Coarde și arce congruente în cerc

Ai observat vreodată roțile unei biciclete, cadranul unui ceas sau feliile egale dintr-o pizza rotundă? În toate aceste situații apar segmente care unesc puncte de pe același cerc și „bucăți" de cerc de aceeași mărime. În această lecție despre coarde și arce congruente în cerc vei descoperi o legătură foarte elegantă: dacă două arce sunt la fel de mari, atunci și coardele care le „închid" sunt la fel de mari. Este o proprietate simplă de enunțat, dar surprinzător de puternică atunci când rezolvi probleme de geometrie.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o coardă și arcul subîntins de o coardă într-un cerc.
• Vei ști să folosești teorema „la arce congruente corespund coarde congruente" și reciproca ei.
• Vei ști să folosești distanța de la centru la coardă pentru a compara două coarde.
• Vei ști că două coarde egal depărtate de centru sunt congruente și reciproc.
• Vei ști să rezolvi probleme cu coarde și arce congruente în cerc, justificând corect fiecare pas.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o coardă și ce este un arc

Ne aducem aminte câteva noțiuni de la cercul studiat anterior. Fie un cerc de centru $O$ și rază $r$. Toate punctele cercului se află la aceeași distanță $r$ de centrul $O$.

Coarda este segmentul care unește două puncte oarecare de pe cerc. Dacă $A$ și $B$ sunt două puncte de pe cerc, atunci segmentul $[AB]$ este o coardă. Cea mai lungă coardă dintr-un cerc este diametrul, adică acea coardă care trece prin centrul $O$; lungimea diametrului este $2r$.

Orice coardă $[AB]$ împarte cercul în două „bucăți" numite arce. Bucata mai scurtă se numește arcul mic, iar bucata mai lungă se numește arcul mare. Coarda $[AB]$ „subîntinde" (adică se sprijină pe) aceste arce. Când spunem simplu arcul $AB$, ne referim de obicei la arcul mic, dacă nu se precizează altfel.

Măsura unui arc se exprimă în grade și este egală cu măsura unghiului la centru care „vede" acel arc. Unghiul la centru este unghiul cu vârful în $O$ și cu laturile pe razele $OA$ și $OB$. Adică: $$m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=m(\angle AOB).$$

De exemplu, dacă $m(\angle AOB)=70^{\circ }$, atunci arcul mic $AB$ are $70^{\circ }$, iar arcul mare $AB$ are $360^{\circ }-70^{\circ }=290^{\circ }$ (pentru că întregul cerc are $360^{\circ }$).

2. Ce înseamnă „arce congruente" și „coarde congruente"

Două figuri sunt congruente dacă au aceeași mărime (se suprapun perfect). Deci:

• Două coarde sunt congruente dacă au aceeași lungime. Scriem $[AB]\equiv [CD]$, ceea ce înseamnă $AB=CD$.
• Două arce sunt congruente dacă au aceeași măsură (în grade) în același cerc (sau în cercuri de rază egală). Scriem $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$, ceea ce înseamnă $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}})$.

Atenție la un detaliu important: proprietățile din această lecție se referă la același cerc (sau la cercuri congruente, adică de aceeași rază). Într-un cerc mare și unul mic, un arc de $60^{\circ }$ dintr-un cerc și un arc de $60^{\circ }$ din celălalt au aceeași măsură în grade, dar coardele lor NU sunt egale, pentru că razele diferă. De aceea, peste tot în lecție lucrăm în același cerc.

3. Teorema principală: la arce congruente corespund coarde congruente

Acum ajungem la ideea centrală a lecției. Intuiția ne spune deja ceva: dacă „decupăm" din același cerc două bucăți de arc la fel de mari, capetele lor vor fi la fel de depărtate, deci și coardele vor fi egale. Să transformăm această intuiție într-o teoremă riguroasă.

Teoremă. Într-un cerc (sau în cercuri congruente), la arce congruente corespund coarde congruente.

Ipoteză: cercul de centru $O$; punctele $A,B,C,D$ pe cerc; $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ (arce mici).

