Amplificarea fracțiilor algebrice

Îți amintești că, la fracțiile numerice, $\frac{1}{2}$ și $\frac{2}{4}$ și $\frac{50}{100}$ înseamnă exact același lucru — jumătate — chiar dacă arată diferit. Ai schimbat „hainele” fracției, dar nu și valoarea ei. La clasa a VIII-a facem același truc, dar cu litere: putem rescrie o fracție algebrică sub o formă nouă, cu alt numitor, fără să-i schimbăm valoarea. Această operație se numește amplificare și este pasul de care avem nevoie ca să putem, mai târziu, aduna și scădea fracții cu numitori diferiți. Este o unealtă simplă, dar folosită la aproape fiecare subiect de calcul algebric de la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să amplifici o fracție algebrică cu o expresie dată, nenulă, obținând o fracție egală.
• Vei ști să scrii corect condiția ca factorul de amplificare să fie diferit de zero și să păstrezi condițiile de existență.
• Vei ști să alegi factorul de amplificare potrivit pentru a obține un numitor dorit.
• Vei ști să amplifici cu monoame (de exemplu $3x$) și cu binoame (de exemplu $x+2$).
• Vei ști să folosești amplificarea pentru a aduce două fracții la același numitor, pregătind adunarea și scăderea lor.

Hai să descoperim împreună

1. Recapitulare rapidă: amplificarea la fracțiile numerice

Înainte de litere, să ne reamintim ideea de la numere. Când înmulțim și numărătorul, și numitorul unei fracții cu același număr nenul, obținem o fracție care arată altfel, dar are aceeași valoare:

$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{8}{12}.$$

De ce rămâne valoarea neschimbată? Pentru că, de fapt, am înmulțit fracția cu $\frac{4}{4}=1$, iar înmulțirea cu $1$ nu schimbă nimic. Aceasta se numește amplificarea fracției cu $4$. Verifică: $\frac{2}{3}=0,6\overline{6}$ și $\frac{8}{12}=0,6\overline{6}$ — identic.

Reține cuvântul important: același factor, sus și jos, și el trebuie să fie nenul (dacă am amplifica cu $0$ am obține $\frac{0}{0}$, ceea ce nu are sens).

2. Regula de amplificare a fracțiilor algebrice

Trecem acum la fracțiile algebrice, adică la rapoarte de expresii cu litere, precum $\frac{3}{x}$ sau $\frac{x+1}{x-2}$ (dacă vrei să reîmprospătezi noțiunea și numitorul nenul, revezi fracții algebrice și condiții de existență). Regula este exact aceeași ca la numere, doar că factorul cu care înmulțim poate fi acum tot o expresie cu litere.

Regula de amplificare. A amplifica o fracție algebrică $\frac{E}{F}$ cu o expresie $G$ (nenulă) înseamnă a înmulți și numărătorul, și numitorul cu aceeași expresie $G$: $$\frac{E}{F}=\frac{E\cdot G}{F\cdot G},G\ne 0.$$ Expresia $G$ se numește factor de amplificare. Fracția obținută este egală cu cea inițială (pe domeniul pe care ambele au sens).

Ideea de fond este iarăși aceea că am înmulțit fracția cu $\frac{G}{G}=1$. Iar înmulțirea cu $1$ nu schimbă valoarea, doar înfățișarea.

Să vedem cel mai simplu exemplu, amplificarea lui $\frac{3}{x}$ cu factorul $x$:

$$\frac{3}{x}=\frac{3\cdot x}{x\cdot x}=\frac{3x}{x^2}.$$

Am obținut o fracție nouă, $\frac{3x}{x^2}$, care are exact aceeași valoare ca $\frac{3}{x}$. Poți verifica numeric: pentru $x=3$, avem $\frac{3}{3}=1$ și $\frac{3\cdot 3}{3^2}=\frac{9}{9}=1$. Aceeași valoare.

3. Atenție la factorul de amplificare: el trebuie să fie nenul

Aici apare grija specifică claselor cu litere. La numere, când amplificam cu $4$, era clar că $4\ne 0$. Dar când factorul de amplificare este o expresie cu litere, de exemplu $x$ sau $x+3$, el poate deveni zero pentru anumite valori — și atunci amplificarea nu ar mai fi corectă (am înmulți cu $\frac{0}{0}$).

