 1$ ; pentru $8$ , $8, 4, 2, 6$ (grupuri de $4$ ); pentru $4$ , $4, 6$ ; pentru $9$ , $9, 1$ (grupuri de $2$ ); la bazele care se termină în $0$ , $1$ , $5$ sau $6$ ultima cifră rămâne mereu aceeași • $u (3^{10})$ : $10 = 4 \cdot 2 + 2$ , restul $2$ → a doua poziție din $3, 9, 7, 1$ → $u (3^{10}) = 9$ (într-adevăr, $3^{10} = 59049$ )

Scrierea în baza 10 — clasa 5

\overline{ab c} = a \cdot 1 0^{2} + b \cdot 10 + c

Bara de deasupra arată că $a$ , $b$ , $c$ sunt cifrele numărului, nu un produs: $a$ = cifra sutelor ( $a \neq = 0$ ), $b$ = cifra zecilor, $c$ = cifra unităților. Scrierea desfășurată în baza $10$ e unealta de bază la problemele cu cifrele unui număr.

Exemplu: $347 = 3 \cdot 1 0^{2} + 4 \cdot 10 + 7 = 300 + 40 + 7$ • la fel pentru două cifre: $\overline{ab} = 10 a + b$ , de exemplu $52 = 5 \cdot 10 + 2$

Întrebări frecvente

Care sunt formulele de calcul cu puteri?

Principalele reguli sunt: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ , $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ , $a^{0} = 1$ și, din clasa a VII-a, $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ . Baza trebuie să fie nenulă la împărțire, la $a^{0}$ și la $a^{- n}$ , iar la împărțire, cu exponenți naturali, $m \geq n$ .

Care este formula pentru puterea unui cât?

$(a : b)^{n} = a^{n} : b^{n}$ , cu $b \neq = 0$ , iar la numere naturale cu $a$ divizibil cu $b$ . Exponentul se aplică și deîmpărțitului, și împărțitorului: $(12 : 4)^{2} = 3^{2} = 9$ și $1 2^{2} : 4^{2} = 144 : 16 = 9$ . Invers, regula simplifică un calcul: $1 5^{3} : 5^{3} = (15 : 5)^{3} = 3^{3} = 27$ .

Ce semn are puterea unui număr negativ?

Pozitiv dacă exponentul este par și negativ dacă exponentul este impar. De exemplu, $(- 2)^{4} = 16$ , iar $(- 2)^{3} = - 8$ . Atenție: $- 2^{4}$ înseamnă $- (2^{4}) = - 16$ , pentru că se calculează întâi puterea, apoi se pune minusul din față.

Cum aflu ultima cifră a lui $3^{2026}$ ?

Este 9. Ultimele cifre ale puterilor lui 3 se repetă din 4 în 4: 3, 9, 7, 1. Cum $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , restul este 2, deci ultima cifră este a doua din model: $u (3^{2026}) = 9$ .

Cât fac $1^{n}$ și $0^{n}$ ?

$1^{n} = 1$ pentru orice exponent natural $n$ , iar $0^{n} = 0$ pentru orice $n \geq 1$ , fiindcă un produs care are factorul 0 este 0. Cazul $0^{0}$ nu este definit, de aceea regula $a^{0} = 1$ cere $a \neq = 0$ .