Concluzie: $[AB]\equiv [CD]$, adică $AB=CD$.

Demonstrație. Măsura fiecărui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: $$m(\angle AOB)=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}})=m(\angle COD).$$ Comparăm acum triunghiurile $AOB$ și $COD$:

• $OA=OC=r$ (raze ale aceluiași cerc);
• $OB=OD=r$ (raze ale aceluiași cerc);
• $\angle AOB\equiv \angle COD$ (au aceeași măsură, tocmai am arătat).

Prin urmare, triunghiurile $AOB$ și $COD$ sunt congruente conform cazului L.U.L. (latură–unghi–latură). Din congruența triunghiurilor rezultă că laturile corespunzătoare sunt egale, deci $AB=CD$. Așadar $[AB]\equiv [CD]$. $■$

Reține analogia: unghiurile la centru sunt ca niște „foarfeci" cu vârful în $O$. Dacă deschizi foarfecele la fel de mult (același unghi), capetele lor ajung mereu la aceeași depărtare — de aici egalitatea coardelor.

4. Reciproca: la coarde congruente corespund arce congruente

Proprietatea funcționează și „invers". Dacă pornim de la coarde egale, obținem arce egale.

Teoremă (reciproca). Într-un cerc (sau în cercuri congruente), la coarde congruente corespund arce congruente.

Ipoteză: cercul de centru $O$; $A,B,C,D$ pe cerc; $[AB]\equiv [CD]$, adică $AB=CD$.

Concluzie: $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$.

Demonstrație. Comparăm din nou triunghiurile $AOB$ și $COD$:

• $OA=OC=r$ (raze);
• $OB=OD=r$ (raze);
• $AB=CD$ (din ipoteză).

Cele trei laturi sunt respectiv egale, deci triunghiurile sunt congruente conform cazului L.L.L. (latură–latură–latură). Rezultă că unghiurile corespunzătoare sunt egale: $\angle AOB\equiv \angle COD$. Dar aceste unghiuri sunt unghiuri la centru, deci: $$m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=m(\angle AOB)=m(\angle COD)=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}),$$ adică $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$. $■$

Punând cele două teoreme împreună, obținem o echivalență foarte utilă: $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}⟺[AB]\equiv [CD].$$ Adică, în același cerc, arce congruente dacă și numai dacă coarde congruente. Ori de câte ori știi una dintre egalități, o obții imediat pe cealaltă.

5. Distanța de la centru la o coardă

Ne pregătim acum pentru a treia proprietate importantă. Avem nevoie de noțiunea de distanță de la un punct la o dreaptă, pe care o cunoști: este lungimea segmentului perpendicular dus din acel punct pe dreaptă.

Fie coarda $[AB]$ într-un cerc de centru $O$. Ducem din $O$ perpendiculara $OM$ pe coardă, unde $M\in [AB]$. Distanța de la centru la coardă este $d=OM$.

Un fapt foarte util (pe care îl vei studia detaliat în lecția despre diametrul perpendicular pe o coardă) este că perpendiculara dusă din centru pe o coardă cade în mijlocul coardei. Deci $M$ este mijlocul lui $[AB]$, adică $AM=MB=\frac{AB}{2}$.

De ce contează distanța $d$? Pentru că ea ne spune „cât de aproape de centru" trece coarda. Gândește-te intuitiv: o coardă care trece chiar prin centru (diametrul) are distanța $d=0$ și este cea mai lungă. Cu cât coarda se depărtează mai mult de centru, cu atât devine mai scurtă, până când, la distanța $d=r$, ea se reduce la un singur punct (dreapta devine tangentă). Deci există o legătură clară între lungimea coardei și distanța ei față de centru.

Această legătură se poate scrie exact cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $OMA$ (dreptunghic în $M$), pe care o vei studia în detaliu în alte lecții din clasa a VII-a: $$O{A}^2=O{M}^2+M{A}^2,\text{adica˘}{r}^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.$$ Din această relație se vede clar: dacă $d$ (distanța) este aceeași, atunci și $\frac{AB}{2}$ este aceeași, deci $AB$ este aceeași. Aici este cheia proprietății următoare.