De aceea, ori de câte ori amplificăm, punem condiția ca factorul de amplificare să fie diferit de zero. Această condiție are un efect asupra domeniului. Sunt două situații pe care trebuie să le deosebești clar:

Situația A — domeniul rămâne același. Amplificăm cu un factor a cărui valoare interzisă este deja exclusă. De exemplu la $$\frac{3}{x}=\frac{3x}{x^2}$$ factorul de amplificare este $x$, cu condiția $x\ne 0$. Dar fracția inițială $\frac{3}{x}$ avea oricum condiția $x\ne 0$! Nu apare nimic nou: și fracția de pornire, și cea obținută există exact pentru $x\ne 0$. Ele sunt fracții algebrice egale, cu același domeniu.

Situația B — apare o restricție nouă. Amplificăm cu un factor care aduce o nouă valoare interzisă. De exemplu: $$\frac{2}{x-3}=\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x+6}{x^2-9}.$$ Fracția de pornire $\frac{2}{x-3}$ cerea doar $x\ne 3$. Dar factorul de amplificare $x+3$ cere în plus $x+3\ne 0$, adică $x\ne -3$, iar noul numitor $x^2-9$ chiar se anulează în $-3$. Prin urmare cele două fracții sunt egale pe domeniul comun, adică pentru $x\ne 3$ și $x\ne -3$. Egalitatea este valabilă acolo unde ambele au sens.

De reținut. Fracția obținută prin amplificare este egală cu cea inițială pe domeniul fracției de pornire, dar poate purta cu ea restricții suplimentare, aduse de factorul de amplificare. Regula fermă: factorul de amplificare trebuie să fie nenul.

Nu te sperie această subtilitate: în majoritatea exercițiilor scriem pur și simplu rezultatul amplificării și, dacă ni se cere explicit, notăm condiția ca factorul de amplificare să fie nenul. Important este să înțelegi de ce apare condiția.

4. Amplificarea cu un monom

Cel mai des vei amplifica întâi cu monoame, adică expresii de forma unui număr înmulțit cu o putere a variabilei: $2$, $x$, $3x$, $5x^2$ etc. Regula e neschimbată: înmulțești sus și jos cu monomul.

Exemplul 1: amplificăm $\frac{4}{x+1}$ cu monomul $2$. $$\frac{4}{x+1}=\frac{4\cdot 2}{(x+1)\cdot 2}=\frac{8}{2(x+1)}=\frac{8}{2x+2}.$$ Aici factorul este numărul $2$, evident nenul, deci domeniul nu se schimbă ($x\ne -1$ înainte și după).

Exemplul 2: amplificăm $\frac{x}{x-2}$ cu monomul $3x$. $$\frac{x}{x-2}=\frac{x\cdot 3x}{(x-2)\cdot 3x}=\frac{3x^2}{3x(x-2)}=\frac{3x^2}{3x^2-6x}.$$ Atenție: la numărător $x\cdot 3x=3x^2$, iar la numitor am folosit distributivitatea, $3x(x-2)=3x^2-6x$. Factorul de amplificare $3x$ cere $3x\ne 0$, adică $x\ne 0$ — o restricție nouă față de fracția inițială (care cerea doar $x\ne 2$).

Sfat de calcul. Când amplifici cu un monom, ai grijă la puterile lui $x$ și la semne. Reia, dacă e nevoie, regulile de la înmulțirea și puterile expresiilor cu litere: $x\cdot x=x^2$, $x^2\cdot x=x^3$ etc.

5. Amplificarea cu un binom

Un binom este o sumă (sau diferență) de doi termeni, de exemplu $x+3$, $x-5$, $2x+1$. Amplificarea cu un binom este cheia pentru aducerea la numitor comun, așa că merită multă atenție.

Regula rămâne aceeași, doar că la înmulțirea numărătorului și a numitorului cu binomul folosim distributivitatea (înmulțim binomul cu fiecare termen).

Exemplul 3: amplificăm $\frac{5}{x-4}$ cu binomul $x+4$. $$\frac{5}{x-4}=\frac{5\cdot (x+4)}{(x-4)(x+4)}.$$ La numărător, $5(x+4)=5x+20$. La numitor recunoaștem produsul sumei cu diferența: $(x-4)(x+4)=x^2-16$. Deci: $$\frac{5}{x-4}=\frac{5x+20}{x^2-16}.$$

Observă cât de util este să recunoști formulele de calcul prescurtat: numitorul $(x-4)(x+4)$ devine imediat $x^2-16$, fără înmulțiri lungi. Factorul $x+4$ cere $x\ne -4$ — restricție nouă, deci egalitatea e valabilă pentru $x\ne 4$ și $x\ne -4$.

