Lungimea cercului și lungimea arcului de cerc

Gândește-te la roata unei biciclete care se învârte pe asfalt, la pista circulară pe care aleargă atleții sau la un cerc desenat cu compasul pe caiet. În toate aceste situații ne interesează o singură întrebare foarte practică: cât de lung este cercul dacă l-am putea „desface" într-o linie dreaptă? Această lungime se numește lungimea cercului (sau circumferința) și, surprinzător, ea depinde doar de mărimea razei. În lecția de astăzi vei descoperi cel mai celebru număr din matematică, numărul π, și vei învăța formulele care leagă lungimea cercului de rază și de diametru. Vei afla apoi cum se calculează lungimea unui arc de cerc — adică lungimea unei „felii" din cerc — și cum folosim aceste formule pentru roți, piste și distanțe reale.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este numărul π și de ce lungimea oricărui cerc împărțită la diametrul lui dă mereu același număr.
• Vei ști să calculezi lungimea unui cerc cunoscând raza sau diametrul, cu formula $L=2\pi R=\pi d$.
• Vei ști să afli lungimea unui arc de cerc de măsură dată, cu formula $l=\frac{\pi Rn}{180}$.
• Vei ști să modelezi situații practice — roți, piste circulare, distanțe parcurse — folosind lungimea cercului.
• Vei ști să afli invers: raza sau diametrul atunci când cunoști lungimea cercului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „lungimea cercului"?

Un cerc este o linie curbă închisă. Dacă am lua un fir de ață și l-am așeza exact peste cerc, apoi am întinde firul pe masă, lungimea firului întins ar fi lungimea cercului. O notăm de obicei cu litera $L$. Alt nume folosit des este circumferință.

Reține din start diferența de sens:

• Raza $R$ este distanța de la centru la cerc (un segment).
• Diametrul $d$ este coarda care trece prin centru; $d=2R$.
• Lungimea cercului $L$ este mărimea liniei curbe ce formează cercul, adică perimetrul cercului.

2. O descoperire uimitoare: raportul $L:d$ este mereu același

Hai să facem un mic experiment mintal, dar pe care îl poți face și cu adevărat acasă. Ia mai multe obiecte rotunde: o farfurie, un pahar, capacul unei cutii, o roată de jucărie. Pentru fiecare, măsoară cu o sfoară lungimea marginii (adică $L$) și apoi măsoară diametrul $d$ cu rigla. Împarte de fiecare dată $L$ la $d$.

Vei obține ceva remarcabil: indiferent de mărimea obiectului, rezultatul împărțirii $L:d$ este mereu aproximativ același număr, puțin peste $3$. Iată un tabel cu măsurători apropiate de cele reale:

Faptul că raportul iese mereu în jur de $3,14$ nu este o întâmplare. El este o proprietate fundamentală a cercului: pentru orice cerc, oricât de mare sau de mic, raportul dintre lungimea cercului și diametrul lui este constant. Acest număr constant se numește numărul π (se citește „pi").

$$\pi =\frac{L}{d}$$

3. Numărul π mai de aproape

Numărul $\pi$ este un număr irațional (îți amintești din lecția Numere iraționale. Exemple și recunoaștere): scrierea lui zecimală este infinită și neperiodică. Primele cifre sunt:

$$\pi =3,141592653\dots$$

Deoarece nu îl putem scrie exact, folosim aproximări:

• Cea mai des folosită la clasa a VII-a: $\pi \approx 3,14$.
• Aproximarea fracționară comodă în unele calcule: $\pi \approx \frac{22}{7}$.
• În multe probleme răspunsul se lasă chiar în funcție de $\pi$ (de exemplu $L=10\pi$ cm), pentru că este forma exactă.

Un sfat important: citește cu atenție enunțul problemei. Uneori ți se cere răspunsul exact (îl lași cu $\pi$), alteori ți se dă valoarea $\pi \approx 3,14$ sau $\pi \approx \frac{22}{7}$ și trebuie să dai un răspuns zecimal. Când $d$ (sau $R$) este multiplu de $7$, este mai comod să folosești $\pi \approx \frac{22}{7}$.

