Diametrul perpendicular pe o coardă

Imaginează-ți că vrei să găsești exact centrul unei mese rotunde, al unui capac de canal sau al unei roți de bicicletă, dar nu ai niciun semn care să-ți spună unde e mijlocul. Există un truc geometric surprinzător de simplu: dacă tragi o coardă și cobori din centru o perpendiculară pe ea, aceasta cade fix în mijlocul coardei. Această proprietate, numită teorema diametrului perpendicular pe o coardă, este una dintre cele mai folositoare unelte din geometria cercului. Ea leagă trei mărimi — raza, lungimea coardei și distanța de la centru la coardă — printr-o relație pe care o vom rezolva iar și iar cu ajutorul teoremei lui Pitagora. Hai să descoperim de ce funcționează și cum o folosim.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să aplici teorema diametrului perpendicular pe o coardă: diametrul (raza) perpendicular pe o coardă o înjumătățește.
• Vei ști că același diametru trece prin mijloacele celor două arce subîntinse de coardă.
• Vei ști să folosești reciproca: diametrul care trece prin mijlocul unei coarde este perpendicular pe ea.
• Vei ști să afli lungimea unei coarde cunoscând raza și distanța de la centru la coardă (și invers), folosind teorema lui Pitagora.
• Vei ști să exprimi corect, în limbaj matematic, atât proprietatea, cât și reciproca ei.

Hai să descoperim împreună

Reamintim câțiva termeni

Înainte de teoremă, să fixăm vocabularul, pentru că totul se sprijină pe el.

• Cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la distanța $r$ față de $O$.
• O coardă este un segment care unește două puncte de pe cerc. De exemplu, dacă $A$ și $B$ sunt pe cerc, atunci $[AB]$ este o coardă.
• Un diametru este o coardă care trece prin centrul $O$. El este cea mai lungă coardă posibilă și are lungimea $2r$.
• Un arc este o „bucată" din cerc cuprinsă între două puncte. O coardă $[AB]$ împarte cercul în două arce: unul mai mic (arcul minor) și unul mai mare (arcul major), notate $\widehat{AB}$.
• Distanța de la centru la o coardă este lungimea perpendicularei coborâte din $O$ pe coardă. Reține: „distanța de la un punct la o dreaptă" înseamnă întotdeauna distanța pe perpendiculară, cea mai scurtă dintre toate.

Un experiment mental cu foaia îndoită

Ia o foaie și desenează un cerc cu compasul. Trasează o coardă oarecare $[AB]$. Acum îndoaie foaia astfel încât punctul $A$ să cadă exact peste punctul $B$. Linia de îndoire (cuta) va trece prin centrul cercului și va tăia coarda exact în mijloc, formând un unghi drept cu ea.

De ce se întâmplă asta? Pentru că îndoirea suprapune perfect cele două jumătăți ale cercului — cercul este simetric față de orice dreaptă care trece prin centrul lui. Cuta este o axă de simetrie, iar o axă de simetrie a cercului este întotdeauna o dreaptă ce trece prin $O$, adică o dreaptă care conține un diametru. Simetria „împinge" mijlocul coardei chiar pe această axă. Acest experiment surprinde, de fapt, întreaga idee a lecției. Acum să o transformăm în matematică riguroasă.

Enunțul teoremei

Teoremă (diametrul perpendicular pe o coardă). Într-un cerc de centru $O$, dacă un diametru (sau raza care îl conține) este perpendicular pe o coardă, atunci el înjumătățește acea coardă și, în plus, trece prin mijloacele celor două arce subîntinse de ea.

Să scriem asta în limbaj matematic, cu ipoteză și concluzie clare. Fie cercul de centru $O$, coarda $[AB]$ și fie $M$ piciorul perpendicularei din $O$ pe $AB$.

• Ipoteză: $OM\perp AB$ (raza $OM$ este perpendiculară pe coardă).
• Concluzie 1: $AM=MB$ (adică $M$ este mijlocul coardei, $AM=MB=\frac{AB}{2}$).
• Concluzie 2: $\widehat{AN}\equiv \widehat{NB}$, unde $N$ este punctul în care diametrul întâlnește arcul dintre $A$ și $B$ (diametrul înjumătățește și arcul).

De ce este adevărată? Demonstrația

Aceasta este o teoremă care se poate justifica frumos, iar demonstrația merită înțeleasă, pentru că folosește o idee pe care o vei întâlni des: triunghiul isoscel format de două raze și o coardă.

