Aria discului și aria sectorului de cerc

Gândește-te la o pizza pe care o împarți cu prietenii, la cadranul unui reflector care luminează o parte din teren, la o masă rotundă acoperită cu o față de masă sau la o insulă de sens giratoriu care trebuie plantată cu gazon. În toate aceste situații nu ne interesează doar conturul rotund, ci cât loc ocupă suprafața dinăuntru — adică aria. În lecția anterioară, Lungimea cercului și lungimea arcului de cerc, ai învățat să măsori „marginea" unui cerc. Acum trecem la interior: vei învăța să calculezi aria discului cu formula $A=\pi R^2$, aria unei „felii" (numită sector de cerc) și aria unui „inel" (numit coroană circulară). Pregătește un creion, o riglă și hârtie: totul se construiește pas cu pas.

Ce vei învăța

• Vei ști să deosebești cercul (linia) de disc (suprafața dinăuntru).
• Vei ști să calculezi aria discului cunoscând raza sau diametrul, folosind formula $A=\pi R^2$.
• Vei ști să afli aria unui sector de cerc de măsură $n^{\circ }$ cu formula $A=\frac{\pi R^2\cdot n}{360}$.
• Vei ști să calculezi aria coroanei circulare ca diferență a ariilor a două discuri.
• Vei ști să modelezi situații practice (pizza, mese rotunde, terenuri, materiale) folosind aria discului.

Hai să descoperim împreună

Cerc sau disc? Nu sunt același lucru

Prima idee, poate cea mai importantă a lecției, este deosebirea dintre cerc și disc.

Cercul este linia — mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la aceeași distanță $R$ (raza) față de un punct fix numit centru. Cercul nu are „interior"; el este doar conturul, o curbă subțire. Când vorbim despre cerc măsurăm lungimea lui (un fel de „perimetru"): $L=2\pi R$.

Discul este suprafața plină mărginită de cerc: mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la distanță mai mică sau egală cu $R$ față de centru. Discul include atât conturul, cât și tot interiorul. Când vorbim despre disc măsurăm aria — cât loc ocupă acea suprafață.

O analogie simplă: cercul este ca rama unei roți de bicicletă (doar cercul metalic), iar discul este ca o clătită rotundă întreagă (toată suprafața). Sau: cercul este marginea desenată cu creionul, iar discul este ce colorezi în interior.

Reține: cercul se măsoară în lungime (centimetri, metri), iar discul se măsoară în arie (centimetri pătrați, metri pătrați). De aceea rezultatele de la această lecție se exprimă mereu în unități pătratice: ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$ etc.

De unde vine formula ariei discului

Formula ariei discului este: $$A=\pi R^2,$$ unde $R$ este raza discului, iar $\pi \approx 3,14$ este acel număr special (irațional) pe care l-ai întâlnit deja la lungimea cercului.

Nu ți se cere să demonstrezi riguros această formulă la clasa a VII-a, dar merită să înțelegi intuitiv de unde vine, ca să nu o mai uiți. Iată o idee foarte frumoasă, folosită de matematicieni încă din Antichitate.

Imaginează-ți discul tăiat în foarte multe „felii" subțiri și egale, ca o pizza tăiată în 16, apoi în 32, apoi în 64 de bucăți. Dacă așezăm feliile alternând (una cu vârful în sus, una cu vârful în jos), ele se îmbină și formează o figură care seamănă tot mai mult cu un dreptunghi.

• Înălțimea acestui aproape-dreptunghi este raza $R$ (fiecare felie are „lungimea" egală cu raza).
• Lungimea bazei este jumătate din lungimea cercului, adică $\frac{2\pi R}{2}=\pi R$ (jumătate din felii dau baza de jos, jumătate baza de sus).

Cu cât tăiem mai multe felii, cu atât figura seamănă mai bine cu un dreptunghi perfect. Aria unui dreptunghi este lungime $\times$ lățime, deci: $$A=\pi R\cdot R=\pi R^2.$$

Iată de unde apare $R^2$ (raza „la pătrat"): dintr-o lungime $\pi R$ înmulțită cu o înălțime $R$. Frumos, nu?