4. Formula lungimii cercului

Am văzut că $\pi =\frac{L}{d}$. Dacă înmulțim ambii membri cu $d$, obținem lungimea cercului în funcție de diametru:

$$\boxed{L=\pi d}$$

Dar diametrul este dublul razei, $d=2R$. Înlocuind, obținem forma cu raza:

$$\boxed{L=2\pi R}$$

Cele două formule spun același lucru, doar că una folosește diametrul, iar cealaltă raza. Alegi formula după ce date ai:

• dacă știi raza $R$, folosești $L=2\pi R$;
• dacă știi diametrul $d$, folosești $L=\pi d$.

Verificare rapidă a logicii: dacă dublezi raza, se dublează și lungimea cercului (pentru că $L=2\pi R$ este direct proporțională cu $R$). Un cerc de rază $6$ cm are lungimea de două ori mai mare decât unul de rază $3$ cm. Are sens: un cerc mai mare are marginea mai lungă.

5. Formula inversă: aflarea razei sau a diametrului din lungime

Uneori cunoaștem lungimea cercului și vrem să aflăm raza. Pornim de la $L=2\pi R$ și „izolăm" pe $R$ (exact ca la rezolvarea unei ecuații liniare, vezi Ecuația de forma ax + b = 0):

$$R=\frac{L}{2\pi }$$

Analog, din $L=\pi d$ obținem diametrul:

$$d=\frac{L}{\pi }$$

Aceste formule inverse sunt foarte utile în probleme practice: de exemplu, când cunoști distanța parcursă la o rotație a unei roți și vrei să afli cât de mare este roata.

6. Lungimea unui arc de cerc

Până acum am vorbit despre cercul întreg. Dar de multe ori ne interesează doar o parte din cerc, o „felie" de linie curbă cuprinsă între două puncte. Această porțiune se numește arc de cerc.

Fiecărui arc îi corespunde un unghi la centru, cu vârful în centrul cercului. Măsura arcului (în grade) este egală cu măsura acestui unghi la centru. Un cerc întreg corespunde unghiului de $360°$.

Ideea-cheie este proporționalitatea. Cercul întreg (de $360°$) are lungimea $L=2\pi R$. Un arc de $n$ grade reprezintă fracția $\frac{n}{360}$ din cerc, deci lungimea lui este aceeași fracție din lungimea totală:

$$l=\frac{n}{360}\cdot 2\pi R$$

Să simplificăm această expresie. Avem $\frac{2\pi R\cdot n}{360}$. Împărțim $2$ și $360$ prin $2$ și obținem $\frac{\pi Rn}{180}$. Deci formula lungimii arcului de cerc este:

$$\boxed{l=\frac{\pi Rn}{180}}$$

unde:

• $l$ = lungimea arcului,
• $R$ = raza cercului,
• $n$ = măsura arcului (în grade).

Cum reținem ușor: lungimea arcului este o fracție din lungimea cercului. Fracția este „câte grade are arcul, din cele $360°$ ale cercului întreg". De aceea:

$$l=\frac{n}{360}\cdot L$$

Această a doua scriere este uneori mai comodă, mai ales dacă ai deja calculat $L$.

7. Cazuri speciale utile

Câteva arce apar foarte des, așa că merită să știi la ce fracție din cerc corespund:

Observă legătura cu lecția anterioară, Poligoane regulate înscrise într-un cerc: laturile unui hexagon regulat înscris „taie" cercul în $6$ arce egale de $60°$, iar cele ale unui pătrat înscris în $4$ arce de $90°$.

8. Aplicații practice: roți, piste, distanțe

Cel mai frumos lucru la lungimea cercului este cât de des apare în viața reală. Iată ideea centrală:

Când o roată face o rotație completă fără să alunece, ea înaintează pe sol exact cu lungimea cercului ei.

