Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice

Ți s-a întâmplat vreodată să vrei să aduni $\frac{1}{2}$ dintr-o pizza cu $\frac{1}{3}$ din alta și ai simțit imediat că nu poți spune „rezultatul este $\frac{2}{5}$"? La numere știi deja trucul: aduci fracțiile la același numitor și abia apoi aduni numărătorii. Exact aceeași idee funcționează și când în locul numerelor apar litere. În lecția de față vei învăța cum să aduni și cum să scazi fracții algebrice, adică fracții în care numărătorul și numitorul sunt expresii cu litere. Este o deprindere care apare des la Evaluarea Națională, în special în subiectele de tip „aduceți la o formă mai simplă expresia $E(x)$", și pe care o vei folosi în lecțiile următoare despre înmulțirea, împărțirea și ordinea operațiilor cu fracții algebrice.

Ce vei învăța

• Vei ști să aduni și să scazi fracții algebrice care au același numitor.
• Vei ști să afli cel mai simplu numitor comun prin descompunerea numitorilor în factori.
• Vei ști să amplifici fiecare fracție pentru a ajunge la numitorul comun.
• Vei ști să aduni/scazi numărătorii, să reduci termenii asemenea și să simplifici rezultatul.
• Vei ști să tratezi corect semnul minus din fața unei fracții la scădere.

Hai să descoperim împreună

Ce este, de fapt, o fracție algebrică

Reamintim din lecțiile anterioare: o fracție algebrică este o expresie de forma $\frac{A}{B}$, unde $A$ și $B$ sunt polinoame (expresii cu litere), iar numitorul $B$ trebuie să fie diferit de zero. De exemplu, $\frac{2x}{x+3}$ are sens doar pentru $x\ne -3$, pentru că altfel numitorul s-ar anula. De fiecare dată când lucrăm cu fracții algebrice, ne uităm mai întâi la condițiile de existență (domeniul de definiție), pe care le-ai studiat în lecția Fracții algebrice. Noțiune și condiții de existență.

Pentru adunare și scădere vom folosi două unelte pe care le stăpânești deja:

• amplificarea unei fracții (înmulțim și numărătorul, și numitorul cu aceeași expresie nenulă) — vezi Amplificarea fracțiilor algebrice;
• simplificarea unei fracții (împărțim numărătorul și numitorul printr-un factor comun) — vezi Simplificarea fracțiilor algebrice.

O încălzire cu numere, ca să vedem tiparul

Înainte de litere, refacem un calcul pur numeric, pentru că exact aceiași pași îi vom folosi apoi cu $x$. Să calculăm $\frac{5}{12}+\frac{1}{18}$.

1. Descompunem numitorii în factori primi: $12=2^2\cdot 3$ și $18=2\cdot 3^2$.
2. Numitorul comun ia fiecare factor la puterea maximă: $2^2\cdot 3^2=36$.
3. Amplificăm: $\frac{5}{12}=\frac{5\cdot 3}{36}=\frac{15}{36}$ (am înmulțit cu $3$, pentru că $36:12=3$) și $\frac{1}{18}=\frac{1\cdot 2}{36}=\frac{2}{36}$.
4. Adunăm numărătorii: $\frac{15+2}{36}=\frac{17}{36}$.

Observă cei patru pași: descompun, aleg numitorul comun, amplific, adun numărătorii. Când vei vedea litere, nu inventezi nimic nou — repeți exact acest tipar, doar că factorii sunt de forma $(x+3)$ în loc de $2$ sau $3$. Ține minte imaginea aceasta, pentru că e cheia întregii lecții.

Pasul 0: fracții cu același numitor

Regula de bază este identică cu cea de la fracțiile obișnuite. Dacă două fracții au același numitor, le aduni (sau le scazi) adunând (scăzând) numărătorii și păstrând numitorul:

$$\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C},\frac{A}{C}-\frac{B}{C}=\frac{A-B}{C}.$$

De exemplu:

$$\frac{3x}{x+1}+\frac{2}{x+1}=\frac{3x+2}{x+1}.$$

Aici nu ai avut nimic de calculat la numitor, doar ai pus numărătorii peste aceeași linie de fracție. Simplu, nu? Problema apare când numitorii sunt diferiți. Atunci, exact ca la fracțiile numerice, trebuie să găsim un numitor comun.