Cum aplicăm formula $A=\pi R^2$

Formula are un singur ingredient: raza $R$. Pași de lucru:

1. Află raza. Dacă în problemă ți se dă diametrul $d$, folosește $R=\frac{d}{2}$.
2. Ridică raza la pătrat: calculează $R^2=R\cdot R$.
3. Înmulțește cu $\pi$: rezultatul exact se scrie cu $\pi$ (de exemplu $36\pi$).
4. Aproximează dacă ți se cere, folosind $\pi \approx 3,14$.

Să facem un mini-exemplu. Un disc are raza $R=5\text{cm}$. Atunci: $$A=\pi R^2=\pi \cdot 5^2=25\pi {\text{cm}}^2\approx 25\cdot 3,14=78,5{\text{cm}}^2.$$

Observă cele două forme ale răspunsului:

• Forma exactă: $25\pi {\text{cm}}^2$ — este perfect corectă și preferată în geometrie, pentru că nu pierde nimic prin rotunjire.
• Forma aproximativă: $\approx 78,5{\text{cm}}^2$ — utilă când vrei o valoare „de pus pe hârtie", de exemplu cât gazon cumperi.

Dacă ni se dă diametrul, de exemplu $d=12\text{cm}$, mai întâi aflăm raza: $R=\frac{12}{2}=6\text{cm}$, apoi $A=\pi \cdot 6^2=36\pi {\text{cm}}^2\approx 113,04{\text{cm}}^2$.

⚠️ Greșeala clasică: să înmulțești $\pi$ cu diametrul la pătrat, sau să folosești direct diametrul în locul razei. Formula cere raza, nu diametrul. Verifică mereu ce ți se dă în enunț.

Cum aflăm raza când știm aria

Uneori problema merge invers: cunoști aria și ți se cere raza. Pornești tot de la $A=\pi R^2$, dar acum îl afli pe $R$.

Exemplu: un disc are aria $A=49\pi {\text{cm}}^2$. Cât este raza? $$\pi R^2=49\pi \Rightarrow R^2=49\Rightarrow R=\sqrt{49}=7\text{cm}.$$

Am simplificat prin $\pi$ (a apărut în ambii membri), am rămas cu $R^2=49$, apoi am extras rădăcina pătrată. Faptul că știi să lucrezi cu ecuația $x^2=a$ și cu radicalii te ajută aici — vezi lecția Ecuația de forma x² = a. Reține că raza este o lungime, deci luăm doar valoarea pozitivă a rădăcinii.

Ce este un sector de cerc

Când tai o felie de pizza, obții o bucată mărginită de două raze și de un arc de cerc. Această „felie" se numește sector de cerc (sau sector circular).

Mai precis, un sector de cerc este porțiunea din disc cuprinsă între două raze și arcul de cerc dintre capetele lor. Unghiul dintre cele două raze, cu vârful în centru, se numește unghi la centru, iar măsura lui, notată $n^{\circ }$, ne spune „cât de mare" este felia.

Ideea-cheie este proporționalitatea: cu cât unghiul la centru este mai mare, cu atât felia (sectorul) are aria mai mare. Un disc întreg corespunde unui unghi la centru de $360^{\circ }$ (o rotație completă). Deci un sector cu unghiul $n^{\circ }$ reprezintă fracțiunea $\frac{n}{360}$ din tot discul.

Formula ariei sectorului de cerc

Dacă discul întreg are aria $\pi R^2$ și corespunde la $360^{\circ }$, atunci un sector de $n^{\circ }$ ia doar fracțiunea $\frac{n}{360}$ din acea arie: $$\boxed{A_{\text{sector}}=\pi R^2\cdot \frac{n}{360}=\frac{\pi R^2\cdot n}{360}.}$$

Este exact aceeași logică de la lungimea arcului de cerc din lecția anterioară: acolo luai fracțiunea $\frac{n}{360}$ din lungimea cercului $2\pi R$; aici iei fracțiunea $\frac{n}{360}$ din aria discului $\pi R^2$. Practic, arcul ia felia din lungime, iar sectorul ia felia din arie.

