Cum amplific o fracție algebrică?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Amplificarea fracțiilor algebrice

Înmulțești și sus, și jos cu aceeași expresie, care trebuie să fie diferită de zero. Valoarea nu se schimbă, fiindcă de fapt înmulțești cu $1$ scris altfel, iar forma este singura care se modifică. Astfel $\frac{3}{x}$ amplificat cu $x$ devine $\frac{3 x}{x ^{2}}$ . Ca să ajungi la un numitor anume, descompui ținta și vezi ce factor lipsește. Operația se folosește înaintea adunării.

Amplificarea unei fracții algebrice înseamnă să înmulțești și numărătorul, și numitorul cu aceeași expresie $G$ , nenulă: $\frac{E}{F} = \frac{E \cdot G}{F \cdot G}, G \neq = 0.$ Este exact ca la fracțiile numerice, unde $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ (am amplificat cu $4$ ). Valoarea fracției nu se schimbă, pentru că de fapt înmulțim cu $\frac{G}{G} = 1$ ; se schimbă doar forma.

Exemplu minimal: amplificăm $\frac{3}{x}$ cu $x$ : $\frac{3}{x} = \frac{3 \cdot x}{x \cdot x} = \frac{3 x}{x ^{2}} .$

Dacă factorul $G$ conține litere (ex. $x + 3$ ), el poate aduce o restricție nouă în domeniu, dacă se anulează pentru vreo valoare. Ca să aduci un numitor $F$ la o țintă $N$ , factorul de amplificare este $G$ astfel încât $F \cdot G = N$ — de obicei descompui numitorul-țintă și vezi ce factor lipsește. Amplificarea servește mai ales la aducerea a două fracții la același numitor, pas necesar înainte de adunare și scădere.

De reținut

$\frac{E}{F} = \frac{E \cdot G}{F \cdot G}$ , cu $G \neq = 0$
valoarea rămâne aceeași, se schimbă doar forma
amplificarea poate aduce restricții noi în domeniu

Greșeala tipică

Se înmulțește doar numitorul, ca să se ajungă la forma dorită, iar fracția își schimbă valoarea. Factorul trebuie trecut și la numărător, în același timp.

Exerciții din această mini-lecție

Amplifică fracția $\frac{4}{x}$ cu factorul $x$ . Ce rezultat obții?
- a) $\frac{4 x}{x ^{2}}$
- b) $\frac{4 + x}{2 x}$
- c) $\frac{4}{x ^{2}}$
- d) $\frac{x}{4 x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{4 x}{x ^{2}}$

Amplificarea înseamnă înmulțire, nu adunare: înmulțim și numărătorul, și numitorul cu $x$ : $\frac{4 \cdot x}{x \cdot x} = \frac{4 x}{x ^{2}}$ .
Vrei să aduci fracția $\frac{6}{x - 2}$ la numitorul $x^{2} - 4$ . Care este factorul de amplificare potrivit?
- a) $x - 2$
- b) $x + 2$
- c) $x^{2}$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x + 2$

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Numitorul actual este $x - 2$ , deci ca să ajungem la $(x - 2) (x + 2)$ trebuie să înmulțim cu $x + 2$ .
Amplifică fracția $\frac{7}{y}$ cu factorul $y^{2}$ . Ce rezultat obții?
- a) $\frac{7 y ^{2}}{y ^{3}}$
- b) $\frac{7 y ^{2}}{y}$
- c) $\frac{7}{y ^{3}}$
- d) $\frac{7 y}{y ^{3}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{7 y ^{2}}{y ^{3}}$

Înmulțim și numărătorul, și numitorul cu $y^{2}$ : $\frac{7 \cdot y ^{2}}{y \cdot y ^{2}} = \frac{7 y ^{2}}{y ^{3}}$ . Nu e voie să amplifici doar sus ( $\frac{7 y ^{2}}{y}$ ) sau doar jos ( $\frac{7}{y ^{3}}$ ).

Întrebări conexe

Cu ce amplific ca să ajung de la x minus 1 la x pătrat minus 1?

Descompui ținta și vezi ce factor lipsește. Cum $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , factorul de amplificare este $x + 1$ . Fracția $\frac{2}{x - 1}$ devine astfel $\frac{2 ( x + 1 )}{x ^{2} - 1}$ . Numărătorul se înmulțește cu același factor, altfel valoarea s-ar schimba.

Ce restricții noi aduce amplificarea?

Dacă factorul conține litere, valorile care îl anulează devin interzise. Amplificând cu $x + 3$ , adaugi condiția ca $x$ să nu fie $- 3$ , chiar dacă numitorul de la început nu o cerea. De aceea restricțiile se scriu din nou după fiecare amplificare cu o expresie.

Când amplific și când las fracția așa cum e?

Amplifici doar când ai nevoie de un anumit numitor, de obicei înainte de adunare sau de scădere. În rest, forma cea mai scurtă este preferată, fiindcă se citește mai ușor și se calculează mai repede. Un rezultat final nu se lasă niciodată amplificat degeaba.

Cum amplific două fracții ca să aibă același numitor?

Descompui amândoi numitorii și formezi numitorul comun din toți factorii diferiți. Pentru $\frac{1}{x}$ și $\frac{2}{x + 1}$ , comunul este $x (x + 1)$ , deci amplifici prima cu $x + 1$ și a doua cu $x$ . Obții $\frac{x + 1}{x ( x + 1 )}$ și $\frac{2 x}{x ( x + 1 )}$ .

Se poate amplifica cu un număr negativ?

Se poate, iar uneori chiar ajută. Amplificând $\frac{2}{3 - x}$ cu $- 1$ obții $\frac{- 2}{x - 3}$ , formă potrivită când cealaltă fracție are numitorul $x - 3$ . Valoarea rămâne aceeași, fiindcă amândouă părțile și-au schimbat semnul deodată.

Cum verific dacă am amplificat corect?

Simplifici înapoi cu factorul folosit și trebuie să ajungi la fracția de la început. Poți face și o probă numerică: alegi o valoare permisă pentru literă, de pildă $x = 2$ , și calculezi amândouă formele. Dacă rezultatele coincid, amplificarea a fost corectă.

Oamenii mai întreabă și: amplificarea fracțiilor algebrice · ce înseamnă să amplifici o fracție · factorul de amplificare · amplificare și simplificare la fracții · cum aduc o fracție la alt numitor