Deci dacă o roată are lungimea cercului $L$, atunci:

• la o rotație parcurge distanța $L$;
• la $k$ rotații parcurge distanța $k\cdot L$;
• iar numărul de rotații pentru a parcurge o distanță $D$ este $\frac{D}{L}$.

La fel, o pistă circulară de atletism sau un tur complet în jurul unui bazin rotund înseamnă parcurgerea unei lungimi de cerc. Astfel de probleme sunt exact ceea ce cere competența de a modela matematic situații practice. În continuare le rezolvăm pas cu pas.

9. Perimetre de figuri care conțin arce de cerc

Multe figuri din viața reală nu sunt cercuri întregi, ci combinații de segmente drepte și arce: o pistă în formă de „stadion" (dreptunghi cu două semicercuri la capete), o fereastră cu partea de sus rotunjită, o felie de pizza. Pentru astfel de figuri, perimetrul se obține adunând lungimile tuturor părților — segmentele drepte se măsoară obișnuit, iar arcele cu formula $l=\frac{\pi Rn}{180}$.

De exemplu, la un „sector de cerc" (o felie mărginită de două raze și un arc), conturul are trei părți: două raze (segmente de lungime $R$) și un arc. Deci perimetrul feliei este:

$$P=2R+l=2R+\frac{\pi Rn}{180}.$$

Atenție să nu confunzi lungimea arcului cu perimetrul întregii felii: perimetrul include și cele două raze, nu doar arcul curbat. Vom folosi această idee într-unul dintre exemplele de mai jos.

10. Legătura cu proporționalitatea directă

Merită să observi cât de „prietenoase" sunt aceste formule. Lungimea cercului $L=2\pi R$ ne spune că $L$ și $R$ sunt direct proporționale: raportul $\frac{L}{R}=2\pi$ este constant. La fel, într-un cerc fixat, lungimea arcului $l=\frac{\pi R}{180}\cdot n$ este direct proporțională cu măsura arcului $n$ — un arc de două ori mai mare (în grade) are lungimea de două ori mai mare. Aceste observații te ajută să verifici rapid dacă un răspuns are sens: dacă ai dublat raza și lungimea nu s-a dublat, ai greșit undeva.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Lungimea cercului cunoscând raza

Enunț: Un cerc are raza $R=5$ cm. Află lungimea cercului. Dă răspunsul exact (în funcție de $\pi$) și apoi aproximativ, cu $\pi \approx 3,14$.

Rezolvare: Folosim formula cu raza: $$L=2\pi R=2\cdot \pi \cdot 5=10\pi \text{ cm}.$$ Aceasta este forma exactă. Pentru forma aproximativă înlocuim $\pi \approx 3,14$: $$L\approx 10\cdot 3,14=31,4\text{ cm}.$$

Răspuns: $L=10\pi \approx 31,4$ cm.

Exemplul 2 — Lungimea cercului cunoscând diametrul

Enunț: O farfurie rotundă are diametrul $d=14$ cm. Cât de lung este conturul farfuriei? Folosește $\pi \approx \frac{22}{7}$.

Rezolvare: Cum știm diametrul, folosim $L=\pi d$: $$L=\frac{22}{7}\cdot 14=\frac{22\cdot 14}{7}=22\cdot 2=44\text{ cm}.$$ Am ales $\pi \approx \frac{22}{7}$ tocmai pentru că $14$ este multiplu de $7$, iar calculul iese „rotund".

Răspuns: $L=44$ cm.

Exemplul 3 — Lungimea unui arc de $60°$

Enunț: Într-un cerc de rază $R=9$ cm se consideră un arc de măsură $n=60°$. Află lungimea arcului. Folosește $\pi \approx 3,14$.

Rezolvare: Aplicăm formula arcului: $$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 9\cdot 60}{180}.$$ Simplificăm întâi partea numerică: $\frac{9\cdot 60}{180}=\frac{540}{180}=3$. Deci: $$l=3\pi \text{ cm}\approx 3\cdot 3,14=9,42\text{ cm}.$$

Verificare prin fracții: un arc de $60°$ este $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$ din cerc. Cum $L=2\pi \cdot 9=18\pi$, avem $l=\frac{1}{6}\cdot 18\pi =3\pi$. Aceeași valoare — foarte bine.