Să verificăm formula pe cazuri ușor de „văzut":

• Un sfert de disc ($n=90^{\circ }$): $A=\pi R^2\cdot \frac{90}{360}=\pi R^2\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi R^2}{4}$. Corect — un sfert din disc.
• Jumătate de disc (semidisc, $n=180^{\circ }$): $A=\pi R^2\cdot \frac{180}{360}=\frac{\pi R^2}{2}$. Corect — jumătate.
• Discul întreg ($n=360^{\circ }$): $A=\pi R^2\cdot \frac{360}{360}=\pi R^2$. Perfect — regăsim aria discului.

Aceste verificări sunt un truc excelent: dacă uiți formula, gândește-te „ce fracțiune din disc este felia mea?" și înmulțește acea fracțiune cu $\pi R^2$.

Un mini-exemplu complet: sector cu $R=6\text{cm}$ și $n=60^{\circ }$. $$A=\frac{\pi \cdot 6^2\cdot 60}{360}=\frac{\pi \cdot 36\cdot 60}{360}=\frac{2160\pi }{360}=6\pi {\text{cm}}^2\approx 18,84{\text{cm}}^2.$$ Puteai gândi și mai rapid: $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$, deci felia este a șasea parte din disc; iar $\frac{36\pi }{6}=6\pi$. Același rezultat, cu mai puțin calcul.

Ce este coroana circulară

Imaginează-ți două cercuri cu același centru dar cu raze diferite — ca o țintă de tir, ca marginea unei mese cu blat inelar sau ca o pistă de alergare rotundă. Zona dintre cele două cercuri, „inelul", se numește coroană circulară.

O coroană circulară este suprafața cuprinsă între două cercuri concentrice (cu același centru), unul de rază mare $R$ și unul de rază mică $r$ (cu $r<R$).

Cum îi aflăm aria? Foarte simplu: luăm discul mare și „scoatem" din el discul mic. Aria coroanei este diferența ariilor celor două discuri: $$A_{\text{coroana˘}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2).$$

Am dat factor comun pe $\pi$ ca să scriem mai comod. Atenție: în paranteză se scade $R^2-r^2$, adică pătratele razelor, nu razele. Nu este același lucru cu $(R-r{)}^2$!

Exemplu: $R=5\text{cm}$, $r=3\text{cm}$. $$A=\pi (5^2-3^2)=\pi (25-9)=16\pi {\text{cm}}^2\approx 50,24{\text{cm}}^2.$$ Dacă din greșeală ai fi calculat $(R-r{)}^2=(5-3{)}^2=4$, ai fi obținut $4\pi$ — complet greșit. Deci ai grijă: întâi ridici fiecare rază la pătrat, apoi scazi.

Atenție la unitățile de măsură

Pentru că lucrăm cu arii, rezultatele se exprimă în unități pătratice: ${\text{cm}}^2$, ${\text{dm}}^2$, ${\text{m}}^2$. Când o problemă amestecă unitățile (de exemplu îți dă raza în centimetri, dar întreabă suprafața în metri pătrați), trebuie să transformi cu grijă.

Regula de aur este să transformi întâi lungimile (raza, diametrul) în aceeași unitate, și abia apoi să calculezi aria. Reține echivalențele de bază pentru lungimi: $$1\text{m}=100\text{cm},1\text{m}=10\text{dm},1\text{dm}=10\text{cm}.$$

Atenție însă la unitățile de arie, care „urcă la pătrat": pentru că un metru are 100 de centimetri, un metru pătrat are $100^2=10000$ de centimetri pătrați. Deci: $$1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2,1{\text{dm}}^2=100{\text{cm}}^2.$$

Multe greșeli apar aici: elevii împart aria la 100 în loc de 10 000. Cel mai sigur este să transformi raza înainte de a o ridica la pătrat. De exemplu, un disc cu raza $R=50\text{cm}=0,5\text{m}$ are aria $A=\pi \cdot 0,5^2=0,25\pi {\text{m}}^2\approx 0,785{\text{m}}^2$; dacă lucrai în centimetri, obțineai $A=\pi \cdot 50^2=2500\pi {\text{cm}}^2\approx 7850{\text{cm}}^2$ — același rezultat, pentru că $0,785{\text{m}}^2=7850{\text{cm}}^2$. Verifică mereu că unitatea din răspuns este cea cerută în enunț.

