Teorema lui Menelaus: formulă

Formulă din tema Relații metrice în triunghiul oarecare, clasa a IX-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

O transversală taie dreptele $BC$, $CA$, $AB$ ale triunghiului $ABC$ în punctele $M$, $N$, respectiv $P$. Rapoartele se scriu urmând laturile în ordine ciclică, iar fiecare vârf apare exact o dată la numărător și o dată la numitor. Regula parității: o transversală lasă mereu un număr impar de puncte în afara laturilor (unu sau trei) — o dreaptă nu poate tăia toate cele trei laturi. Reciproca este un test de coliniaritate: produs $=1$ plus paritate impară implică puncte coliniare; fără condiția de paritate, afirmația este falsă.

Exemplu: În triunghiul $ABC$, o transversală taie $BC$ în $M$ cu $\frac{MB}{MC}=\frac{3}{2}$ și $CA$ în $N$ cu $\frac{NC}{NA}=\frac{4}{3}$. Atunci $\frac{PA}{PB}=\frac{1}{\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}}=\frac{1}{2}$.