Pasul 1: descompunem numitorii în factori

Ca să găsim numitorul comun, mai întâi descompunem fiecare numitor în factori, folosind ce ai învățat la descompuneri în factori: scoaterea factorului comun, gruparea termenilor și formulele de calcul prescurtat, mai ales diferența de pătrate $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

De ce facem asta? Pentru că numitorul comun se construiește din factorii numitorilor, nu din numitorii întregi. Dacă nu descompunem, riscăm să folosim un numitor comun mult mai complicat decât e nevoie.

Exemplu de descompunere a unui numitor: $$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3).$$

Alt exemplu: $$2x+6=2(x+3).$$

Pasul 2: alegem cel mai simplu numitor comun

Cel mai simplu numitor comun (numit uneori și „cel mai mic multiplu comun" al numitorilor) se obține așa: luăm fiecare factor distinct care apare în cel puțin unul dintre numitori, la puterea cea mai mare cu care apare.

Reține analogia cu numerele. Ca să aduni $\frac{1}{12}$ și $\frac{1}{18}$, descompui: $12=2^2\cdot 3$ și $18=2\cdot 3^2$. Numitorul comun este $2^2\cdot 3^2=36$ — fiecare factor la puterea maximă. La litere procedăm identic.

De pildă, dacă numitorii sunt $2(x+3)$ și $(x-3)(x+3)$, factorii distincți sunt: $2$, $(x+3)$ și $(x-3)$. Cel mai simplu numitor comun este produsul lor: $$2(x-3)(x+3).$$

Observă că $(x+3)$ apare o singură dată în numitorul comun, deși apare în ambii numitori — îl luăm la puterea cea mai mare, adică la puterea întâi în acest caz.

Pasul 3: amplificăm fiecare fracție

După ce am ales numitorul comun, amplificăm fiecare fracție astfel încât numitorul ei să devină numitorul comun. Pentru fiecare fracție ne întrebăm: „cu ce trebuie să înmulțesc numitorul actual ca să obțin numitorul comun?" Cu acea expresie amplificăm și numărătorul, și numitorul.

Factorul de amplificare se găsește simplu: îl obții împărțind numitorul comun la numitorul fracției, adică luând factorii care „lipsesc".

Pasul 4: adunăm/scădem numărătorii și reducem

Odată ajunse la același numitor, punem numărătorii peste aceeași linie de fracție, apoi:

1. desfacem parantezele (atenție la semne!);
2. reducem termenii asemenea la numărător — deprindere din lecția Reducerea termenilor asemenea;
3. încercăm să simplificăm rezultatul: descompunem numărătorul în factori și vedem dacă are un factor comun cu numitorul.

Pasul 5 (cel mai delicat): semnul minus la scădere

Aici greșesc cei mai mulți elevi. Când în fața unei fracții stă un minus, acel minus se aplică întregului numărător, nu doar primului termen. Practic, când aduni numărătorii la o scădere, pui numărătorul celei de-a doua fracții în paranteză și schimbi semnul fiecărui termen din interior:

$$\frac{A}{C}-\frac{B}{C}=\frac{A-(B)}{C}.$$

De exemplu: $$\frac{5x}{x-2}-\frac{2x-3}{x-2}=\frac{5x-(2x-3)}{x-2}=\frac{5x-2x+3}{x-2}=\frac{3x+3}{x-2}=\frac{3(x+1)}{x-2}.$$

Vezi cum $-(2x-3)$ a devenit $-2x+3$? Minusul a schimbat semnul și lui $-3$, transformându-l în $+3$. Dacă ai fi scris greșit $5x-2x-3$, ai fi obținut $3x-3$, care este alt rezultat. Reține: la scădere, mereu paranteză la al doilea numărător.

Algoritmul complet, pe scurt

Pentru $\frac{A}{B_1}\pm \frac{C}{B_2}$:

1. Descompune numitorii $B_1$ și $B_2$ în factori.
2. Scrie cel mai simplu numitor comun $N$ (fiecare factor distinct la puterea maximă).
3. Amplifică fiecare fracție până la numitorul $N$ (înmulțești sus și jos cu factorul lipsă).
4. Adună/scade numărătorii peste $N$; la scădere, paranteză la al doilea numărător.
5. Desfă parantezele, redu termenii asemenea.
6. Simplifică rezultatul, dacă se poate.

Cum verifici că rezultatul este corect

Un truc simplu și foarte util la examen: după ce ai terminat calculul, înlocuiește o valoare numerică (permisă) în expresia inițială și în rezultatul final. Dacă obții același număr, ai șanse mari să fi calculat corect. De exemplu, pentru $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}$, alegem $x=0$: în stânga $\frac{2}{-1}+\frac{3}{2}=-2+1,5=-0,5$; în dreapta $\frac{1}{(-1)(2)}=\frac{1}{-2}=-0,5$. Se potrivește — un semnal bun. Această verificare rapidă îți prinde majoritatea greșelilor de semn.