6. Coarde egal depărtate de centru sunt congruente (și reciproc)

Teoremă. Într-un cerc, două coarde egal depărtate de centru sunt congruente. Reciproc, două coarde congruente sunt egal depărtate de centru.

Ipoteză (sensul direct): cercul de centru $O$; coardele $[AB]$ și $[CD]$; distanțele de la centru sunt egale: $OM=ON$, unde $M$ și $N$ sunt picioarele perpendicularelor din $O$ pe cele două coarde.

Concluzie: $AB=CD$.

Demonstrație. Știm că perpendiculara din centru înjumătățește coarda, deci $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ este mijlocul lui $[CD]$. Comparăm triunghiurile dreptunghice $OMA$ (dreptunghic în $M$) și $ONC$ (dreptunghic în $N$):

• $OA=OC=r$ (raze) — ipotenuzele;
• $OM=ON$ (din ipoteză) — câte o catetă.

Prin cazul I.C. (ipotenuză–catetă) pentru triunghiuri dreptunghice, cele două triunghiuri sunt congruente. Rezultă $MA=NC$. Dar $AB=2\cdot MA$ și $CD=2\cdot NC$, deci $AB=CD$. $■$

Reciproca se justifică la fel, folosind relația $r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$: dacă $AB=CD$, atunci $\left(\frac{AB}{2}\right)=\left(\frac{CD}{2}\right)$, iar din $r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$ rezultă că $d$ (distanța) este aceeași pentru ambele coarde.

Această teoremă ne dă o a doua metodă de a compara coardele: în loc să comparăm direct lungimile sau arcele, comparăm distanțele lor față de centru. Reținem regula practică:

Cu cât o coardă este mai aproape de centru, cu atât este mai lungă. Coarde egal depărtate de centru sunt egale.

Vei folosi această idee și în lecția următoare, despre coarde paralele și coarde egal depărtate de centru.

7. Cum le legăm pe toate

Am obținut trei „poduri" între noțiuni, în același cerc:

1. Arce congruente $⟺$ coarde congruente (prin unghiul la centru și triunghiurile din centru).
2. Coarde congruente $⟺$ distanțe la centru egale (prin triunghiurile dreptunghice și Pitagora).
3. Prin combinare: arce congruente $⟺$ coarde congruente $⟺$ distanțe la centru egale.

Ai deci trei „limbaje" pentru aceeași realitate. Într-o problemă, alegi limbajul cel mai comod: dacă ți se dau unghiuri la centru, mergi pe arce; dacă ți se dau lungimi, mergi pe coarde; dacă apar perpendiculare din centru, mergi pe distanțe.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la arce la coarde

Într-un cerc de centru $O$ avem punctele $A,B,C,D$ astfel încât $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=48^{\circ }$ și $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}})=48^{\circ }$. Se știe că $AB=6$ cm. Cât este $CD$?

Rezolvare. Cele două arce au aceeași măsură, deci sunt congruente: $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$. Conform teoremei „la arce congruente corespund coarde congruente", rezultă $[AB]\equiv [CD]$, adică $CD=AB=6$ cm.

Răspuns: $CD=6$ cm.

Exemplul 2 — De la coarde la unghiuri la centru

Într-un cerc de centru $O$, coardele $[MN]$ și $[PQ]$ sunt congruente: $MN=PQ$. Se știe că $m(\angle MON)=65^{\circ }$. Cât este $m(\angle POQ)$?

Rezolvare. Coardele fiind congruente, prin reciproca teoremei, arcele subîntinse sunt congruente: $$m(\stackrel{⌢}{\mathrm{MN}})=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{PQ}}).$$ Dar măsura arcului este egală cu măsura unghiului la centru, deci: $$m(\angle POQ)=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{PQ}})=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{MN}})=m(\angle MON)=65^{\circ }.$$

Răspuns: $m(\angle POQ)=65^{\circ }$.

