Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice

Îți amintești cât de simplu era, la clasa a V-a, să înmulțești $\frac{2}{3}$ cu $\frac{5}{7}$? Înmulțeai numărător cu numărător și numitor cu numitor și gata. Vestea foarte bună este că, la clasa a VIII-a, fracțiile algebrice se înmulțesc și se împart după exact aceleași reguli — doar că în loc de numere ai expresii cu litere. Dacă un magazin online scade prețul unui produs în doi pași succesivi, sau dacă vrei să afli de câte ori se cuprinde un debit de apă în altul, ajungi la produse și câturi de fracții cu litere. În această lecție înveți să le calculezi corect, rapid și cu redactarea îngrijită cerută la Evaluarea Națională.

Este una dintre lecțiile care se leagă direct de restul unității despre fracții algebrice: te sprijini pe descompunerea în factori, pe simplificare și pe condițiile de existență, iar rezultatele de aici le vei folosi mai departe la ridicarea la putere a fracțiilor algebrice și la ordinea operațiilor cu fracții algebrice. Cu alte cuvinte, ce înveți acum devine o unealtă permanentă pentru tot capitolul.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești fracții algebrice, aplicând regula „numărător cu numărător, numitor cu numitor”.
• Vei ști să faci simplificarea încrucișată înainte de înmulțire, folosind descompunerea în factori.
• Vei ști să împarți fracții algebrice, înmulțind cu inversa (răsturnata) celei de-a doua fracții.
• Vei ști să stabilești condițiile de existență la înmulțire și, în plus, condiția suplimentară care apare la împărțire.
• Vei ști să aduci rezultatul la forma ireductibilă și să redactezi corect pentru punctaj.

Hai să descoperim împreună

1. Ce știm deja și de ce ne trebuie

O fracție algebrică este un raport de forma $\frac{A}{B}$, unde $A$ și $B$ sunt expresii algebrice, iar $B\ne 0$. Numim $A$ numărător și $B$ numitor. Fracția are sens (există) numai pentru acele valori ale literelor care nu anulează numitorul — asta e condiția de existență, despre care ai învățat în lecția Fracții algebrice. Noțiune și condiții de existență.

De asemenea, vom folosi mult descompunerea în factori (factor comun, grupare, formulele $(a\pm b{)}^2$ și $a^2-b^2$) și simplificarea fracțiilor algebrice din lecția Simplificarea fracțiilor algebrice. Nu le re-predau aici, dar sunt uneltele noastre principale, deci ține-le aproape.

2. Regula înmulțirii fracțiilor algebrice

Regula este identică cu cea de la fracțiile ordinare:

$$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D},B\ne 0,D\ne 0.$$

Cu alte cuvinte: înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei. Simplu de enunțat, dar există o capcană: dacă înmulțim „orbește” numărătorii și numitorii, obținem expresii lungi și grele, iar la final tot trebuie să simplificăm. De aceea, ordinea inteligentă de lucru este:

1. Stabilim condițiile de existență (fiecare numitor nenul).
2. Descompunem în factori fiecare numărător și fiecare numitor.
3. Simplificăm ceea ce se poate (inclusiv „încrucișat”).
4. Scriem produsul rămas, în formă ireductibilă.

Un prim sub-exemplu numeric-literal

Să calculăm $\frac{6x}{5}\cdot \frac{10}{9x^2}$, cu $x\ne 0$.

Dacă înmulțim direct: $\frac{6x\cdot 10}{5\cdot 9x^2}=\frac{60x}{45x^2}$, apoi simplificăm cu $15x$ și obținem $\frac{4}{3x}$.

Dar e mult mai comod să simplificăm înainte: $6$ cu $9$ dau $2$ și $3$; $10$ cu $5$ dau $2$ și $1$; $x$ cu $x^2$ dau $1$ și $x$. Rezultă direct:

$$\frac{6x}{5}\cdot \frac{10}{9x^2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot x}=\frac{4}{3x}.$$

Vezi? Același rezultat, dar cu numere mult mai mici. Aceasta este ideea simplificării încrucișate.

3. Simplificarea încrucișată — de ce funcționează

„Încrucișat” înseamnă că putem simplifica un factor din numărătorul unei fracții cu un factor din numitorul celeilalte fracții. De ce e permis? Pentru că, la înmulțire, toți numărătorii ajung împreună la numărător și toți numitorii împreună la numitor:

$$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.$$

Deci $A$ și $D$ (unul sus la prima fracție, celălalt jos la a doua) se află, după înmulțire, unul la numărător și celălalt la numitor — pot fi simplificați dacă au factor comun. La fel $C$ (sus, a doua fracție) cu $B$ (jos, prima fracție).

Foarte important: simplificarea încrucișată se face doar prin factori (înmulțiri), niciodată prin termeni (adunări/scăderi). De aceea descompunem întâi în factori. Nu poți „tăia” un $x$ din $x+2$, pentru că acolo $x$ este termen, nu factor.

Sub-exemplu cu descompunere

Să calculăm $\frac{x+3}{x-2}\cdot \frac{x^2-4}{x^2-9}$.

Descompunem folosind diferența de pătrate: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Condiții: $x-2\ne 0$, $x^2-9\ne 0$, adică $x\ne 2$, $x\ne 3$, $x\ne -3$.

$$\frac{x+3}{x-2}\cdot \frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)}.$$

Simplificăm $x+3$ (sus, prima) cu $x+3$ (jos, a doua) și $x-2$ (jos, prima) cu $x-2$ (sus, a doua):

$$=\frac{1}{1}\cdot \frac{x+2}{x-3}=\frac{x+2}{x-3}.$$

4. Condițiile de existență la înmulțire

La înmulțire, condiția de existență cere ca fiecare numitor care apare să fie nenul. Atenție: le stabilim înainte de a simplifica, pe forma inițială (și după descompunere), pentru că simplificarea poate „ascunde” un numitor. În exemplul de mai sus, chiar dacă $x-2$ s-a simplificat, condiția $x\ne 2$ rămâne valabilă, fiindcă în forma inițială $x-2$ era numitor.