Unim centrul $O$ cu capetele coardei, obținând segmentele $[OA]$ și $[OB]$. Amândouă sunt raze, deci au aceeași lungime: $$OA=OB=r.$$

Prin urmare, triunghiul $OAB$ este isoscel, cu vârful în $O$. Reține această observație — apare la aproape orice problemă cu coarde: ori de câte ori unești centrul cu capetele unei coarde, obții un triunghi isoscel.

Acum privim triunghiurile $OMA$ și $OMB$. Ele au:

1. $OA=OB=r$ (raze — ipoteza cercului);
2. $OM$ latură comună;
3. $\widehat{OMA}=\widehat{OMB}=90^{\circ }$ (din ipoteză, $OM\perp AB$).

Avem două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuzele egale ($OA=OB$) și o catetă comună ($OM$). Ele sunt congruente (cazul ipotenuză–catetă, IC). Din congruență rezultă că laturile rămase sunt egale: $$MA=MB.$$

Deci $M$ este mijlocul coardei — asta era Concluzia 1.

Pentru Concluzia 2 (arcele), observăm că din aceeași congruență rezultă și egalitatea unghiurilor din centru: $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$. Cum am învățat în lecția despre coarde și arce congruente în cerc, la unghiuri la centru egale corespund arce egale. Așadar arcul de la $A$ până la $N$ (piciorul diametrului) este congruent cu arcul de la $B$ până la $N$: diametrul înjumătățește și arcul. Analog se arată și pentru arcul major.

Demonstrația este completă. Reține ideea centrală: totul se reduce la triunghiul isoscel $OAB$, în care $OM$ este înălțimea din vârf — iar într-un triunghi isoscel înălțimea din vârf este în același timp mediană, adică ajunge exact în mijlocul bazei.

Reciproca teoremei

Teoremele bune vin adesea „la pachet" cu reciproca lor. Am pornit de la „perpendicular" și am ajuns la „mijloc". Reciproca merge invers: pornim de la „mijloc" și ajungem la „perpendicular".

Reciproca. Într-un cerc de centru $O$, diametrul (raza) care trece prin mijlocul unei coarde (care nu este ea însăși diametru) este perpendicular pe acea coardă.

În limbaj matematic: dacă $M$ este mijlocul coardei $[AB]$ (cu $AB$ care nu trece prin $O$), atunci $OM\perp AB$.

De ce? Din nou pornim de la triunghiul isoscel $OAB$ cu $OA=OB=r$. Segmentul $OM$ unește vârful $O$ cu mijlocul $M$ al bazei $[AB]$, deci $OM$ este mediana din vârf. Într-un triunghi isoscel, mediana din vârf coincide cu înălțimea din vârf, deci $OM\perp AB$.

De ce condiția „coarda să nu fie diametru"? Dacă $[AB]$ ar fi chiar un diametru, atunci mijlocul ei ar fi însuși centrul $O$, iar prin $O$ trec o infinitate de alte diametre în toate direcțiile — nu ar mai avea sens să vorbim despre „o singură" perpendiculară determinată de mijloc. Pentru orice coardă obișnuită (care nu trece prin centru), reciproca funcționează perfect.

Cele trei proprietăți echivalente

Iată o observație elegantă care îți ușurează mult viața la probleme. Pentru o coardă $[AB]$ care nu este diametru și o dreaptă $d$ care trece prin centrul $O$, următoarele trei afirmații sunt echivalente (dacă una e adevărată, sunt toate):

1. $d$ este perpendiculară pe $AB$;
2. $d$ trece prin mijlocul lui $[AB]$;
3. $d$ trece prin mijloacele arcelor determinate de $AB$.

Cu alte cuvinte, mediatoarea oricărei coarde trece prin centrul cercului. Aceasta este cheia trucului de la începutul lecției: dacă vrei să găsești centrul unui cerc, trasezi două coarde, le construiești mediatoarele, iar punctul lor de intersecție este centrul $O$.

Relația de calcul: raza, semicorda și distanța

Aici teorema devine o unealtă de calcul foarte puternică. Fie $[AB]$ o coardă, $M$ mijlocul ei și $OM\perp AB$ (știm din teoremă că perpendiculara din centru cade în mijloc). Notăm:

• $r=OA=OB$ — raza cercului;
• $d=OM$ — distanța de la centru la coardă;
• $\frac{AB}{2}=AM=MB$ — jumătate din coardă (semicoarda).