Exemplul 3 — Coarde egal depărtate de centru

Într-un cerc de centru $O$, coardele $[AB]$ și $[CD]$ sunt egal depărtate de centru: distanța de la $O$ la fiecare este de $8$ cm. Se știe că $AB=30$ cm. Cât este $CD$?

Rezolvare. Coardele fiind egal depărtate de centru ($OM=ON=8$ cm), conform teoremei „coarde egal depărtate de centru sunt congruente", rezultă $AB=CD$. Deci $CD=30$ cm.

(Observație: distanța de $8$ cm nici nu a fost necesară pentru concluzie — a fost dată doar pentru context. Egalitatea distanțelor este suficientă.)

Răspuns: $CD=30$ cm.

Exemplul 4 — Calcul cu distanța și Pitagora

Într-un cerc de rază $r=13$ cm, o coardă $[AB]$ se află la distanța $d=5$ cm de centru. O a doua coardă $[CD]$ se află tot la $5$ cm de centru. Aflați lungimea coardei $CD$.

Rezolvare. Fie $M$ mijlocul lui $[AB]$ (piciorul perpendicularei din $O$). În triunghiul dreptunghic $OMA$, cu $OA=r=13$ și $OM=d=5$, aplicăm teorema lui Pitagora: $$M{A}^2=O{A}^2-O{M}^2=13^2-5^2=169-25=144,$$ deci $MA=12$ cm. Atunci $AB=2\cdot MA=24$ cm.

Coarda $[CD]$ este egal depărtată de centru cu $[AB]$ (ambele la $5$ cm), deci este congruentă cu ea: $CD=AB=24$ cm.

Răspuns: $CD=24$ cm.

Exemplul 5 — Triunghi isoscel format de o coardă

Într-un cerc de centru $O$ și rază $10$ cm, coarda $[AB]$ subîntinde un arc de $60^{\circ }$. Arătați că triunghiul $OAB$ este echilateral și aflați $AB$.

Rezolvare. Unghiul la centru este $m(\angle AOB)=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=60^{\circ }$. În triunghiul $OAB$ avem $OA=OB=10$ cm (raze), deci triunghiul este isoscel. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale: $$m(\angle OAB)=m(\angle OBA)=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$ Toate cele trei unghiuri au $60^{\circ }$, deci triunghiul $OAB$ este echilateral. Prin urmare toate laturile sunt egale: $AB=OA=OB=10$ cm.

Răspuns: triunghiul $OAB$ este echilateral, iar $AB=10$ cm.

Observație interesantă: acest rezultat arată că latura hexagonului regulat înscris într-un cerc este egală cu raza cercului, pentru că un hexagon regulat împarte cercul în $6$ arce de $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$. Vei reveni la această idee la lecția despre poligoane regulate înscrise într-un cerc.

Exemplul 6 — Adevărat sau fals, cu justificare

Într-un cerc de centru $O$, coarda $[AB]$ este la distanța de $4$ cm de centru, iar coarda $[CD]$ este la distanța de $6$ cm de centru. Un elev afirmă: „Atunci $AB=CD$." Este corect? Justifică.

Rezolvare. Afirmația este falsă. Teorema spune că sunt congruente doar coardele egal depărtate de centru. Aici distanțele sunt diferite ($4$ cm față de $6$ cm), deci concluzia egalității nu se aplică. Mai mult, coarda mai apropiată de centru este mai lungă, deci $AB>CD$ (coarda de la $4$ cm este mai lungă decât cea de la $6$ cm). Egalitatea coardelor este exclusă.

Răspuns: Fals; de fapt $AB>CD$, fiindcă $[AB]$ este mai aproape de centru.

Exemplul 7 — Aflarea razei din coardă și distanță

Într-un cerc de centru $O$, coarda $[AB]$ are lungimea $24$ cm și se află la distanța de $5$ cm de centru. O a doua coardă $[CD]$ este egal depărtată de centru cu prima. Aflați raza cercului și lungimea coardei $CD$.

