Formule: Radicali

Rădăcina pătrată: condiții de existență și toate regulile ei de calcul (clasa a VII-a). 10 formule, clasele 7–9.

• Definiția rădăcinii pătrate — clasa 7
• Rădăcina pătratului unui număr — clasa 7
• Radicalul unui produs — clasa 7
• Radicalul unui cât — clasa 7
• Scoaterea factorilor de sub radical — clasa 7
• Introducerea factorilor sub radical — clasa 7
• Raționalizarea numitorului — clasa 7
• Media geometrică — clasa 7
• Radicali compuși (radicali dubli) — clasa 9

Definiția rădăcinii pătrate — clasa 7

$a$ este numărul de sub radical (radicandul) și trebuie să fie $\ge 0$ — radicalul unui număr negativ nu există în mulțimea numerelor reale. Rezultatul $b$ este, prin definiție, tot $\ge 0$. Capcană: $\sqrt{49}$ este doar $7$, nu „$\pm 7$”!

Exemplu: $\sqrt{49}=7$ pentru că $7\ge 0$ și $7^2=49$ • $\sqrt{-9}$ nu există: niciun număr real ridicat la pătrat nu dă un rezultat negativ

Rădăcina pătratului unui număr — clasa 7

$a$ poate fi orice număr real, iar $|a|$ este modulul lui (distanța până la $0$, mereu $\ge 0$). Formula se folosește când sub radical apare un pătrat perfect cu literă sau cu număr negativ. Capcană: $\sqrt{a^2}=a$ doar dacă $a\ge 0$; pentru $a$ negativ rezultatul este $-a$, adică opusul lui.

Exemplu: $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$ — nu $-5$! • pentru $x=-3$: $\sqrt{x^2}=|-3|=3$

Radicalul unui produs — clasa 7

$a$ și $b$ trebuie să fie amândouă $\ge 0$ ca radicalii să existe. Radicalul unui produs se desparte în produsul radicalilor — și invers, doi radicali înmulțiți se strâng sub același radical. Capcană: la sumă nu funcționează, $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$ (de exemplu $\sqrt{9+16}=5$, dar $3+4=7$).

Exemplu: $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$; verificare: $\sqrt{36}=6$ ✓ • în sens invers: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$

Radicalul unui cât — clasa 7

$a\ge 0$ ca radicalul de sus să existe și $b>0$ strict, pentru că numitorul nu poate fi zero. Radicalul unei fracții se desparte în fracția radicalilor. Se folosește mai ales la fracții cu pătrate perfecte sus și jos.

Exemplu: $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}$ • $\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}$, verificare: ${\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{49}{4}$ ✓

Scoaterea factorilor de sub radical — clasa 7

Cauți sub radical cel mai mare pătrat perfect care divide numărul, apoi îl „scoți” în față ca $a$; sub radical rămâne $b$. Condițiile $a\ge 0$ și $b\ge 0$ asigură că totul există. Așa aduci un radical la forma cea mai simplă, cerută în aproape orice rezultat final.

Exemplu: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{2}$ • $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$ (am ales $36$, cel mai mare pătrat perfect care divide $72$)

Introducerea factorilor sub radical — clasa 7

Operația inversă scoaterii: numărul $a$ din fața radicalului intră sub radical ridicat la pătrat. Foarte utilă când vrei să compari radicali. Capcană: condiția $a\ge 0$ este esențială — un minus din fața radicalului rămâne afară, nu intră sub radical!

Exemplu: $3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}$ • comparare: $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$ și $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$, deci $3\sqrt{5}<5\sqrt{2}$

Raționalizarea numitorului — clasa 7

Raționalizarea scapă de radicalul de la numitor: amplifici fracția cu $\sqrt{a}$ și folosești $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$. Condiția $a>0$ e obligatorie (numitorul nu poate fi zero). Rezultatele finale se dau, de regulă, cu numitorul raționalizat.

Exemplu: $\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ • $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Media geometrică — clasa 7

$m_g$ este media geometrică (sau proporțională) a numerelor $a$ și $b$, amândouă $\ge 0$: radicalul produsului lor. Apare des la teorema înălțimii și a catetei din clasa a VII-a. Capcană: nu o confunda cu media aritmetică $\frac{a+b}{2}$ — cea geometrică este mereu cel mult egală cu ea.

Exemplu: $m_g(4;9)=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ • $m_g(2;8)=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$, pe când media aritmetică este $\frac{2+8}{2}=5$

Radicali compuși (radicali dubli) — clasa 9

Un radical dublu, de forma $\sqrt{a\pm \sqrt{b}}$, se poate transforma în doi radicali simpli. Calculezi întâi $c=\sqrt{a^2-b}$: formula ajută doar când $a^2-b$ este pătrat perfect, deci $c$ este un număr întreg (dacă $a$ și $b$ sunt întregi). Semnul din mijloc rămâne cel din radicalul inițial, iar rezultatul este $\ge 0$, ca orice radical. Verifici ridicând rezultatul la pătrat.

Exemplu: $\sqrt{3+\sqrt{8}}$: $a=3$, $b=8$, $c=\sqrt{9-8}=1$, deci $\sqrt{3+\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{3+1}{2}}+\sqrt{\frac{3-1}{2}}=\sqrt{2}+1$. Verificare: ${\left(\sqrt{2}+1\right)}^2=3+2\sqrt{2}=3+\sqrt{8}$ ✓ • $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+\sqrt{48}}$: $c=\sqrt{49-48}=1$, deci rezultatul este $\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$