Regula de aur: condițiile de existență se citesc de pe expresia dată, nu de pe rezultatul simplificat.

De ce insistăm atât pe acest lucru? Pentru că simplificarea schimbă forma expresiei, dar nu schimbă mulțimea valorilor pentru care aceasta a fost definită. Gândește-te la un exemplu numeric: expresia $\frac{x-2}{x-2}$ este egală cu $1$ pentru orice $x\ne 2$, dar nu este definită în $x=2$, pentru că acolo am împărți $0$ la $0$. Rezultatul simplificat ($1$) pare să aibă sens peste tot, însă expresia de plecare are o „gaură” în $x=2$. La fel se întâmplă la înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice: valorile interzise se stabilesc pe forma inițială și rămân valabile până la final. Această grijă pentru domeniu este exact ceea ce diferențiază un răspuns complet, de $10$, de unul incomplet la Evaluarea Națională.

5. Împărțirea fracțiilor algebrice — înmulțirea cu inversa

Ce înseamnă inversa (sau răsturnata) unei fracții? Inversa fracției $\frac{C}{D}$ este $\frac{D}{C}$ — pur și simplu întorci fracția „cu susul în jos”. Ca să existe inversa, avem nevoie și ca $C\ne 0$ (nu poți întoarce o fracție cu numărătorul zero, pentru că ar apărea $0$ la numitor).

Regula împărțirii:

$$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C},B\ne 0,D\ne 0,C\ne 0.$$

Deci a împărți la o fracție = a înmulți cu inversa ei. După ce ai transformat împărțirea în înmulțire, aplici exact pașii de la înmulțire, inclusiv simplificarea încrucișată.

De ce funcționează regula inversei

Pentru fracțiile ordinare, $\frac{2}{3}:\frac{4}{5}$ înseamnă „de câte ori se cuprinde $\frac{4}{5}$ în $\frac{2}{3}$”. Se poate arăta că răspunsul este $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}$. La fracțiile algebrice raționamentul e identic, pentru că literele reprezintă numere reale, deci se supun acelorași reguli de calcul. Un mod rapid de a te convinge: amplifică fracția uriașă $\frac{A/B}{C/D}$ cu $\frac{D}{C}$ (adică înmulțește sus și jos cu $\frac{D}{C}$) și numitorul devine $1$.

6. Condiția suplimentară de la împărțire

Aici e diferența-cheie față de înmulțire, iar la examen se punctează separat. La împărțirea $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}$ avem trei tipuri de condiții:

• $B\ne 0$ (numitorul primei fracții),
• $D\ne 0$ (numitorul celei de-a doua fracții),
• $C\ne 0$ (numărătorul celei de-a doua fracții — care devine numitor după răsturnare!).

Deci la împărțire apare o condiție de existență suplimentară: numărătorul fracției-împărțitor trebuie și el să fie nenul. Este ușor de uitat, tocmai pentru că, în forma inițială, $C$ stă cuminte la numărător. Reține: la împărțire, tot ce ajunge la numitor după răsturnare trebuie să fie nenul.

Sub-exemplu

Să calculăm $\frac{x}{x+1}:\frac{x-2}{x+1}$.

Condiții: $x+1\ne 0$ (numitor la ambele) și $x-2\ne 0$ (numărătorul împărțitorului, care devine numitor). Deci $x\ne -1$ și $x\ne 2$.

Răsturnăm a doua fracție și înmulțim:

$$\frac{x}{x+1}\cdot \frac{x+1}{x-2}=\frac{x}{x-2}.$$

Am simplificat $x+1$ încrucișat. Rezultat: $\frac{x}{x-2}$, pentru $x\ne -1,x\ne 2$.

7. Algoritmul complet, pas cu pas

Iată rețeta pe care o aplici de fiecare dată, atât la înmulțire, cât și la împărțire:

1. Dacă e împărțire, transform-o în înmulțire cu inversa fracției a doua.
2. Descompune în factori fiecare numărător și fiecare numitor.
3. Scrie condițiile de existență: fiecare factor de la numitor (inclusiv cel apărut din răsturnare) $\ne 0$.
4. Simplifică factorii comuni (drept și încrucișat).
5. Scrie produsul rămas și verifică dacă mai poate fi adus la forma ireductibilă.

Respectând ordinea, calculele rămân mici și elegante, iar redactarea îți aduce toate punctele.

8. Un exemplu „cap-coadă” cu toate ideile

Calculăm $\frac{x^2-25}{x^2+6x+9}:\frac{x-5}{x+3}$.

Pas 1 — răsturnăm: $\frac{x^2-25}{x^2+6x+9}\cdot \frac{x+3}{x-5}$.

Pas 2 — descompunem: $x^2-25=(x-5)(x+5)$; $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$.

Pas 3 — condiții: $x+3\ne 0$ (din $(x+3{)}^2$ și din răsturnare), $x-5\ne 0$ (numărătorul împărțitorului). Deci $x\ne -3$ și $x\ne 5$.