Un caz special foarte util: numitori „opuși"

Uneori numitorii par diferiți, dar sunt de fapt opuși, adică unul este $-1$ înmulțit cu celălalt: de exemplu $x-3$ și $3-x$. Observă că $$3-x=-(x-3).$$ Atunci nu ai nevoie de un numitor comun complicat: amplifici a doua fracție cu $-1$ (sus și jos) ca să obții același numitor. Vom folosi acest truc într-un exemplu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — același numitor (scădere cu paranteză)

Calculează, pentru $x\ne 4$: $$E=\frac{7x-1}{x-4}-\frac{3x+5}{x-4}.$$

Rezolvare. Numitorii sunt egali, deci punem numărătorii peste aceeași linie, cu paranteză la al doilea: $$E=\frac{(7x-1)-(3x+5)}{x-4}=\frac{7x-1-3x-5}{x-4}.$$ Reducem termenii asemenea la numărător: $7x-3x=4x$ și $-1-5=-6$: $$E=\frac{4x-6}{x-4}=\frac{2(2x-3)}{x-4}.$$ Numărătorul $2(2x-3)$ nu are factor comun cu $x-4$, deci aceasta este forma finală.

Exemplul 2 — numitori diferiți, un numitor multiplu al celuilalt

Calculează, pentru $x\ne 0$: $$E=\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}.$$

Rezolvare. Descompunem numitorii: $x$ și $x^2=x\cdot x$. Cel mai simplu numitor comun este $x^2$ (factorul $x$ la puterea maximă, adică $2$). Prima fracție trebuie amplificată cu $x$ (pentru că $x^2:x=x$), a doua rămâne neschimbată (numitorul ei este deja $x^2$): $$E=\frac{5\cdot x}{x\cdot x}+\frac{3}{x^2}=\frac{5x}{x^2}+\frac{3}{x^2}=\frac{5x+3}{x^2}.$$ Numărătorul $5x+3$ nu se descompune într-un factor care apare la numitor, deci forma finală este $\frac{5x+3}{x^2}$.

Exemplul 3 — numitori fără factor comun

Calculează, pentru $x\ne 1$ și $x\ne -2$: $$E=\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}.$$

Rezolvare. Numitorii $x-1$ și $x+2$ nu au niciun factor comun, deci cel mai simplu numitor comun este produsul lor: $(x-1)(x+2)$.

• Prima fracție se amplifică cu $(x+2)$: $\frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)}$.
• A doua fracție se amplifică cu $(x-1)$: $\frac{3(x-1)}{(x-1)(x+2)}$.

Adunăm numărătorii: $$E=\frac{2(x+2)+3(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{2x+4+3x-3}{(x-1)(x+2)}=\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}.$$ Numărătorul $5x+1$ nu conține factorii $(x-1)$ sau $(x+2)$, deci nu se mai simplifică.

Exemplul 4 — descompunem un numitor cu diferența de pătrate

Calculează, pentru $x\ne 3$ și $x\ne -3$: $$E=\frac{x}{x-3}-\frac{6}{x^2-9}.$$

Rezolvare. Descompunem al doilea numitor cu formula diferenței de pătrate: $$x^2-9=(x-3)(x+3).$$ Primul numitor este $x-3$. Cel mai simplu numitor comun este $(x-3)(x+3)$. Prima fracție se amplifică cu $(x+3)$, a doua rămâne neschimbată: $$E=\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}-\frac{6}{(x-3)(x+3)}=\frac{x(x+3)-6}{(x-3)(x+3)}.$$ Desfacem și reducem la numărător: $x(x+3)=x^2+3x$, deci numărătorul este $x^2+3x-6$. Verificăm dacă se descompune ușor căutând doi factori... $x^2+3x-6$ nu se descompune în factori cu numere întregi „frumoase" (nu are un factor $(x-3)$ sau $(x+3)$), așa că forma finală este: $$E=\frac{x^2+3x-6}{(x-3)(x+3)},\text{adica˘}\frac{x^2+3x-6}{x^2-9}.$$

Exemplul 5 — numărătorul se reduce frumos (aproape totul se anulează!)