Răspuns: $l=3\pi \approx 9,42$ cm.

Exemplul 4 — Lungimea unui arc de $120°$

Enunț: Un arc de cerc are măsura $n=120°$, iar raza cercului este $R=6$ cm. Cât este lungimea arcului? ($\pi \approx 3,14$)

Rezolvare: $$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 6\cdot 120}{180}.$$ Partea numerică: $\frac{6\cdot 120}{180}=\frac{720}{180}=4$. Deci: $$l=4\pi \text{ cm}\approx 4\cdot 3,14=12,56\text{ cm}.$$

Răspuns: $l=4\pi \approx 12,56$ cm.

Exemplul 5 — O problemă cu roata (aplicație practică)

Enunț: Roata din față a unei biciclete are diametrul $d=70$ cm. Ce distanță parcurge bicicleta după ce roata face $100$ de rotații complete? Dă răspunsul în metri, cu $\pi \approx 3,14$.

Rezolvare: Pasul 1 — lungimea unei rotații. La o rotație, roata înaintează cu lungimea cercului ei: $$L=\pi d=3,14\cdot 70=219,8\text{ cm}.$$ Pasul 2 — distanța la $100$ de rotații. $$D=100\cdot L=100\cdot 219,8=21980\text{ cm}.$$ Pasul 3 — transformăm în metri. Cum $1$ m $=100$ cm: $$D=\frac{21980}{100}=219,8\text{ m}.$$

Răspuns: bicicleta parcurge $219,8$ m.

Exemplul 6 — Problema inversă: aflarea razei din lungime

Enunț: Lungimea unui cerc este $L=62,8$ cm. Află raza cercului. ($\pi \approx 3,14$)

Rezolvare: Pornim de la $L=2\pi R$ și izolăm raza: $$R=\frac{L}{2\pi }=\frac{62,8}{2\cdot 3,14}=\frac{62,8}{6,28}=10\text{ cm}.$$ Verificare: dacă $R=10$, atunci $L=2\cdot 3,14\cdot 10=62,8$ cm. Corect.

Răspuns: $R=10$ cm.

Exemplul 7 — Aflarea măsurii unui arc din lungimea lui

Enunț: Într-un cerc de rază $R=15$ cm, un arc are lungimea $l=5\pi$ cm. Câte grade are arcul?

Rezolvare: Pornim de la $l=\frac{\pi Rn}{180}$ și izolăm $n$: $$n=\frac{180\cdot l}{\pi R}=\frac{180\cdot 5\pi }{\pi \cdot 15}.$$ Simplificăm $\pi$ de la numărător cu $\pi$ de la numitor: $$n=\frac{180\cdot 5}{15}=\frac{900}{15}=60.$$

Răspuns: arcul are $60°$.

Exemplul 8 — Perimetrul unui sector de cerc (felie)

Enunț: O felie de tort are forma unui sector de cerc cu raza $R=10$ cm și unghiul la centru de $90°$. Cât este perimetrul feliei (conturul ei)? ($\pi \approx 3,14$)

Rezolvare: Conturul feliei este format din două raze și arcul dintre ele. Pasul 1 — arcul. $$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 10\cdot 90}{180}=5\pi \approx 15,7\text{ cm}.$$ Pasul 2 — perimetrul. Adăugăm cele două raze: $$P=2R+l=2\cdot 10+5\pi =20+5\pi \approx 20+15,7=35,7\text{ cm}.$$

Observă: dacă am fi răspuns doar cu $l=15,7$ cm, am fi dat greșit doar lungimea arcului, nu perimetrul întregii felii.

Răspuns: $P=20+5\pi \approx 35,7$ cm.