Recapitulare a instrumentelor

Ai acum trei formule, toate „rude" între ele:

Toate au în comun $\pi R^2$ (aria discului) — sectorul ia o fracțiune din ea, iar coroana este o diferență de asemenea arii. Dacă reții bine aria discului, celelalte două vin natural.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aria unui disc cunoscând raza

Enunț. Un capac rotund de canal are raza $R=30\text{cm}$. Care este aria discului (suprafața capacului)? Folosește $\pi \approx 3,14$.

Rezolvare. Aplicăm formula ariei discului: $$A=\pi R^2=\pi \cdot 30^2=900\pi {\text{cm}}^2.$$ Forma exactă este $900\pi {\text{cm}}^2$. Aproximăm: $$A\approx 900\cdot 3,14=2826{\text{cm}}^2.$$

Răspuns. Aria capacului este $900\pi {\text{cm}}^2\approx 2826{\text{cm}}^2$ (adică peste un sfert de metru pătrat).

Exemplul 2 — Aria unui disc cunoscând diametrul

Enunț. O masă rotundă are diametrul $d=1,4\text{m}$. Ce suprafață are blatul mesei?

Rezolvare. Mai întâi aflăm raza, pentru că formula cere raza, nu diametrul: $$R=\frac{d}{2}=\frac{1,4}{2}=0,7\text{m}.$$ Apoi calculăm aria: $$A=\pi R^2=\pi \cdot 0,7^2=0,49\pi {\text{m}}^2\approx 0,49\cdot 3,14=1,5386{\text{m}}^2.$$

Răspuns. Blatul are aria $0,49\pi {\text{m}}^2\approx 1,54{\text{m}}^2$. Dacă cineva ar fi folosit din greșeală diametrul în loc de rază, ar fi obținut un rezultat de patru ori mai mare — o eroare des întâlnită.

Exemplul 3 — Aria unui sector de cerc

Enunț. Un reflector de pe stadion luminează un sector de cerc cu raza $R=20\text{m}$ și unghiul la centru $n=45^{\circ }$. Ce suprafață de teren este luminată?

Rezolvare. Folosim formula ariei sectorului: $$A=\frac{\pi R^2\cdot n}{360}=\frac{\pi \cdot 20^2\cdot 45}{360}=\frac{\pi \cdot 400\cdot 45}{360}.$$ Calculăm pas cu pas. Observăm că $\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$, deci sectorul este a opta parte din disc: $$A=\frac{400\pi }{8}=50\pi {\text{m}}^2\approx 50\cdot 3,14=157{\text{m}}^2.$$

Răspuns. Reflectorul luminează $50\pi {\text{m}}^2\approx 157{\text{m}}^2$ de teren.

Exemplul 4 — Aflarea unghiului sectorului

Enunț. Un sector de cerc are raza $R=9\text{cm}$ și aria $A=27\pi {\text{cm}}^2$. Cât este măsura unghiului la centru?

Rezolvare. Pornim de la formula sectorului și înlocuim ce știm: $$A=\frac{\pi R^2\cdot n}{360}\Rightarrow 27\pi =\frac{\pi \cdot 9^2\cdot n}{360}=\frac{81\pi \cdot n}{360}.$$ Simplificăm prin $\pi$ (apare în ambii membri): $$27=\frac{81\cdot n}{360}.$$ Înmulțim ambii membri cu $360$: $$27\cdot 360=81\cdot n\Rightarrow 9720=81n.$$ Împărțim la $81$: $$n=\frac{9720}{81}=120.$$

Răspuns. Unghiul la centru are măsura $n=120^{\circ }$. Verificare: $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$, iar o treime din aria discului $81\pi$ este $27\pi$ — exact aria dată. Corect.

Exemplul 5 — Aria unei coroane circulare

Enunț. O pistă rotundă de alergare are forma unei coroane circulare: cercul exterior are raza $R=10\text{m}$, iar cel interior (gazonul din mijloc) are raza $r=8\text{m}$. Ce suprafață are pista (partea pe care se aleargă)?