Exemplul 4: amplificăm $\frac{x-1}{x}$ cu binomul... de fapt cu monomul $x$ — să vedem un binom la numărător. $$\frac{x-1}{x}=\frac{(x-1)\cdot x}{x\cdot x}=\frac{x^2-x}{x^2}.$$ Aici numărătorul era un binom, iar factorul de amplificare este monomul $x$; la numărător am distribuit: $(x-1)x=x^2-x$. Domeniul rămâne $x\ne 0$ (situația A).

6. Alegerea factorului de amplificare potrivit

Până acum ni se dădea factorul de amplificare. Dar de multe ori, la examen, ni se cere invers: „amplifică fracția astfel încât numitorul să devină o expresie dată”. Trebuie să găsim singuri factorul potrivit.

Metoda este simplă și logică. Dacă vrem ca numitorul $F$ să devină un numitor-țintă $N$, atunci factorul de amplificare $G$ trebuie să îndeplinească $$F\cdot G=N.$$ Adică $G$ este de câte ori trebuie mărit numitorul ca să ajungă la $N$. Practic, ne întrebăm: „cu ce înmulțesc numitorul actual ca să obțin numitorul dorit?”

Exemplul 5: amplifică $\frac{7}{x-5}$ astfel încât numitorul să devină $x^2-25$.

Pasul 1 — descompun numitorul-țintă ca să văd „ce lipsește”. Recunosc diferența de pătrate: $$x^2-25=(x-5)(x+5).$$ Pasul 2 — compar cu numitorul actual $x-5$. Ca să ajung de la $x-5$ la $(x-5)(x+5)$, trebuie să înmulțesc cu $x+5$. Deci factorul de amplificare este $G=x+5$. Pasul 3 — amplific cu $x+5$, sus și jos: $$\frac{7}{x-5}=\frac{7(x+5)}{(x-5)(x+5)}=\frac{7x+35}{x^2-25}.$$ Gata — am obținut fix numitorul cerut, $x^2-25$.

Trucul. Numitorul-țintă se descompune de obicei în factori. Unul dintre factori este chiar numitorul de pornire; ceilalți factori formează împreună factorul de amplificare. Aici $x^2-25=\underset{\text{numitorul actual}}{\underbrace{(x-5)}}\cdot \underset{\text{factorul de amplificare}}{\underbrace{(x+5)}}$.

Descompunerile pe care le-ai învățat — factor comun și diferența de pătrate — sunt exact instrumentul care îți arată ce factor lipsește.

7. La ce folosește amplificarea: aducerea la numitor comun

Iată motivul principal pentru care învățăm amplificarea. Știi de la fracțiile numerice că nu putem aduna $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ direct, cu numitori diferiți; întâi le aducem la același numitor ($6$), amplificând fiecare fracție. La fel se întâmplă și cu fracțiile algebrice: înainte de a le aduna sau scădea, trebuie să le aducem la același numitor, iar unealta prin care facem asta este tocmai amplificarea.

Cum găsim numitorul comun? Cel mai simplu numitor comun a doi numitori diferiți care nu au factori comuni este chiar produsul lor.

Exemplul 6: aduc la același numitor fracțiile $\frac{1}{x}$ și $\frac{3}{x+2}$.

Numitorii sunt $x$ și $x+2$. Numitorul comun este produsul lor, $x(x+2)$.

• Prima fracție are numitorul $x$; ca să ajung la $x(x+2)$, amplific cu $x+2$: $$\frac{1}{x}=\frac{1\cdot (x+2)}{x(x+2)}=\frac{x+2}{x(x+2)}.$$
• A doua fracție are numitorul $x+2$; ca să ajung la $x(x+2)$, amplific cu $x$: $$\frac{3}{x+2}=\frac{3\cdot x}{(x+2)\cdot x}=\frac{3x}{x(x+2)}.$$

Acum ambele fracții au același numitor, $x(x+2)$: $$\frac{x+2}{x(x+2)}\text{și}\frac{3x}{x(x+2)}.$$ De aici, adunarea sau scăderea lor devine ușoară (o vom face în lecția următoare). Observă și condițiile de existență: prima fracție cerea $x\ne 0$, a doua cerea $x\ne -2$; numitorul comun $x(x+2)$ cere amândouă condițiile, adică $x\ne 0$ și $x\ne -2$ (reuniunea restricțiilor).