Triunghiul $OMA$ este dreptunghic în $M$, cu ipotenuza $OA=r$ și catetele $OM=d$ și $AM=\frac{AB}{2}$. Aplicăm teorema lui Pitagora: $$r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.$$

Aceasta este formula-cheie a lecției. Din ea putem afla oricare dintre cele trei mărimi dacă le cunoaștem pe celelalte două:

$${\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=r^2-d^2,d^2=r^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.$$

Reține legătura logică cu proprietatea din lecția anterioară, coarde egal depărtate de centru: cu cât distanța $d$ este mai mică, cu atât semicoarda $\frac{AB}{2}$ este mai mare — deci coarda cea mai apropiată de centru este cea mai lungă. Când $d=0$, coarda trece prin centru și devine diametru, iar $AB=2r$. Formula confirmă aceasta imediat: dacă $d=0$, atunci ${\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=r^2$, deci $\frac{AB}{2}=r$ și $AB=2r$. Totul se leagă.

Cu această formulă în mână, ești gata pentru probleme. Hai să lucrăm câteva, de la simplu la mai complex.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aflăm lungimea coardei din rază și distanță

Într-un cerc de rază $r=5$ cm, o coardă $[AB]$ se află la distanța $d=3$ cm de centru. Cât este lungimea coardei?

Rezolvare. Fie $M$ mijlocul coardei. Din teoremă, $OM\perp AB$ și $OM=3$ cm. Triunghiul $OMA$ este dreptunghic în $M$, cu ipotenuza $OA=r=5$. Aplicăm formula: $${\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=r^2-d^2=5^2-3^2=25-9=16.$$ Deci $\frac{AB}{2}=\sqrt{16}=4$ cm, prin urmare $$AB=2\cdot 4=8\text{ cm}.$$

Răspuns: coarda are lungimea de $8$ cm.

Exemplul 2 — Aflăm distanța din rază și coardă

Un cerc are raza $r=13$ cm. O coardă are lungimea $AB=24$ cm. La ce distanță de centru se află coarda?

Rezolvare. Semicoarda este $\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12$ cm. Din formula-cheie: $$d^2=r^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=13^2-12^2=169-144=25.$$ Deci $$d=\sqrt{25}=5\text{ cm}.$$

Răspuns: coarda se află la $5$ cm de centru.

Exemplul 3 — Aflăm raza din coardă și distanță

O coardă de lungime $16$ cm se află la $6$ cm de centrul unui cerc. Cât este raza cercului?

Rezolvare. Semicoarda este $\frac{16}{2}=8$ cm, iar distanța este $d=6$ cm. Din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $OMA$: $$r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=6^2+8^2=36+64=100.$$ Deci $$r=\sqrt{100}=10\text{ cm}.$$

Răspuns: raza cercului este de $10$ cm. (Diametrul este atunci $20$ cm.)

Exemplul 4 — Aflăm raza folosind reciproca teoremei

Fie cercul de centru $O$ și o coardă $[CD]$. Se știe că $M$ este mijlocul lui $[CD]$ și că $OM=8$ cm, iar $CM=6$ cm. Aflați raza cercului și lungimea coardei $[CD]$.

Rezolvare. Pentru că $M$ este mijlocul coardei $[CD]$, iar dreapta $OM$ trece prin centru și prin acest mijloc, aplicăm reciproca: $OM\perp CD$. Deci triunghiul $OMC$ este dreptunghic în $M$.

Aflăm raza (ipotenuza $OC$): $$r^2=O{M}^2+C{M}^2=8^2+6^2=64+36=100\Rightarrow r=10\text{ cm}.$$

Lungimea coardei: $CD=2\cdot CM=2\cdot 6=12$ cm.

Răspuns: raza este $10$ cm, iar coarda $[CD]$ are $12$ cm.

Exemplul 5 — Justificare (adevărat/fals cu argument)

Andrei spune: „Într-un cerc, dacă o dreaptă care trece prin centru taie o coardă în mijlocul ei, atunci acea dreaptă este obligatoriu perpendiculară pe coardă." Are dreptate?

Rezolvare. Aproape întotdeauna are dreptate — este exact reciproca teoremei. Dacă $M$ este mijlocul coardei $[AB]$ și dreapta trece prin $O$ și prin $M$, atunci $OM$ este mediana din vârful triunghiului isoscel $OAB$, deci și înălțime, deci $OM\perp AB$.