Rezolvare. Aria coroanei este diferența ariilor celor două discuri: $$A=\pi (R^2-r^2)=\pi (10^2-8^2)=\pi (100-64)=36\pi {\text{m}}^2.$$ Aproximăm: $$A\approx 36\cdot 3,14=113,04{\text{m}}^2.$$

Răspuns. Suprafața pistei este $36\pi {\text{m}}^2\approx 113,04{\text{m}}^2$. Reține că am scăzut pătratele razelor ($100-64$), nu razele ($10-8$).

Exemplul 6 — Aflarea razei din arie

Enunț. O oglindă circulară are aria $A=1,44\pi {\text{m}}^2$. Cât este raza și cât este diametrul oglinzii?

Rezolvare. Pornim de la $A=\pi R^2$: $$\pi R^2=1,44\pi .$$ Simplificăm prin $\pi$: $$R^2=1,44\Rightarrow R=\sqrt{1,44}=1,2\text{m}.$$ (Verificare: $1,2^2=1,44$, corect.) Diametrul este dublul razei: $$d=2R=2\cdot 1,2=2,4\text{m}.$$

Răspuns. Raza este $1,2\text{m}$, iar diametrul este $2,4\text{m}$.

Exemplul 7 — Problemă combinată: felie de pizza

Enunț. O pizza rotundă are diametrul $d=32\text{cm}$ și este tăiată în 8 felii egale. Care este aria unei felii? (Folosește $\pi \approx 3,14$.)

Rezolvare. Metoda 1 (cu sectorul). Raza este $R=\frac{32}{2}=16\text{cm}$. Fiecare felie este un sector cu unghiul $n=\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$: $$A=\frac{\pi R^2\cdot n}{360}=\frac{\pi \cdot 16^2\cdot 45}{360}=\frac{256\pi }{8}=32\pi {\text{cm}}^2\approx 100,48{\text{cm}}^2.$$ Metoda 2 (mai rapidă). Aria întregii pizza este $\pi \cdot 16^2=256\pi {\text{cm}}^2$. O felie este $\frac{1}{8}$ din ea: $\frac{256\pi }{8}=32\pi {\text{cm}}^2$. Același rezultat.

Răspuns. O felie are aria $32\pi {\text{cm}}^2\approx 100,48{\text{cm}}^2$.

Să exersăm

Rezolvă în ordine; exercițiile sunt gradate de la ușor la greu. Folosește $\pi \approx 3,14$ acolo unde ți se cere valoarea aproximativă; altfel lasă rezultatul cu $\pi$.

1. Calculează aria unui disc cu raza $R=4\text{cm}$. Dă răspunsul cu $\pi$ și aproximat.
2. Calculează aria unui disc cu raza $R=10\text{cm}$.
3. Un disc are diametrul $d=14\text{cm}$. Află aria discului.
4. O fântână arteziană circulară are diametrul $d=6\text{m}$. Ce suprafață ocupă?
5. Adevărat sau fals, cu justificare: „Cercul și discul se măsoară amândouă în centimetri pătrați."
6. Calculează aria unui sector de cerc cu $R=6\text{cm}$ și unghiul la centru $n=90^{\circ }$.
7. Calculează aria unui sector de cerc cu $R=12\text{cm}$ și $n=60^{\circ }$.
8. Un sector de cerc are raza $R=8\text{cm}$ și unghiul $n=270^{\circ }$. Află aria lui.
9. O coroană circulară are razele $R=9\text{cm}$ și $r=5\text{cm}$. Calculează aria coroanei.
10. O coroană circulară are $R=8\text{cm}$ și $r=6\text{cm}$. Află aria ei.
11. Un disc are aria $A=64\pi {\text{cm}}^2$. Cât este raza lui? Dar diametrul?
12. Un sector de cerc are raza $R=6\text{cm}$ și aria $A=6\pi {\text{cm}}^2$. Ce măsură are unghiul la centru?
13. Două discuri au razele $R_1=3\text{cm}$ și $R_2=6\text{cm}$. De câte ori este mai mare aria celui de-al doilea față de a primului?
14. O masă rotundă are raza $0,5\text{m}$. Vrei să o acoperi cu o față de masă care depășește marginea uniform cu $10\text{cm}$ de jur împrejur. Ce arie are fața de masă (tot un disc)?
15. Un ceas de perete are cadranul rotund cu raza $R=15\text{cm}$. Ce arie „mătură" arătătorul minutelor (care are lungimea egală cu raza) în 15 minute? (Indicație: 15 minute înseamnă un sfert de rotație.)
16. Un semn de circulație rotund are diametrul $d=60\text{cm}$. Câți ${\text{cm}}^2$ de folie reflectorizantă sunt necesari pentru a-l acoperi complet pe o față?
17. O grădină are forma unui sector de cerc cu raza $R=10\text{m}$ și unghiul la centru $n=120^{\circ }$. Ce suprafață are grădina? Cât gazon (în ${\text{m}}^2$) trebuie cumpărat?
18. Un covor rotund cu raza $r=1\text{m}$ este așezat în centrul unei camere pătrate (fără să conteze pătratul aici). Se dorește un chenar circular (coroană) de lățime $0,5\text{m}$ în jurul covorului. Care este aria chenarului (coroanei) dintre cercul de rază $1\text{m}$ și cercul de rază $1,5\text{m}$?
19. Un disc are raza $R=10\text{cm}$. Un sector al său are unghiul la centru $n=72^{\circ }$. Ce arie are sectorul și ce fracțiune din disc reprezintă?
20. O piscină rotundă are diametrul $d=8\text{m}$. În jurul ei se toarnă un chenar de beton în formă de coroană circulară, până la raza de $5\text{m}$. Ce arie de beton se toarnă?