Exemplul 7 (numitori unde unul „intră” în celălalt): aduc la același numitor $\frac{4}{x}$ și $\frac{1}{x^2}$.

Aici nu folosim produsul $x\cdot x^2=x^3$, pentru că observăm ceva mai bun: $x^2$ „conține” deja pe $x$. Cel mai mic numitor comun este chiar $x^2$. Amplific doar prima fracție (cu $x$), a doua rămâne cum e: $$\frac{4}{x}=\frac{4x}{x^2},\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}.$$ Ambele au acum numitorul $x^2$. Alegerea celui mai mic numitor comun ține calculul simplu.

8. Amplificarea este operația inversă simplificării

Ca să ai imaginea completă: amplificarea mărește numărătorul și numitorul (îi înmulțește cu ceva), iar operația inversă, simplificarea, îi micșorează (împarte prin factorul comun). Amândouă păstrează valoarea fracției; doar sensul diferă.

$$\underset{\text{amplificare (× x)}}{\underbrace{\frac{3}{x}⟶\frac{3x}{x^2}}}\underset{\text{simplificare (: x)}}{\underbrace{\frac{3x}{x^2}⟶\frac{3}{x}}}$$

Pe simplificare o studiem detaliat în lecția următoare, simplificarea fracțiilor algebrice. Deocamdată, în această lecție nu simplificăm; lăsăm rezultatele amplificării așa cum ies (de exemplu $\frac{3x^2}{3x^2-6x}$ rămâne așa).

9. Algoritmul amplificării

Rezumând, ori de câte ori ți se cere să amplifici o fracție algebrică:

1. Identifică factorul de amplificare $G$ (fie e dat, fie îl deduci din numitorul-țintă: $G=N:F$).
2. Înmulțește numărătorul cu $G$ (folosind distributivitatea, dacă $G$ e binom).
3. Înmulțește numitorul cu $G$ (la fel).
4. Scrie rezultatul $\frac{E\cdot G}{F\cdot G}$; dacă ți se cere, notează condiția $G\ne 0$ și eventualele restricții noi.
5. Nu simplifica — aceea e altă operație.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — amplificare cu un monom dat

Enunț. Amplifică fracția $\frac{2}{5x}$ cu factorul $3x$.

Rezolvare. Înmulțim sus și jos cu $3x$: $$\frac{2}{5x}=\frac{2\cdot 3x}{5x\cdot 3x}=\frac{6x}{15x^2}.$$ La numitor: $5x\cdot 3x=15x^2$. Factorul $3x$ cere $x\ne 0$, condiție pe care fracția o avea oricum (numitorul inițial $5x$ cerea $x\ne 0$). Deci domeniul rămâne același, $x\ne 0$. Rezultat: $\frac{6x}{15x^2}$.

Exemplul 2 — amplificare cu un binom și formula de calcul prescurtat

Enunț. Amplifică $\frac{3}{x+2}$ cu $x-2$ și scrie numitorul sub formă restrânsă.

Rezolvare. $$\frac{3}{x+2}=\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)}.$$ La numărător: $3(x-2)=3x-6$. La numitor, produsul sumei cu diferența: $(x+2)(x-2)=x^2-4$. Așadar: $$\frac{3}{x+2}=\frac{3x-6}{x^2-4}.$$ Factorul $x-2$ adaugă condiția $x\ne 2$ (restricție nouă, pe lângă $x\ne -2$ de la început).

Exemplul 3 — găsirea factorului de amplificare

Enunț. Amplifică fracția $\frac{x+1}{x-3}$ astfel încât numitorul să devină $x^2-9$.

Rezolvare. Descompun numitorul-țintă: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Comparând cu numitorul actual $x-3$, factorul de amplificare este $x+3$. Amplific: $$\frac{x+1}{x-3}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x+1)(x+3)}{x^2-9}.$$ La numărător desfac produsul: $(x+1)(x+3)=x^2+3x+x+3=x^2+4x+3$. Rezultat: $$\frac{x+1}{x-3}=\frac{x^2+4x+3}{x^2-9}.$$

Exemplul 4 — aducerea a două fracții la numitor comun

Enunț. Adu la același numitor fracțiile $\frac{2}{x-1}$ și $\frac{5}{x+3}$.

