Ultima cifră a puterilor: formulă

Formulă din tema Puteri, clasa a V-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$u(a^n)$ = ultima cifră a numărului $a^n$. Ultimele cifre se repetă la nesfârșit în aceeași ordine, ca acele unui ceas, în grupuri de $1$, $2$ sau $4$. Cum $1$, $2$ și $4$ sunt divizori ai lui $4$, după fiecare $4$ exponenți ultima cifră revine: $u\left(a^{n+4}\right)=u\left(a^n\right)$ pentru $n\ge 1$. Calculezi primele puteri, descoperi modelul care se repetă, apoi vezi unde „cade” exponentul tău, folosind restul împărțirii la lungimea modelului.

Exemplu: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$ → modelul $2,4,8,6$ se repetă din $4$ în $4$ • $u(2^{100})$: $100=4\cdot 25$, restul $0$ → cade pe ultima poziție din model → $u(2^{100})=6$ • modelul depinde de ultima cifră a bazei: pentru $3$ este $3,9,7,1$; pentru $7$, $7,9,3,1$; pentru $8$, $8,4,2,6$ (grupuri de $4$); pentru $4$, $4,6$; pentru $9$, $9,1$ (grupuri de $2$); la bazele care se termină în $0$, $1$, $5$ sau $6$ ultima cifră rămâne mereu aceeași • $u(3^{10})$: $10=4\cdot 2+2$, restul $2$ → a doua poziție din $3,9,7,1$ → $u(3^{10})=9$ (într-adevăr, $3^{10}=59049$)