Calculează, pentru $x\ne 2$ și $x\ne -2$: $$E=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}.$$

Rezolvare. Numitor comun: $(x-2)(x+2)=x^2-4$. Amplificăm: $$E=\frac{1\cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)}+\frac{1\cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x+2)+(x-2)}{(x-2)(x+2)}.$$ La numărător: $x+2+x-2=2x$. Deci $$E=\frac{2x}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x}{x^2-4}.$$ Numărătorul $2x$ nu conține factorii $(x-2)$ sau $(x+2)$, deci nu se simplifică; forma finală este $\frac{2x}{x^2-4}$.

Exemplul 6 — numitori opuși (trucul cu $-1$) și trei fracții

a) Calculează, pentru $x\ne 5$: $$E=\frac{x}{x-5}+\frac{2}{5-x}.$$

Rezolvare. Observăm că $5-x=-(x-5)$. Amplificăm a doua fracție cu $-1$ (sus și jos): $$\frac{2}{5-x}=\frac{2\cdot (-1)}{(5-x)\cdot (-1)}=\frac{-2}{x-5}.$$ Acum ambele au numitorul $x-5$: $$E=\frac{x}{x-5}+\frac{-2}{x-5}=\frac{x-2}{x-5}.$$

b) Calculează, pentru $x\ne 0$ și $x\ne 1$: $$F=\frac{2}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x}.$$

Rezolvare. Grupăm întâi fracțiile cu același numitor $x$: $\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}$. Rămâne $$F=\frac{5}{x}-\frac{1}{x-1}.$$ Numitor comun $x(x-1)$. Amplificăm prima cu $(x-1)$, a doua cu $x$: $$F=\frac{5(x-1)}{x(x-1)}-\frac{x}{x(x-1)}=\frac{5(x-1)-x}{x(x-1)}=\frac{5x-5-x}{x(x-1)}=\frac{4x-5}{x(x-1)}.$$

Exemplul 7 — trei numitori diferiți, cu descompunere

Calculează, pentru $x\ne 0$ și $x\ne 3$: $$E=\frac{1}{x}+\frac{2}{x-3}-\frac{6}{x^2-3x}.$$

Rezolvare. Descompunem al treilea numitor: $x^2-3x=x(x-3)$. Primii doi numitori sunt $x$ și $x-3$. Cel mai simplu numitor comun este $x(x-3)$.

• Prima fracție se amplifică cu $(x-3)$: $\frac{x-3}{x(x-3)}$.
• A doua se amplifică cu $x$: $\frac{2x}{x(x-3)}$.
• A treia are deja numitorul $x(x-3)$: $\frac{6}{x(x-3)}$.

Punem totul peste numitorul comun, cu paranteză la fracția scăzută: $$E=\frac{(x-3)+2x-6}{x(x-3)}=\frac{x-3+2x-6}{x(x-3)}=\frac{3x-9}{x(x-3)}=\frac{3(x-3)}{x(x-3)}=\frac{3}{x}.$$ Am simplificat factorul $(x-3)$; forma finală este $\frac{3}{x}$.

Exemplul 8 — numitor cu factor numeric comun

Calculează, pentru $x\ne -2$: $$E=\frac{3}{2x+4}+\frac{1}{x+2}.$$

Rezolvare. La prima vedere numitorii par complet diferiți, dar descompunem primul numitor scoțând factorul comun $2$: $$2x+4=2(x+2).$$ Acum vedem că factorii distincți din cei doi numitori sunt $2$ și $(x+2)$. Cel mai simplu numitor comun este $2(x+2)$. Prima fracție are deja acest numitor, iar a doua trebuie amplificată cu $2$ (pentru că $2(x+2):(x+2)=2$): $$E=\frac{3}{2(x+2)}+\frac{1\cdot 2}{(x+2)\cdot 2}=\frac{3}{2(x+2)}+\frac{2}{2(x+2)}=\frac{3+2}{2(x+2)}=\frac{5}{2(x+2)}.$$ Reține: coeficienții numerici (ca $2$) sunt și ei factori și intră în numitorul comun exact ca factorii cu literă. Nu îi ignora!