Excepția apare doar dacă acea coardă este ea însăși un diametru: atunci mijlocul ei este chiar centrul $O$, iar prin $O$ trec și alte drepte (alte diametre) care taie coarda „în mijloc" fără să fie perpendiculare pe ea. Deci afirmația este adevărată pentru orice coardă care nu trece prin centru; pentru un diametru trebuie făcută precizarea.

Răspuns: afirmația este adevărată, cu condiția ca $[AB]$ să nu fie diametru.

Exemplul 6 — Problemă compusă cu două mărimi necunoscute

Într-un cerc de rază $10$ cm, o coardă $[AB]$ are lungimea de $16$ cm. Fie $M$ mijlocul coardei. Aflați: a) distanța de la centru la coardă; b) distanța de la mijlocul $M$ până la cel mai apropiat punct al cercului (adică segmentul $MN$, unde $N$ este punctul în care segmentul $OM$ prelungit întâlnește cercul).

Rezolvare.

a) Semicoarda este $\frac{16}{2}=8$ cm. Distanța: $$d=OM=\sqrt{r^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{ cm}.$$

b) Punctul $N$ se află pe cerc, pe dreapta $OM$, de aceeași parte cu coarda. Distanța de la centru la $N$ este raza: $ON=10$ cm. Cum $M$ este între $O$ și $N$ (mijlocul coardei este în interiorul cercului), avem: $$MN=ON-OM=10-6=4\text{ cm}.$$

Acest segment $MN=4$ cm se numește săgeata coardei (înălțimea „calotei" tăiate de coardă) — o mărime des întâlnită în probleme practice.

Răspuns: a) $6$ cm; b) $4$ cm.

Exemplul 7 — Două coarde paralele

Într-un cerc de rază $r=10$ cm se află două coarde paralele: una de $16$ cm și una de $12$ cm. Aflați distanța dintre cele două coarde, în cele două situații posibile (coardele de aceeași parte a centrului, respectiv de o parte și de alta).

Rezolvare. Distanța de la centru la fiecare coardă se află perpendicular pe ea; cum coardele sunt paralele, ambele perpendiculare sunt purtate de aceeași dreaptă prin $O$. Calculăm cele două distanțe cu formula-cheie.

Pentru coarda de $16$ cm, semicoarda este $8$: $$d_1=\sqrt{r^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{ cm}.$$

Pentru coarda de $12$ cm, semicoarda este $6$: $$d_2=\sqrt{r^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ cm}.$$

Acum combinăm cele două distanțe, în funcție de poziția coardelor față de centru:

• De aceeași parte a centrului: cele două coarde sunt „la fel îndreptate", iar distanța dintre ele este diferența distanțelor la centru: $$8-6=2\text{ cm}.$$
• De o parte și de alta a centrului: centrul este între ele, deci distanța dintre coarde este suma distanțelor: $$8+6=14\text{ cm}.$$

Răspuns: distanța dintre coarde este de $2$ cm (dacă sunt de aceeași parte a centrului) sau de $14$ cm (dacă sunt de o parte și de alta). Reține ideea generală: la coarde paralele, mai întâi afli fiecare distanță la centru, apoi le aduni sau le scazi după cum centrul este sau nu între ele.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu desen acolo unde este cazul. Notează întotdeauna ce știi (ipoteza) și ce cauți (concluzia).

1. Completează: dacă un diametru este perpendicular pe o coardă, atunci el ................ coarda și trece prin ................ arcelor.

2. Într-un cerc de rază $10$ cm, o coardă se află la $8$ cm de centru. Află lungimea coardei.

3. O coardă de $30$ cm se află la $8$ cm de centrul cercului. Cât este raza?

4. Într-un cerc de rază $17$ cm, o coardă are lungimea $16$ cm. La ce distanță de centru se află?

5. Fie $M$ mijlocul unei coarde $[AB]$ dintr-un cerc de centru $O$. Se dă $OM=5$ cm și $AM=12$ cm. Află raza cercului și lungimea coardei.

6. Adevărat sau fals (justifică): „Cea mai lungă coardă dintr-un cerc este diametrul."

7. Adevărat sau fals (justifică): „Perpendiculara dintr-un punct oarecare al cercului pe o coardă trece prin mijlocul coardei."

8. Într-un cerc de rază $25$ cm, o coardă are lungimea $48$ cm. Află distanța de la centru la coardă.