Rezolvare. Fie $M$ mijlocul coardei $[AB]$ (piciorul perpendicularei din $O$). Perpendiculara din centru înjumătățește coarda, deci $$MA=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ cm}.$$ În triunghiul dreptunghic $OMA$ (dreptunghic în $M$), cateta $OM=d=5$ cm și cateta $MA=12$ cm, iar ipotenuza $OA$ este chiar raza $r$. Aplicăm teorema lui Pitagora, de data aceasta pentru a afla ipotenuza: $$r^2=O{M}^2+M{A}^2=5^2+12^2=25+144=169,$$ deci $r=\sqrt{169}=13$ cm.

Coarda $[CD]$ este egal depărtată de centru cu $[AB]$ (ambele la $5$ cm), deci, conform teoremei „coarde egal depărtate de centru sunt congruente", avem $CD=AB=24$ cm.

Răspuns: raza este $r=13$ cm, iar $CD=24$ cm.

Observă că aici am folosit relația $r^2=d^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$ „în sens invers": cunoscând coarda și distanța, am aflat raza. Aceeași relație îți permite să afli oricare dintre cele trei mărimi ($r$, $d$ sau lungimea coardei), atunci când le cunoști pe celelalte două.

Să exersăm

Rezolvă în caiet, cu justificări, apoi verifică-te la secțiunea de răspunsuri.

1. Definește cu cuvintele tale ce este o coardă și ce este arcul subîntins de o coardă.

2. Într-un cerc, $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=55^{\circ }$ și $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}})=55^{\circ }$, iar $AB=9$ cm. Cât este $CD$?

3. Într-un cerc de centru $O$, $[MN]\equiv [PQ]$ și $m(\angle MON)=80^{\circ }$. Cât este $m(\angle POQ)$?

4. Coardele $[AB]$ și $[CD]$ dintr-un cerc sunt egal depărtate de centru. Se știe $AB=14$ cm. Cât este $CD$?

5. Adevărat sau fals (cu motivare): „Într-un cerc mic și într-un cerc mare, un arc de $40^{\circ }$ din fiecare are aceeași coardă."

6. Într-un cerc de rază $r=5$ cm, o coardă se află la distanța de $3$ cm de centru. Calculează lungimea coardei.

7. Într-un cerc de centru $O$ și rază $17$ cm, coarda $[AB]$ are lungimea $16$ cm. La ce distanță de centru se află coarda?

8. Într-un cerc, coarda $[AB]$ este la $7$ cm de centru, iar coarda $[EF]$ la $7$ cm de centru. Ce poți spune despre $AB$ și $EF$? Justifică.

9. Coarda $[AB]$ subîntinde un arc de $90^{\circ }$ într-un cerc de rază $6$ cm. Ce fel de triunghi este $OAB$ (unde $O$ este centrul)? Explică.

10. Într-un cerc, $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=3x$ și $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}})=x+40^{\circ }$. Știind că $[AB]\equiv [CD]$, află $x$ (arce mici).

11. Adevărat sau fals (cu motivare): „Dacă două coarde ale aceluiași cerc sunt congruente, atunci ele sunt neapărat paralele."

12. Într-un cerc de centru $O$, coarda $[AB]$ este mai aproape de centru decât coarda $[CD]$. Care coardă este mai lungă? Justifică.

13. Un hexagon regulat $ABCDEF$ este înscris într-un cerc de rază $8$ cm. Cât este lungimea unei laturi a hexagonului? (Indicație: fiecare latură este o coardă care subîntinde un arc de $60^{\circ }$.)

14. Într-un cerc de centru $O$ și rază $10$ cm, două coarde congruente $[AB]$ și $[CD]$ au fiecare lungimea $12$ cm. Află distanța comună de la centru la cele două coarde.

15. Triunghiul $ABC$ este înscris într-un cerc și are $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ (arce mici). Ce fel de triunghi este $ABC$? Justifică folosind legătura arce–coarde.