Exemplul 9 — numărători mai mari, reducere la o formă simplă

Calculează, pentru $x\ne 3$ și $x\ne -3$: $$E=\frac{x+3}{x-3}-\frac{x-3}{x+3}.$$

Rezolvare. Numitorii $x-3$ și $x+3$ nu au factor comun, deci numitorul comun este produsul lor, $(x-3)(x+3)=x^2-9$. Amplificăm prima fracție cu $(x+3)$ și a doua cu $(x-3)$: $$E=\frac{(x+3)(x+3)-(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x+3{)}^2-(x-3{)}^2}{x^2-9}.$$ Folosim formulele de calcul prescurtat la numărător: $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ și $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$. Atenție la paranteza de la scădere: $$(x+3{)}^2-(x-3{)}^2=(x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)=x^2+6x+9-x^2+6x-9=12x.$$ Prin urmare $$E=\frac{12x}{x^2-9}.$$ Numărătorul $12x$ nu conține factorii $(x-3)$ sau $(x+3)$, deci aceasta este forma finală. Observă cât de mult a contat paranteza: dacă am fi uitat-o, termenii $+6x$ nu s-ar fi adunat corect.

Să exersăm

Rezolvă în ordine, de la ușor la greu. Presupune peste tot că numitorii sunt nenuli (condițiile de existență se subînțeleg).

1. Calculează: $\frac{2x}{x+5}+\frac{3}{x+5}$.

2. Calculează: $\frac{4a-1}{a-2}-\frac{a+5}{a-2}$.

3. Calculează: $\frac{7}{y}-\frac{2}{y}$.

4. Adună: $\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}$.

5. Calculează: $\frac{4}{x-1}+\frac{2}{x+3}$.

6. Calculează: $\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4}$ și scrie rezultatul cu numitorul $x^2-16$.

7. Calculează: $\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}$.

8. Adevărat sau fals, cu justificare: $\frac{5}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}=\frac{3-x}{x-1}$.

9. Calculează, folosind trucul numitorilor opuși: $\frac{a}{a-3}+\frac{5}{3-a}$.

10. Adu la o singură fracție: $\frac{2}{x}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$.

11. Calculează: $\frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x-2}$.

12. Arată că $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}$.

13. Calculează: $\frac{3}{x-2}-\frac{2}{x+2}+\frac{12}{x^2-4}$ și adu la cea mai simplă formă.

14. Item tip Evaluare Națională. Se dă expresia $E(x)=\frac{x}{x-3}-\frac{3}{x+3}-\frac{18}{x^2-9}$, pentru $x\in \mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$. Aduceți expresia $E(x)$ la o formă cât mai simplă.

15. Raționament. Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât $\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{5x+1}{x^2-1}$ pentru orice $x\ne \pm 1$. (Indicație: adună fracțiile din stânga și compară numărătorii.)

16. Problemă aplicată. Doi robineți umplu un bazin. Primul, singur, l-ar umple în $x$ ore, al doilea în $x+2$ ore. Ce fracție din bazin umplu împreună într-o oră? Scrie rezultatul ca o singură fracție algebrică.

17. Calculează: $\frac{2x}{x^2-1}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$.

18. Provocare. Adu la o singură fracție și simplifică: $\frac{x}{x^2-x}+\frac{1}{x-1}$. (Indicație: descompune primul numitor.)

19. Calculează, scoțând mai întâi factorul comun de la numitor: $\frac{5}{3x+6}-\frac{1}{x+2}$.

20. Calculează și adu la cea mai simplă formă: $\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}$.

21. Item tip Evaluare Națională. Se dă expresia $E(x)=\frac{x}{x-4}-\frac{x}{x+4}-\frac{32}{x^2-16}$, pentru $x\in \mathbb{R}\setminus \{-4,4\}$. Aduceți expresia $E(x)$ la o formă cât mai simplă.

Răspunsuri și explicații

1. Același numitor: $\frac{2x+3}{x+5}$.

2. $\frac{(4a-1)-(a+5)}{a-2}=\frac{4a-1-a-5}{a-2}=\frac{3a-6}{a-2}=\frac{3(a-2)}{a-2}=3$. (Se simplifică frumos! Rezultatul este constanta $3$.)

3. $\frac{7-2}{y}=\frac{5}{y}$.

4. Numitor comun $x^2$: $\frac{3x}{x^2}+\frac{5}{x^2}=\frac{3x+5}{x^2}$.

5. Numitor comun $(x-1)(x+3)$: $\frac{4(x+3)+2(x-1)}{(x-1)(x+3)}=\frac{4x+12+2x-2}{(x-1)(x+3)}=\frac{6x+10}{(x-1)(x+3)}=\frac{2(3x+5)}{(x-1)(x+3)}$.