Răspunsuri și explicații

1. $A=\pi \cdot 4^2=16\pi {\text{cm}}^2\approx 16\cdot 3,14=50,24{\text{cm}}^2$.
2. $A=\pi \cdot 10^2=100\pi {\text{cm}}^2\approx 314{\text{cm}}^2$.
3. $R=\frac{14}{2}=7\text{cm}$; $A=\pi \cdot 7^2=49\pi {\text{cm}}^2\approx 153,86{\text{cm}}^2$.
4. $R=\frac{6}{2}=3\text{m}$; $A=\pi \cdot 3^2=9\pi {\text{m}}^2\approx 28,26{\text{m}}^2$.
5. Fals. Cercul este o linie și se măsoară în lungime (cm, m), prin $L=2\pi R$. Doar discul (suprafața) se măsoară în arie, adică în ${\text{cm}}^2$. Sunt mărimi de tip diferit.
6. $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$; $A=\frac{\pi \cdot 6^2}{4}=\frac{36\pi }{4}=9\pi {\text{cm}}^2\approx 28,26{\text{cm}}^2$.
7. $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$; $A=\frac{\pi \cdot 12^2}{6}=\frac{144\pi }{6}=24\pi {\text{cm}}^2\approx 75,36{\text{cm}}^2$.
8. $\frac{270}{360}=\frac{3}{4}$; $A=\pi \cdot 8^2\cdot \frac{3}{4}=64\pi \cdot \frac{3}{4}=48\pi {\text{cm}}^2\approx 150,72{\text{cm}}^2$.
9. $A=\pi (9^2-5^2)=\pi (81-25)=56\pi {\text{cm}}^2\approx 175,84{\text{cm}}^2$.
10. $A=\pi (8^2-6^2)=\pi (64-36)=28\pi {\text{cm}}^2\approx 87,92{\text{cm}}^2$.
11. $\pi R^2=64\pi \Rightarrow R^2=64\Rightarrow R=8\text{cm}$; diametrul $d=2\cdot 8=16\text{cm}$.
12. $6\pi =\frac{\pi \cdot 6^2\cdot n}{360}=\frac{36\pi \cdot n}{360}$. Simplificăm prin $\pi$: $6=\frac{36n}{360}=\frac{n}{10}$, deci $n=60^{\circ }$. Verificare: $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$ din $36\pi$ dă $6\pi$. Corect.
13. $A_1=\pi \cdot 3^2=9\pi$; $A_2=\pi \cdot 6^2=36\pi$. Raport: $\frac{36\pi }{9\pi }=4$. Aria este de 4 ori mai mare. (Când raza se dublează, aria crește de $2^2=4$ ori.)
14. Raza feței de masă: $R=0,5\text{m}+0,1\text{m}=0,6\text{m}$ (adăugăm cei $10\text{cm}=0,1\text{m}$). $A=\pi \cdot 0,6^2=0,36\pi {\text{m}}^2\approx 1,1304{\text{m}}^2$.
15. Un sfert de rotație înseamnă un sector de $90^{\circ }$ cu raza $R=15\text{cm}$. $A=\frac{\pi \cdot 15^2}{4}=\frac{225\pi }{4}=56,25\pi {\text{cm}}^2\approx 176,625{\text{cm}}^2$.
16. $R=\frac{60}{2}=30\text{cm}$; $A=\pi \cdot 30^2=900\pi {\text{cm}}^2\approx 2826{\text{cm}}^2$.
17. $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$; $A=\frac{\pi \cdot 10^2}{3}=\frac{100\pi }{3}{\text{m}}^2\approx \frac{314}{3}\approx 104,67{\text{m}}^2$. Se cumpără gazon pentru aproximativ $104,67{\text{m}}^2$ (în practică se rotunjește în sus, la cel puțin $105{\text{m}}^2$).
18. $A=\pi (1,5^2-1^2)=\pi (2,25-1)=1,25\pi {\text{m}}^2\approx 3,925{\text{m}}^2$.
19. $\frac{72}{360}=\frac{1}{5}$; $A=\pi \cdot 10^2\cdot \frac{1}{5}=\frac{100\pi }{5}=20\pi {\text{cm}}^2\approx 62,8{\text{cm}}^2$. Sectorul reprezintă $\frac{1}{5}$ din disc.
20. Raza piscinei este $R_{\text{interior}}=\frac{8}{2}=4\text{m}$, iar raza exterioară a betonului este $5\text{m}$. Chenarul este o coroană: $A=\pi (5^2-4^2)=\pi (25-16)=9\pi {\text{m}}^2\approx 28,26{\text{m}}^2$.