Exemplul 9 — Perimetrul unei piste în formă de „stadion"

Enunț: O pistă are forma unui „stadion": un dreptunghi cu două semicercuri lipite pe laturile scurte. Laturile lungi ale dreptunghiului au fiecare $a=80$ m, iar laturile scurte (care sunt totodată diametrele semicercurilor) au $20$ m. Cât este lungimea totală a pistei (perimetrul figurii)? ($\pi \approx 3,14$)

Rezolvare: Conturul figurii este format din cele două laturi lungi ale dreptunghiului și din cele două semicercuri de la capete. Atenție: laturile scurte ale dreptunghiului nu fac parte din contur — pe acolo se lipesc semicercurile.

Pasul 1 — cele două laturi drepte. $$2a=2\cdot 80=160\text{ m}.$$ Pasul 2 — cele două semicercuri. Fiecare semicerc are diametrul $d=20$ m, deci raza $R=10$ m. Două semicercuri egale formează împreună un cerc întreg, așa că lungimea lor totală este: $$2\cdot \pi R=2\cdot 3,14\cdot 10=62,8\text{ m}.$$ (Echivalent: un cerc întreg de rază $10$ m, $L=2\pi R=62,8$ m.) Pasul 3 — perimetrul total. $$P=160+62,8=222,8\text{ m}.$$

Această idee — că două semicercuri egale se adună la un cerc întreg — apare des și îți simplifică mult calculele.

Răspuns: $P=222,8$ m.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, scriind formula folosită la fiecare pas. Unde nu se precizează altfel, poți lăsa răspunsul în funcție de $\pi$ și să dai aproximarea cu $\pi \approx 3,14$.

1. Calculează lungimea cercului de rază $R=3$ cm.
2. Calculează lungimea cercului de diametru $d=10$ cm.
3. Un cerc are raza $R=7$ cm. Află lungimea lui folosind $\pi \approx \frac{22}{7}$.
4. Lungimea unui cerc este $L=31,4$ cm. Află raza. ($\pi \approx 3,14$)
5. Lungimea unui cerc este $L=44$ cm. Află diametrul, cu $\pi \approx \frac{22}{7}$.
6. Într-un cerc de rază $R=8$ cm, află lungimea unui arc de $90°$.
7. Într-un cerc de rază $R=12$ cm, află lungimea unui arc de $45°$.
8. Un arc de $30°$ este dus într-un cerc de rază $R=18$ cm. Cât este lungimea arcului?
9. Află lungimea unui semicerc de rază $R=7$ cm, cu $\pi \approx \frac{22}{7}$.
10. Adevărat sau fals (motivează): „Dacă dublezi raza unui cerc, lungimea lui se dublează."
11. Adevărat sau fals (motivează): „Un arc de $180°$ are lungimea egală cu jumătate din lungimea cercului."
12. Într-un cerc de rază $R=6$ cm, un arc are lungimea $l=4\pi$ cm. Câte grade are arcul?
13. Roata unei trotinete are diametrul $d=0,5$ m. Câte rotații complete face roata pe o distanță de $1570$ m? ($\pi \approx 3,14$)
14. O pistă de alergare are formă de cerc cu raza $R=100$ m. Un atlet aleargă $5$ ture complete. Ce distanță parcurge? Dă răspunsul în metri și în kilometri. ($\pi \approx 3,14$)
15. Un ceas de perete are minutarul de lungime $10$ cm. Ce distanță parcurge vârful minutarului în $20$ de minute? ($\pi \approx 3,14$)
16. Două cercuri au razele $R_1=4$ cm și $R_2=6$ cm. Cu cât este mai lung cercul al doilea decât primul? (răspuns exact, în funcție de $\pi$)
17. Într-un cerc de rază $R=9$ cm se consideră un arc de $120°$ și un arc de $60°$. De câte ori este mai lung primul arc decât al doilea?
18. Un teren circular are lungimea gardului (circumferința) de $88$ m. Care este raza terenului? ($\pi \approx \frac{22}{7}$)
19. Un sector de cerc are raza $R=6$ cm și unghiul la centru de $60°$. Află perimetrul sectorului (contur = două raze + arc). ($\pi \approx 3,14$)
20. O fereastră are partea de sus în formă de semicerc de diametru $20$ cm. Cât este lungimea conturului semicercului, adică arcul plus diametrul care îl închide? ($\pi \approx 3,14$)
21. Într-un cerc de rază $R=9$ cm se duce un arc de $40°$. Află lungimea arcului. ($\pi \approx 3,14$)
22. O pistă are formă de „stadion": un dreptunghi cu laturile lungi de $50$ m, având la fiecare capăt câte un semicerc cu diametrul de $14$ m. Cât este perimetrul pistei? ($\pi \approx \frac{22}{7}$)