9. Explică, folosind triunghiul isoscel $OAB$, de ce perpendiculara din centru pe coardă cade exact în mijlocul ei.

10. Desenează un cerc și o coardă oarecare. Construiește cu rigla și compasul mijlocul coardei și trasează raza care trece prin el. Ce unghi face această rază cu coarda? Ce teoremă ai folosit?

11. Într-un cerc de diametru $26$ cm, o coardă se află la $5$ cm de centru. Cât este lungimea coardei? (Atenție: se dă diametrul, nu raza!)

12. O coardă de $18$ cm se află la $12$ cm de centru. Află raza și diametrul cercului.

13. Fie un cerc de rază $r=15$ cm și o coardă $[AB]=24$ cm. Notează cu $M$ mijlocul coardei. Află lungimea săgeții $MN$ (distanța de la $M$ la cel mai apropiat punct $N$ al cercului).

14. Două coarde ale aceluiași cerc de rază $13$ cm au lungimile $10$ cm și $24$ cm. Care dintre ele este mai aproape de centru? Justifică prin calcul.

15. Într-un cerc de centru $O$ și rază $10$ cm, coarda $[AB]$ are mijlocul $M$. Știind că $OM=AM$, află lungimea coardei $AB$. (Indicație: triunghiul $OMA$ este dreptunghic isoscel.)

16. Un capac rotund de fântână are pe suprafață o zgârietură dreaptă (o coardă) de $80$ cm, aflată la $30$ cm de centrul capacului. Ce diametru are capacul?

17. Fie cercul de centru $O$ și coarda $[AB]$ cu mijlocul $M$. Se prelungește $OM$ până taie cercul în $N$ și în $P$ (de o parte și de alta). Arată că $N$ și $P$ sunt mijloacele celor două arce determinate de coardă.

18. Într-un cerc de rază $r$, distanța de la centru la o coardă este egală cu jumătate din rază: $d=\frac{r}{2}$. Exprimă lungimea coardei în funcție de $r$ (răspuns cu radical).

19. Într-un cerc de rază $13$ cm, două coarde paralele au lungimile $24$ cm și $10$ cm. Află distanța dintre ele, în ambele situații posibile (de aceeași parte a centrului și de o parte și de alta).

20. Într-un cerc de rază $5$ cm, două coarde paralele se află de o parte și de alta a centrului, la distanțele de $3$ cm și, respectiv, $4$ cm. Află lungimea fiecărei coarde și distanța dintre ele.

Răspunsuri și explicații

1. înjumătățește coarda și trece prin mijloacele arcelor. (Este exact enunțul teoremei.)

2. $\frac{AB}{2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$; deci $AB=12$ cm.

3. Semicoarda $=15$. $r=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm.

4. Semicoarda $=8$. $d=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ cm.

5. Prin reciprocă, $OM\perp AB$, deci triunghiul $OMA$ e dreptunghic. $r=OA=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm; $AB=2\cdot 12=24$ cm.

6. Adevărat. Pentru orice coardă, $\frac{AB}{2}=\sqrt{r^2-d^2}\le r$, cu egalitate doar când $d=0$, adică atunci când coarda trece prin centru (diametru). Deci diametrul $=2r$ este coarda maximă.

7. Fals. Teorema cere perpendiculara din centrul $O$, nu dintr-un punct oarecare al cercului. Doar perpendiculara coborâtă din centru cade în mijlocul coardei. Un contraexemplu: perpendiculara pe coardă dusă chiar dintr-un capăt al ei nu trece prin mijloc.

8. Semicoarda $=24$. $d=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$ cm.

9. Unind $O$ cu $A$ și $B$ obținem $OA=OB=r$, deci triunghiul $OAB$ este isoscel. Perpendiculara din $O$ pe baza $AB$ este înălțimea din vârf, care într-un triunghi isoscel coincide cu mediana din vârf; deci ea cade în mijlocul bazei, adică al coardei.

10. Raza care trece prin mijlocul coardei este perpendiculară pe coardă (unghi de $90^{\circ }$). S-a folosit reciproca teoremei diametrului perpendicular pe o coardă.