6. Numitor comun $(x+4)(x-4)=x^2-16$: $\frac{(x-4)+(x+4)}{x^2-16}=\frac{2x}{x^2-16}$.

7. $x^2-4=(x-2)(x+2)$; numitor comun $(x-2)(x+2)$. Amplificăm prima cu $(x+2)$: $\frac{x(x+2)-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2+2x-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2+2x-4}{x^2-4}$. Numărătorul nu se descompune convenabil, deci aceasta e forma finală.

8. Adevărat. Punem al doilea numărător în paranteză: $\frac{5-(x+2)}{x-1}=\frac{5-x-2}{x-1}=\frac{3-x}{x-1}$. Rezultatul coincide cu cel din enunț, deci egalitatea este adevărată. (Atenție: minusul schimbă și semnul lui $+2$, dând $-2$, apoi $5-2=3$.)

9. $3-a=-(a-3)$, deci $\frac{5}{3-a}=\frac{-5}{a-3}$. Atunci $\frac{a}{a-3}+\frac{-5}{a-3}=\frac{a-5}{a-3}$.

10. Grupăm $\frac{2}{x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}$, rămâne $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}$. Numitor comun $x(x-1)$: $\frac{(x-1)+x}{x(x-1)}=\frac{2x-1}{x(x-1)}$.

11. Numitor comun $(x+2)(x-2)$: $\frac{(x+1)(x-2)+(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}$. Numărători: $(x+1)(x-2)=x^2-x-2$ și $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$. Suma: $2x^2-4$. Deci $\frac{2x^2-4}{x^2-4}=\frac{2(x^2-2)}{x^2-4}$. (Nu se simplifică mai mult, pentru că $x^2-2\ne x^2-4$.)

12. Numitor comun $x(x+1)$: $\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}$. Egalitatea este demonstrată.

13. $x^2-4=(x-2)(x+2)$, numitor comun $(x-2)(x+2)$. Avem $\frac{3(x+2)-2(x-2)+12}{(x-2)(x+2)}=\frac{3x+6-2x+4+12}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+22}{(x-2)(x+2)}$. Numărătorul nu conține $(x-2)$ sau $(x+2)$, deci forma finală: $\frac{x+22}{x^2-4}$.

14. $x^2-9=(x-3)(x+3)$; numitor comun $(x-3)(x+3)$. $$E(x)=\frac{x(x+3)-3(x-3)-18}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+3x-3x+9-18}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2-9}{(x-3)(x+3)}.$$ Dar $x^2-9=(x-3)(x+3)$, deci $E(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)}=1$. Rezultatul este constanta $1$ — exact tipul de „aducere la formă simplă" apreciat la examen.

15. Adunăm stânga: numitor comun $(x-1)(x+1)=x^2-1$, deci $\frac{a(x+1)+b(x-1)}{x^2-1}=\frac{(a+b)x+(a-b)}{x^2-1}$. Comparăm cu $\frac{5x+1}{x^2-1}$: trebuie $a+b=5$ și $a-b=1$. Adunând cele două relații: $2a=6\Rightarrow a=3$, apoi $b=2$. $a=3$, $b=2$. (Verificare: $\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{3(x+1)+2(x-1)}{x^2-1}=\frac{5x+1}{x^2-1}$. ✓)

16. Într-o oră primul umple $\frac{1}{x}$ din bazin, al doilea $\frac{1}{x+2}$. Împreună: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{(x+2)+x}{x(x+2)}=\frac{2x+2}{x(x+2)}=\frac{2(x+1)}{x(x+2)}$ din bazin pe oră.

17. $x^2-1=(x-1)(x+1)$; numitor comun $(x-1)(x+1)$. Amplificăm: $\frac{2x+(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+x+1-x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x-1}$. (Se simplifică factorul $(x+1)$.)

18. $x^2-x=x(x-1)$; numitor comun $x(x-1)$. A doua fracție se amplifică cu $x$: $\frac{x}{x(x-1)}+\frac{x}{x(x-1)}=\frac{2x}{x(x-1)}=\frac{2}{x-1}$ (simplificăm cu $x$).

19. $3x+6=3(x+2)$; numitor comun $3(x+2)$. A doua fracție se amplifică cu $3$: $\frac{5}{3(x+2)}-\frac{3}{3(x+2)}=\frac{5-3}{3(x+2)}=\frac{2}{3(x+2)}$.

20. Numitor comun $(x-2)(x+2)=x^2-4$: $\frac{(x+2{)}^2-(x-2{)}^2}{x^2-4}$. La numărător: $(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x$. Deci $\frac{8x}{x^2-4}$. (Numărătorul $8x$ nu conține factorii $(x-2)$ sau $(x+2)$, deci nu se simplifică.)