De reținut

• Cercul este linia (se măsoară în lungime), iar discul este suprafața dinăuntru (se măsoară în arie, în unități pătratice).
• Aria discului: $A=\pi R^2$. Dacă ai diametrul, folosește mai întâi $R=\frac{d}{2}$.
• Aria sectorului de $n^{\circ }$: $A=\frac{\pi R^2\cdot n}{360}$ — este fracțiunea $\frac{n}{360}$ din aria discului.
• Aria coroanei circulare: $A=\pi (R^2-r^2)$ — diferența ariilor a două discuri concentrice (scazi pătratele razelor).
• Când raza se dublează, aria devine de 4 ori mai mare (pentru că aria depinde de $R^2$).

Greșeli frecvente

• Confunzi cercul cu discul. Dacă ți se cere „lungimea" folosești $2\pi R$; dacă ți se cere „aria/suprafața" folosești $\pi R^2$. Rezultatul unei arii se scrie mereu în ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$ etc.
• Folosești diametrul în loc de rază. Formula $A=\pi R^2$ cere raza. Dacă în enunț apare diametrul, împarte-l la 2 înainte de a-l ridica la pătrat. Altfel obții un rezultat de 4 ori prea mare.
• La coroană scazi razele, nu pătratele. Corect este $\pi (R^2-r^2)$, adică $R^2-r^2$, NU $(R-r{)}^2$ și nici $\pi (R-r)$. Ridică fiecare rază la pătrat, apoi scade.
• Uiți fracțiunea $\frac{n}{360}$ la sector sau o pui greșit. Verifică-ți: la $90^{\circ }$ trebuie să obții un sfert din disc, la $180^{\circ }$ jumătate, la $360^{\circ }$ tot discul.