Rezolvare. Numitorii $x-1$ și $x+3$ nu au factori comuni, deci numitorul comun este produsul lor, $(x-1)(x+3)$.

• Prima fracție se amplifică cu $x+3$: $$\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+3)}{(x-1)(x+3)}=\frac{2x+6}{(x-1)(x+3)}.$$
• A doua fracție se amplifică cu $x-1$: $$\frac{5}{x+3}=\frac{5(x-1)}{(x+3)(x-1)}=\frac{5x-5}{(x-1)(x+3)}.$$ Ambele au acum numitorul comun $(x-1)(x+3)$, cu condițiile $x\ne 1$ și $x\ne -3$. (Le-am pregătit pentru scădere sau adunare, în lecția următoare.)

Exemplul 5 — verificarea egalității a două fracții

Enunț. Arată că fracțiile $\frac{x}{x-3}$ și $\frac{x^2+3x}{x^2-9}$ sunt egale (pe domeniul comun).

Rezolvare. Pornim de la prima fracție și încercăm să obținem a doua prin amplificare. Numitorul $x^2-9=(x-3)(x+3)$, deci factorul de amplificare potrivit este $x+3$. Amplificăm: $$\frac{x}{x-3}=\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+3x}{x^2-9}.$$ Am obținut exact a doua fracție. Prin urmare cele două sunt egale pentru $x\ne 3$ și $x\ne -3$ (domeniul comun; a doua fracție cere în plus $x\ne -3$).

Exemplul 6 — item tip Evaluare Națională

Enunț. Se dă fracția $\frac{a}{a-b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale cu $a\ne b$. Amplifică fracția cu $a+b$ și scrie numitorul obținut sub formă restrânsă.

Rezolvare. Amplificăm cu $a+b$ (nenul se cere: $a+b\ne 0$): $$\frac{a}{a-b}=\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)}.$$ La numărător: $a(a+b)=a^2+ab$. La numitor, diferența de pătrate: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Rezultat: $$\frac{a}{a-b}=\frac{a^2+ab}{a^2-b^2}.$$ Este o formă des întâlnită la examen, unde amplificarea cu conjugata $a+b$ transformă numitorul într-o diferență de pătrate.

Să exersăm

Rezolvă în caiet, cu redactare îngrijită. Unde ți se cere, notează și condiția ca factorul de amplificare să fie nenul. Nu simplifica rezultatele.

1. Completează numărul care lipsește: $\frac{2}{5}=\frac{?}{15}$.
2. Amplifică fracția $\frac{5}{x}$ cu factorul $x$.
3. Amplifică fracția $\frac{7}{x+1}$ cu factorul $3$.
4. Amplifică fracția $\frac{x}{x-2}$ cu factorul $4x$.
5. Amplifică fracția $\frac{2}{x-4}$ cu binomul $x+4$ și scrie numitorul sub formă restrânsă.
6. Amplifică fracția $\frac{3}{x+5}$ cu binomul $x-5$ și scrie numitorul sub formă restrânsă.
7. Amplifică fracția $\frac{x-1}{x}$ cu factorul $x$.
8. Ce factor de amplificare aduce fracția $\frac{4}{x}$ la numitorul $x^2$? Scrie și fracția obținută.
9. Ce factor de amplificare aduce fracția $\frac{6}{x-5}$ la numitorul $x^2-25$? Scrie fracția obținută.
10. Ce factor de amplificare aduce fracția $\frac{2}{2x}$ la numitorul $6x^2$? Scrie fracția obținută.
11. Adu la același numitor fracțiile $\frac{1}{x}$ și $\frac{4}{x+3}$.
12. Adu la același numitor fracțiile $\frac{2}{x-1}$ și $\frac{5}{x+2}$.
13. Adu la același numitor fracțiile $\frac{3}{x}$ și $\frac{1}{x^2}$.
14. Adevărat sau fals, cu justificare: „Egalitatea $\frac{2}{x-3}=\frac{2x+6}{x^2-9}$ este valabilă pentru orice $x\ne 3$.”
15. Adevărat sau fals, cu justificare: „Prin amplificare, valoarea unei fracții algebrice se schimbă.”
16. Un elev scrie: „$\frac{3}{x+2}=\frac{3+x}{(x+2)+x}$, am amplificat cu $x$.” Explică greșeala și scrie corect amplificarea cu $x$.
17. Item tip Evaluare Națională. Se dă fracția $\frac{x+1}{x-2}$. Amplific-o astfel încât numitorul să devină $x^2-4$ și scrie numărătorul sub formă restrânsă.
18. Problemă de raționament. Arată, prin amplificare, că fracțiile $\frac{x}{x+4}$ și $\frac{x^2-4x}{x^2-16}$ sunt egale pe domeniul comun și precizează valorile interzise.