Pas 4 — scriem și simplificăm:

$$\frac{(x-5)(x+5)}{(x+3{)}^2}\cdot \frac{x+3}{x-5}=\frac{(x-5)(x+5)(x+3)}{(x+3{)}^2(x-5)}.$$

Simplificăm $x-5$ și un factor $x+3$:

$$=\frac{x+5}{x+3}.$$

Rezultat: $\frac{x+5}{x+3}$, pentru $x\ne -3,x\ne 5$. Formă ireductibilă, pentru că $x+5$ și $x+3$ nu au factori comuni.

9. Diferența față de adunare și scădere

Ai învățat în lecția Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice că, la adunare și scădere, ai nevoie de același numitor (numitor comun). Mulți elevi confundă operațiile și încearcă să aducă la același numitor și atunci când înmulțesc — ceea ce este o muncă inutilă și o sursă de greșeli. Ține minte diferența esențială:

• La adunare/scădere aduci fracțiile la numitor comun, apoi lucrezi cu numărătorii.
• La înmulțire/împărțire nu ai nevoie de numitor comun; înmulțești (sau răstorni și înmulțești) direct și simplifici prin factori.

Cu alte cuvinte, înmulțirea și împărțirea sunt, de multe ori, mai ușoare decât adunarea, pentru că nu presupun aducerea la același numitor. Singura condiție ca să fie și rapide este să descompui în factori și să simplifici din timp.

10. Trei mici capcane de calcul

Capcana semnelor. Uneori un factor apare „întors”: $b-a=-(a-b)$. Dacă întâlnești $\frac{a-b}{\cdots }\cdot \frac{\cdots }{b-a}$, scoate semnul minus: $\frac{a-b}{b-a}=\frac{a-b}{-(a-b)}=-1$. Așa eviți impresia greșită că cei doi factori nu se simplifică.

Capcana puterilor. La monoame, $\frac{x^5}{x^2}=x^3$ (scazi exponenții), nu $x^{5/2}$ și nici $x^7$. Reactualizează regulile din lecția Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a expresiilor cu litere.

Capcana factorului $1$. După ce simplifici tot, la numărător sau la numitor poate rămâne $1$. Nu-l uita: $\frac{x+2}{1}=x+2$, dar $\frac{1}{x+2}$ rămâne fracție. Un $1$ pierdut schimbă complet rezultatul.

11. Când unul dintre factori este o expresie întreagă

Uneori nu înmulțești două fracții, ci o fracție cu un polinom sau cu un monom care nu este scris ca fracție. De exemplu $\frac{5}{x+3}\cdot (x+3)$ sau $(x-1)\cdot \frac{x}{x^2-1}$. Trucul este simplu: orice expresie întreagă $P$ se poate scrie ca fracție cu numitorul $1$, adică $P=\frac{P}{1}$. Astfel readuci totul la regula deja cunoscută:

$$\frac{5}{x+3}\cdot (x+3)=\frac{5}{x+3}\cdot \frac{x+3}{1}=\frac{5(x+3)}{x+3}=5,x\ne -3.$$

Observă că, deși rezultatul este $5$ (un număr), condiția $x\ne -3$ rămâne, pentru că în forma inițială $x+3$ era numitor. Acesta este încă un exemplu că valorile interzise se citesc de pe expresia de plecare, nu de pe rezultat.

La fel, la împărțirea unei fracții printr-o expresie întreagă $P$, transformi $P$ în $\frac{P}{1}$ și apoi răstorni: $\frac{A}{B}:P=\frac{A}{B}:\frac{P}{1}=\frac{A}{B}\cdot \frac{1}{P}=\frac{A}{B\cdot P}$, cu condiția suplimentară $P\ne 0$. Cu alte cuvinte, a împărți o fracție la o expresie înseamnă a înmulți numitorul cu acea expresie.

12. Cum îți verifici singur rezultatul

Un obicei foarte bun, mai ales înainte de examen, este să verifici prin înlocuire numerică. Alegi o valoare admisibilă pentru literă (una care respectă toate condițiile de existență), o pui în expresia inițială și, separat, în rezultatul tău. Dacă cele două numere coincid, ai o dovadă puternică (deși nu absolută) că ai calculat corect; dacă diferă, sigur ai o greșeală de undeva.

De pildă, la Exemplul 4 am obținut $\frac{x+2}{x+3}$. Verificăm cu $x=0$ (admisibil, căci $0\ne \pm 3$ și $0\ne -2$): în expresia inițială $\frac{0+0+4}{0-9}\cdot \frac{0-3}{0+2}=\frac{4}{-9}\cdot \frac{-3}{2}=\frac{-12}{-18}=\frac{2}{3}$, iar în rezultat $\frac{0+2}{0+3}=\frac{2}{3}$. Coincid, deci rezultatul este de încredere. Această verificare de $30$ de secunde te scapă de multe greșeli de semn sau de simplificare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — înmulțire cu monoame

Calculează $\frac{4a^2}{9b}\cdot \frac{15b^3}{8a}$, cu $a\ne 0$, $b\ne 0$.

Rezolvare. Simplificăm încrucișat: $4$ cu $8$ dau $1$ și $2$; $15$ cu $9$ dau $5$ și $3$; $a^2$ cu $a$ dau $a$ și $1$; $b^3$ cu $b$ dau $b^2$ și $1$.

$$\frac{4a^2}{9b}\cdot \frac{15b^3}{8a}=\frac{1\cdot 5\cdot a\cdot b^2}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}=\frac{5a{b}^2}{6}.$$

Exemplul 2 — înmulțire cu factor comun

Calculează $\frac{x^2-x}{x+4}\cdot \frac{2x+8}{x-1}$.

Rezolvare. Descompunem: $x^2-x=x(x-1)$ și $2x+8=2(x+4)$.