Răspunsuri și explicații

1. $L=2\pi R=2\pi \cdot 3=6\pi \approx 18,84$ cm.
2. $L=\pi d=10\pi \approx 31,4$ cm.
3. $L=2\pi R=2\cdot \frac{22}{7}\cdot 7=2\cdot 22=44$ cm. ($7$ se simplifică frumos cu numitorul.)
4. $R=\frac{L}{2\pi }=\frac{31,4}{2\cdot 3,14}=\frac{31,4}{6,28}=5$ cm.
5. $d=\frac{L}{\pi }=\frac{44}{\frac{22}{7}}=44\cdot \frac{7}{22}=2\cdot 7=14$ cm.
6. Arc de $90°$ = sfert de cerc: $l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 8\cdot 90}{180}=\frac{8\pi }{2}=4\pi \approx 12,56$ cm.
7. $l=\frac{\pi \cdot 12\cdot 45}{180}=\frac{540\pi }{180}=3\pi \approx 9,42$ cm. (Arcul de $45°$ este $\frac{1}{8}$ din cerc, iar $L=24\pi$, deci $\frac{24\pi }{8}=3\pi$.)
8. $l=\frac{\pi \cdot 18\cdot 30}{180}=\frac{540\pi }{180}=3\pi \approx 9,42$ cm.
9. Semicerc = jumătate din cerc: $l=\pi R=\frac{22}{7}\cdot 7=22$ cm.
10. Adevărat. În formula $L=2\pi R$, $L$ este direct proporțională cu $R$; dacă $R$ devine $2R$, atunci $L$ devine $2\pi \cdot 2R=4\pi R$, adică dublul lui $2\pi R$.
11. Adevărat. Un arc de $180°$ reprezintă $\frac{180}{360}=\frac{1}{2}$ din cerc, deci lungimea lui este jumătate din $L$. (Verificare: $l=\frac{\pi R\cdot 180}{180}=\pi R$, iar $\frac{L}{2}=\frac{2\pi R}{2}=\pi R$.)
12. $n=\frac{180\cdot l}{\pi R}=\frac{180\cdot 4\pi }{\pi \cdot 6}=\frac{720}{6}=120°$.
13. Lungimea unei rotații: $L=\pi d=3,14\cdot 0,5=1,57$ m. Numărul de rotații: $\frac{1570}{1,57}=1000$ rotații.
14. Lungimea unei ture: $L=2\pi R=2\cdot 3,14\cdot 100=628$ m. Pentru $5$ ture: $5\cdot 628=3140$ m $=3,14$ km.
15. Vârful minutarului descrie un cerc de rază $R=10$ cm. În $60$ de minute face un cerc întreg; în $20$ de minute parcurge $\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ din cerc. $L=2\pi \cdot 10=20\pi$; distanța $=\frac{1}{3}\cdot 20\pi =\frac{20\pi }{3}\approx \frac{62,8}{3}\approx 20,93$ cm. (Echivalent: arc de $120°$, căci în $20$ min minutarul mătură $120°$.)
16. $L_1=2\pi \cdot 4=8\pi$; $L_2=2\pi \cdot 6=12\pi$. Diferența: $12\pi -8\pi =4\pi \approx 12,56$ cm.
17. Arcul de $120°$: $l_1=\frac{\pi \cdot 9\cdot 120}{180}=6\pi$. Arcul de $60°$: $l_2=\frac{\pi \cdot 9\cdot 60}{180}=3\pi$. Raportul: $\frac{6\pi }{3\pi }=2$. Primul arc este de $2$ ori mai lung (logic, $120°$ e dublul lui $60°$).
18. $R=\frac{L}{2\pi }=\frac{88}{2\cdot \frac{22}{7}}=\frac{88}{\frac{44}{7}}=88\cdot \frac{7}{44}=2\cdot 7=14$ m.
19. Arcul: $l=\frac{\pi \cdot 6\cdot 60}{180}=2\pi \approx 6,28$ cm. Perimetrul: $P=2R+l=12+2\pi \approx 12+6,28=18,28$ cm.
20. Diametrul $d=20$ cm, deci raza $R=10$ cm. Arcul semicercului: $l=\pi R=3,14\cdot 10=31,4$ cm. Conturul cerut = arc + diametru $=31,4+20=51,4$ cm.
21. $l=\frac{\pi \cdot 9\cdot 40}{180}=\frac{360\pi }{180}=2\pi \approx 6,28$ cm.
22. Cele două laturi drepte: $2\cdot 50=100$ m. Cele două semicercuri (diametru $14$ m, rază $R=7$ m) formează un cerc întreg: $L=2\pi R=2\cdot \frac{22}{7}\cdot 7=44$ m. Perimetrul: $P=100+44=144$ m.