21. $x^2-16=(x-4)(x+4)$; numitor comun $(x-4)(x+4)$. Amplificăm prima fracție cu $(x+4)$ și a doua cu $(x-4)$: $$E(x)=\frac{x(x+4)-x(x-4)-32}{(x-4)(x+4)}=\frac{x^2+4x-x^2+4x-32}{(x-4)(x+4)}=\frac{8x-32}{(x-4)(x+4)}.$$ Descompunem numărătorul: $8x-32=8(x-4)$, apoi simplificăm factorul $(x-4)$: $$E(x)=\frac{8(x-4)}{(x-4)(x+4)}=\frac{8}{x+4}.$$ Forma finală este $\frac{8}{x+4}$ — o reducere frumoasă, tipică pentru itemii de examen.

De reținut

• Fracții cu același numitor: $\frac{A}{C}\pm \frac{B}{C}=\frac{A\pm B}{C}$ — aduni/scazi doar numărătorii, păstrezi numitorul.
• Fracții cu numitori diferiți: descompune numitorii în factori → alege cel mai simplu numitor comun (fiecare factor distinct la puterea maximă) → amplifică fiecare fracție → adună/scade numărătorii → reduce termenii asemenea → simplifică.
• La scădere, pune al doilea numărător în paranteză: $\frac{A}{C}-\frac{B}{C}=\frac{A-(B)}{C}$; minusul schimbă semnul tuturor termenilor.
• Numitori opuși: $3-x=-(x-3)$; amplifică o fracție cu $-1$ ca să obții același numitor.
• Verifică mereu dacă rezultatul se poate simplifica: descompune numărătorul și caută factori comuni cu numitorul.

Greșeli frecvente

• Aduni numărătorii și numitorii separat. Scrii $\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2x+1}$ — greșit! Trebuie numitor comun. Corect: $\frac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}=\frac{5x+2}{x(x+1)}$.
• Uiți paranteza la scădere. Din $-(2x-3)$ scrii $-2x-3$ în loc de $-2x+3$. Pune întotdeauna paranteză la al doilea numărător și schimbă semnul fiecărui termen.
• Numitor comun prea complicat. Înmulțești pur și simplu toți numitorii, fără să descompui. Dacă un numitor este $x^2-9=(x-3)(x+3)$ și celălalt $x-3$, numitorul comun este $(x-3)(x+3)$, nu $(x-3)(x^2-9)$.
• „Simplifici" termeni, nu factori. În $\frac{5x+3}{x^2}$ nu poți „tăia" $x$-ul. Se simplifică doar factori care înmulțesc întreg numărătorul și întreg numitorul, niciodată termeni dintr-o sumă.

Aplică acasă

• Robineți sau descărcare de fișiere. Ia un caz real: descarci un film în $x$ minute pe Wi-Fi și în $x+10$ minute pe date mobile. Scrie ce fracție descarci într-un minut folosind ambele conexiuni: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}$. Adu la o singură fracție și, pentru $x=5$, calculează valoarea numerică.
• Buget de buzunar. Într-o lună cheltuiești $\frac{1}{x}$ din economii pe transport și $\frac{2}{x+1}$ pe abonamente. Scrie ce parte din economii cheltuiești în total ca o singură fracție algebrică, apoi verifică pentru $x=4$.
• Fabrică-ți propriul „rezultat frumos". Alege un numitor comun, de exemplu $(x-1)(x+2)$, și construiește o scădere de două fracții care să se simplifice la $1$ (ca la Exemplul din exercițiul 14). Provoacă un coleg să o rezolve.
• Antrenament de semne. Scrie pe o foaie cinci scăderi de forma $\frac{A}{C}-\frac{B}{C}$ cu numărători care conțin doi-trei termeni (de exemplu $\frac{4x+1}{x-3}-\frac{2x-5}{x-3}$) și rezolvă-le concentrându-te doar pe paranteză și pe schimbarea semnelor. Este exact locul unde se pierd cele mai multe puncte la Evaluarea Națională, așa că merită exersat separat până devine reflex.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează un algoritm-cheie care revine constant la Evaluarea Națională în itemii de tipul „Aduceți expresia $E(x)$ la o formă cât mai simplă", unde baremul acordă punctaj pe pași: descompunerea numitorilor, aducerea la numitor comun, calculul corect al numărătorului și simplificarea finală. Recomandăm ca elevul să scrie fiecare pas separat, fără să sară etape, pentru a nu pierde puncte.