Condiții: $x+4\ne 0$ și $x-1\ne 0$, deci $x\ne -4$, $x\ne 1$.

$$\frac{x(x-1)}{x+4}\cdot \frac{2(x+4)}{x-1}=\frac{x(x-1)\cdot 2(x+4)}{(x+4)(x-1)}.$$

Simplificăm $x-1$ și $x+4$:

$$=2x.$$

Rezultat: $2x$, pentru $x\ne -4,x\ne 1$.

Exemplul 3 — împărțire simplă cu condiția suplimentară

Calculează $\frac{3x}{x-2}:\frac{6x^2}{x^2-4}$.

Rezolvare. Răsturnăm a doua fracție: $\frac{3x}{x-2}\cdot \frac{x^2-4}{6x^2}$.

Descompunem $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Condiții: $x-2\ne 0$, $x^2-4\ne 0$ (numitorul împărțitorului, adică $x\ne \pm 2$) și $6x^2\ne 0$ (numărătorul împărțitorului, care devine numitor după răsturnare, deci $x\ne 0$). În total: $x\ne 0$, $x\ne 2$, $x\ne -2$.

$$\frac{3x}{x-2}\cdot \frac{(x-2)(x+2)}{6x^2}=\frac{3x(x-2)(x+2)}{(x-2)\cdot 6x^2}.$$

Simplificăm $x-2$ și apoi $3x$ cu $6x^2$ (rămâne $2x$ jos):

$$=\frac{x+2}{2x}.$$

Rezultat: $\frac{x+2}{2x}$, pentru $x\ne 0,x\ne \pm 2$.

Exemplul 4 — înmulțire cu trinom pătrat perfect

Calculează $\frac{x^2+4x+4}{x^2-9}\cdot \frac{x-3}{x+2}$.

Rezolvare. Descompunem: $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$ și $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

Condiții: $x^2-9\ne 0$ ($x\ne \pm 3$) și $x+2\ne 0$ ($x\ne -2$).

$$\frac{(x+2{)}^2}{(x-3)(x+3)}\cdot \frac{x-3}{x+2}=\frac{(x+2{)}^2(x-3)}{(x-3)(x+3)(x+2)}.$$

Simplificăm $x-3$ și un factor $x+2$:

$$=\frac{x+2}{x+3}.$$

Rezultat: $\frac{x+2}{x+3}$, pentru $x\ne \pm 3,x\ne -2$.

Exemplul 5 — împărțire cu descompuneri combinate (tip Evaluare Națională)

Se dă expresia $E(x)=\frac{x^2-6x+9}{x^2+x}:\frac{x-3}{x+1}$. Calculează $E(x)$ în formă ireductibilă și determină condițiile de existență.

Rezolvare. Răsturnăm: $\frac{x^2-6x+9}{x^2+x}\cdot \frac{x+1}{x-3}$.

Descompunem: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$ și $x^2+x=x(x+1)$.

Condiții: $x(x+1)\ne 0$ (deci $x\ne 0$, $x\ne -1$), $x+1\ne 0$ (deja) și $x-3\ne 0$ (numărătorul împărțitorului). Total: $x\ne 0,x\ne -1,x\ne 3$.

$$\frac{(x-3{)}^2}{x(x+1)}\cdot \frac{x+1}{x-3}=\frac{(x-3{)}^2(x+1)}{x(x+1)(x-3)}.$$

Simplificăm $x+1$ și un factor $x-3$:

$$E(x)=\frac{x-3}{x}.$$

Rezultat: $E(x)=\frac{x-3}{x}$, pentru $x\ne 0,x\ne -1,x\ne 3$.

Exemplul 6 — produs de trei fracții și valoare numerică

Calculează $P=\frac{a+b}{a-b}\cdot \frac{a^2-b^2}{2a}\cdot \frac{4a}{(a+b{)}^2}$, apoi află valoarea lui $P$ pentru $a=3$, $b=1$.

Rezolvare. Descompunem $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Condiții: $a-b\ne 0$, $a\ne 0$, $(a+b{)}^2\ne 0$ (deci $a+b\ne 0$).

$$P=\frac{(a+b)}{(a-b)}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{2a}\cdot \frac{4a}{(a+b{)}^2}.$$

La numărător avem $(a+b)\cdot (a-b)(a+b)\cdot 4a$ și la numitor $(a-b)\cdot 2a\cdot (a+b{)}^2$. Simplificăm: $a-b$ dispare; $(a+b)\cdot (a+b)=(a+b{)}^2$ se simplifică cu $(a+b{)}^2$ de jos; $4a$ cu $2a$ dă $2$.

$$P=\frac{4a}{2a}=2.$$

Deci $P=2$ pentru orice valori admisibile. Pentru $a=3$, $b=1$ (care respectă condițiile: $a-b=2\ne 0$, $a=3\ne 0$, $a+b=4\ne 0$), avem $P=2$.

Exemplul 7 — capcana semnelor la împărțire

Calculează $\frac{a-b}{4}:\frac{b-a}{8}$, cu $a\ne b$.

Rezolvare. Răsturnăm a doua fracție: $\frac{a-b}{4}\cdot \frac{8}{b-a}$. Observăm că $b-a=-(a-b)$, deci

$$\frac{a-b}{4}\cdot \frac{8}{-(a-b)}=\frac{8(a-b)}{-4(a-b)}=\frac{8}{-4}=-2.$$

Condiție: $b-a\ne 0$ (numărătorul împărțitorului, care devine numitor), adică $a\ne b$. Rezultat: $-2$. Reține cum minusul din $b-a=-(a-b)$ a dus la un rezultat negativ — o greșeală de semn aici ar fi dat $2$ în loc de $-2$.