Răspunsuri și explicații

1. Amplificăm cu $3$ (fiindcă $5\cdot 3=15$): $\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 3}{15}=\frac{6}{15}$. Numărul lipsă este $6$.
2. $\frac{5}{x}=\frac{5\cdot x}{x\cdot x}=\frac{5x}{x^2}$. Condiție: $x\ne 0$ (deja cerută), domeniul rămâne același.
3. $\frac{7}{x+1}=\frac{7\cdot 3}{(x+1)\cdot 3}=\frac{21}{3(x+1)}=\frac{21}{3x+3}$. Factor numeric $3\ne 0$, domeniul rămâne $x\ne -1$.
4. $\frac{x}{x-2}=\frac{x\cdot 4x}{(x-2)\cdot 4x}=\frac{4x^2}{4x(x-2)}=\frac{4x^2}{4x^2-8x}$. Factorul $4x$ cere $x\ne 0$ (restricție nouă).
5. $\frac{2}{x-4}=\frac{2(x+4)}{(x-4)(x+4)}=\frac{2x+8}{x^2-16}$. Restricție nouă: $x\ne -4$.
6. $\frac{3}{x+5}=\frac{3(x-5)}{(x+5)(x-5)}=\frac{3x-15}{x^2-25}$. Restricție nouă: $x\ne 5$.
7. $\frac{x-1}{x}=\frac{(x-1)\cdot x}{x\cdot x}=\frac{x^2-x}{x^2}$. Domeniul rămâne $x\ne 0$.
8. Numitorul $x$ trebuie să ajungă la $x^2$, deci factorul este $x$. Fracția: $\frac{4}{x}=\frac{4x}{x^2}$.
9. $x^2-25=(x-5)(x+5)$, deci de la $x-5$ ajungem la țintă înmulțind cu $x+5$. Factorul este $x+5$: $\frac{6}{x-5}=\frac{6(x+5)}{x^2-25}=\frac{6x+30}{x^2-25}$.
10. $6x^2:2x=3x$, deci factorul este $3x$. Fracția: $\frac{2}{2x}=\frac{2\cdot 3x}{2x\cdot 3x}=\frac{6x}{6x^2}$.
11. Numitor comun $x(x+3)$. $\frac{1}{x}=\frac{x+3}{x(x+3)}$ (amplificat cu $x+3$) și $\frac{4}{x+3}=\frac{4x}{x(x+3)}$ (amplificat cu $x$). Condiții: $x\ne 0$ și $x\ne -3$.
12. Numitor comun $(x-1)(x+2)$. $\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)}=\frac{2x+4}{(x-1)(x+2)}$ și $\frac{5}{x+2}=\frac{5(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{5x-5}{(x-1)(x+2)}$. Condiții: $x\ne 1$ și $x\ne -2$.
13. Numitor comun $x^2$ (nu $x^3$, fiindcă $x^2$ conține deja $x$). $\frac{3}{x}=\frac{3x}{x^2}$ (amplificat cu $x$) și $\frac{1}{x^2}$ rămâne neschimbată. Condiție: $x\ne 0$.
14. Fals. Membrul drept are numitorul $x^2-9=(x-3)(x+3)$, care se anulează și în $x=-3$, deci fracția din dreapta cere $x\ne 3$ și $x\ne -3$. Egalitatea este valabilă doar pe domeniul comun, adică pentru $x\ne 3$ și $x\ne -3$; în particular, pentru $x=-3$ membrul drept nu există, deși membrul stâng există. Deci afirmația „pentru orice $x\ne 3$” este falsă.
15. Fals. Prin amplificare valoarea rămâne neschimbată: înmulțim numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă, adică înmulțim fracția cu $\frac{G}{G}=1$. Se schimbă doar forma (numărătorul și numitorul), nu valoarea; obținem o fracție egală cu cea inițială.
16. Greșeala: elevul a adunat $x$ la numărător și la numitor, în loc să înmulțească. Amplificarea înseamnă înmulțire, nu adunare. Corect: $\frac{3}{x+2}=\frac{3\cdot x}{(x+2)\cdot x}=\frac{3x}{x(x+2)}=\frac{3x}{x^2+2x}$.
17. $x^2-4=(x-2)(x+2)$, deci factorul de amplificare este $x+2$. $\frac{x+1}{x-2}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^2-4}$. Numărătorul: $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$. Rezultat: $\frac{x^2+3x+2}{x^2-4}$.
18. $x^2-16=(x+4)(x-4)$, deci amplificăm $\frac{x}{x+4}$ cu $x-4$: $\frac{x}{x+4}=\frac{x(x-4)}{(x+4)(x-4)}=\frac{x^2-4x}{x^2-16}$. Am obținut a doua fracție, deci sunt egale pe domeniul comun. Valori interzise: $x=-4$ (de la ambele) și $x=4$ (adusă de factorul $x-4$); egalitatea e valabilă pentru $x\ne -4$ și $x\ne 4$.