16. Într-un cerc, patru puncte $A,B,C,D$ împart cercul în arce astfel: $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ și $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{DA}}$. Arată că $AB=CD$ și $BC=DA$ (adică se formează coarde egale două câte două).

17. Într-un cerc de rază $r=25$ cm, o coardă are lungimea $40$ cm. O a doua coardă este egal depărtată de centru cu prima. Află lungimea celei de-a doua coarde și distanța comună de la centru.

18. Problemă de sinteză. Într-un cerc de centru $O$, coardele $[AB]$ și $[CD]$ sunt congruente și se intersectează în punctul $P$ din interiorul cercului. Fie $M$ și $N$ mijloacele lor. Justifică de ce $OM=ON$ și explică ce fel de triunghi este $OMP$.

Răspunsuri și explicații

1. Coarda este segmentul care unește două puncte de pe cerc. Arcul subîntins de o coardă este una dintre cele două „bucăți" de cerc determinate de coardă (arcul mic sau arcul mare); coarda se sprijină pe aceste arce.

2. $CD=9$ cm. Arcele fiind congruente ($55^{\circ }=55^{\circ }$), coardele corespunzătoare sunt congruente.

3. $m(\angle POQ)=80^{\circ }$. Coardele fiind congruente, arcele (deci și unghiurile la centru) sunt congruente.

4. $CD=14$ cm. Coarde egal depărtate de centru sunt congruente.

5. Fals. Aceeași măsură în grade ($40^{\circ }$) nu înseamnă aceeași coardă dacă razele diferă. În cercul mare coarda este mai lungă. Proprietatea „arce congruente $\Rightarrow$ coarde congruente" se aplică doar în același cerc sau în cercuri de rază egală.

6. Coarda $=8$ cm. Cu Pitagora: jumătatea coardei este $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ cm, deci coarda $=2\cdot 4=8$ cm.

7. Distanța $=15$ cm. Jumătatea coardei este $\frac{16}{2}=8$ cm. Cu Pitagora: $d=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ cm.

8. $AB=EF$. Sunt coarde egal depărtate de centru (ambele la $7$ cm), deci sunt congruente.

9. Triunghiul $OAB$ este dreptunghic isoscel. Este isoscel pentru că $OA=OB=6$ cm (raze), iar unghiul din vârf $m(\angle AOB)=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=90^{\circ }$ este drept. Deci este dreptunghic în $O$ și isoscel.

10. $x=20^{\circ }$. Coardele congruente $\Rightarrow$ arce congruente $\Rightarrow$ $3x=x+40^{\circ }\Rightarrow 2x=40^{\circ }\Rightarrow x=20^{\circ }$. (Verificare: ambele arce au $60^{\circ }$.)

11. Fals. Coarde congruente au aceeași lungime, dar pot fi orientate în orice direcție; de exemplu, două laturi alăturate ale unui hexagon regulat înscris sunt coarde egale, dar nu sunt paralele. Congruența nu impune paralelismul.

12. Coarda $[AB]$ (cea mai apropiată de centru) este mai lungă. Cu cât o coardă este mai aproape de centru, cu atât este mai lungă (diametrul, la distanță $0$, este cea mai lungă coardă).

13. Latura $=8$ cm. Fiecare latură subîntinde un arc de $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$, deci unghiul la centru este $60^{\circ }$; triunghiul format cu centrul este echilateral (isoscel cu un unghi de $60^{\circ }$), deci latura $=$ raza $=8$ cm.

14. Distanța $=8$ cm. Jumătatea coardei este $\frac{12}{2}=6$ cm. Cu Pitagora: $d=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ cm. (La fel pentru ambele coarde, fiind congruente.)

15. Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=BC$. Din $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ rezultă $[AB]\equiv [BC]$ (arce congruente $\Rightarrow$ coarde congruente), deci $AB=BC$; două laturi egale înseamnă triunghi isoscel.