Exemplul 8 — descompunere prin grupare

Calculează $\frac{x^3-x^2+x-1}{x^2+2x+1}\cdot \frac{x+1}{x-1}$.

Rezolvare. Numărătorul primei fracții nu se descompune cu o formulă cunoscută direct, dar se pretează la grupare. Grupăm termenii doi câte doi și dăm factor comun:

$$x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1).$$

Numitorul primei fracții este un pătrat perfect: $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$. Scriem tot descompus:

$$\frac{(x-1)(x^2+1)}{(x+1{)}^2}\cdot \frac{x+1}{x-1}.$$

Condiții de existență: $(x+1{)}^2\ne 0$, adică $x\ne -1$, și $x-1\ne 0$, adică $x\ne 1$. (Factorul $x^2+1$ nu impune nicio condiție, fiindcă $x^2+1>0$ pentru orice număr real, deci nu se anulează niciodată.)

Simplificăm $x-1$ (sus la prima, jos la a doua) și un factor $x+1$:

$$=\frac{x^2+1}{x+1}.$$

Rezultat: $\frac{x^2+1}{x+1}$, pentru $x\ne -1,x\ne 1$. Fracția este ireductibilă, pentru că $x^2+1$ nu se descompune peste numerele reale, deci nu poate avea factorul $x+1$. Reține tehnica grupării: când vezi patru termeni și niciun factor comun evident, încearcă să-i grupezi doi câte doi.

Exemplul 9 — când la numărător rămâne $1$

Calculează $\frac{x+2}{x^2-4}\cdot \frac{x-2}{x+3}$.

Rezolvare. Descompunem $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Condiții: $x^2-4\ne 0$ (deci $x\ne \pm 2$) și $x+3\ne 0$ (deci $x\ne -3$).

$$\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x-2}{x+3}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+3)}.$$

Observă că la numărător avem exact $(x+2)(x-2)$, aceiași factori care apar și la numitor. După ce îi simplificăm, la numărător nu mai rămâne nimic — adică rămâne $1$, nu $0$:

$$=\frac{1}{x+3}.$$

Rezultat: $\frac{1}{x+3}$, pentru $x\ne \pm 2,x\ne -3$. Aceasta este exact capcana factorului $1$ despre care am vorbit: mulți elevi „taie” toți factorii de la numărător și scriu din greșeală $\frac{0}{x+3}=0$. Corect este $1$ la numărător, pentru că un produs de factori simplificați complet dă $1$, nu $0$. Verifică rapid cu o valoare: pentru $x=0$, expresia inițială este $\frac{2}{-4}\cdot \frac{-2}{3}=\frac{-4}{-12}=\frac{1}{3}$, iar rezultatul $\frac{1}{x+3}=\frac{1}{3}$ — coincid, deci $1$ la numărător este corect.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toți pașii și cu condițiile de existență. Adu fiecare rezultat la forma ireductibilă.

Nivel de bază

1. Calculează $\frac{2}{x}\cdot \frac{x}{5}$.
2. Calculează $\frac{3a}{4}\cdot \frac{8}{9a^2}$, cu $a\ne 0$.
3. Calculează $\frac{5x^2}{6y}\cdot \frac{12y^2}{25x}$, cu $x\ne 0$, $y\ne 0$.
4. Calculează $\frac{7}{x}:\frac{14}{x^2}$ și scrie condițiile de existență.
5. Calculează $\frac{a}{b}:\frac{a^2}{b^2}$, cu $a\ne 0$, $b\ne 0$.

Nivel mediu

6. Calculează $\frac{x+2}{x-3}\cdot \frac{x^2-9}{x^2-4}$, cu condiții.
7. Calculează $\frac{x^2-x}{x+5}\cdot \frac{3x+15}{x-1}$.
8. Calculează $\frac{x^2-16}{x+1}:\frac{x-4}{x+1}$, cu condiții.
9. Calculează $\frac{x^2+10x+25}{x^2-25}\cdot \frac{x-5}{x+5}$.
10. Calculează $\frac{2x+6}{x^2-4}:\frac{x^2-9}{x-2}$, cu toate condițiile de existență.

Nivel avansat / tip Evaluare Națională

11. Se dă $E(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-1}:\frac{x-2}{x+1}$. Determină condițiile de existență și adu $E(x)$ la forma ireductibilă.
12. Calculează $\frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}\cdot \frac{a+b}{a-b}$, cu condiții.
13. Calculează $\frac{x}{x-3}\cdot \frac{x^2-9}{x^2}:\frac{x+3}{x}$ (respectă ordinea operațiilor), cu condiții.
14. Adevărat sau fals, cu justificare: „Inversa fracției $\frac{x-2}{x+5}$ este $\frac{x+5}{x-2}$, iar această inversă există pentru orice $x\ne -5$.”
15. Adevărat sau fals, cu justificare: „La împărțirea $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}$, singura condiție de existență este $B\ne 0$ și $D\ne 0$.”
16. Problemă aplicată. Aria unui dreptunghi este $\frac{x^2-1}{x}$ (în ${\text{cm}}^2$), iar lungimea lui este $\frac{x+1}{2}$ (în cm). Află lățimea dreptunghiului, ca fracție algebrică simplificată, și condițiile de existență. (Indicație: lățime $=$ arie $:$ lungime.)
17. Arată că $\frac{x^2-y^2}{3x}\cdot \frac{6x}{x+y}\cdot \frac{1}{2(x-y)}=1$, pentru valori admisibile, și precizează condițiile.
18. Item tip examen. Se consideră $F(x)=\frac{x^2+3x}{x^2-9}:\frac{x^2}{x-3}$. a) Scrie condițiile de existență. b) Adu $F(x)$ la forma cea mai simplă. c) Calculează $F(2)$.
19. Calculează $\frac{a-3}{6}:\frac{3-a}{12}$ și explică de ce rezultatul este negativ.
20. Item tip examen. Se dă $G(x)=\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x}\cdot \frac{x+2}{x-1}:\frac{x-1}{x}$. a) Precizează condițiile de existență. b) Arată că $G(x)=1$. (Indicație: efectuează operațiile în ordine, de la stânga la dreapta.)