De reținut

• Numărul π este raportul constant dintre lungimea oricărui cerc și diametrul lui: $\pi =\frac{L}{d}\approx 3,14\approx \frac{22}{7}$. Este un număr irațional.
• Lungimea cercului: $L=2\pi R=\pi d$. Folosește raza sau diametrul, după datele problemei.
• Formule inverse: $R=\frac{L}{2\pi }$ și $d=\frac{L}{\pi }$.
• Lungimea arcului de $n$ grade: $l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{n}{360}\cdot L$. Arcul este o fracție din cerc.
• La roți: o rotație completă = o lungime de cerc parcursă pe sol.

Greșeli frecvente

• Confunzi raza cu diametrul. Formula $L=2\pi R$ folosește raza, iar $L=\pi d$ folosește diametrul. Dacă ți se dă diametrul și pui $L=2\pi d$, dublezi greșit rezultatul. Verifică mereu: $d=2R$.
• Uiți să simplifici înainte de a înmulți cu π în formula arcului. La $l=\frac{\pi Rn}{180}$, simplifică mai întâi partea numerică $\frac{R\cdot n}{180}$; e mai simplu și eviți greșelile de calcul.
• Amesteci unitățile de măsură. Dacă raza e în centimetri, lungimea iese în centimetri; nu compara direct cu metri fără transformare. La probleme cu roți, transformă cm în m ($1$ m $=100$ cm) la final.
• Rotunjești prea devreme. Dacă înlocuiești $\pi \approx 3,14$ de la început și apoi mai faci multe operații, aduni erori. Când poți, lucrează exact (cu $\pi$) și aproximează doar la sfârșit.

Aplică acasă

1. Măsoară-ți propriul π. Ia trei obiecte rotunde din casă (o cană, un capac, o farfurie). Cu o sfoară măsoară lungimea marginii ($L$), iar cu rigla măsoară diametrul ($d$). Calculează pentru fiecare $L:d$. Ar trebui să obții de fiecare dată un număr apropiat de $3,14$. Notează rezultatele într-un tabel.
2. Cât merge bicicleta ta la un tur de roată? Măsoară diametrul roții bicicletei (sau al unei trotinete). Calculează $L=\pi d$. Apoi estimează câte rotații face roata pe drumul de acasă până la școală, împărțind distanța la $L$.
3. Pista din curte. Dacă ai acces la un teren circular (rotondă, bazin rotund, cerc desenat pe teren), estimează-i raza pășind de la centru spre margine, apoi calculează câți metri parcurgi într-un tur complet și în $3$ ture.