16. Din $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ rezultă $[AB]\equiv [CD]$, adică $AB=CD$. Din $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{DA}}$ rezultă $[BC]\equiv [DA]$, adică $BC=DA$. Ambele decurg direct din teorema „arce congruente $\Rightarrow$ coarde congruente".

17. A doua coardă $=40$ cm (congruentă cu prima, fiind egal depărtată de centru). Distanța comună: jumătatea coardei este $\frac{40}{2}=20$ cm, deci $d=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15$ cm.

18. Coardele fiind congruente ($AB=CD$), ele sunt egal depărtate de centru, deci $OM=ON$ (aici folosim reciproca: „coarde congruente $\Rightarrow$ egal depărtate de centru"). Cum $M$ și $N$ sunt mijloacele coardelor, $OM\perp AB$ și $ON\perp CD$. Segmentele $[PM]$ și $[PN]$ se află pe coardele care trec prin $P$. Deoarece $OM=ON$, triunghiurile dreptunghice $OMP$ și $ONP$ au catetele $OM=ON$ egale și ipotenuza comună $OP$; ele sunt congruente (I.C.), deci $PM=PN$. Prin urmare $P$ se află „la fel de aproape" de mijloacele celor două coarde — o proprietate frumoasă de simetrie. Triunghiul $OMP$ este dreptunghic în $M$. (Este o problemă de explorare; ideea-cheie cerută era $OM=ON$ din coarde congruente.)

De reținut

• Coarda = segment care unește două puncte de pe cerc; ea subîntinde un arc mic și un arc mare. Măsura unui arc $=$ măsura unghiului la centru: $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=m(\angle AOB)$.
• Arce congruente $⟺$ coarde congruente (în același cerc sau în cercuri de rază egală): $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\equiv \stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}⟺[AB]\equiv [CD]$.
• Coarde egal depărtate de centru $⟺$ coarde congruente. Distanța de la centru la coardă se măsoară pe perpendiculara din $O$, care cade în mijlocul coardei.
• Relația de calcul: $r^2=d^2+{\left(\frac{\text{coarda˘}}{2}\right)}^2$, unde $d$ este distanța de la centru la coardă (din teorema lui Pitagora).
• Cu cât o coardă e mai aproape de centru, cu atât e mai lungă. Diametrul ($d=0$) este cea mai lungă coardă.

Greșeli frecvente

• Uitarea condiției „același cerc". Arce cu aceeași măsură în grade dau coarde egale doar dacă razele sunt egale. Într-un cerc mic și unul mare, arce de $50^{\circ }$ nu produc coarde egale. Verifică mereu că lucrezi în același cerc (sau cercuri congruente).
• Confuzia dintre distanțe egale și distanțe oarecare. Coardele sunt congruente doar când distanțele lor la centru sunt egale. Dacă distanțele diferă, coardele diferă — cea mai apropiată de centru este mai lungă.
• Perpendiculara „din centru" vs. o perpendiculară oarecare. Doar perpendiculara dusă din centru cade în mijlocul coardei și dă distanța $d$. O perpendiculară dintr-un alt punct nu are această proprietate.
• Amestecarea măsurii arcului cu lungimea arcului. Măsura arcului se dă în grade (legată de unghiul la centru), iar lungimea arcului se măsoară în cm și depinde de rază (temă la lungimea cercului și a arcului). În această lecție vorbim despre măsura în grade.

Aplică acasă

1. Feliile de pizza (sau de tort). Taie (sau desenează pe hârtie) un cerc împărțit în felii egale, ca la o pizza tăiată în $6$ sau $8$ bucăți egale prin centru. Măsoară cu rigla „marginile drepte" ale feliilor (care sunt raze) și „marginea exterioară dreaptă" care ar uni două tăieturi vecine (coarda). Observă că toate feliile egale au aceeași coardă — pentru că subîntind arce egale.

2. Cadranul ceasului. Pe un ceas rotund cu cifre, unește cu o riglă (sau cu ață) numerele $12$ și $2$, apoi $2$ și $4$. Fiecare interval de $2$ ore corespunde unui arc de $60^{\circ }$. Verifică, măsurând, că toate coardele care unesc numere aflate la $2$ ore distanță au aceeași lungime. Ai confirmat experimental teorema!