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{2}{x}\cdot \frac{x}{5}=\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$ (simplificăm $x$), pentru $x\ne 0$.

2. Simplificăm $3$ cu $9$ ($1$ și $3$), $8$ cu $4$ ($2$ și $1$), $a$ cu $a^2$ ($1$ și $a$): $\frac{3a}{4}\cdot \frac{8}{9a^2}=\frac{2}{3a}$.

3. Simplificăm $5$ cu $25$ ($1$ și $5$), $12$ cu $6$ ($2$ și $1$), $x^2$ cu $x$ ($x$ și $1$), $y^2$ cu $y$ ($y$ și $1$): $\frac{5x^2}{6y}\cdot \frac{12y^2}{25x}=\frac{2xy}{5}$.

4. $\frac{7}{x}:\frac{14}{x^2}=\frac{7}{x}\cdot \frac{x^2}{14}=\frac{7x^2}{14x}=\frac{x}{2}$. Condiții: $x\ne 0$ (numitor și numărătorul împărțitorului $14\ne 0$ automat).

5. $\frac{a}{b}:\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}\cdot \frac{b^2}{a^2}=\frac{a{b}^2}{a^{2}b}=\frac{b}{a}$, pentru $a\ne 0$, $b\ne 0$.

6. $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. $\frac{x+2}{x-3}\cdot \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+3}{x-2}$. Condiții: $x\ne 3$, $x\ne \pm 2$.

7. $x^2-x=x(x-1)$, $3x+15=3(x+5)$. $\frac{x(x-1)}{x+5}\cdot \frac{3(x+5)}{x-1}=3x$. Condiții: $x\ne -5$, $x\ne 1$.

8. Răsturnăm: $\frac{x^2-16}{x+1}\cdot \frac{x+1}{x-4}$; $x^2-16=(x-4)(x+4)$. Rezultat: $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4$. Condiții: $x\ne -1$, $x\ne 4$.

9. $x^2+10x+25=(x+5{)}^2$, $x^2-25=(x-5)(x+5)$. $\frac{(x+5{)}^2}{(x-5)(x+5)}\cdot \frac{x-5}{x+5}=\frac{(x+5{)}^2(x-5)}{(x-5)(x+5{)}^2}=1$. Condiții: $x\ne \pm 5$.

10. Fiind împărțire, răsturnăm mai întâi a doua fracție: $\frac{2x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x-2}{x^2-9}$. Descompuneri: $2x+6=2(x+3)$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Scriem totul descompus: $\frac{2(x+3)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x-2}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}$. Simplificăm factorul $x-2$ (sus și jos) și factorul $x+3$ (sus și jos), rămânând $\frac{2}{(x+2)(x-3)}$. Condiții: din $x^2-4\ne 0$ obținem $x\ne \pm 2$, din $x-2\ne 0$ (numitorul împărțitorului în forma inițială) obținem $x\ne 2$ (deja inclus), iar din $x^2-9\ne 0$ (numărătorul împărțitorului, care devine numitor după răsturnare) obținem $x\ne \pm 3$. În total: $x\ne \pm 2$, $x\ne \pm 3$.

11. Răsturnăm împărțitorul: $\frac{x^2-4x+4}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{x-2}$. Descompunem numărătorul primei fracții cu formula pătratului: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, iar numitorul cu diferența de pătrate: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Condiții: din $x^2-1\ne 0$ avem $x\ne \pm 1$, iar din $x-2\ne 0$ (numărătorul împărțitorului, care devine numitor după răsturnare) avem $x\ne 2$. Acum $\frac{(x-2{)}^2}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{x-2}=\frac{(x-2{)}^2(x+1)}{(x-1)(x+1)(x-2)}$. Simplificăm un factor $x-2$ (din cei doi de sus rămâne unul) și factorul $x+1$, obținând $\frac{x-2}{x-1}$. Deci $E(x)=\frac{x-2}{x-1}$, pentru $x\ne \pm 1,x\ne 2$.

12. $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$. $\frac{(a-b)(a+b)}{(a+b{)}^2}\cdot \frac{a+b}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b{)}^2}{(a+b{)}^2(a-b)}=1$. Condiții: $a+b\ne 0$, $a-b\ne 0$.

13. Respectăm ordinea (înmulțire și împărțire, de la stânga la dreapta). $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Întâi: $\frac{x}{x-3}\cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x^2}=\frac{x(x-3)(x+3)}{(x-3)x^2}=\frac{x+3}{x}$. Apoi împărțim la $\frac{x+3}{x}$: $\frac{x+3}{x}:\frac{x+3}{x}=\frac{x+3}{x}\cdot \frac{x}{x+3}=1$. Condiții: $x\ne 0$, $x\ne 3$, $x\ne -3$. Rezultat: $1$.