De reținut

• Regula de amplificare: $\frac{E}{F}=\frac{E\cdot G}{F\cdot G}$, unde factorul de amplificare $G$ este nenul ($G\ne 0$). Înmulțim sus și jos cu aceeași expresie.
• Prin amplificare valoarea fracției nu se schimbă (înmulțim de fapt cu $\frac{G}{G}=1$); obținem o fracție egală, cu altă formă.
• Amplificarea poate aduce restricții noi: dacă factorul $G$ se anulează pentru o valoare, aceea devine valoare interzisă. Egalitatea e valabilă pe domeniul comun.
• Ca să obții un numitor dorit $N$, factorul de amplificare este $G=N:F$ (descompune numitorul-țintă și ia factorii care lipsesc).
• Amplificarea este unealta prin care aducem fracțiile la același numitor, pas obligatoriu înainte de adunare și scădere; numitorul comun poartă toate condițiile de existență ale fracțiilor.

Greșeli frecvente

• Aduni în loc să înmulțești. Amplificarea înseamnă înmulțire sus și jos, nu adunare. $\frac{3}{x+2}\ne \frac{3+x}{x+2+x}$; corect este $\frac{3\cdot x}{(x+2)\cdot x}$.
• Înmulțești doar numitorul (sau doar numărătorul). Trebuie înmulțiți amândoi cu același factor. Dacă înmulțești doar unul, schimbi valoarea fracției — nu mai e amplificare.
• Uiți condiția ca factorul să fie nenul. Când amplifici cu o expresie ce conține litere (de exemplu $x+3$), aceasta poate aduce o valoare interzisă nouă; ține minte că egalitatea e valabilă pe domeniul comun.
• Simplifici în loc să amplifici (sau invers). Amplificarea mărește (înmulțește), simplificarea micșorează (împarte). În această lecție nu simplificăm rezultatele — asta e tema lecției următoare.

Aplică acasă

1. Fabrica de fracții egale. Alege o fracție simplă, de exemplu $\frac{2}{x-1}$, și scrie cinci fracții egale cu ea, amplificând cu $2$, cu $x$, cu $x+1$, cu $x-1$ și cu $3x$. Verifică fiecare rezultat înlocuind $x=2$ (aceeași valoare trebuie să iasă peste tot). Care amplificări au adus restricții noi în domeniu?
2. Numitorul-țintă. Provoacă pe cineva din familie (sau pe tine însuți) astfel: pornind de la $\frac{5}{x-3}$, ce factor de amplificare o aduce la numitorul $x^2-9$? Dar la numitorul $2x-6$? Dar la $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$? Scrie de fiecare dată factorul și fracția obținută.
3. Pregătire pentru adunare. Ia două fracții cu numitori diferiți, de exemplu $\frac{1}{x+1}$ și $\frac{2}{x-2}$, și adu-le la același numitor prin amplificare (fără să le mai și aduni — doar pregătirea). Notează numitorul comun și toate condițiile de existență. Vei folosi exact acest lucru în lecția de adunare a fracțiilor algebrice.