3. Construcție cu compasul. Desenează un cerc cu compasul. Trasează două coarde la aceeași distanță de centru (folosește rigla ca să măsori distanța pe perpendiculară). Măsoară apoi lungimile coardelor — ar trebui să fie egale. Repetă cu o coardă mai aproape de centru și verifică faptul că este mai lungă.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează raționamentul geometric riguros prin trei teoreme legate între ele (arce, coarde, distanțe la centru). Elevul nu trebuie doar să memoreze rezultatele, ci să înțeleagă că toate provin din congruența triunghiurilor formate cu centrul cercului (cazurile L.U.L., L.L.L. și I.C.).

Pentru a verifica înțelegerea, puteți pune întrebări precum:

• „De ce triunghiul format de o coardă cu cele două raze este întotdeauna isoscel?" (răspuns: cele două raze sunt egale).
• „Dacă îți spun doar că două arce sunt egale, poți afla ceva despre coarde? Dar despre unghiurile la centru?"
• „Care coardă este mai lungă: una la $3$ cm de centru sau una la $5$ cm de centru? De ce?"
• „De ce este important ca cele două coarde să fie în același cerc?"

Un semn bun de înțelegere este când elevul justifică fiecare pas printr-o teoremă sau un caz de congruență, nu doar prin „așa e". Încurajați-l să deseneze figura de fiecare dată și să marcheze pe desen datele (raze egale, unghiuri egale, perpendiculare). Dacă apar dificultăți la calcule, reveniți la relația $r^2=d^2+(\text{coarda˘}/2{)}^2$ și la teorema lui Pitagora.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două arce sunt congruente? Înseamnă că au aceeași măsură în grade, în același cerc (sau în cercuri de aceeași rază). Congruența arcelor este echivalentă cu egalitatea unghiurilor la centru care le corespund.

De ce la arce congruente corespund coarde congruente? Pentru că arcele egale dau unghiuri la centru egale, iar triunghiurile formate de acele unghiuri cu cele două raze sunt congruente (cazul L.U.L.). Din congruența triunghiurilor rezultă egalitatea coardelor, care sunt tocmai laturile opuse unghiurilor la centru.

Coarde egale înseamnă întotdeauna arce egale? Da, în același cerc. Este reciproca teoremei: coarde congruente $\Rightarrow$ arce congruente. Se demonstrează cu cazul L.L.L. de congruență a triunghiurilor formate cu centrul.

Cum aflu care coardă este mai lungă fără să o măsor? Compară distanțele lor față de centru. Coarda mai apropiată de centru este mai lungă. Coarde egal depărtate de centru sunt egale, iar diametrul (la distanță zero) este cea mai lungă coardă posibilă.

Ce este distanța de la centru la o coardă? Este lungimea perpendicularei duse din centrul cercului pe coardă. Această perpendiculară cade exact în mijlocul coardei, împărțind-o în două părți egale, ceea ce permite calcule cu teorema lui Pitagora.

Proprietățile despre coarde funcționează și pentru cercuri diferite? Doar dacă cercurile au aceeași rază (sunt congruente). Într-un cerc mare și unul mic, arce cu aceeași măsură în grade dau coarde de lungimi diferite, deci teoremele nu se mai aplică între cercuri de raze diferite.

Ce legătură are această lecție cu poligoanele regulate? Un poligon regulat înscris împarte cercul în arce egale, deci laturile lui (care sunt coarde) sunt toate congruente. De exemplu, hexagonul regulat are latura egală cu raza, pentru că fiecare latură subîntinde un arc de $60^{\circ }$.

Ce se întâmplă cu coarda pe măsură ce se apropie de marginea cercului? Cu cât coarda se depărtează de centru (distanța $d$ crește spre rază), cu atât devine mai scurtă. La distanța $d=r$ coarda se reduce la un singur punct, iar dreapta devine tangentă la cerc.