11. Diametru $=26\Rightarrow r=13$. $\frac{AB}{2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$; deci $AB=24$ cm.

12. Semicoarda $=9$. $r=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm; diametrul $=30$ cm.

13. Semicoarda $=12$. $d=OM=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$ cm. Săgeata: $MN=r-OM=15-9=6$ cm.

14. Pentru coarda de $10$: $d_1=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm. Pentru coarda de $24$: $d_2=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$ cm. Cum $d_2=5<d_1=12$, coarda de $24$ cm este mai aproape de centru. (Confirmă regula: coarda mai lungă e mai aproape de centru.)

15. Triunghiul $OMA$ e dreptunghic în $M$ cu $OM=AM$, deci este dreptunghic isoscel: $r^2=O{M}^2+A{M}^2=2\cdot A{M}^2$. Cum $r=10$: $100=2\cdot A{M}^2\Rightarrow A{M}^2=50\Rightarrow AM=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Deci $AB=2\cdot 5\sqrt{2}=10\sqrt{2}\approx 14,14$ cm.

16. Zgârietura este o coardă de $80$ cm la $30$ cm de centru. Semicoarda $=40$. $r=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50$ cm; diametrul $=100$ cm ($=1$ m).

17. Dreapta $OM$ trece prin centru și prin mijlocul $M$ al coardei, deci (reciproca) este perpendiculară pe coardă. Fiind un diametru perpendicular pe coardă, prin teoremă el înjumătățește ambele arce. Punctele în care taie cercul, $N$ și $P$, sunt tocmai mijlocul arcului minor, respectiv al arcului major.

18. $\frac{AB}{2}=\sqrt{r^2-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2}=\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}=\sqrt{\frac{3r^2}{4}}=\frac{r\sqrt{3}}{2}$. Deci $AB=2\cdot \frac{r\sqrt{3}}{2}=r\sqrt{3}$.

19. Distanțele la centru: pentru coarda de $24$ cm, $d_1=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$ cm; pentru coarda de $10$ cm, $d_2=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm. De aceeași parte a centrului: $12-5=7$ cm. De o parte și de alta: $12+5=17$ cm.

20. Coarda de la $3$ cm: $\frac{AB}{2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$, deci lungimea $=8$ cm. Coarda de la $4$ cm: $\frac{CD}{2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$, deci lungimea $=6$ cm. Fiind de o parte și de alta a centrului, distanța dintre ele este $3+4=7$ cm.

De reținut

• Teorema: diametrul (raza) perpendicular pe o coardă o înjumătățește și trece prin mijloacele celor două arce determinate de coardă.
• Reciproca: raza care trece prin mijlocul unei coarde (care nu e diametru) este perpendiculară pe ea. Mediatoarea oricărei coarde trece prin centru.
• Formula-cheie (din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic centru–mijloc–capăt): $$r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2,$$ unde $r$ = raza, $d$ = distanța de la centru la coardă, $\frac{AB}{2}$ = jumătate din coardă.
• Unind centrul cu capetele unei coarde obții mereu un triunghi isoscel ($OA=OB=r$); perpendiculara din vârf este și mediană.
• Coarda mai apropiată de centru este cea mai lungă; cea mai lungă coardă este diametrul ($AB=2r$ când $d=0$).

Greșeli frecvente

• Confuzia rază / diametru în formulă. În relația $r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$ apare raza, nu diametrul. Dacă problema îți dă diametrul, împarte-l mai întâi la $2$. (Vezi exercițiul 11.)
• Uitarea că trebuie luată jumătatea coardei. Cateta din triunghiul dreptunghic este $\frac{AB}{2}$, nu $AB$ întreg. Mulți pun toată coarda și obțin un rezultat greșit. Perpendiculara din centru taie coarda în mijloc — asta e chiar ideea teoremei.
• Perpendiculara „din orice punct". Teorema funcționează doar pentru perpendiculara coborâtă din centrul $O$. O perpendiculară pe coardă dusă din alt punct nu cade, în general, în mijlocul ei.
• Aplicarea reciprocei pe un diametru. Reciproca („mijloc ⇒ perpendicular") cere ca acea coardă să nu fie ea însăși diametru. Pentru un diametru, mijlocul e centrul și afirmația nu mai determină o direcție unică.

Aplică acasă

1. Găsește centrul unui obiect rotund. Ia un capac, o farfurie sau un CD. Așază-l pe o foaie și conturează-i marginea cu creionul. Trasează două coarde diferite, construiește mijlocul fiecăreia (măsurând cu rigla) și ridică din fiecare mijloc câte o perpendiculară. Cele două perpendiculare se vor întâlni exact în centrul cercului. Măsoară apoi raza și verifică-ți rezultatul din câteva puncte.