Aplică acasă

1. Măsoară o pizza sau o clătită. Măsoară cu rigla diametrul, calculează raza și apoi aria discului cu $A=\pi R^2$. Dacă o tai în 6 sau 8 felii egale, calculează și aria unei felii ca sector (unghiul unei felii este $360^{\circ }$ împărțit la numărul de felii). Compară cu $\frac{\text{aria totala˘}}{\text{numa˘r de felii}}$ — trebuie să iasă la fel.
2. Estimează gazonul de la un sens giratoriu. Găsește (pe hartă sau prin observație) un sens giratoriu rotund din orașul tău, aproximează-i raza și calculează câți ${\text{m}}^2$ de gazon ar fi necesari pentru a-l acoperi complet. Dacă în mijloc are un disc pavat, calculează separat coroana verde ca diferență de arii.
3. Farfurie vs. suport. Ia o farfurie rotundă și un suport (napron) rotund pe care farfuria nu îl acoperă complet. Măsoară cele două raze și calculează aria coroanei dintre marginea farfuriei și marginea napronului — adică „inelul" de napron care se vede de sub farfurie.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, cel mai important lucru pe care elevul trebuie să-l stăpânească nu este o formulă în plus, ci deosebirea conceptuală dintre cerc (linie, lungime) și disc (suprafață, arie). Multe greșeli de mai târziu vin din amestecarea celor două. Puteți verifica înțelegerea cu întrebări simple: „Ce măsurăm la un cerc și în ce unități? Dar la un disc?", „Dacă îți dau diametrul, ce faci înainte de a calcula aria?", „De ce la coroană scădem $R^2-r^2$ și nu $R-r$?".

Un semn bun că elevul a înțeles cu adevărat este atunci când poate verifica singur un rezultat de sector prin fracțiuni (de exemplu, recunoaște că $90^{\circ }$ înseamnă un sfert de disc) și când nu confundă niciodată unitățile de măsură (lungime vs. arie). Încurajați rezolvarea cu răspuns exact (cu $\pi$) și abia apoi aproximarea — este mai riguros și reduce erorile de rotunjire. Dacă apare blocaj, reveniți la desenul cu „felii de pizza" din secțiunea de descoperire: intuiția vizuală fixează formula mai bine decât memorarea seacă.

Întrebări frecvente

Care este formula ariei discului la clasa a 7-a? Aria discului este $A=\pi R^2$, unde $R$ este raza discului, iar $\pi \approx 3,14$. Dacă în problemă ai diametrul $d$, calculează întâi raza cu $R=\frac{d}{2}$ și abia apoi aplică formula.

Care este diferența dintre cerc și disc? Cercul este doar linia (conturul), formată din punctele aflate la distanța $R$ de centru, și se măsoară în lungime ($L=2\pi R$). Discul este suprafața plină din interiorul cercului și se măsoară în arie ($A=\pi R^2$). Pe scurt: cercul este marginea, discul este toată suprafața.

Cum calculez aria unui sector de cerc? Un sector de cerc cu unghiul la centru $n^{\circ }$ are aria $A=\frac{\pi R^2\cdot n}{360}$. Practic, iei fracțiunea $\frac{n}{360}$ din aria întregului disc, pentru că discul complet corespunde la $360^{\circ }$.

De ce apare 360 la formula sectorului? Pentru că discul întreg corespunde unei rotații complete de $360^{\circ }$. Un sector de $n^{\circ }$ reprezintă fracțiunea $\frac{n}{360}$ din disc, deci înmulțim aria discului $\pi R^2$ cu această fracțiune.

Ce este o coroană circulară și cum îi aflu aria? Coroana circulară este „inelul" cuprins între două cercuri concentrice (cu același centru), de raze $R$ și $r$, cu $r<R$. Aria ei este diferența ariilor celor două discuri: $A=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2)$.

Aria se măsoară în centimetri sau în centimetri pătrați? Aria se măsoară întotdeauna în unități pătratice: ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$, ${\text{dm}}^2$ etc. Doar lungimile (cum ar fi raza sau lungimea cercului) se măsoară în centimetri sau metri simpli.

Ce se întâmplă cu aria discului dacă dublez raza? Aria devine de 4 ori mai mare, nu de 2 ori. Motivul este că aria depinde de $R^2$: dacă raza se înmulțește cu 2, atunci $R^2$ se înmulțește cu $2^2=4$. La fel, dacă triplezi raza, aria crește de 9 ori.

Pot lăsa răspunsul cu $\pi$ sau trebuie să calculez cu 3,14? Poți lăsa răspunsul în forma exactă (de exemplu $16\pi {\text{cm}}^2$) — este perfect corect și de multe ori preferat la geometrie. Folosești $\pi \approx 3,14$ doar când ți se cere explicit o valoare numerică aproximativă sau când ai nevoie de un rezultat „practic".