14. Fals. Prima parte a afirmației este corectă: inversa lui $\frac{x-2}{x+5}$ se obține răsturnând, deci este $\frac{x+5}{x-2}$. Însă a doua parte este greșită. Inversa scrisă, $\frac{x+5}{x-2}$, are numitorul $x-2$, deci există numai dacă $x-2\ne 0$, adică $x\ne 2$. Prin urmare ea nu există „pentru orice $x\ne -5$”: la $x=2$ numitorul se anulează și inversa nu are sens. Enunțul a uitat tocmai condiția care apare la răsturnare — exact capcana pe care o exersăm în această lecție: numărătorul devine numitor. Condiția completă pentru inversă este $x\ne 2$ (la care, dacă vrem să legăm inversa de fracția de plecare, se adaugă și $x\ne -5$, ca fracția inițială să fi avut sens).

15. Fals. Mai apare condiția suplimentară $C\ne 0$ (numărătorul împărțitorului), pentru că, după răsturnare, $C$ devine numitor. Deci condițiile complete sunt $B\ne 0$, $D\ne 0$ și $C\ne 0$.

16. Lățime $=\frac{x^2-1}{x}:\frac{x+1}{2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot \frac{2}{x+1}=\frac{2(x-1)}{x}$ cm. Condiții: $x\ne 0$ și $x+1\ne 0$, deci $x\ne 0$, $x\ne -1$ (și, geometric, valorile trebuie să dea dimensiuni pozitive).

17. $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. $\frac{(x-y)(x+y)}{3x}\cdot \frac{6x}{x+y}\cdot \frac{1}{2(x-y)}=\frac{(x-y)(x+y)\cdot 6x}{3x\cdot (x+y)\cdot 2(x-y)}=\frac{6x}{6x}=1$. Condiții: $x\ne 0$, $x+y\ne 0$, $x-y\ne 0$.

18. a) Descompunem: $x^2+3x=x(x+3)$ și $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Împărțitorul este $\frac{x^2}{x-3}$, deci după răsturnare $x^2$ ajunge la numitor. Condiții: din $x^2-9\ne 0$ avem $x\ne \pm 3$; din $x-3\ne 0$ (numitorul împărțitorului) avem $x\ne 3$ (deja inclus); din $x^2\ne 0$ (numărătorul împărțitorului, care devine numitor după răsturnare) avem $x\ne 0$. Total: $x\ne 0$, $x\ne 3$, $x\ne -3$. b) Răsturnăm și înmulțim: $F(x)=\frac{x^2+3x}{x^2-9}\cdot \frac{x-3}{x^2}=\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}\cdot \frac{x-3}{x^2}=\frac{x(x+3)(x-3)}{(x-3)(x+3)x^2}$. Simplificăm factorul $x-3$, factorul $x+3$ și un $x$ (din $x^2$ de jos rămâne $x$), obținând $F(x)=\frac{1}{x}$. c) Înlocuim $x=2$ (valoare admisibilă): $F(2)=\frac{1}{2}$.

19. Răsturnăm: $\frac{a-3}{6}\cdot \frac{12}{3-a}$. Cum $3-a=-(a-3)$, avem $\frac{12(a-3)}{6\cdot (-(a-3))}=\frac{12}{-6}=-2$. Rezultatul este negativ deoarece factorii $a-3$ și $3-a$ sunt opuși, iar raportul lor este $-1$. Condiție: $a\ne 3$.

20. a) Descompuneri: $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ și $x^2+2x=x(x+2)$. Condiții: din $x(x+2)\ne 0$ avem $x\ne 0$ și $x\ne -2$; din $x-1\ne 0$ avem $x\ne 1$ (apare atât ca numitor al fracției a doua, $\frac{x+2}{x-1}$, cât și ca numărător al ultimului împărțitor, $\frac{x-1}{x}$, care devine numitor după răsturnare). Total: $x\ne 0$, $x\ne -2$, $x\ne 1$. b) Respectăm ordinea, de la stânga la dreapta. Întâi înmulțirea: $\frac{(x-1{)}^2}{x(x+2)}\cdot \frac{x+2}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2(x+2)}{x(x+2)(x-1)}=\frac{x-1}{x}$ (am simplificat un factor $x-1$ și factorul $x+2$). Apoi împărțirea la $\frac{x-1}{x}$: răsturnăm și înmulțim, $\frac{x-1}{x}:\frac{x-1}{x}=\frac{x-1}{x}\cdot \frac{x}{x-1}=1$. Deci $G(x)=1$ pentru orice valoare admisibilă. (Este firesc: orice fracție nenulă împărțită la ea însăși dă $1$.)

De reținut

• Înmulțire: $\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$ (numărător cu numărător, numitor cu numitor), cu $B\ne 0$, $D\ne 0$.
• Împărțire: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}$ — înmulțești cu inversa fracției a doua.
• Condiția suplimentară la împărțire: pe lângă $B\ne 0$ și $D\ne 0$, se cere și $C\ne 0$ (numărătorul împărțitorului devine numitor).
• Descompune întâi în factori, apoi simplifică — inclusiv încrucișat; simplificarea se face doar prin factori, niciodată prin termeni.
• Condițiile de existență se citesc de pe expresia inițială, iar rezultatul se scrie în formă ireductibilă.

Greșeli frecvente

• Uiți condiția $C\ne 0$ la împărțire. Numărătorul fracției-împărțitor devine numitor după răsturnare, deci trebuie să fie nenul. Verifică: „Ce ajunge jos după ce răstorn?”
• Simplifici prin termeni, nu prin factori. Nu poți tăia $x$ din $\frac{x+3}{x}$. Descompune întâi complet în factori și abia apoi simplifică ceea ce este cu adevărat factor comun.
• Răsturni fracția greșită. La împărțire se răstoarnă doar a doua fracție (împărțitorul), nu prima. Repetă în gând: „prima rămâne, a doua se întoarce”.
• Pierzi condițiile după simplificare. Chiar dacă un numitor s-a simplificat, condiția lui rămâne. Scrie condițiile înainte de a simplifica, pe forma descompusă.