Pentru părinți și profesori

Această lecție introduce numărul $\pi$ și cele două formule esențiale ale cercului. Cel mai puternic mod de a-l ajuta pe elev este experimentul cu sfoara: măsurând el însuși raportul $L:d$ pe obiecte reale, copilul înțelege că $\pi$ nu este un număr „inventat", ci o proprietate descoperită a cercului. Această experiență directă fixează formula mult mai bine decât memorarea seacă.

Întrebări bune de verificare:

• „Care formulă folosești dacă îți dau raza? Dar dacă îți dau diametrul?" (răspuns: $2\pi R$, respectiv $\pi d$).
• „De ce arcul de $90°$ are lungimea egală cu un sfert din lungimea cercului?" (verifică dacă a înțeles ideea de fracție: $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$).
• „Ce distanță parcurge o roată la o rotație completă?" (răspuns: lungimea cercului ei).

Semne că a înțeles: alege corect între cele două formule fără ezitare, simplifică partea numerică în formula arcului înainte de a înmulți cu $\pi$ și transformă corect unitățile (cm ↔ m) în problemele cu roți. Dacă greșește, cel mai des confuzia este între rază și diametru — reamintiți-i că $d=2R$.

Întrebări frecvente

Care este formula lungimii cercului la clasa a 7-a? Lungimea cercului este $L=2\pi R$, unde $R$ este raza. Dacă știi diametrul $d$, folosești forma echivalentă $L=\pi d$, pentru că $d=2R$. Ambele dau același rezultat.

Ce este numărul π și cât valorează? Numărul $\pi$ este raportul constant dintre lungimea oricărui cerc și diametrul său: $\pi =\frac{L}{d}$. Este un număr irațional (zecimale infinite, neperiodice), aproximat de obicei cu $\pi \approx 3,14$ sau cu fracția $\frac{22}{7}$.

Care este formula lungimii arcului de cerc? Lungimea unui arc de măsură $n$ grade dintr-un cerc de rază $R$ este $l=\frac{\pi Rn}{180}$. Echivalent, arcul este fracția $\frac{n}{360}$ din întregul cerc, deci $l=\frac{n}{360}\cdot L$.

Când folosesc $\pi \approx 3,14$ și când $\pi \approx \frac{22}{7}$? Folosești valoarea pe care o cere enunțul. Dacă nu e precizată, alege în funcție de date: când raza sau diametrul este multiplu de $7$, fracția $\frac{22}{7}$ dă calcule mai simple; altfel, $3,14$ este comod. Când se cere răspuns exact, lași rezultatul în funcție de $\pi$.

Cum aflu raza dacă știu lungimea cercului? Pornești de la $L=2\pi R$ și izolezi raza: $R=\frac{L}{2\pi }$. De exemplu, dacă $L=62,8$ cm și $\pi \approx 3,14$, atunci $R=\frac{62,8}{6,28}=10$ cm.

Ce legătură are lungimea cercului cu roțile? La o rotație completă, o roată care nu alunecă înaintează pe sol exact cu lungimea cercului ei. Astfel, distanța parcursă la $k$ rotații este $k\cdot L$, iar numărul de rotații pentru o distanță $D$ este $\frac{D}{L}$.

Care este diferența dintre lungimea cercului și aria cercului? Lungimea cercului măsoară conturul (linia curbă) și se exprimă în unități de lungime (cm, m). Aria măsoară suprafața din interior și se exprimă în unități pătrate. Aria discului o studiezi în lecția următoare, Aria discului și aria sectorului de cerc.

Cât este lungimea unui semicerc? Un semicerc este un arc de $180°$, adică jumătate de cerc. Lungimea lui este $l=\pi R$ (jumătate din $L=2\pi R$). De exemplu, pentru $R=7$ cm și $\pi \approx \frac{22}{7}$, semicercul are $22$ cm.