Cum adun două fracții algebrice?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Numitor comun la fracții algebrice

Dacă numitorii sunt la fel, aduni doar numărătorii și păstrezi numitorul. Când diferă, îi descompui în factori și cauți numitorul comun cel mai scurt, apoi amplifici fiecare fracție și abia atunci aduni. La scădere pui numărătorul celei de-a doua între paranteze, fiindcă minusul schimbă semnul tuturor termenilor. Din $\frac{5 x}{x - 2} - \frac{2 x - 3}{x - 2}$ obții $\frac{3 x + 3}{x - 2}$ .

Ca să aduni sau să scazi fracții algebrice, urmezi exact pașii de la fracțiile numerice, doar că literele înlocuiesc cifrele. Dacă fracțiile au același numitor, aduni sau scazi direct numărătorii: $\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$ . Dacă numitorii diferă, mai întâi îi descompui în factori, apoi alegi cel mai simplu numitor comun (fiecare factor distinct, la puterea cea mai mare), amplifici fiecare fracție și abia apoi aduni numărătorii.

Cel mai important detaliu, unde greșesc mulți elevi: la scădere, numărătorul celei de-a doua fracții se pune în paranteză, pentru că minusul schimbă semnul tuturor termenilor din interior.

Exemplu: $\frac{5 x}{x - 2} - \frac{2 x - 3}{x - 2} = \frac{5 x - ( 2 x - 3 )}{x - 2} = \frac{5 x - 2 x + 3}{x - 2} = \frac{3 x + 3}{x - 2}$ .

La final, verifică mereu dacă rezultatul se mai poate simplifica.

De reținut

$\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$
la numitori diferiți: descompui, amplifici, apoi aduni
la scădere, numărătorul al doilea intră în paranteză

Greșeala tipică

Se scade fără paranteză, deci minusul ajunge doar la primul termen. Din $5 x - (2 x - 3)$ iese $3 x + 3$ , nu $3 x - 3$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculează, pentru $x \neq = 3$ : $\frac{6 x + 1}{x - 3} - \frac{2 x - 4}{x - 3}$ .
- a) $\frac{4 x + 5}{x - 3}$
- b) $\frac{4 x - 3}{x - 3}$
- c) $\frac{8 x - 3}{x - 3}$
- d) $\frac{4 x + 5}{x + 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{4 x + 5}{x - 3}$

Numitorii sunt egali. Punem al doilea numărător în paranteză: $(6 x + 1) - (2 x - 4) = 6 x + 1 - 2 x + 4 = 4 x + 5$ . Minusul schimbă semnul lui $- 4$ în $+ 4$ , deci rezultatul este $\frac{4 x + 5}{x - 3}$ .
Adună, pentru $x \neq = 0$ : $\frac{2}{x} + \frac{5}{x ^{2}}$ .
- a) $\frac{2 x + 5}{x ^{2}}$
- b) $\frac{7}{x ^{3}}$
- c) $\frac{2 x + 5}{x}$
- d) $\frac{7}{x ^{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{2 x + 5}{x ^{2}}$

Numitorii sunt $x$ și $x^{2}$ , deci cel mai simplu numitor comun este $x^{2}$ . Amplificăm prima fracție cu $x$ : $\frac{2 x}{x ^{2}} + \frac{5}{x ^{2}} = \frac{2 x + 5}{x ^{2}}$ . Numărătorii nu se adună separat de numitori (varianta b este greșeala tipică).
Calculează, pentru $x \neq = 5$ și $x \neq = - 5$ : $\frac{x}{x - 5} - \frac{10}{x ^{2} - 25}$ .
- a) $\frac{x ^{2} + 5 x - 10}{x ^{2} - 25}$
- b) $\frac{x ^{2} - 5 x - 10}{x ^{2} - 25}$
- c) $\frac{x - 10}{x ^{2} - 25}$
- d) $\frac{x ^{2} + 5 x + 10}{x ^{2} - 25}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{x ^{2} + 5 x - 10}{x ^{2} - 25}$

Descompunem $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ , deci numitorul comun este $(x - 5) (x + 5)$ . Amplificăm prima fracție cu $(x + 5)$ : $x (x + 5) - 10 = x^{2} + 5 x - 10$ la numărător, care nu mai conține factorii $(x - 5)$ sau $(x + 5)$ , deci nu se simplifică.

Întrebări conexe

Ce condiții de existență scriu la fracțiile algebrice?

Ceri ca fiecare numitor să fie diferit de zero și afli valorile interzise. Pentru $\frac{1}{x - 2}$ scrii că $x$ nu poate fi $2$ . Dacă numitorul se descompune, precum $x^{2} - 9$ , excluzi amândouă rădăcinile, adică $3$ și $- 3$ . Condițiile se trec înaintea calculului.

Cum adun o fracție algebrică cu un număr întreg?

Scrii întregul ca fracție cu numitorul $1$ , apoi îl amplifici cu numitorul celeilalte. Din $2 + \frac{3}{x}$ obții $\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x} = \frac{2 x + 3}{x}$ . Rezultatul rămâne o singură fracție, iar condiția de existență cere ca $x$ să nu fie zero.

Cât face x supra doi plus x supra trei?

Numitorul comun este $6$ , deci amplifici prima cu $3$ și a doua cu $2$ . Obții $\frac{3 x}{6} + \frac{2 x}{6} = \frac{5 x}{6}$ . Aici literele nu schimbă cu nimic regula de la fracțiile numerice, fiindcă numitorii sunt simple numere.

Cum simplific rezultatul după adunare?

Descompui numărătorul obținut și cauți factori comuni cu numitorul. Din $\frac{3 x + 3}{x ^{2} - 1}$ scoți $3$ la numărător și descompui numitorul, ajungând la $\frac{3 ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{3}{x - 1}$ . Simplificarea se face doar între factori, niciodată între termeni adunați.

De ce nu am voie să adun separat numărătorii și numitorii?

Fiindcă rezultatul ar fi cu totul altul. La numere se vede imediat: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ nu dă $\frac{2}{5}$ , ci $\frac{5}{6}$ . Fracțiile se pot aduna doar când măsoară părți de aceeași mărime, adică atunci când au același numitor.

Ce fac dacă numitorii nu au niciun factor comun?

Numitorul comun este chiar produsul lor. Amplifici fiecare fracție cu numitorul celeilalte, apoi aduni numărătorii. La $\frac{2}{x}$ și $\frac{3}{x + 1}$ numitorul comun este $x (x + 1)$ , iar condițiile de existență cer ca $x$ să nu fie $0$ sau $- 1$ .

Oamenii mai întreabă și: adunarea fracțiilor algebrice · scăderea fracțiilor algebrice · numitor comun la fracții cu litere · cum aduc fracțiile algebrice la același numitor · operații cu fracții algebrice