Aplică acasă

1. Reduceri în doi pași. Un magazin online aplică o reducere care înmulțește prețul cu $\frac{x-1}{x}$, apoi un cupon care îl înmulțește cu $\frac{x}{x+1}$. Scrie fracția care înmulțește prețul inițial după ambele reduceri, simplific-o și interpretează: pentru ce valoare a lui $x$ nu au sens formulele?
2. Debite de apă. Un robinet umple un bazin cu debitul $\frac{2a}{a+1}$ litri/minut, iar alt robinet cu $\frac{a}{a+1}$ litri/minut. De câte ori este mai mare debitul primului decât al celui de-al doilea? (Calculează raportul, adică o împărțire, și simplifică.)
3. Verificare inversă. Alege singur o înmulțire de două fracții algebrice, calculează produsul, apoi împarte produsul la una dintre fracții și verifică dacă obții cealaltă fracție. Așa îți confirmi că înmulțirea și împărțirea sunt operații „inverse” una alteia.
4. Vânat de condiții. Se dă expresia $\frac{x+4}{x^2-x}:\frac{x^2-16}{x-1}$. Fără să faci întregul calcul, scrie mai întâi toate condițiile de existență (atenție la numărătorul împărțitorului!), apoi adu expresia la forma cea mai simplă și verifică-ți rezultatul înlocuind o valoare admisibilă. Indicație: $x^2-x=x(x-1)$ și $x^2-16=(x-4)(x+4)$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează calculul cu fracții algebrice și pregătește direct itemii de la Evaluarea Națională, unde apar frecvent expresii de tip $E(x)=\dots$ de adus la forma cea mai simplă, cu cerințe separate pentru condiții de existență și pentru calcul. Cel mai important reflex de format este ca elevul să transforme mereu împărțirea în înmulțire cu inversa și să nu uite condiția suplimentară $C\ne 0$.

Întrebări utile de verificat înțelegerea: „Care fracție se răstoarnă la împărțire și de ce?”, „De ce nu putem simplifica $x$ din $x+3$?”, „Ce condiție apare în plus la împărțire față de înmulțire?”, „Cum îți dai seama că rezultatul e ireductibil?”. Dacă elevul răspunde clar și descompune în factori înainte de a simplifica, a înțeles esența. Un semn bun este când verifică singur rezultatul înlocuind o valoare numerică admisibilă. La examen, redactarea cu pași și condiții scrise explicit aduce punctajul integral, chiar dacă rezultatul final ar avea o mică greșeală de calcul.

Greșelile tipice pe care merită să le urmăriți acasă sunt trei: (1) uitarea condiției suplimentare $C\ne 0$ la împărțire — se corectează cerându-i elevului să spună cu voce tare „ce ajunge jos după ce răstorn?”; (2) simplificarea prin termeni în loc de factori (de exemplu „taie” $x$ din $x+3$) — semn că elevul nu a descompus complet mai întâi; (3) confuzia dintre regulile de la înmulțire și cele de la adunare (încearcă să aducă la numitor comun când, de fapt, înmulțește). Dacă observați oricare dintre aceste tipare, întoarceți-vă împreună la pasul de descompunere în factori: aproape toate erorile de aici dispar când descompunerea este făcută corect și complet înainte de orice simplificare. Nu insistați pe viteză înainte ca acești pași să devină un reflex sigur; corectitudinea și redactarea completă valorează, la Evaluarea Națională, mai mult decât rapiditatea.

Întrebări frecvente

Cum înmulțesc două fracții algebrice la clasa a 8-a? Înmulțești numărător cu numărător și numitor cu numitor: $\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$. Ca să eviți numere mari, descompune întâi în factori și simplifică (inclusiv încrucișat) înainte de a scrie produsul.

Cum împart fracții algebrice? Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa (răsturnata) ei: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}$. După ce ai răsturnat a doua fracție, aplici exact regulile de la înmulțire.

Ce este inversa unei fracții algebrice? Inversa fracției $\frac{C}{D}$ este $\frac{D}{C}$ — o întorci cu susul în jos. Ca inversa să existe, trebuie și $C\ne 0$, pentru că numărătorul devine numitor.

Ce condiție în plus apare la împărțire față de înmulțire? Pe lângă numitorii nenuli ($B\ne 0$, $D\ne 0$), la împărțire se cere și ca numărătorul fracției-împărțitor să fie nenul ($C\ne 0$), fiindcă după răsturnare el devine numitor.

Ce este simplificarea încrucișată? Este simplificarea unui factor din numărătorul unei fracții cu un factor din numitorul celeilalte fracții, permisă pentru că la înmulțire toți numărătorii ajung la numărător și toți numitorii la numitor. Se face doar prin factori, deci descompui întâi în factori.

De ce trebuie să descompun în factori înainte de a simplifica? Pentru că poți simplifica numai factori comuni, nu termeni. Descompunerea (factor comun, grupare, $(a\pm b{)}^2$, $a^2-b^2$) transformă sumele în produse, iar atunci simplificarea devine corectă.

Rezultatul unei înmulțiri sau împărțiri de fracții algebrice trebuie simplificat? Da, mereu îl aduci la forma ireductibilă, adică simplifici până când numărătorul și numitorul nu mai au factori comuni. Este cerință standard la Evaluarea Națională.

Se schimbă condițiile de existență după ce simplific? Nu. Condițiile se citesc de pe expresia inițială (și de pe forma descompusă), înainte de simplificare. Chiar dacă un factor de la numitor se simplifică, condiția lui rămâne valabilă.