2. Măsoară o rază fără să atingi centrul. Alege un obiect circular mare (o roată, o masă rotundă). Trage o coardă cu o sfoară întinsă, măsoară-i lungimea și măsoară cu echerul distanța de la coardă până la centru (sau, dacă nu ai centrul, folosește metoda de la punctul 1). Calculează raza cu formula $r=\sqrt{d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}$ și compar-o cu măsurătoarea directă a diametrului.

3. Problema fântânii. O fântână are un capac circular. O bară dreaptă așezată peste el are $90$ cm și marginile ei ating cercul, iar centrul capacului se află la $60$ cm de bară. Calculează diametrul capacului și verifică dacă bara poate fi folosită ca „diametru de siguranță" (adică dacă e mai scurtă sau mai lungă decât diametrul real).

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează două idei mari: proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă (și reciproca ei) și aplicarea repetată a teoremei lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic ascuns în cerc. Elevul înțelege lecția dacă poate face trei lucruri: (1) să recunoască triunghiul isoscel format de două raze și coardă și să explice de ce perpendiculara din vârf cade în mijloc; (2) să scrie corect formula $r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$ și să izoleze mărimea cerută; (3) să nu confunde raza cu diametrul și coarda întreagă cu semicoarda.

Întrebări bune de verificare: „Ce triunghi obții unind centrul cu capetele coardei și de ce e isoscel?"; „De ce cateta din Pitagora este jumătate din coardă, nu toată coarda?"; „Când problema îți dă diametrul, ce faci prima dată?". Un semn clar de înțelegere reală este când elevul poate rezolva o problemă „în ambele sensuri" — și când se caută coarda din rază și distanță, și când se caută distanța sau raza. Încurajați desenul cu unghiul drept marcat: majoritatea greșelilor dispar când figura este corectă.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema diametrului perpendicular pe o coardă la clasa a 7-a? Spune că, într-un cerc, un diametru (sau raza care îl conține) perpendicular pe o coardă o taie exact în mijloc. În plus, același diametru trece prin mijloacele celor două arce în care coarda împarte cercul.

Care este reciproca teoremei? Reciproca spune că raza (diametrul) care trece prin mijlocul unei coarde este perpendiculară pe acea coardă, cu condiția ca acea coardă să nu fie ea însăși un diametru. Practic, mediatoarea oricărei coarde trece prin centrul cercului.

Cum aflu lungimea unei coarde dacă știu raza și distanța până la centru? Folosești formula $r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$. De aici $\frac{AB}{2}=\sqrt{r^2-d^2}$, iar coarda întreagă este dublul acestei valori: $AB=2\sqrt{r^2-d^2}$.

De ce apare teorema lui Pitagora în aceste probleme? Pentru că perpendiculara din centru cade în mijlocul coardei și formează un triunghi dreptunghic cu vârfurile în centru, în mijlocul coardei și într-un capăt al ei. Ipotenuza este raza, iar catetele sunt distanța la centru și jumătate din coardă — exact configurația în care se aplică Pitagora.

Care coardă este mai aproape de centru, cea lungă sau cea scurtă? Coarda mai lungă este mai aproape de centru. Din formulă, când distanța $d$ scade, jumătatea de coardă $\sqrt{r^2-d^2}$ crește. Cea mai lungă coardă posibilă este diametrul, care trece chiar prin centru ($d=0$).

Confund mereu raza cu diametrul. Cum evit greșeala? Reține că în formula $r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$ apare întotdeauna raza. Dacă enunțul îți dă diametrul, împarte-l la $2$ înainte de a-l folosi. La final, dacă ți se cere diametrul, înmulțește raza cu $2$.

Cum pot folosi această teoremă ca să găsesc centrul unui cerc desenat? Trasezi două coarde diferite și construiești mediatoarea fiecăreia (perpendiculara din mijlocul coardei). Punctul în care se întâlnesc cele două mediatoare este centrul cercului, deoarece mediatoarea oricărei coarde trece prin centru.

Ce legătură are lecția cu coardele egal depărtate de centru? Este strâns legată: aceeași formulă $r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$ arată că două coarde egal depărtate de centru au aceeași lungime, iar coardele congruente sunt egal depărtate de centru. Poți aprofunda în lecția coarde paralele și coarde egal depărtate de centru.