Câteva întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „De ce trebuie un numitor comun ca să aduni fracțiile?" (Ca să adune „unități de aceeași mărime".)
• „Ce faci cu semnul când scazi o fracție?" (Pui numărătorul în paranteză și schimbi toate semnele.)
• „Cum știi care e cel mai simplu numitor comun?" (Descompui în factori și iei fiecare factor la puterea maximă.)
• „Se poate simplifica rezultatul?" (Doar dacă numărătorul și numitorul au un factor comun.)

Dacă elevul explică corect de ce pune paranteza la scădere și obține fără ezitare numitorul comun după descompunere, a înțeles esența. Un semn bun de stăpânire deplină este când recunoaște singur cazul numitorilor opuși ($x-3$ și $3-x$) și cazurile în care rezultatul se reduce la o constantă.

Întrebări frecvente

Cum adun două fracții algebrice cu numitori diferiți? Descompui numitorii în factori, alegi cel mai simplu numitor comun (fiecare factor distinct la puterea maximă), amplifici fiecare fracție până la acel numitor, aduni numărătorii, reduci termenii asemenea și simplifici. Este exact procedeul de la fracțiile numerice, dar cu litere.

De ce trebuie neapărat numitor comun? Pentru că fracții cu numitori diferiți măsoară „bucăți" de mărimi diferite și nu pot fi adunate direct. Abia după ce le exprimi cu același numitor, numărătorii devin comparabili și pot fi adunați sau scăzuți.

Ce se întâmplă cu semnul minus când scad fracții algebrice? Minusul din fața fracției se aplică întregului numărător. De aceea pui al doilea numărător în paranteză și schimbi semnul fiecărui termen din interior. De exemplu, $-(2x-3)=-2x+3$, nu $-2x-3$.

Cum aflu cel mai simplu numitor comun al fracțiilor algebrice? Descompui fiecare numitor în factori (factor comun, grupare, formule de calcul prescurtat, mai ales $a^2-b^2$). Apoi iei fiecare factor care apare, la puterea cea mai mare cu care apare. Produsul acestor factori este cel mai simplu numitor comun.

Trebuie să pun condiții de existență la aceste exerciții? La calculul propriu-zis lucrezi cu expresiile presupunând numitorii nenuli. Însă când un enunț cere „forma cea mai simplă a lui $E(x)$", este corect și apreciat la examen să precizezi domeniul, de exemplu $x\in \mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$, pentru că simplificarea nu schimbă valorile interzise.

Ce fac dacă numitorii sunt opuși, ca $x-5$ și $5-x$? Folosești faptul că $5-x=-(x-5)$. Amplifici fracția cu numitorul $5-x$ cu $-1$ (sus și jos) și obții numitorul $x-5$; astfel ambele fracții au același numitor și le poți aduna direct.

Cum verific rapid, la examen, că nu am greșit calculul? Alege o valoare numerică permisă pentru $x$ (una care nu anulează niciun numitor, de exemplu $x=1$ sau $x=2$) și înlocuiește-o atât în expresia inițială, cât și în rezultatul final. Dacă cele două numere coincid, aproape sigur ai calculat corect; dacă diferă, ai o greșeală de semn sau de amplificare de căutat. Este o verificare de câteva secunde care îți prinde majoritatea greșelilor, mai ales pe cele de la scădere.

Rezultatul se simplifică mereu? Nu. Uneori se simplifică frumos (chiar până la o constantă, ca în exercițiul 14), alteori numărătorul nu are niciun factor comun cu numitorul și rămâne așa. Verifici întotdeauna descompunând numărătorul, dar nu forța o simplificare care nu există.

Trebuie neapărat să descompun numitorii în factori, sau pot înmulți direct toți numitorii? Poți înmulți direct toți numitorii și vei obține un numitor comun valid, dar aproape întotdeauna prea complicat: numărătorii se umflă, calculele devin lungi și crește riscul de greșeală. Mai mult, la final vei fi nevoit oricum să descompui ca să simplifici. De aceea recomandarea fermă este să descompui de la început și să iei cel mai simplu numitor comun. La examen, calculul scurt și ordonat îți aduce puncte și îți economisește timp.

Unde folosesc adunarea și scăderea fracțiilor algebrice mai departe? În lecțiile următoare despre înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice și ordinea operațiilor cu fracții algebrice, precum și în probleme cu ecuații și în recapitularea pentru Evaluarea Națională, unde aducerea unei expresii la o formă simplă este un item frecvent.