Pentru părinți și profesori

Amplificarea este o operație scurtă, dar strategică: fără ea, elevul nu poate aduna, scădea sau compara fracții algebrice cu numitori diferiți. Ea vine imediat după condițiile de existență și pregătește direct simplificarea și adunarea și scăderea fracțiilor algebrice.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să formuleze regula cu cuvintele lui: „înmulțesc și sus, și jos, cu aceeași expresie nenulă”. Dacă spune „adun” în loc de „înmulțesc”, acolo e confuzia de reparat.
• Puneți întrebarea-cheie: „Prin amplificare se schimbă valoarea fracției?” Răspunsul corect — nu — arată că a înțeles de ce amplificarea este utilă (schimbă forma, păstrează valoarea).
• Verificați cu un test numeric: după ce a amplificat, cereți-i să pună o valoare (de exemplu $x=2$) în ambele fracții și să constate că dau același număr. Este cea mai rapidă auto-verificare.
• Pentru factorul potrivit, dați-i un numitor-țintă (de exemplu $x^2-16$) și cereți-i factorul de amplificare pornind de la $x-4$. Astfel legați amplificarea de descompunerile în factori.

Semne că a înțeles: amplifică fără să greșească distributivitatea la binoame, recunoaște când apare o restricție nouă în domeniu și găsește singur factorul care aduce fracția la un numitor cerut.

La Evaluarea Națională, amplificarea apare rareori ca cerință de sine stătătoare, dar este pasul ascuns din spatele oricărei adunări, scăderi sau aduceri la numitor comun de la Subiectul al III-lea. Un elev care amplifică sigur și corect câștigă timp și evită erorile de calcul la exercițiile mai lungi cu fracții algebrice, unde baremul punctează fiecare etapă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să amplifici o fracție algebrică? Înseamnă să înmulțești și numărătorul, și numitorul cu aceeași expresie nenulă. Fracția obținută arată diferit, dar are exact aceeași valoare ca cea inițială. Este echivalentul, cu litere, al trecerii de la $\frac{2}{3}$ la $\frac{8}{12}$.

Care este regula de amplificare la clasa a 8-a? Regula este $\frac{E}{F}=\frac{E\cdot G}{F\cdot G}$, cu factorul de amplificare $G\ne 0$. Se înmulțește sus și jos cu același factor, niciodată doar unul dintre ele.

Se schimbă valoarea fracției când o amplific? Nu. Amplificarea înseamnă, de fapt, înmulțirea fracției cu $\frac{G}{G}=1$, iar înmulțirea cu $1$ nu modifică valoarea. Se schimbă doar forma, adică numărătorul și numitorul.

Cum aleg factorul de amplificare pentru un numitor dorit? Descompui în factori numitorul-țintă, îl compari cu numitorul actual și iei factorii care lipsesc. Practic, factorul de amplificare este cât rezultă din împărțirea numitorului-țintă la numitorul actual. De exemplu, ca să treci de la $x-5$ la $x^2-25=(x-5)(x+5)$, amplifici cu $x+5$.

Ce înseamnă „amplificare cu un monom” și „cu un binom”? Monomul este o expresie de forma unui număr înmulțit cu o putere a variabilei (de exemplu $3x$), iar binomul este o sumă sau diferență de doi termeni (de exemplu $x+2$). Amplificarea decurge la fel în ambele cazuri; la binoame folosești distributivitatea când înmulțești.

De ce trebuie ca factorul de amplificare să fie nenul? Pentru că un factor care se anulează ar însemna înmulțirea cu $\frac{0}{0}$, care nu are sens. În plus, dacă factorul se anulează pentru o anumită valoare, aceasta devine valoare interzisă nouă, iar egalitatea dintre fracții rămâne valabilă doar pe domeniul comun.

La ce folosește amplificarea fracțiilor algebrice? În principal la aducerea fracțiilor la același numitor, pas indispensabil înainte de a le aduna sau scădea. Fără amplificare nu poți combina fracții cu numitori diferiți, exact ca la fracțiile numerice.

Care e diferența dintre amplificare și simplificare? Amplificarea mărește numărătorul și numitorul, înmulțindu-i cu același factor; simplificarea îi micșorează, împărțindu-i prin factorul comun. Sunt operații inverse, dar amândouă păstrează valoarea fracției. Simplificarea o studiezi în lecția următoare.